吉林省四平市普通高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

四平市普通高中20232024學(xué)年度第一學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)B試題全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊第二章~第三章.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知圓的一般方程為，其圓心坐標(biāo)是（）A B. C. D.2.已知直線經(jīng)過，兩點，則該直線的傾斜角為（）A.30° B.45° C.135° D.150°3.已知直線經(jīng)過焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓的兩個頂點，則該橢圓的方程為（）A. B.C. D.4.已知拋物線C：的焦點為F，點P是拋物線C上的一點，，過點P作y軸的垂線，垂足為，則（）A. B. C. D.5.已知雙曲線C：的左，右焦點分別為，，O為坐標(biāo)原點，點P是雙曲線C上的一點，，且的面積為4，則實數(shù)（）A. B.2 C. D.46.已知圓C：上任意一點關(guān)于直線對稱點也在圓上.則實數(shù)（）A.4 B.6 C. D.7.已知拋物線C：的焦點為，過點的直線與拋物線C交于A，B兩點，且M是的中點，則直線AB的方程為（）A B. C. D.8.如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點，點在以為直徑的圓上（點異于A，兩點），線段與橢圓交于另一點，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線l過點，點，到直線l的距離相等，則直線l的方程可能是（）A. B.C. D.10.已知雙曲線，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的實軸長為 B.雙曲線的焦距為C.雙曲線的離心率為 D.雙曲線的漸近線方程為11.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點是橢圓C上異于左、右頂點的一點，則下列說法正確的是（）A.的周長為 B.的面積的最大值為2C.若，則最小值為 D.的最小值為12.已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，過軸上異于坐標(biāo)原點的任意一點作拋物線的一條切線，切點為，且直線的斜率存在，為坐標(biāo)原點.則（）A. B.當(dāng)線段的中點在拋物線上時，點的坐標(biāo)為C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是______.14.已知圓和圓，則圓與圓的公共弦所在的直線方程為______.15.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點P是橢圓C上的一點，則的最大值為______.16.已知雙曲線的右焦點為F，離心率為，點A是雙曲線C右支上的一點，O為坐標(biāo)原點，延長AO交雙曲線C于另一點B，且，延長AF交雙曲線C于另一點Q，則___________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l經(jīng)過點和點.（1）求直線l的方程；（2）若直線m與l平行，且m與l間的距離為，求直線m的方程.18.已知點、，動點滿足.（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知圓的圓心為，且圓與軸相切，若圓與曲線有公共點，求實數(shù)的取值范圍.19.已知拋物線的焦點關(guān)于拋物線的準(zhǔn)線的對稱點為．（1）求拋物線的方程；（2）過點作斜率為4直線，交拋物線于，兩點，求．20.已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦距為.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若O為坐標(biāo)原點，過的直線l交雙曲線C于A，B兩點，且的面積為，求直線l的方程.21.已知橢圓的離心率為，且過點．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點，點是軸上的一點，過點作直線的垂線，垂足為，是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22.如圖，已知點和點在雙曲線上，雙曲線的左頂點為，過點且不與軸重合的直線與雙曲線交于，兩點，直線，與圓分別交于，兩點.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線，斜率分別為，，求的值；（3）證明：直線過定點.

四平市普通高中20232024學(xué)年度第一學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)B試題全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊第二章~第三章.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知圓的一般方程為，其圓心坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的方程即得.【詳解】因為圓的圓心為，則圓圓心坐標(biāo)是.故選：C．2.已知直線經(jīng)過，兩點，則該直線的傾斜角為（）A.30° B.45° C.135° D.150°【答案】C【解析】【分析】利用兩點間的斜率公式可求出其斜率為，再由傾斜角與斜率的關(guān)即可得出結(jié)果.【詳解】易知兩點間的斜率，設(shè)直線傾斜角為，由斜率與傾斜角之間的關(guān)系可得，故該直線的傾斜角為135°.故選：C.3.已知直線經(jīng)過焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓的兩個頂點，則該橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線與兩坐標(biāo)軸的焦點為，.根據(jù)，可設(shè)橢圓的方程為，求出即可.【詳解】令，可得；令，可得.則由已知可得，橢圓的兩個頂點坐標(biāo)為，.因為，所以橢圓的焦點在軸上.設(shè)橢圓的方程為，則，，所以橢圓的方程為.故選：C.4.已知拋物線C：的焦點為F，點P是拋物線C上的一點，，過點P作y軸的垂線，垂足為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】設(shè)，由拋物線定義，，解出，代入拋物線方程，可求，再由兩點間距離公式可求.【詳解】由拋物線C：，得焦點，設(shè)，所以，由，解得，所以，所以.故選：D.5.已知雙曲線C：的左，右焦點分別為，，O為坐標(biāo)原點，點P是雙曲線C上的一點，，且的面積為4，則實數(shù)（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】由，得為直角三角形，根據(jù)雙曲線定義，再利用以及勾股定理建立等量關(guān)系即可求解.【詳解】因為的面積為4，所以的面積為8.又，所以，所以為直角三角形，且.設(shè)，，所以，，所以，所以，又，所以.故選：C.6.已知圓C：上任意一點關(guān)于直線的對稱點也在圓上.則實數(shù)（）A.4 B.6 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的對稱性可知直線要經(jīng)過圓心.【詳解】圓C：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，要使得圓上任意一點關(guān)于直線的對稱點也在圓上，則直線經(jīng)過圓心，即，解得，故選：B7.已知拋物線C：的焦點為，過點的直線與拋物線C交于A，B兩點，且M是的中點，則直線AB的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出拋物線方程，再用點差法求出直線斜率，最后寫出直線方程.【詳解】因為拋物線焦點為，所以，設(shè)，，則，，所以，易知，所以，又，所以，所以直線的方程為，即，故選：B8.如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點，點在以為直徑的圓上（點異于A，兩點），線段與橢圓交于另一點，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓與圓的性質(zhì)計算即可.【詳解】設(shè)，易知，則，，又，所以.故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線l過點，點，到直線l的距離相等，則直線l的方程可能是（）A. B.C D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，分別討論直線l與直線AB平行或直線l過線段AB的中點，即可求直線l的方程.【詳解】當(dāng)直線l與直線AB平行時，因為，所以直線l的方程為，即.當(dāng)直線l過線段AB的中點時，AB的中點為，所以直線l的方程為，即.綜上所述，直線l的方程為或.故選：AC.10.已知雙曲線，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的實軸長為 B.雙曲線的焦距為C.雙曲線的離心率為 D.雙曲線的漸近線方程為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程求解出a，b，c，由雙曲線的性質(zhì)逐一判斷．【詳解】雙曲線，則，雙曲線的實軸長為，故A錯誤；雙曲線的焦距為，故B正確；雙曲線的離心率，故C正確；雙曲線的漸近線方程為，故D錯誤．故選：BC．11.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點是橢圓C上異于左、右頂點的一點，則下列說法正確的是（）A.的周長為 B.的面積的最大值為2C.若，則的最小值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】選項A，由定義可得；選項B，，數(shù)形結(jié)合當(dāng)點到的距離最大，即高最大時面積最大；選項C，設(shè)點表達(dá)，利用橢圓方程消元求函數(shù)最值即可；選項D，利用的斜率意義，轉(zhuǎn)化為直線與橢圓有公共點求斜率范圍，從而求得最小值.【詳解】選項A，由橢圓方程可知，，所以周長，故A正確；選項B，因為點是橢圓C上異于左、右頂點的一點，所以，所以的面積，當(dāng)，即時，即點位于短軸端點時，的面積最大，最大為2，故B正確；選項C，由，點，且，因為，當(dāng)時，取最小值，且最小值為，故C錯誤；選項D，的幾何意義為與點兩點連線的斜率，設(shè)為，由得，，解得，如圖，當(dāng)直線與橢圓C相切時，，所以的最小值為.故D正確.故選：ABD.12.已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，過軸上異于坐標(biāo)原點的任意一點作拋物線的一條切線，切點為，且直線的斜率存在，為坐標(biāo)原點.則（）A. B.當(dāng)線段的中點在拋物線上時，點的坐標(biāo)為C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A選項：由焦點到準(zhǔn)線的距離為2即可驗證；對于B選項：設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)中點坐標(biāo)公式以及線段的中點在拋物線上即可驗證；對于C選項：可轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的斜率的乘積是否為即可驗證；對于D選項：表示出相應(yīng)的線段長度即可驗證.【詳解】如下圖所示：對于A選項：由題意焦點的坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程分別為，所以焦點到準(zhǔn)線的距離為，因此A選項符合題意；對于B選項：由題意設(shè)點的坐標(biāo)為，又由A選項分析可知，拋物線方程為，所以線段的中點坐標(biāo)為，將其代入拋物線方程得，解得，此時點的坐標(biāo)為，因此B選項不符合題意；對于C選項：由題意設(shè)點的坐標(biāo)為，切線的方程為，將其代入拋物線方程得，整理得，所以，因為，所以解得，所以切線的斜率為，又因為點的坐標(biāo)為，，所以直線的斜率為，所以，所以，因此C選項符合題意；對于D選項：由C選項分析可知，又，所以有，解得，將其代入切線的方程，解得，所以切點的坐標(biāo)為，又因為，，，所以，，，，所以，即，因此D選項符合題意.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題AB兩選項常規(guī)驗證即可，對于C選項關(guān)鍵是要將所驗證的轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的斜率的乘積是否為，對于D選項關(guān)鍵是要想辦法表示所有線段的長度，然后作差驗證是否恒為0即可.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、一元二次不等式的解法運算即可得解.【詳解】解：∵方程表示焦點在x軸上的橢圓，∴由，解得：或，∴實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.已知圓和圓，則圓與圓的公共弦所在的直線方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用兩圓的方程相減，即可求得兩圓公共弦所在的直線方程.【詳解】由圓和圓，兩圓的方程相減，可得，即圓與圓的公共弦所在的直線方程為.故答案為：.15.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點P是橢圓C上的一點，則的最大值為______.【答案】25【解析】【分析】先根據(jù)定義得到和的關(guān)系，再利用均值不等式求最大值.【詳解】因為點P是橢圓C上的一點，所以，又由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故答案為：2516.已知雙曲線的右焦點為F，離心率為，點A是雙曲線C右支上的一點，O為坐標(biāo)原點，延長AO交雙曲線C于另一點B，且，延長AF交雙曲線C于另一點Q，則___________.【答案】【解析】【分析】在中，由勾股定理可求得、用含有a的代數(shù)式表示，在中，由勾股定理可求得用含有a的代數(shù)式表示，在中，由勾股定理可求得可用含有a的代數(shù)式表示，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，∵，則，，由雙曲線的對稱性知：，，又∵，∴四邊形為矩形，設(shè)，則由雙曲線的定義知：，在中，，即：，整理得：，即：，∵，∴，∴設(shè)，則由雙曲線的定義知：，在中，，即：，解得：，即：，又∵，∴在中，∴故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l經(jīng)過點和點.（1）求直線l方程；（2）若直線m與l平行，且m與l間的距離為，求直線m的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）法一，已知兩點求斜率，再由點斜式方程可得，法二，由兩點式方程可得；（2）設(shè)出直線方程，由直線平行得斜率，再由兩平行直線間的距離公式可求.【小問1詳解】法一：由題意得直線l的斜率，故直線l的方程為，即；法二：由兩點式方程可得，，化簡得.【小問2詳解】可設(shè)直線m的方程為，由題意得，解得或，故直線m的方程為或.18.已知點、，動點滿足.（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知圓的圓心為，且圓與軸相切，若圓與曲線有公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面內(nèi)兩點間的距離公式化簡可得出軌跡的方程；（2）求出圓的方程，分析可知，圓與圓有公共點，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：由得，即，整理得，故動點的軌跡的方程為.【小問2詳解】解：∵點的坐標(biāo)為且圓與軸相切，∴圓的半徑為，∴圓的方程為，∴圓與圓兩圓心的距離為，∵圓與圓有公共點，∴，即，且，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.19.已知拋物線的焦點關(guān)于拋物線的準(zhǔn)線的對稱點為．（1）求拋物線的方程；（2）過點作斜率為4直線，交拋物線于，兩點，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對稱的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合拋物線的定義進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】該拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因為關(guān)于拋物線的準(zhǔn)線的對稱點為，所以有；【小問2詳解】直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，設(shè)，因此有，則有【點睛】關(guān)鍵點睛：利用拋物線的定義，結(jié)合一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵20.已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦距為.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若O為坐標(biāo)原點，過的直線l交雙曲線C于A，B兩點，且的面積為，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)，，以及，求解即可；（2）設(shè)直線的方程為與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式表示，根據(jù)點到直線的距離公式求解高，即可根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解.【小問1詳解】由題意得：，，，解得：，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】由題意可知，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立方程組，消去整理得，則，原點到直線的距離為，所以，解得或，故或，故直線方程為或21.已知橢