2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《數(shù)列中的奇偶項的問題》教學(xué)設(shè)計

2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《數(shù)列中的奇偶項的問題》教學(xué)設(shè)計晉江市內(nèi)坑中學(xué)吳小明教學(xué)內(nèi)容分析數(shù)列中的奇偶項問題在近幾年高考中都有出現(xiàn)，它是在數(shù)列中考察分類討論思想的一種載體。本課就數(shù)列中的奇偶項問題的類型及解法進行探討。學(xué)情分析班級的學(xué)生之間的基礎(chǔ)差異大，而學(xué)生要掌握的基礎(chǔ)知識與方法又很多，因此對于學(xué)生來說這節(jié)課是有難度的，因此引導(dǎo)學(xué)生選擇解題方法來解決問題，則更需要進一步的復(fù)習(xí)與鞏固。教學(xué)目標掌握數(shù)列中奇偶項問題的基本策略：“升降標法”、“賦n為奇偶法”，并項求和法、分組求和法，分類討論思想。掌握求數(shù)列中與奇偶項問題相關(guān)的數(shù)列的通項和前n項和的方法發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教學(xué)方法探究式教學(xué)、講練結(jié)合教學(xué)重難點教學(xué)重點：數(shù)列中與奇偶項問題相關(guān)的數(shù)列的通項和前n項和的方法教學(xué)難點：數(shù)列的綜合問題教學(xué)過程知識回顧復(fù)習(xí)求數(shù)列通項公式及前n項和的方法【設(shè)計意圖】：為本節(jié)課的教學(xué)做知識的準備展示問題，求解訓(xùn)練題型一、含有（?1）n例1、已知數(shù)列是正項等比數(shù)列，滿足是、的等差中項，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【設(shè)計意圖】本題是數(shù)列的綜合問題，引導(dǎo)學(xué)生對（-1）n(一次函數(shù)）型數(shù)列求和問題開拓解題思路，能一題多解?！窘馕觥浚?）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為是、的等差中項，所以，即，因為，所以，解得或，因為數(shù)列是正項等比數(shù)列，所以．因為，即，解得，所以；（2）解法一：（分奇偶、并項求和法）由（1）可知，，所以，，①②若為奇數(shù)，，綜上得（或，）；閱讀材料,解法二：（錯位相減法）由（1）可知，，所以，，，所以所以，所以，．解法3：分組求和法，S=S奇+S偶【歸納小結(jié)】：求分段數(shù)列的前n項和常用的方法有分組求和法：分別求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，利用,通常要討論n=2k和n=2k-1兩種情況。B.并項求和法：把a2k-1+a2k看成一項，先求出S2k,再利用變式1、已知數(shù)列{bn}的通項公式為,求{bn}前n項和Tn.【設(shè)計意圖】本題是（-1）n(二次函數(shù)）型，讓學(xué)生掌握這類題型的解法。解：當為偶數(shù)時：.當為奇數(shù)時：綜上得.例2：若數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式.【設(shè)計意圖】本題本質(zhì)上還是分段數(shù)列問題，已知數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項公式，使學(xué)生掌握用升降標法、賦n奇偶法求通項公式。解法1：(升降標法、賦n奇偶法）閱讀材料，解法2：構(gòu)造法【歸納小結(jié)】：求分段數(shù)列通項公式常用方法有：A、升降標法：原式設(shè)為①式，把n用n+1或n-1替代得到②式，兩式相減（或 相除）。B、賦n奇偶法：將n分別用2k-1或2k+1或2k替代，得到兩個方程，兩式相減（或相加等），可得到間隔項之間的關(guān)系式，從而求出a2k-1,a2k的通項，最后通項用n表示。,解：題型三、分段數(shù)列的問題例3.（2021年新高考I卷第17題）例3.已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列通項公式；（2）求的前20項和.【設(shè)計意圖】：讓學(xué)生掌握分段數(shù)列的求和方法.【解析】（1）由題設(shè)可得又，，故，即，即所以為等差數(shù)列，故.（2）所以所以數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項都構(gòu)成公差為3的等差數(shù)列解法1：分組求和法解法2：（并項求和法），【設(shè)計意圖】：讓學(xué)生掌握分段數(shù)列的通項的表述方法。變式3、已知數(shù)列的通項為求數(shù)列{cn}的前n項和Pn.【設(shè)計意圖】本題在例1的基礎(chǔ)上，直接給出分段數(shù)列的通項公式求前n項和，提升學(xué)生的分類討論能力。解：當n為偶數(shù)時，Pn＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)=[4+12+20+...+4(n-1)]+(3×2+3×23+3×25+...+3×2n-1）當n為奇數(shù)時，n+1為偶數(shù)，Pn＝Pn+1—cn+1＝2(n+1)＋1＋(n+1)2－2—3.2(n+1—1)＝2n＋n2＋2n－1，∴.（三）課堂小結(jié)，能力升華本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？求分段數(shù)列通項公式常用方法有：A、.升降標法：原式設(shè)為①式，把n用n+1或n-1替代得到②式，兩式相減（或 相除）。B.賦n奇偶法：將n分別用2k-1或2k+1或2k替代，得到兩個方程，兩式相減（或 相加等），可得到間隔項之間的關(guān)系式，從而求出a2k-1,a2k的通項，最后通 項用n表示。求分段數(shù)列的前n項和常用的方法有分組求和法：分別求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，利用,通常要討論n=2k和n=2k-1兩種情況。B.并項求和法：把a2k-1+a2k看成一項，先求出S2k,再利用（四）課后作業(yè)，鞏固提升 1.數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝(－1)n(2n－1)，則{an}的前60項的和為()－1710B．－1740C．－1770D．－1880解：數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝(－1)n(2n－1)，當n為奇數(shù)時，有an＋1＋an＝－(2n－1)，其中當n＝1時，有a2＋a1＝－1，當n＝3時，有a4＋a3＝－5，當n＝5時，有a6＋a5＝－9，當n＝59時，有a60＋a59＝－(2×59－1)＝－117，則{an}的前60項和S60＝(a2＋a1)＋(a4＋a3)＋…＋(a60＋a59)＝(－1)＋(－5)＋…＋(－117)＝－(1＋5＋9＋…＋117)＝－eq\f(1＋117×30,2)＝－1770.故選C.變式設(shè)問：若已知首項為1，你能求出S21嗎？解析：【設(shè)計意圖】啟發(fā)學(xué)生思維，提升分析問題解決問題的能力。【設(shè)計意圖】需要同時賦n為2k-1和2k+1和2k，開拓學(xué)生的思維3、已知數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，成立．（1），求數(shù)列通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）在中令得．因為對任意正整數(shù)，成立，所以，兩式相減得，所以，又，所以為等比數(shù)列，所以，所以．（2）當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，．所以．【設(shè)計意圖】可用裂項相消元的含（-1）n的類型，拓展解題思路4、已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S3＝7a1，且a1，a2＋2，a3成等差數(shù)列．(1)求{an}的通項公式；(2)若bn＝EQ\B\lc\{(\a\al(\l(a\S\DO(n)，n為奇數(shù)，),\l(n，n為偶數(shù)，)))求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【解析】(1)因為數(shù)列{an}為正項等比數(shù)列，記其公比為q，則q＞0．因為S3＝7a1，所以eqa\s\do(1)＋a\s\do(2)＋a\s\do(3)＝7a\s\do(1)，即a3＋a2－6a1＝0，因此q2＋q－6＝0，解得q＝2或－3，從而q＝2．又a1，a2＋2，a3成等差數(shù)列，所以2(a2＋2)＝a1＋a3，即2(2a1＋2)＝a1＋4a1，解得a1＝4．因此eqa\s\do(n)＝4×2\s\up6(n－1)＝2\s\up6(n＋1)．(2)因為bn＝EQ\B\lc\{(\a\al(\l(a\S\DO(n)，n為奇數(shù)，),\l(n，n為偶數(shù)，)))所以eqT\s\do(2n)＝(b\s\do(1)＋b\s\do(3)＋…＋b\s\do(2n－1))＋(b\s\do(2)＋b\s\do(4)＋…＋b\s\do(2n))eq＝(a\s\do(1)＋a\s\do(3)＋…＋a\s\do(2n－1))＋(2＋4＋…＋2n)eq＝(2\s\up6(2)＋2\s\up6(4)＋…＋2\s\up6(2n))＋(2＋4＋…＋2n)eq＝4×\f(1－4n,1－4)＋\f((2＋2n)n,2)eq＝n\s\up6(2)＋n＋\f(4\s\up6(n＋1)－4,3)．【設(shè)計意圖】讓學(xué)生掌握分組求和法求和5．【2020年海南卷18】已知公比大于1的等比數(shù)列{an}（1）求{a（2）求a1【答案】（1）an=(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>1)，則a整理可得：2q∵q>1,q=2,a數(shù)列的通項公式為：an(2)由于：?1n?1故：a=2=2【