高中數(shù)學培優(yōu)講義練習（選擇性必修一）：直線和圓的方程全章綜合測試卷（提高篇）（教師版）

第二章直線和圓的方程全章綜合測試卷-提高篇參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022·全國·高二課時練習）如圖，已知直線PM、QP、QM的斜率分別為k1、k2、k3，則k1、k2A．k1<k2<k3 B．【解題思路】首先判斷三條直線的傾斜角，進而根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可得出結(jié)論..【解答過程】由于直線PM的傾斜角為鈍角，QP、QM的傾斜角為銳角，當傾斜角為銳角時，斜率為正，即k3>0,k又因為傾斜角為0,π2時，傾斜角越大，斜率越大，即所以k1故選：B.2．（5分）（2022·江西省高一階段練習（理））已知A?1,2,B4,7，若過點C2,0的直線與線段A．?∞,?2C．?32，【解題思路】數(shù)形結(jié)合，計算kAC【解答過程】如圖所示，過點C的直線與線段AB相交，kAC=2?0又因為該直線與x軸垂直時，斜率不存在，所以過點C與線段AB相交的直線斜率取值范圍為?∞故選：A.3．（5分）（2023·全國·高三專題練習）已知直線l1：ax?y+1=0A．不論a為何值時，l1與lB．當a變化時，l1與l2分別經(jīng)過定點A(0，C．不論a為何值，l1與l2都關(guān)于直線D．如果l1與l2交于點M，O【解題思路】根據(jù)直線垂直的條件可判斷A;求出直線l1與l2所過的定點，可判斷B；在l1上任取點(x,ax+1)，求出其關(guān)于直線x+y=0的對稱點，判斷是否滿足l2方程，判斷C;求出l1與l【解答過程】對于A，a×1+(?1)×a=0恒成立，l1與l對于B，直線l1：ax?y+1=0，當a所以l1恒過定點A(0l2：x+ay+1=0，當a變化時，x=?1，y=0對于C，在l1上任取點(x,ax+1)，a∈其關(guān)于直線x+y=0對稱的點的坐標為(?ax?1,?x)，代入l2：x+ay+1=0對于D，聯(lián)立ax?y+1=0x+ay+1=0,解得x=即M(?a?1所以|MO|=＝2a2+1所以MO的最大值是2，故D正確，故選C.4．（5分）（2022·河北·高二階段練習）過定點A的直線a+1x?y+2=0與過定點B的直線x+a+1y?4a?2=0交于點P(P與A?BA．2 B．22 C．2 【解題思路】根據(jù)方程可得定點A、B，并且可判斷兩直線垂直，然后利用基本不等式可得.【解答過程】動直線a+1x?y+2=0化為y=a+1x+2動直線x+a+1y?4a?2=0化為(a+1)(y?4)+x+2=0，可知定點又(a+1)×1?1×(a+1)=0所以直線a+1x?y+2=0與直線x+a+1y?4a?2=0∴PA⊥PB,∴PA則S△PAB=1即△PAB面積的最大值為2.故選：C.5．（5分）（2022·河北保定·高二階段練習）如圖，已知兩點A(11,0),B0,112，從點P(1,0)射出的光線經(jīng)直線AB上的點M反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB上的點N反射后又回到點P，則直線MNA．4x?3y?3=0 B．4x+3y+4=0C．3x?4y+3=0 D．4x?3y+4=0【解題思路】分別求出點P關(guān)于直線x+2y?11=0與y軸的對稱點，從而得到結(jié)果.【解答過程】由題意易得AB所在的直線方程為x+2y?11=0，設點P關(guān)于直線AB:x+2y?11=0的對稱點A1則b?0a?1×(?12)=?1點P關(guān)于直線AB對稱的點為A1(5,8)，點P關(guān)于y軸對稱的點為直線MN即直線A1A2，則直線MN的方程為y=故選：D.6．（5分）（2022·河南開封·高二階段練習）關(guān)于x的方程1?x2=mx+1(m∈R)A．[?1,1] B．(?1,1) C．[?1,0)∪(0,1] D．(0,1]【解題思路】將問題轉(zhuǎn)化為直線y=mx+1(m∈R)與x2+y【解答過程】令y=1?x2且?1≤x≤1，則x只需恒過(0,1)的直線y=mx+1(m∈R)與x2如上圖，當y=mx+1與半圓相切時11+m2當y=mx+1過(?1,0)時，m=1，當y=mx+1過(1,0)時，m=?1，綜上，m∈[?1,0)∪(0,1].故選：C.7．（2022·全國·高二單元測試）阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比MQMP=λλ>0,λ≠1，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為x2+y2=1，定點Q為x軸上一點，P?A．6 B．7 C．10 D．11【解題思路】根據(jù)點M的軌跡方程可得Q?2,0，結(jié)合條件可得2【解答過程】設Qa,0，Mx,y，所以又P?12因為MQMP=λ且λ=2，所以整理可得x2又動點M的軌跡是x2所以4+2a3=0a所以Q?2,0，又MQ所以2MP+MB所以2MP+MB故選：C．8．（5分）（2022·全國·高二課時練習）在一個半圓中有兩個互切的內(nèi)切半圓，由三個半圓弧圍成“曲線三角形”，作兩個內(nèi)切半圓的公切線把“曲線三角形”分隔成兩塊，且被分隔的這兩塊中的內(nèi)切圓是同樣大小的，如圖，若AC=2CB，則陰影部分與最大半圓的面積比為（

）A．1081 B．2081 C．49【解題思路】設BC=2r，則AC=4r，AB=6r，建立直角坐標系，根據(jù)已知條件求出各點坐標，由圓O與圓O3內(nèi)切，解得a=23r，由圓O與圓【解答過程】設BC=2r，則AC=4r，AB=6r，以C為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，則C（0，0），O1?2r,0，O?r,0設O3?a,t，O（圓O1，O3外切與勾股定理結(jié)合），得t=22ar由圓O與圓O3內(nèi)切，得?a+r2+同理r+b2?r?b2=得v=2br，由圓O與圓O4內(nèi)切，得解得b=23r．設陰影部分的面積為SS1所以S1故選：B.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2022·江蘇省高二階段練習）使方程x2+y2?ax+2ay+2A．?2 B．0 C．?1 D．3【解題思路】配方后，利用半徑的平方大于0，得到不等式，解不等式求出實數(shù)a的取值范圍.【解答過程】x2x?a要想表示圓，則?3解得：?2<a<2故選：BC.10．（5分）（2022·遼寧·高二開學考試）已知直線l1：x+ay?a=0和直線l2：ax?2a?3A．若l1∥l2，則a=1或?3 B．若l2在C．若l1⊥l2，則a=0或2 D．若l1∥【解題思路】由兩直線平行，即可求出a=?3，則可判斷出A選項，結(jié)合兩直線的距離公式即可判斷出D選項；由l2在x軸和y軸上截距相等等價于l2過原點或其斜率為?1，即可列出等式，解出a=0或2，則可判斷出B選項；由兩直線垂直，即可求出【解答過程】若l1∥l2，由1×3?2a經(jīng)檢驗當a=1時，l1，l2重合，當a=?3時，所以a=?3，故A錯誤；若l2在x軸和y軸上截距相等，則l2過原點或其斜率為?1，則a?2=0或a2a?3=?1，則若l1⊥l2，則當l1∥l2時，a=?3，則l1：x?3y+3=0即l2：x?3y+53=0，則l1故選：CD．11．（5分）（2022·廣東廣州·一模）已知點A(0,2)，B(1,1)，且點P在圓C：(x?2)2+y2=4A．|PA|?|PB|的最大值為2B．以AC為直徑的圓與圓C的公共弦所在的直線方程為：x?y=0C．當∠PAB最大時，△PAB的面積為2D．△PAB的面積的最大值為2【解題思路】依題意畫出圖象，判斷出B在圓內(nèi)，當P為射線BC與圓C的交點時，|PA|?|PB|取得最大值AB，即可判斷A；求出以AC為直徑的圓再兩圓方程作差，即可求出公共弦所在直線方程，即可判斷B，當AP與圓C相切時，∠PAB最大，求出三角形的面積，即可判斷C，求出直線AB的方程，可得C在AB上，即可得到P到AB的距離最大值，再求出AB，即可判斷D.【解答過程】解：圓C：(x?2)2+y2=4的圓心為C2,0，半徑r=2，又所以當P為射線BC與圓C的交點時，|PA|?|PB|取得最大值AB=因為B點恰好是A、C的中點，且AC=22+2所以以AC為直徑的圓與圓C的公共弦所在的直線方程為(x?2)2整理得x?y=0，故B正確；當AP與圓C相切時，∠PAB最大，此時S△APB直線AB的方程為y=?x+2，又AB=0?12+2?1所以P到AB的距離最大值為r=2，所以S△PAB故選：ABD.12．（5分）（2022·全國·高三專題練習）已知圓C:x?22+y2=1，點P是直線l:x+y=0上一動點，過點P作圓C的切線PA，PB，切點分別是A．圓C上恰有一個點到直線l的距離為12 B．切線長PA的最小值為C．四邊形ACBP面積的最小值為2 D．直線AB恒過定點3【解題思路】由圓心C到直線l：x+y=0的距離為2，可判定A錯誤；由圓的切線長PA=PC2?1，可判定B錯誤；由四邊形ACBP的面積為S=2×12×【解答過程】由圓C:x?22+y2所以圓心C到直線l：x+y=0的距離為22因為2?1<12<2+1，故圓由圓的性質(zhì)，可得切線長PA=當PC最小時，PA達到最小，又PCmin=2由四邊形ACBP的面積為2×12×設Pt,?t，由題知A,B在以PC又由C2,0，所以x?t即x2因為圓C:x?22+兩圓的方程相減得直線AB:2?tx+ty?3+2t=0，即由2x?3=0x?y?2=0，解得x=32，y=?12故選：ABC．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2022·上海市高一期末）設直線l1、l2的斜率分別為k1、k2，傾斜角分別為α、β，若k1k【解題思路】由已知及k1k2=tanαtanβ得【解答過程】由α,β∈[0,π2)∪(π2若α>β，則α∈(π2,π),β∈(0,π2)，而同理α<β，可得β?α=π綜上，|α?β|=π2故答案為：π214．（5分）（2022·全國·高二課時練習）過點A(1,1)且斜率為?m(m>0)的直線l與x，y軸分別交于點P，Q，過點P，Q作直線2x+y=0的垂線，垂足分別為R，S，則四邊形PRSQ面積的最小值為185【解題思路】設出直線l的方程，即可分別求出點P、Q的坐標，進而求出直線PR和QS的方程，接著可求出點P和點Q到直線2x+y=0的距離以及直線PS和直線QR的距離RS，最后利用梯形的面積公式即可得到四邊形PRSQ面積的表達式，利用基本不等式即可求最值.【解答過程】由已知得直線l的方程為y?1=?m(x?1)，則P1+1m由此可得直線PR和QS的方程分別為x?2y?m+1m=0點P到直線2x+y=0的距離為|PS|=2+2m直線PS和直線QR的距離為RS=故S=1102當且僅當m=1m，即故答案為：18515．（5分）（2022·福建福州·高二期末）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為x2+(y+2)2≤3，若將軍從點A(?4，0)【解題思路】先求出點A(?4，0)關(guān)于直線x+y?1=0的對稱點A'【解答過程】設點A(?4，0)關(guān)于直線x+y?1=0的對稱點則AA'的中點為(a?4故ba+4?(?1)=?1a?4由x2+(y+2)要使從點A(?4，0)到軍營總路程最短，即為點A'“將軍飲馬”的最短總路程為12故答案為：5216．（5分）（2022·江蘇·高二開學考試）已知圓C：x－32＋y－42=4，直線l1上定點A1，0，若l1與圓相交于P，Q兩點線段PQ【解題思路】由條件通過聯(lián)立方程組求出M,N的坐標，結(jié)合兩點距離公式表示AM?【解答過程】過點A1，0的斜率不存在的直線為x=1，聯(lián)立x即直線x=1與圓C有且只有一個交點，與已知矛盾，過點A1，0的斜率為0的直線為y=0，聯(lián)立x－32＋所以直線l1斜率必定存在，且不為0，可設直線：l1:kx?y?k=0由x+2y+2=0,kx?y?k=0,得N又直線CM與l1垂直，所以得Mk所以|AM|?|AN|=k2==6.故答案為：6.四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2022·黑龍江·高二階段練習）經(jīng)過點P0,?1作直線l，且直線l與連接點A1,?2，B2,1的線段沒有公共點，求直線l的傾斜角α【解題思路】先求出l與線段AB相交時直線l的傾斜角的范圍與斜率范圍，再討論不相交的情況即可.【解答過程】解：因為kPA=?2?(?1)所以，當直線l與線段AB相交時，由圖可知，kPA≤k≤k所以0≤tanα≤1或由于y=tanx在0,π所以直線l的傾斜角α的范圍為：0,π故傾斜角的范圍為0,π4∪3π4所以，直線l與連接點A1,?2，B2,1的線段沒有公共點時，傾斜角的范圍為π4,3π18．（12分）（2022·全國·高二課時練習）求過兩圓x2+y2?4=0【解題思路】先聯(lián)立兩圓的方程，求出交點坐標1,3和1,?解法一：易得所求圓的圓心在x軸上，結(jié)合圓心在直線上可得圓心，進而求得半徑即可；解法二：設所求圓的方程為x2+y2?4+λ【解答過程】解法一：聯(lián)立得x2+y2?4=0所以點1,3和1,?3都在所求圓上，所以所求圓的圓心在又圓心在直線x?3y?6=0上，所以所求圓的圓心為（6，0），半徑所以所求圓的方程為x?62解法二：設所求圓的方程為x2整理得x2+y因為圓心2λ1+λ,0在直線x?3y?6=0上，所以所以所求圓的方程為x219．（12分）（2022·浙江寧波·高二期末）已知三條直線l1：2x?y+1=0，l2：3x+y?6=0，l3：kx?y+k+1=0(1)若l1，l2，l3(2)若l1，l2，l3(3)若l1，l2，l3【解題思路】(1)由二條已知直線求交點，代入第三條直線即可；(2)不能圍成一個三角形，l3(3)由直線互相垂直得，斜率之積為-1.【解答過程】(1)顯然l1，l2得交點(1,3)，由點(1,3)代入l3得所以當l1，l2，l3(2)l3過定點(?1，1)，因為l1，l2，l3不能圍成三角形，所以(1,3)∈l3，或所以k=1，或k=2，或k=?3.(3)顯然l1與l2不垂直，所以(1,3)?l3，且所以k的值為k=?12或20．（12分）（2022·全國·高二課時練習）在①直線BC的斜率為33；②直線AC的斜率為3已知以角A為頂角的等腰三角形ABC的頂點A?1,2(1)求直線AC的一般式方程；(2)求直線BC的一般式方程；(3)求角A的角平分線所在直線的一般式方程．【解題思路】先判斷出AB∥x軸，選①：根據(jù)斜率的定義數(shù)形結(jié)合可得AC的傾斜角為60°；選②：直線AC的斜率為3可推出得AC的傾斜角為60°，可得直線BC的傾斜角為30°或120°．（1）根據(jù)點斜式求解AC的方程，再化成一般式即可；（2）根據(jù)點斜式求解BC的方程，再化成一般式即可；（3）數(shù)形結(jié)合可得角A的角平分線所在直線的傾斜角，再根據(jù)點斜式求解，進而化簡成一般式即可.【解答過程】（1）因為A?1,2,B?3,2選①：直線BC的斜率為33，則直線BC的傾斜角為30°，因為△ABC是以角A為頂角的等腰三角形，所以直線AC因為A（－1，2），AC的傾斜角為60°，所以直線AC的方程為y?2=3x+1，其一般式方程為選②：直線AC的斜率為3，則直線AC的傾斜角為60°，因為△ABC是以角A為頂角的等腰三角形，所以直線BC的傾斜角為30°或120°，如圖所示：因為A（－1，2），AC的斜率為3，所以直線AC的方程為y?2=3其一般式方程為3x?y+2+（2）選①：因為B（－3，2），直線BC的傾斜角為30°，所以直線BC的方程為y?2=3其一般式方程為3x?3y+6+3選②：因為B（－3，2），直線BC的傾斜角為30°或120°，所以直線BC的方程為y?2=33x+3其一般式方程為3x?3y+6+33=0（3）選①：由（2）可知，角A的角平分線所在直線的傾斜角為120°，斜率為?3所以角A的角平分線所在直線的方程為y?2=?3其一般式方程為3x+y?2+選②：由題意可知，角A的角平分線所在直線的傾斜角為120°或30°，其斜率為?3或3所以角A的角平分線所在直線的方程為y?2=?3x+1或其一般式方程為3x+y?2+3=021．（12分）（2022·江西·高二開學考試）已知圓C過點A4,0，B0,4，且圓心C在直線l：(1)求圓C的方程；(2)若從點M4,1發(fā)出的光線經(jīng)過直線y=?x反射，反射光線l1恰好平分圓C的圓周，求反射光線(3)若點Q在直線l上運動，求QA【解題思路】（1）由題意可求線段AB的中垂線方程，聯(lián)立直線方程可得圓心，進而可得半徑與圓的方程；（2）由l1恰好平分圓C的圓周，得l1經(jīng)過圓心C，求點M關(guān)于直線y=?x的對稱點N，求出直線CN即為（3）由題意設點Q的坐標為m,6?m，根據(jù)兩點間距離公式可得QA【解答過程】