高考人教版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案第七章第五講直線平面垂直的判定與性質(zhì)

第五講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)知識梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)知識點一直線與平面垂直(1)直線與平面垂直①定義：若直線l與平面α內(nèi)的__任意__一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．②判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條__相交__直線都垂直，則該直線與此平面垂直(線線垂直?線面垂直)．即：a?α，__b?α__，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P?l⊥α．③性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線__平行__．即：a⊥α，b⊥α?__a∥b__．(2)直線與平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的__銳角__，叫做這條斜線和這個平面所成的角．若直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，直線與平面所成角為__0__，若直線與平面垂直，直線與平面所成角為__eq\f(π,2)__．②線面角θ的范圍：θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．知識點二平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線出發(fā)的__兩個半平面__所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作與棱__垂直__的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．③二面角θ的范圍：θ∈[0，π]．(2)平面與平面垂直①定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是__直二面角__，就說這兩個平面互相垂直．②判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．即：a?α，a⊥β?__α⊥β__．③性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于__交線__的直線與另一個平面垂直．即：α⊥β，a?α，α∩β＝b，a⊥b?__a⊥β__．eq\x(歸)eq\x(納)eq\x(拓)eq\x(展)1．若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．2．若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法)．3．垂直于同一條直線的兩個平面平行．4．一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α．(×)(2)垂直于同一個平面的兩平面平行．(×)(3)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b．(√)(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α．(×)(5)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．(√)(6)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β．(×)題組二走進教材2．(必修2P73T1)下列命題中不正確的是(D)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β[解析]對于D，若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)的直線可能不垂直于平面β，即與平面β的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面β內(nèi)，其他選項均是正確的．題組三走向高考3．(2017·課標(biāo)全國Ⅲ)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則(CA．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC[解析]∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又BC1⊥B1C，且B1C∩A1B1＝B∴BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，∴BC1⊥A1E．故選C．4．(2019·北京)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__若l⊥α，l⊥m，則m∥α．(或若l⊥α，m∥α，則l⊥m)__．[解析]由l，m是平面α外的兩條不同直線，及線面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，則m∥α，若l⊥α，m∥α，則由線面垂直的性質(zhì)和線面平行的性質(zhì)得l⊥m，∴若l⊥α，m∥α，則l⊥m，故答案為：若l⊥α，l⊥m，則m∥α．(或若l⊥α，m∥α，則l⊥m)．5．(2020·全國Ⅱ(節(jié)選))如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點．過B1C1和P的平面交AB于E證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C[證明]∵M，N分別為BC，B1C1的中點，∴MN∥BB又AA1∥BB1，∴MN∥AA1在等邊△ABC中，M為BC中點，則BC⊥AM．又∵側(cè)面BB1C1C為矩形，∴BC∵MN∥BB1，MN⊥BC由MN∩AM＝M，MN，AM?平面A1AMN∴BC⊥平面A1AMN又∵B1C1∥BC，且B1C1?平面BC?平面ABC，∴B1C1∥平面又∵B1C1?平面EB1且平面EB1C1F∩平面∴B1C1∥EF，∴EF∥又∵BC⊥平面A1AMN∴EF⊥平面A1AMN∵EF?平面EB1∴平面EB1C1F⊥平面A考點突破·互動探究考點一空間垂直關(guān)系的基本問題——自主練透例1(1)(2021·河北保定七校聯(lián)考)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，p：m⊥n，若p是q的必要條件，則q可能是(B)A．q：m⊥α，n∥β，α⊥β B．q：m?α，n⊥β，α∥βC．q：m⊥α，n⊥β，α∥β D．q：m?α，n∥β，α⊥β(2)(2020·陜西漢中質(zhì)檢一)已知l，m表示兩條不同的直線，α，β表示兩個不同的平面，l⊥α，m?β，則有下面四個命題：①若α∥β，則l⊥m，②若α⊥β，則l∥m；③若l∥m，則α⊥β；④若l⊥m，則α∥β．其中所有正確的命題是(A)A．①③ B．①④C．②③ D．①②③④(3)(2021·四川成都診斷)已知α，β是空間中兩個不同的平面，m，n是空間中兩條不同的直線，則下列說法正確的是(C)A．若m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥nB．若m∥α，n∥β，且α⊥β，則m∥nC．若m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥nD．若m⊥α，n∥β，且α⊥β，則m⊥n[解析](1)由題知q能推出p：m⊥n．對A，當(dāng)m∥n時仍然可以有m⊥α，n∥β，α⊥β．故A錯誤．對B，n⊥β，α∥β，則n⊥α，又m?α，則m⊥n．故B正確．對C，m⊥α，α∥β則m⊥β，又n⊥β，故m∥n．故C錯誤．對D，當(dāng)α⊥β且相交于m時，若n∥m，也滿足m?α，n∥β．故D錯誤．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(2l⊥α,α∥β))?l⊥β,m?β))?l⊥m，①對；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,l⊥α))?m⊥α,m?β))?α⊥β，③對；由圖可知②④錯．故選A．(3)由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m與n相交，或m與n異面，故A錯誤；由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m與n相交或m與n異面，故B錯誤；由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，則m⊥n，故C正確；由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m與n相交或m與n異面，故D錯誤，故選C．名師點撥解決空間中線面、面面垂直的問題有以下三種方法：(1)依據(jù)相關(guān)定理得出結(jié)論．(2)結(jié)合符合題意的模型(如構(gòu)造正方體、長方體)作出判斷，或借助筆、紙、桌面進行演示，注意能平移或旋轉(zhuǎn)的線，讓其動動再判斷．(3)否定命題時只需舉一個反例即可．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(2021·東北三省三校模擬)已知α，β是不重合的平面，m，n是不重合的直線，則m⊥α的一個充分條件是(C)A．m⊥n，n?α B．m∥β，α⊥βC．n⊥α，n⊥β，m⊥β D．α∩β＝n，α⊥β，m⊥n(2)(2021·福建福州調(diào)研)已知兩條直線m，n和兩個平面α，β，下列命題正確的是(A)A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥βC．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，則α⊥βD．若m⊥α，n∥β，且m∥n，則α∥β[解析](1)對于答案A：m⊥n，n?α，得出m與α是相交的或是垂直的或m?α，故A錯；答案B：m∥β，α⊥β，得出m與α是相交的、平行的都可，故B錯；答案C：n⊥α，n⊥β，得出α∥β，再m⊥β得出m⊥α，故C正確．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(2m⊥α,m⊥n))?n?α或n∥α．若n?α，又n⊥β，∴α⊥β；若n∥α，則存在l?α且l∥n，又n⊥β，∴l(xiāng)⊥β，∴α⊥β，故A正確；事實上，在B中條件下，α、β可能相交；在C中條件下，α、β可能平行；在D的條件下，α⊥β，故選A．考點二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)——多維探究角度1線、面垂直的判定例2如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD．[證明]解法一：(1)連接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N為PC中點．∴AN＝eq\f(1,2)PC．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC．又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．從而在Rt△PBC中，BN為斜邊PC上的中線，∴BN＝eq\f(1,2)PC．∴AN＝BN，∴△ABN為等腰三角形．又M為底邊AB的中點，∴MN⊥AB，又AB∥CD，∴MN⊥CD．(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．又∠PDA＝45°，∴AP＝AD．∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC，∴PA＝BC．連接PM，CM，又∵M為AB的中點，∴AM＝BM．而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴Rt△PAM≌Rt△CBM．∴PM＝CM，又N為PC的中點，∴MN⊥PC．由①知MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD．解法二：(理)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥AB，又AB⊥AD，∴PA、AB、AD兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)C(a，b,0)，P(0,0，c)，則D(0，b,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)，\f(c,2)))，(1)由eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,2)，\f(c,2)))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－a,0,0)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，∴MN⊥CD．(2)∵∠PDA＝45°，∴b＝c，又eq\o(PC,\s\up6(→))＝(a，b，－b)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,2)，\f(b,2)))·(a，b，－b)＝0，∴MN⊥PC，又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD．角度2線、面垂直的性質(zhì)例3(2021·河北“五個一聯(lián)盟”聯(lián)考，節(jié)選)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1⊥平面AA1C1C，D是AA1的中點，△ACD是邊長為1的等邊三角形．證明：CD⊥[證明]∵△ACD是邊長為1的等邊三角形，∴∠ADC＝60°，∠DA1C1＝120°∵D是AA1的中點，△ACD的邊長為1，∴AD＝A1D＝A1C1＝1，即△A1C1∴∠A1DC1＝30°，從而∠CDC1＝90°，即CD⊥C1D．∵B1C1⊥平面AA1C1C，且CD?∴B1C1⊥CD∵B1C1∩C1D＝C1，B1C1?平面B1C1D，C1D?平面B1∴CD⊥平面B1C1D∵B1D?平面B1C1D，∴CD⊥B1D名師點撥1．證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系．(2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)．(3)利用勾股定理的逆定理．(4)利用直線與平面垂直的性質(zhì)．(5)(理)向量法：a⊥b?a·b＝0．2．證明線面垂直的常用方法(1)利用判定定理，它是最常用的思路．(2)利用線面垂直的性質(zhì)：若兩平行線之一垂直于平面，則另一條線必垂直于該平面．(3)利用面面垂直的性質(zhì)：①兩平面互相垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一平面．②若兩相交平面都垂直于第三個平面，則它們的交線垂直于第三個平面．(4)向量法：證明直線的方向向量與平面的法向量平行．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)(2020·河南六市一模)在如圖所示的幾何體中，ABC－A1B1C1為三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四邊形ABCD為平行四邊形，AD＝2CD．∠ADC＝60°，若AA1＝AC，求證：AC1⊥平面A1B1CD(2)(角度2)(2021·湖南炎德英才大聯(lián)考，節(jié)選)如圖，圓柱OQ的上，下底面圓的圓心分別為Q，O，四邊形ABCD是圓柱OQ的軸截面，點P在圓柱OQ的下底面圓周上，G是DP的中點，圓柱OQ的底面圓的直徑AB＝4，母線AD＝AP＝2eq\r(3)．求證：AG⊥BD．[證明](1)證法1：∵AD＝2CD，∠ADC＝60°，∴DC⊥AC，又AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥DC．∴DC⊥平面AA1C1C，又AC1?平面∴DC⊥AC1，∵AA1＝AC，∴四邊形AA1C1C為菱形，∴AC1⊥而DC∩A1C＝C，∴AC1⊥平面A1B1CD證法2：(理)∵AD＝2CD，∠ADC＝60°，∴∠ACD＝90°，則CD，CA，CC1兩兩垂直．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz．不妨設(shè)CD＝1，則C(0,0,0)，D(1,0,0)，A(0，eq\r(3)，0)，C1(0,0，eq\r(3))，A1(0，eq\r(3)，eq\r(3))．∴eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(3)，eq\r(3))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(CA1,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，eq\r(3))．易得eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(CA1,\s\up6(→))＝0．∴AC1⊥CD，AC1⊥CA1，又∵CD∩CA1＝C，∴AC1⊥平面A1B1CD．(2)證法1：∵AD＝AP，又G是DP的中點，∴AG⊥DP．①∵AB為圓O的直徑，∴AP⊥BP，易知DA⊥底面ABP，∴DA⊥BP，而AD∩AP＝A，∴BP⊥平面ADP，又AG?平面ADP，∴BP⊥AG，②∴由①②可知：AG⊥平面BDP，又BD?平面BDP，∴AG⊥BD．證法2：(理)∵AB為⊙O的直徑，∴PA⊥PB，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意知P(0,0,0)，A(0,2eq\r(3)，0)，B(2,0,0)，D(0,2eq\r(3)，2eq\r(3))，G(0，eq\r(3)，eq\r(3))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(3)，eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2,2eq\r(3)，2eq\r(3))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，即AG⊥BD．考點三,兩個平面垂直的判定與性質(zhì)——師生共研例4(2020·四川成都二診)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6，E，F(xiàn)分別為BB1，AC的中點．(1)求證：平面A1EC⊥平面ACC1A1(2)求幾何體AA1EBC的體積．[解析](1)證明：如圖，連接AC1交A1C于點O，連接OE，OF，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，四邊形ACC1A1為矩形，所以O(shè)A＝又因為F為AC的中點，所以O(shè)F∥CC1且OF＝eq\f(1,2)CC1．因為E為BB1的中點，所以BE∥CC1且BE＝eq\f(1,2)CC1．所以BE∥OF且BE＝OF．所以四邊形BEOF是平行四邊形，所以BF∥OE．因為AB＝CB，F(xiàn)為AC的中點，所以BF⊥AC，所以O(shè)E⊥AC．因為AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BF，所以O(shè)E⊥AA1．又AA1，AC?平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A所以O(shè)E⊥平面ACC1A1因為OE?平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1(2)四棱錐A1－EB1C1C的高為h＝4sin60°＝2eq\r(3)，底面為直角梯形，面積為S＝eq\f(1,2)×(3＋6)×4＝18，得VA1－EB1C1C＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×18＝12eq\r(3)，故幾何體AA1EBC的體積為VAA1EBC＝VABC－A1B1C1－VA1－EB1C1C＝eq\f(1,2)×4×4×eq\f(\r(3),2)×6－12eq\r(3)＝12eq\r(3)．例5(2021·黑龍江大慶市質(zhì)檢)在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝2，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，E是AD的中點．(1)求證：BE⊥平面PAD；(2)求點E到平面PAB的距離．[解析](1)連接BD，在△PAD中，PA＝PD＝2，E是AD的中點，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BE，又∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∴BE⊥AD，又∵PE∩AD＝E，PE?平面PAD，AD?平面PAD，∴BE⊥平面PAD．(2)在△PAB中，PA＝AB＝2，PB＝eq\r(6)，則S△PAB＝eq\f(\r(15),2)，在△ABE中，AB＝2，AE＝1，BE＝eq\r(3)，則S△ABE＝eq\f(\r(3),2)，由PE⊥面ABCD，PE＝eq\r(3)，得VP－ABE＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(1,2)，由VP－ABE＝VE－PAB，設(shè)點E到平面PAB的距離為h，則eq\f(1,3)×eq\f(\r(15),2)×h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)，則h＝eq\f(\r(15),5)，即點E到平面PAB的距離為eq\f(\r(15),5)．名師點撥(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．(2)在已知面面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化．在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．(3)〔變式訓(xùn)練3〕(1)(2020·湖南婁底模擬)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝eq\f(π,3)，側(cè)面PAD是等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E為棱PC上一點，若平面EBD⊥平面ABCD，則eq\f(PE,EC)＝__eq\f(1,2)__．(2)(2021·云南玉海一中期中)已知三棱錐P－ABC(如圖1)的展開圖如圖2，其中四邊形ABCD為邊長等于eq\r(2)的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形．證明：平面PAC⊥平面ABC．[解析](1)取AD的中點O，連接OC交BD于F點，連接EF，∵△PAD是等邊三角形，∴PO⊥AD，∵OD∥BC，BC＝2OD，∴FC＝2OF．又∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，又∵平面BDE⊥平面ABCD，∴PO∥平面BDE．∴OP∥EF，∴eq\f(PE,EC)＝eq\f(OF,FC)＝eq\f(1,2)．故答案為eq\f(1,2)．(2)證明：如圖取AC的中點O，連接BO，PO．由題意可知PA＝PB＝PC＝eq\r(2)，∴PO＝1，AO＝BO＝CO＝1，∵在△PAC中，PA＝PC，O為AC的中點，∴PO⊥AC．∵在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝eq\r(2)，∴PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OB．∵AC∩OB＝O，AC，OB?平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．名師講壇·素養(yǎng)提升立體幾何中的軌跡問題例6(2021·山東青島模擬改編)在如圖所示的棱長為1的正方體ABCD－A