第4講 專題一 全等三角形常見幾何模型（原卷版）

專題一全等三角形的模型（原卷版）專題解讀：全等三角形指能夠完全重合的兩個三角形，它們的三條邊三個角都對應(yīng)相等，全等三角形是幾何類型中研究的全等之一，當(dāng)題目中出現(xiàn)角平分線，重點或中線，三條線段之間的關(guān)系，垂直平分線等條件時，可以考慮作輔助線構(gòu)造全等三角形。類型一角平分線模型模型描述：OF是∠AOB的平分線，如圖（1）若PC⊥OA，PD⊥OB，則△PCO≌△PDO；如圖（2）若OC＝OD，則△PCO≌△PDO（2）典例1如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C＝180°．針對訓(xùn)練1．（2022秋?臨西縣期末）已知：如圖，BP、CP分別是△ABC的外角平分線，PM⊥AB于點M，PN⊥AC于點N．求證：AP平分∠MAN．2．（2023春?禪城區(qū)校級月考）如圖，已知△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E點．（1）求∠EDA的度數(shù)；（2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求S△ABC．類型二三垂直模型模型描述：有下面三種情況典例2如圖（1），已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，（1）試判斷AC與CE的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若將CD沿CB方向平移得到圖（2）（3）（4）（5）的情形，其余條件不變，此時第（1）問中AC與CE的位置關(guān)系還成立嗎？結(jié)論還成立嗎？請任選一個說明理由．

針對訓(xùn)練1．（2021秋?海豐縣期末）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．（1）求證：△ACD≌△CBE；（2）試探究線段AD，DE，BE之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．2．（2021秋?柘城縣期中）已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．（1）如圖①，已知點A（0，﹣4），B（1，0），求點C的坐標(biāo)；（2）如圖②，已知點A（0，0），B（3，1），求點C的坐標(biāo)．

類型三半角模型模型描述：半角模型常見的圖形有正方形，正三角形等。一般解題思路為：1.通過旋轉(zhuǎn)，將半角或組合成為半角的兩邊的兩個三角形合并成新的三角形；2.證明信三角形與半角形成的三角形全等；3.通過全等的性質(zhì)得出線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而解決問題。典例3如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD上的點，∠MAN＝45°．求證：MB+ND＝MN．針對訓(xùn)練1．（2021春?北碚區(qū)校級期末）如圖，已知凸五邊形ABCDE中，EC，EB為其對角線，EA＝ED．（1）如圖1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求證：CE平分∠BC