第10章時(shí)間序列分析

第10章時(shí)間序列分析7/14/2019常用時(shí)間序列模型ARIMA模型時(shí)間序列對(duì)象在R軟件中，使用時(shí)間序列建模前需要先將數(shù)據(jù)存儲(chǔ)到一個(gè)時(shí)間序列對(duì)象中。我們可以使用函數(shù)ts()將數(shù)值類(lèi)型的觀測(cè)對(duì)象存儲(chǔ)為時(shí)間序列對(duì)象。使用格式：ts(data

=

NA,

start

=

1,

end

=

numeric(),

frequency

=

1,…

)其中，data是時(shí)間序列觀測(cè)值對(duì)象，必須為數(shù)值類(lèi)型的向量、矩陣或數(shù)據(jù)框；

start是用來(lái)指定時(shí)間序列觀測(cè)值對(duì)象的第一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，比如2000年1月，則設(shè)置

start=c(2000,1)；end用來(lái)指定時(shí)間序列的終止時(shí)間點(diǎn)；frequency用來(lái)指定數(shù)據(jù)在一年中的頻數(shù)。還可以通過(guò)函數(shù)as.ts()可以將對(duì)象轉(zhuǎn)換成時(shí)間序列；通過(guò)函數(shù)is.ts()可以判斷象是否為時(shí)間序列對(duì)象。ARIMA模型繪制時(shí)間序列圖R軟件中，可以使用plot.ts()函數(shù)來(lái)畫(huà)出時(shí)間序列的時(shí)序圖。plot.ts()用法同plot。根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列的均值和方差都為常數(shù)的性質(zhì)，平穩(wěn)序列的時(shí)序圖顯示該序列值始終在一個(gè)常數(shù)附近隨機(jī)波動(dòng)，而且波動(dòng)的范圍有界；如果有明顯的趨勢(shì)性或者周期性那它通常不是平穩(wěn)序列。ARIMA模型時(shí)間序列檢驗(yàn)分析（1）自相關(guān)性檢驗(yàn)自相關(guān)圖中的兩條虛線標(biāo)示置信界限是自相關(guān)系數(shù)的上下界。如果自相關(guān)系迅速衰減落入置信區(qū)間內(nèi)，就可能是白噪聲；如果自相關(guān)系數(shù)超出置信區(qū)間，那么表示存在相關(guān)關(guān)系，而且從哪一階落在置信區(qū)間內(nèi)，就表示自相關(guān)的階數(shù)是幾階。使用格式：acf(x,

lag.max

=

NULL,type

=

c(correlation,

covariance,

partial),plot

=

TRUE,

na.action

=

na.fail,

demean

=

TRUE,

…)pacf(x,

lag.max,

plot,

na.action,

…)acf()函數(shù)中，參數(shù)x為觀測(cè)值序列，acf()為觀測(cè)值序列自相關(guān)函數(shù)，lag.max為與acf對(duì)應(yīng)

的最大延遲，type為計(jì)算acf的形式，默認(rèn)為correlation。當(dāng)沒(méi)有輸出，即為acf(Series)時(shí)，畫(huà)觀測(cè)值序列的自相關(guān)系數(shù)圖。pacf()函數(shù)中的輸入?yún)?shù)與輸出參數(shù)的含義同acf()函數(shù)的類(lèi)似。在acf()和pacf()中設(shè)定

plot=FALSE可以得到自相關(guān)和偏自相關(guān)的真實(shí)值。ARIMA模型原始序列時(shí)序圖 原始序列的自相關(guān)圖時(shí)序圖顯示該序列具有明顯的單調(diào)遞增趨勢(shì)，可以判斷為是非平穩(wěn)序列；自相關(guān)圖顯示自相關(guān)系數(shù)長(zhǎng)期大于零，說(shuō)明序列間具有很強(qiáng)的長(zhǎng)期相關(guān)性，可以判斷為非平穩(wěn)序列；ARIMA模型時(shí)間序列檢驗(yàn)分析（2）單位根檢驗(yàn)對(duì)時(shí)間序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)通常使用單位根檢驗(yàn)的方法。在R軟件中，單位根檢驗(yàn)使用fUnitRoots包中的unitrootTest()函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)使用格式：unitrootTest(x,lags=1,type=c("nc","c","ct"),title=NULL,description=其中，輸入?yún)?shù)x為觀測(cè)值序列，lags為用于校正誤差項(xiàng)的最大滯后項(xiàng)，type為單位根的回歸類(lèi)型，返回的參數(shù)p值，p值小于0.05表示滿足單位根檢驗(yàn)。單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的p值顯著大于0.05，判斷該序列為非平穩(wěn)序列（非平穩(wěn)序列一定不是白噪聲序列）。ARIMA模型ARIMA建模分析（1）非平穩(wěn)時(shí)間序列差分對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)間序列，首先需要對(duì)其進(jìn)行差分直到得到一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列。在R軟件中，可以使用diff()函數(shù)對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行差分運(yùn)算。diff()函數(shù)的使用格式：diff(x,lag=1,differences=1,...)其中，輸入?yún)?shù)"x"代表觀測(cè)值序列；"lag"代表差分運(yùn)算的步數(shù)，缺省值代表一步差分；"differences"代表差分運(yùn)算的階數(shù)，缺省值代表一階差分。對(duì)一階差分后的序列再次做平穩(wěn)性判斷過(guò)程同上。一階差分之后序列的時(shí)序圖一階差分之后序列的自相關(guān)圖結(jié)果顯示，一階差分之后的序列的時(shí)序圖在均值附近比較平穩(wěn)的波動(dòng)、自相關(guān)圖有很強(qiáng)的短期相關(guān)性、單位根檢驗(yàn)p值小于0.05，所以一階差分之后的序列是平穩(wěn)序列。ARIMA模型（2）時(shí)間序列模型識(shí)別定階使用R軟件中的acf()和pacf()函數(shù)來(lái)分別給出時(shí)間序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖。可根據(jù)自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖對(duì)時(shí)間序列模型進(jìn)行定階。根據(jù)自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖對(duì)時(shí)間序列模型進(jìn)行定階：

若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)系數(shù)是截尾的，而自相關(guān)系數(shù)是拖尾的，則序列適合AR模型；

若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)系數(shù)是拖尾的，而自相關(guān)系數(shù)是截尾的，則序列適合MA模型；若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)系數(shù)與自相關(guān)系數(shù)都是拖尾的，則序列適合ARMA

模型；ARIMA模型pacf(difsales,lag.max=30)一階差分之后序列的自相關(guān)圖 一階差分后序列的偏自相關(guān)圖一階差分后自相關(guān)圖中，ACF值在一階后迅速跌入置信區(qū)間，并且數(shù)值徘徊在置信區(qū)間，沒(méi)有收斂趨勢(shì)，顯示出拖尾性。偏自相關(guān)圖中，PACF值在一階后迅速跌入置信區(qū)間，并且有向零收斂的趨勢(shì)，顯示出截尾性，所以可以考慮用AR模型擬合1階差分后的序列，即對(duì)原始序列建立ARIMA(1,1,0)模型。acf(difsales,lag.max=30)ARIMA模型另外，模型還可以通過(guò)BIC進(jìn)行定階。此處計(jì)算ARMA(p,q)當(dāng)p和q均小于等于5的所有組合的BIC信息量，取其中BIC信息量達(dá)到最小的模型階數(shù)。一階差分后序列的BIC圖顯示BIC值從下往上，依次遞減。模型選用變量的單元格用陰影表示。較好的模型（具有較低的BIC值）處于較高的行中。第一行中，test-lag1被選入模型，error-lag1到error-lag5均未被選取，取零階。即在test-lag1，error-lag0處，取得最小BIC值。因此p值為1、q值為0時(shí)，BIC值最小。p、q定階完成,，即對(duì)原始序列建立ARIMA(1,1,0)模型。ARIMA模型（3）ARIMA模型R軟件中，arima()函數(shù)設(shè)置時(shí)序模式的建模參數(shù)，創(chuàng)建ARIMA時(shí)序模型或者把一個(gè)回歸時(shí)序模型轉(zhuǎn)換為ARIMA模型。使用格式：Arima(Series,

order,

seasonal,

period,method,...)其中，Series為觀測(cè)值序列，order為構(gòu)建的ARIMA(p,d,q)模型的參數(shù)，seasonal為模型的季節(jié)性參數(shù)，period為觀測(cè)值序列的周期，method為估計(jì)模型參數(shù)所使用的方法。ARIMA模型（4）白噪聲檢驗(yàn)在使用ARIMA模型定階完成后，還要對(duì)模型進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)殘差序列是否為白噪聲序列。R軟件中，Box.test()函數(shù)用于檢測(cè)序列是否符合白噪聲檢驗(yàn)。使用格式：Box.test(x,lag=1,type=c("Box-Pierce","Ljung-Box"),fitdf=0)其中，x為Arima()函數(shù)返回的結(jié)果對(duì)象的residuals殘差。ARIMA模型p-value>0.05，說(shuō)明殘差為白噪聲序列，通過(guò)白噪聲檢驗(yàn)。ARIMA模型預(yù)測(cè)（1）模型預(yù)測(cè)根據(jù)參數(shù)估計(jì)得到的時(shí)間序列模型對(duì)未來(lái)的序列值進(jìn)行預(yù)測(cè)，通過(guò)forecast包中的函數(shù)forecast.Arima()來(lái)完成。使用格式：forecast.Arima(object,

h=10,

level=c(80,95),…)object是函數(shù)arima()返回的對(duì)象；h指定預(yù)測(cè)的時(shí)間點(diǎn)；level指定預(yù)測(cè)區(qū)間的置信水平，默認(rèn)情況為80%和95%置信水平下的預(yù)測(cè)區(qū)間。Forecast的輸入結(jié)果是指：通過(guò)arima模型，置信水平為80%和95%時(shí)，預(yù)測(cè)出未來(lái)五天的營(yíng)業(yè)額及營(yíng)業(yè)額區(qū)間。ARIMA模型預(yù)測(cè)（2）繪制原始值與預(yù)測(cè)值圖形為查看原始值與預(yù)測(cè)值的圖形效果，可以使用plot.forecast()函數(shù)繪制原始值與預(yù)測(cè)值的圖形。使用格式：plot.forecast(x,…)其中，x為forecast.Arima()函數(shù)返回的結(jié)果對(duì)象。plot.forecast(forecast)使用函數(shù)plot.forecast()可以查看原始值和預(yù)測(cè)值的圖形效果，例如從圖中可以直觀地看到營(yíng)業(yè)額的發(fā)展趨勢(shì)。其他時(shí)間序列模型（1）組合模型時(shí)間序列的變化主要受到長(zhǎng)期趨勢(shì)、季節(jié)變動(dòng)、周期變動(dòng)和噪聲變動(dòng)這四個(gè)因素的影響。根據(jù)序列的特點(diǎn)，可以構(gòu)建加法模型和乘法模型。decompose()函數(shù)、stl()函數(shù)可以估計(jì)出時(shí)間序列中趨勢(shì)的、季節(jié)性的和不規(guī)則的部分，而此時(shí)間序列需是可以用相加模型描述的。函數(shù)使用格式：decompose(x,

type

=

c("additive",

"multiplicative"),

filter

=

NULL)在decompose()函數(shù)中，x時(shí)間序列對(duì)象；type指定分解為加法模型還是乘法模型；filter是濾波系數(shù)。stl(x,

s.window,

s.degree=0,…)在stl()函數(shù)中，x同樣為時(shí)間序列對(duì)；s.window因?yàn)闆](méi)有默認(rèn)值，所以必須手動(dòng)設(shè)置，可以采用’periodic’或Loess方法提取季節(jié)跨度，若采用Loess方法，

s.window的值必須為大于7的奇數(shù)；s.degree可取1或0，為局部多項(xiàng)式擬合季節(jié)性提取的程度。sales<-ts(Data,start=c(2013,1),frequency=12)

##示例數(shù)據(jù)sales.de

=

decompose(sales,type="additive")sales.de$xJan

Feb

Mar

Apr

May

Jun

Jul

Aug

Sep

Oct

Nov

Dec2013

3023

3039

3056

3138

3188

3224

3226

3029

2859

2870

2910

30122014

3142

3252

3342

3365

3339

3345

3421

3443

3428

3554

3615

36462015

3614

3574

3635

3738

3707

3827

4039

4210

4493

4560

4637

47552016

4817$seasonalJan

Feb

Mar

Apr

May

Jun

Jul

Aug

Sep

Oct

Nov

Dec2013

40

33

50

44

-56

-65

79

22

-94

-50

-23

202014

40

33

50

44

-56

-65

79

22

-94

-50

-23

202015

40

33

50

44

-56

-65

79

22

-94

-50

-23

202016

40$trendJan

Feb

Mar

Apr

May

Jun

Jul

Aug

Sep

Oct

Nov

Dec2013

NA

NA

NA

NA

NA

NA

3053

3067

3087

3109

3125

31362014

3149

3174

3215

3268

3325

3381

3427

3460

3486

3514

3545

35802015

3626

3684

3760

3846

3931

4020

4116

NA

NA

NA

NA

NA2016

NA$randomJan

Feb

Mar

Apr

May

Jun

Jul

Aug

Sep

Oct

Nov

Dec2013

NA

NA

NA

NA

NA

NA

94

-59

-134

-189

-192

-1442014

-47

44

77

54

69

29

-86

-39

36

90

93

462015

-52

-143

-175

-152

-168

-127

-156

NA

NA

NA

NA

NA2016

NA$figure[1]

40

33

50

44

-56

-65

79

22

-94

-50

-23

20$type[1]

"additive"attr(,"class")[1]

"decomposed.ts"plot(sales.de)圖中包含了四部分，自上而下依次為：原始時(shí)間序列的觀測(cè)值、時(shí)間序列分解趨勢(shì)圖、時(shí)間序列分解季節(jié)變動(dòng)圖、時(shí)間序列分解噪聲圖。其他時(shí)間序列模型sales.stl

=

stl(sales,s.window

=

"periodic")sales.stlCall:stl(x

=

sales,

s.window

=

"periodic")Componentsseasonal

trend

remainderJan

20135.73

3109-91.9Feb

2013-53.40

3103-10.3Mar

2013-28.08

3096-12.2Apr

20130.99

309145.7May

2013-41.61

3086143.4Jun

2013-26.07

3085165.6…… ……

……

……Mar

2015

-28.08

3752Apr

2015 0.99

3843-89.2-105.6May

2015-41.613933-184.3Jun

2015-26.074036-182.5Jul

201532.134138-131.4Aug

2015-4.784243-28.0Sep

2015-7.684347153.5Oct

201519.36445685.1Nov

201537.73456435.4Dec

201565.68467513.8Jan

20165.73

478724.2plot(sales.stl)stl季節(jié)性時(shí)間序列分解圖圖中包含了四部分，自上而下依次為：原始時(shí)間序列的觀測(cè)值、時(shí)間序列分解趨勢(shì)圖、時(shí)間序列分解季節(jié)變動(dòng)圖、殘差自相關(guān)圖。采用decompose()與stl()對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分解后，建模、預(yù)測(cè)的工作一般通過(guò)指數(shù)平滑算法實(shí)現(xiàn)。其他時(shí)間序列模型（2）指數(shù)平滑法在R軟件中，簡(jiǎn)單指數(shù)平滑法、Holt雙參數(shù)線性指數(shù)平滑法和Winters線性和季節(jié)性指數(shù)平滑法可以通過(guò)HoltWinters()函數(shù)實(shí)現(xiàn)。HoltWinters()函數(shù)會(huì)給出時(shí)間序列自身時(shí)間段內(nèi)的預(yù)測(cè)，生成的預(yù)測(cè)值存在一個(gè)變量列表fitted中?？梢杂胮lot()函數(shù)繪制原始數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)值的圖形查看預(yù)測(cè)效果。使用格式：HoltWinters(x,

alpha

=

NULL,

beta

=

NULL,

gamma

=

NULL,seasonal

=

c("additive",

"multiplicative"),start.periods

=

2,

l.start

=

NULL,

b.start

=

NULL,s.start

=

NULL,optim.start

=

c(alpha

=

0.3,

beta

=

0.1,

gamma

=

0.1),optim.control

=

list())其中，x為時(shí)間序列對(duì)象；alpha、beta、gama都是HoltWinters算法的過(guò)濾系數(shù)。beta和gama是Holt指數(shù)平滑法或Winters指數(shù)平滑法的參數(shù)。如果beta設(shè)置為FALSE，該函數(shù)將做指數(shù)平滑；如果gama指定為

FALSE，那么該函數(shù)適用于擬合非季節(jié)性模型；如果gama與beta同時(shí)指定為FALSE，那么該函數(shù)適用于簡(jiǎn)單指數(shù)平滑模型；通過(guò)seasonal參數(shù)選擇”additive"或"multiplicative"季節(jié)性模型，默認(rèn)選擇”additive”而僅在gamma非零時(shí)生效；start.period是用于x對(duì)象的frequency自動(dòng)檢測(cè)，不能小于2；l.start、b.start、s.start分別表示啟動(dòng)值、趨勢(shì)值和季節(jié)分量的初始值；optim.start設(shè)置向量命名的組件alpha、beta、gamma包含優(yōu)化的初始值，必須指定唯一需要的值，在只使用alpha、beta、gamma中的一個(gè)參數(shù)時(shí)忽略本參數(shù)。HoltWinters()函數(shù)僅得到預(yù)測(cè)模型，如果要對(duì)未來(lái)的時(shí)間做預(yù)測(cè)，需要調(diào)用forecast()函數(shù)。其他時(shí)間序列模型eta

=

TRUE,

gamma

=

TRUE)s1110.763889s2159.805556s3130.597222s446.722222s5-3.069444s6206.388889s7-4.444444s8

-195.236111s9

-205.611111s10

-181.361111s11

-90.694444s12

26.138889plot(hw.sales)該餐館的營(yíng)業(yè)數(shù)據(jù)存在明顯的趨勢(shì)性與季節(jié)性。因此可以采用Winters線性和季節(jié)性指數(shù)平滑法進(jìn)行建模預(yù)測(cè)。hw.sales

=

HoltWinters(sales,alpha

=

TRUE,beta

=

TRUE,

gamma

=TRUE)hw.salesHolt-Winters

exponential

smoothing

with

trend

and

additive

seasonalcomponent.Call:HoltWinters(x

=

sales,

alpha

=

TRUE,

bSmoothing

parameters:alpha:

TRUEbeta

:

TRUEgamma:

TRUECoefficients:[,1]a

4790.861111b

-54.833333餐飲營(yíng)業(yè)額Winters模型擬合圖其他時(shí)間序列模型建模并對(duì)模型的殘差進(jìn)行自相關(guān)檢驗(yàn)與白噪聲檢驗(yàn)。>library(forecast