經(jīng)濟數(shù)學第5講函數(shù)極限概念課件

函數(shù)的極限與連續(xù)性第一節(jié)函數(shù)的極限與性質(zhì)三.極限定義及定理小結(jié)四.函數(shù)極限的基本性質(zhì)由于數(shù)列實際上可以看成是定義域為正整數(shù)域的函數(shù),所以,可望將數(shù)列的極限理論推廣到函數(shù)中,并用極限理論研究函數(shù)的變化情形.的圖形可以看出:如何描述它？有問題沒有？好像沒有問題.定義想想：如何從幾何的角度來表示該定義？將圖形對稱過去后,你有什么想法?將圖形對稱定義現(xiàn)在從整體上來看這個圖形,你有什么想法?你能否由此得出一個極限的定義和一個重要的定理.現(xiàn)在從整體上來看這個圖形,你有什么想法?定義由于

|

x|>X>0

x>X

或

x<X,所以,x

按絕對值無限增大時,又包含了

x

的情形.既包含了

x+,定理及極限的三個定義即可證明該定理.由絕對值關系式:證成立.由極限的定義可知:例1解無限縮小,可以小于任意小的正數(shù).因而應該有下面證明我們的猜想:證明過程怎么寫？例2這里想得通嗎？由圖容易看出：分析需要證明之處請同學們自己先證一下.例3證證例4證

x

x0

時函數(shù)的極限,是描述當x無限接近

x0

時,

函數(shù)

f(x)的變化趨勢.f(x)在點

x0=0處有定義.函數(shù)f(x)在點

x0=1處沒有定義.例5((定義[注意]為什麼要考慮空心鄰域？考慮空心鄰域，是什麼意思？考慮函數(shù)在一點的極限時，不考慮函數(shù)在該點處是否有定義，定義的值是什麼，但是，在附近必須要有定義。反例證這是證明嗎？非常非常嚴格！例6證例7證？如何處理它例8這里|x+2|沒有直接的有界性可利用,但又必須設法去掉它.因為x1,所以,從某時候開始x

應充分地接近

1

.(

)0x211

11+1??????????分析結(jié)論證證畢例8觀察知[證]證畢例在極限定義中：1)

與

和x0有關,即

=

(

,x0).一般說來,

值越小,相應的

值也越小.

2)不等式|f(x)－a|<

既要對任意的

>0,同時也要對x

x0以任何方式進行都成立.3)函數(shù)f(x)以a為極限,但函數(shù)f(x)本身可以不取其極限值a.y=a

y=a

y=axOyx0x0

x0+

曲線只能從該矩形的左右兩邊穿過考慮兩個問題.y=a

y=a

y=axOyx0x0+

函數(shù)在x0的左邊可以無定義想想這種情形下,函數(shù)有極限嗎?如何描述這種情形？想想這種情形下,函數(shù)有極限嗎?y=a

y=a

y=axOyx0x0

函數(shù)在x0的右邊可無定義如何描述這種情形？3.函數(shù)的左、右極限定義定義(1)左、右極限均存在,且相等；(2)左、右極限均存在,但不相等；(3)左、右極限中至少有一個不存在.找找例題！函數(shù)在點x0處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：y=f(x)xOy11在x=1處的左、右極限.解例9y=a

y=a

y=axOyx0x0+

y=a

y=a

y=aOyx0x0

對此有什么想法沒有？“左右重合”定理利用|x

x0|<

<x

x0<

和極限的定義,即可證得.例解例10解例11例12證三、極限定義及定理小結(jié)極限定義一覽表目標不等式過程描述度量極限形式重要定理—極限存在的充要條件函數(shù)極限幾何意義()()在以后的敘述中,如果函數(shù)f(x)極限的某種性質(zhì)與運算對任何一種極限過程均成立,則將使表示對任意一種極限過程的函數(shù)用符號四、函數(shù)極限的基本性質(zhì)極限.函數(shù)極限的性質(zhì)與數(shù)列極限的性質(zhì)類似,我們只列舉出來,其證明過程請同學們自己看書.2.有界性定理若limf(x)存在,

則函數(shù)

f(x)在該極限過程中必有界.1.唯一性定理若limf(x)存在,

則極限值必唯一.3.保號性定理極限值的正負與函數(shù)值正負的關系函數(shù)值的正負與極限值正負的關系極限的性質(zhì)的證明性質(zhì)1:（唯一性）函數(shù)極限如果存在，則一定是唯一的.性質(zhì)2:（有界性）函數(shù)極限如果存在，則函數(shù)一定有界(局部).性質(zhì)3:（保號性）注意:f(x)>0推不出極限A>0.性質(zhì)4:（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系）[證明]必要性根據(jù)假設性質(zhì)5極限值的正負與函數(shù)值正負的關系該定理也稱為第一保號性定理極限值正負與函數(shù)值正負關系的推論作輔助函數(shù)F(x)=f(x)

c

再利用定理的結(jié)論即可得證.函數(shù)值的正負與極限值正負的關系該定理也稱為第二保號性定理第二保號性定理成立.運用反證法,設f(x)

0

(f(x)

0)時,有a<0(a>0),則由第一保號性定理將推出

f(x)<0

(f(x)>0)的矛盾,該矛盾就證明了注意:當f(x)>0

(f(x)<0)時,按照第二保號性定理也只能得到a0(a0)結(jié)論.例13函數(shù)值正負與極限值正負關系的推論若極限limf(x)=a,

limg(x)=b存在,即

limf(x)limg(x).且