專題14 8字型和反8字型相似模型-2024年中考數(shù)學(xué)核心幾何模型重點突破（解析版）

專題148字型和反8字型相似模型【模型1】8字型模型如圖14-1,要證明△OAB∽△ODC根據(jù)對頂角相等，可知∠AOB=∠DOC,只需知道【模型2】反8字型模型如圖14-2,要證明△OAB∽△OCD根據(jù)對頂角相等，可知∠AOB=∠DOC,只需再知道【例1】如圖，AB//CD,AE//FD,AE,FD分別交BC于點G,H,則下列結(jié)論中錯誤【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)與判定，進行逐一判斷即可.【解析】解：∵AB//CD,∴A選項正確，不符合題目要求；∴B選項正確，不符合題目要求；∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴C選項正確，不符合題目要求；∴D選項不正確，符合題目要求.【例2】如圖，在正方形ABCD中，點E為BC邊上一點，且CE=2BE,點F為對角線BD則正方形ABCD的邊長為Cm.【分析】如圖，過F作FI⊥BC于I點，連接FE和FA,得到△BIF~△BCD,設(shè)BE=EI=1C=acm,CE=FI=2acm,AB=3acm,求出FE,AH,AG,證明△BEG~△DAG,得最后求值即可.【解析】如圖，過F作FI⊥BC于I點，連接FE和FA,∴設(shè)BE=EI=IC=acm,【例3】已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE=AB,點F在AE的延長線上，CE和DF交于點M,BC和DF交于點N,聯(lián)結(jié)BD.(1)求證：△BND∽△CNM;(2)如果AD2=AB·AF,求證：CM·AB=DM·CN.【答案】(1)見解析；(2)見解析∴AB=CD,AB//CD,而BE=AB,而BE//CD,一、單選題1.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點，連接AC,BE交于點F.若△AEF的面積為2,則△ABC的面積為()A.8B.10C.12【答案】C【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)得AD//BC,AD=BC,由AE//BC可判斷△AEF∽△CBF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得然后根據(jù)三角形面積公式得則【解析】∵平行四邊形ABCD∴AD//BC,AD=BC∵E為邊AD的中點如圖，過點F作FH⊥AD于點H,FG⊥BC于點G,∵△AEF的面積為2A.1:5B.4:25C.4:31根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩三角形的面積的比為1:4,設(shè)SD=S,的面積，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得SDgc=SAp,然后相比計算即可得解.∴AB//DE,AB=CDQBD是平行四邊形ABCD的對角線，3.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，AE=2ED,連接BE交AC于點G,【答案】A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB//CD,則可判斷△ABG∽△CFG,△ABE∽△DFE,于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和AE=2ED即可得結(jié)果.【解析】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，若DE=12,則DF等于()A.3B.4【答案】D),由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得出.【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，AC的延長線于點E,那么CE等于()cm.A.32B.24C.48【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)即可求解.【解析】解：標出字母，如圖：∵在三角形ABC與三角形CED中，6.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點E,交AD于點F,交CD的延長線于點G,若AF=2FD,則的值為()A.【答案】C【分析】由AF=2DF,可以假設(shè)DF=k,則AF=2k,AD=3k,證明AB=AF=2k,DF=DG=k,再利用平行線分線段成比例定理即可解決問題.【解析】解：由AF=2DF,可以假設(shè)DF=k,則AF=2k,AD=3k,∵四邊形ABCD是平行四邊形，7.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,CE且∠ABC=60°,AB=2BC,連接OE,下列結(jié)論：①∠ACD=30③OE:AC=1:4;④S△OCF=2S△OEF.其中正確的有()平分∠DCB交BD于點F,【答案】C【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,根據(jù)角平分線的定義得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等邊三角形，證得∠ACB=90°,求出根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=√3BC,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到于是由三角形的中位線可得BC//OE,可判斷△OEF∽△BCF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到求得S△ocr=2S△oEF;故④正確.【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵CE平分∠BCD交AB于點E,在Rt△ACB中，∠ACB=90°,∠CAB=30°,故③錯誤；故③錯誤；,動點P在射線EF上，BP交CE于點D,∠CBPA.9B.12【答案】C【分析】如圖，延長EF交BQ的延長線于G.首先證明PB=PG,EP+PB=EG,由EG//BC,推出即可求出EG解決問題.【解析】解：如圖，延長EF交BQ的延長線于G.的面積之比為【答案】1:9【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得出答案.【解析】解：∵△AOB與△COD是位似圖形.位似中心為點O,OA:OC=1:3,∴△AOB與△COD的面積之比為：1:9.故答案為：1:9.【答案】4或8分別是直線AC和AB上的點，若且AD=3,【分析】通過比例式，可以確定AE的長度，點E是直線AB上的點，沒有限定E的位置，只限定AE的長度，以點A為圓心，AE長為半徑的圓與直線AB的交點是點E位置，有兩個，要分類求即可.【解析】如圖則BE的長為4或8.∴DC//AB,DC=AB,故答案為：2.E為AB上一點，CE⊥BD于點F,當AD=CD時，求CE的長.【答案】【分析】將Rt△ACB補成矩形ACBH,延長CE交AH于點G,可得△BCD∽△CAG,結(jié)合再由△AEG∽△BEC即可求出CE.、.【解析】解：如解圖，補成矩形ACBH,延長CE交AH于點G,事事;,;則,,AE的延長線交BC于點G,GF的延長線交AD于點H.(1)求HD的長；(2)設(shè)△BEG的面積為a,求四邊形AEFH的面積.(用含a的代數(shù)式表示)【答案】(1)2;(2)【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD//BC,根據(jù)相似三角形的判定得△BEG∽△DEA,△BFG∽△DFH,由BE=EF=FD可得出根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求【解析】解：(1)∵平行四邊形ABCD,BC=8,,,,,14.如圖，E為平行四邊形ABCD的邊CD延長線上的一點，連接BE.交AC于O,交AD于F.【答案】見解析.【分析】根據(jù)AD//BC,得△AOF∽△COB,由AB//DC,得△AOB∽△COE,再根據(jù)相似三角形對應(yīng)變成比例即可.【解析】證明：∵AB//DC,即BO2=OE-OF(1)求證：△ABC∽△DBE.(2)若AC=8,BC=6,CE=9,【答案】(1)證明見解析；(2)4.【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定解答即可；【解析】證明：(1)∵∠DBE=∠ABC,代入數(shù)據(jù)解答即可.16.已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE//BC,點F在邊AB上，BC2=BF·BA,CF與DE相交于點G.(2)當點E為AC中點時，求證：2DF·EG=AF·DG.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)由BC2=BF·BA,∠ABC=∠CBF可判斷△BAC∽△BCF,再由DE//BC可判(2)作AH//BC交CF的延長線于H,如圖，易得AH//DE,由點E為A再利用AH//DG可判定△AHF∽△DGF,則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得然后利用等線段代換即可.【解析】證明：(1)∵BC2=BF·BA,(2)作AH//BC交CF的延長線于H,如圖，17.矩形ABCD中，AB=CD=3cm,AD=BC=4cm,AC是對角線，動點P從點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為1cm/s;動點Q從點C出發(fā)沿CD方向向點D勻速運動，速度為2cm/s.過點P作BC的垂線段PH,運動過程中始終保持PH與BC互相垂直，連接HQ交AC于點O.若點P和點Q同時出發(fā)，設(shè)運動的時間為t(s)(O<t<1.5),解答下列(1)求當t為何值時，四邊形PHCQ為矩形；(2)是否存在一個時刻，使HQ與AC互相垂直?如果存在請求出t值；如果不存在請說明(3)是否存在一個時刻，使矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的如果存在請求出t值；如果不存在請說明理由.(3)存在，t=1【分析】(1)當四邊形PHCQ為矩形時，PH=CQ,利用相似三角形的性質(zhì)求出PH,CH,(3)根據(jù)矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的構(gòu)建方程求解即可.【解析】解：(1)∵AB=3,BC=4,即:·:·時，四邊形PHCQ時，四邊形PHCQ為矩形；(2)存在一個時刻，使HQ⊥AC,當HQ⊥AC時，∠QHC+∠ACB=90°,(3)存在，∴當t=1時，矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的18.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，連接AE,若AE的延長線和BC的延長線相交于點F.(2)連接AC和BE相交于點為G,若△GEC的面積為2,求平行四邊形ABCD的面積.【答案】(1)證明見解析；(2)24.【分析】(1)根據(jù)E是邊DC的中點，可以得到DE=CE,再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到∠ADE=∠ECF,再根據(jù)∠AED=∠CEF,即可得到△ADE≌△ECF,則答案【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC,AD=BC,(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，點E為DC的中點，∴△CEG~△ABG,19.如圖，△ABC中，中線AD,BE交于點F,EGI/BC交AD于點G.(2)如果BD=4√3,DF=4,請找出與VBDA相似的三角形，并挑出一個進行證明.【答案】(1)3;(2)△BDA∽△FGE,證明見解析【分析】(1)先證明△AGE~△ADC,再證明△GEF∽△DBF,得到DF=2GF,則問題可解；(2)根據(jù)題意分別證明△BDA∽△FDB,△BDA∽△FGE問題可證.,,,,,20.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠CAB=30°(如圖).以線段AB為邊向外作等邊三角形ABD,點E是線段AB的中點，連接CE并延長交線段AD于點F.(1)求證：四邊形BCFD為平行四邊形；(2)連接CD,交AB于點M.①若AB=6,求BM的長；的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)可得∠CEB=∠CBE=∠ABC=60°,然后根據(jù)平行線的判定可得CF//BD,BCI|FD,最后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；(2)①先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得,再根據(jù)(1)已求.,從而可得由此即可得證.【解析】(1)∵△ABD是等邊三角形在Rt△ABC中，∠CAB=30°∵點E是線段AB的中點∴△BCE是等邊三角形∴四邊形BCFD為平行四邊形；(2)①如圖，連接CD,交AB于點M②如圖，作MN⊥AC,垂足為N,DE與AC的交點.(1)求證：∠BDE=∠ACD;(3)將“點D在BA的延長線上，點E在BC上”改為“點D在AB上，點E在CB的延長線如圖2.②若DE=4DF,請直接寫出SAABC:SADEC的值.【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)①見解析；②16:15.【分析】(1)運用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)就可解決問題.(2)如圖1,證明△DCA≌△EDG(AAS),得AD=EG,根據(jù)等腰三角形的判定得：DG=AB,(3)①如圖2,作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明△DCA≌△EDG(AAS),得DA=EG,再②如圖3,作輔助線，構(gòu)建△ABC和△DCE的高線，先得設(shè)AF=a,則EG//AC,同理得設(shè)BE=y,BC=4y,利用三角形面積公式代入可得結(jié)論.【解析】(1)證明：∵AC=AB,(2)證明：如圖1,圖1’由(1)知：∠DCA=∠BDE,(3)解：①如圖2,過點E作EG//AC,設(shè)AF=a,則EG=AD=4a,DG=16a,設(shè)PD=3h,AH=4h設(shè)BE=y,BC=4y,段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α,得到線段PD,連接DB,DC.(2)如圖2,當α=120°時，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.【分析】(1)當α=60°時，△ABC和△PBD為等邊三角形，根據(jù)三角形全等即可求證；(2)過點A作AE⊥BC,求得根據(jù)題意可得△PBD~△ABC,可得再根據(jù)∠PBA=∠DBC,判定△PBA∽∠DBC,得到即可求解；(3)過點B作BE⊥AC于點E,過點D作DF⊥AC于點F,分兩種情況進行討論，當P在線段AE或當P在線段AE延長線上時，設(shè)PF=x根據(jù)勾股定理求解即可.【解析】解：(1)當α=60°時，∵AB=AC∴△PBD為等邊三角形(2)過點A作AE⊥BC,如下圖：,(3)過點B作BE⊥AC于點E,過點D作DF⊥AC于點F,則點D到CP的距離就是DF由(2)得CD=√3B或23.如圖1,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=1,D為AB上一點，連接CD,分別(2)若點D滿足BD:AD=2:1,求DM的長；(3)如圖2,若點E為AB中