信號(hào)分析與數(shù)據(jù)處理

1數(shù)字信號(hào)處理多媒體教學(xué)課件武漢大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院《數(shù)字信號(hào)處理》教學(xué)組2前言《數(shù)字信號(hào)處理》是一門技術(shù)基礎(chǔ)課，主要介紹數(shù)字信號(hào)處理的基本原理和方法。通過本課程的學(xué)習(xí)掌握計(jì)算機(jī)應(yīng)用系統(tǒng)中信號(hào)處理的基本原理和數(shù)學(xué)描述，以及數(shù)字信號(hào)的一些基本處理方法。本課程的知識(shí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)多媒體技術(shù)、計(jì)算機(jī)控制技術(shù)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)和通信技術(shù)等打下基礎(chǔ)。教學(xué)內(nèi)容安排：教材1——8章，第9章自學(xué)，第10章簡(jiǎn)介。學(xué)習(xí)方法要點(diǎn)：（1）注意數(shù)學(xué)方法與物理意義的緊密結(jié)合。（2）掌握離散問題的分析方法和數(shù)學(xué)工具。（3）弄清時(shí)域分析與頻域分析的關(guān)系。教材：金子一、周利清、門愛東編著《數(shù)字信號(hào)處理基礎(chǔ)》北京郵電大學(xué)出版社2002、93數(shù)字信號(hào)處理多媒體教學(xué)系統(tǒng)版權(quán)所有：yuning2003。3第2版參考書目：

1．A.V.OppenheimandR.W.Shafer，DigitalSignalProcessing，（中譯本）董士嘉等譯，《數(shù)字信號(hào)處理》，科學(xué)出版社1980

2．何振亞，《數(shù)字信號(hào)處理的理論與應(yīng)用》，人民郵電出版社，1983

3．W．D．Stanley，DigitalSignalProcessing，（中譯本）?；刈g，《數(shù)字信號(hào)處理》，科學(xué)出版社，1979

4．顧福年胡光銳，《數(shù)字信號(hào)處理》習(xí)題解答，科學(xué)出版社，1983

(其余參考資料參見教材P215）課程教學(xué)環(huán)節(jié)包括：授課、作業(yè)、考核、實(shí)驗(yàn)和考試。4第1章引論本章主要介紹關(guān)于數(shù)字信號(hào)處理的一些基本概念和術(shù)語(yǔ)。1.1前言1.1.1信號(hào)處理的作用和意義

所謂信號(hào)處理廣義來(lái)說，就是人類在與自然界及人類社會(huì)接觸時(shí)，從接收到的各種信號(hào)中獲取信息的過程。（直接或通過其他機(jī)器設(shè)備，如計(jì)算機(jī)）

所謂信息廣義來(lái)說，就是對(duì)外界能感知，并可以作出反應(yīng)的實(shí)體（如人、動(dòng)物、植物、機(jī)器人等）對(duì)外界的感覺；對(duì)所接收的信號(hào)的理解。信號(hào)處理初級(jí)技術(shù)：感受信號(hào)；從信號(hào)中獲取有用信息。

高級(jí)技術(shù)：從信號(hào)中獲取更多、更深刻的信息，并且用信息去控制系統(tǒng)的工作，如機(jī)器人、人工視覺、語(yǔ)言識(shí)別等。5（1）信號(hào)的定義：信號(hào)是信息的載體，以某個(gè)物理量的變化形式出現(xiàn)。信號(hào)的數(shù)學(xué)表示：函數(shù)y=x(t)，y某個(gè)物理量，t自變量，如時(shí)間。離散信號(hào)：取樣信號(hào)（在離散的時(shí)間點(diǎn)上出現(xiàn)），數(shù)字信號(hào)（對(duì)取樣信號(hào)的值數(shù)字化表示）x(n)n1.1.2信號(hào)：x(t)t

（2）信號(hào)的分類：模擬信號(hào)：連續(xù)時(shí)間信號(hào)(在連續(xù)的時(shí)間范圍內(nèi)出現(xiàn)）6

（3）信號(hào)形式的變換：模擬信號(hào)取樣信號(hào)數(shù)字信號(hào)平滑濾波抽樣A/D變換量化D/A變換x(t)tx[n]nx(n)n問題：信號(hào)形式的變化，會(huì)不會(huì)引起信號(hào)所表示的信息的變化呢？

從計(jì)算機(jī)多媒體語(yǔ)音、數(shù)字CD音樂、數(shù)碼相機(jī)等等數(shù)字化的信息設(shè)備中不難得出結(jié)論?？梢詮臄?shù)字化信號(hào)得到原本信息。但是，信息的不變是不是有條件的？這個(gè)問題在本課程中要解決。（數(shù)字量16位2進(jìn)制PCM碼表示，如）10110111101010117（1）信號(hào)處理系統(tǒng)的定義：能反映輸入信號(hào)x(t)和輸出信號(hào)y(t)的因果關(guān)系的設(shè)備或運(yùn)算稱為信號(hào)處理系統(tǒng)。表示為：y(t)=f[x(t)]或x(t)y(t)，xyTT（2）系統(tǒng)特性：信號(hào)處理系統(tǒng)的系統(tǒng)特性用輸入信號(hào)x(t)和輸出信號(hào)y(t)的變換關(guān)系T說明。如果變換關(guān)系T不隨信號(hào)的變化（主要指幅度和時(shí)間）而變化，則該系統(tǒng)的特性是線性時(shí)不變的。（3）信號(hào)處理系統(tǒng)分類：模擬信號(hào)處理系統(tǒng)：輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間的變換由模擬電路完成；數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)：輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間的變換（處理運(yùn)算）由數(shù)字電路（或數(shù)字計(jì)算機(jī)軟件）完成。1.1.3信號(hào)處理系統(tǒng)：81.2數(shù)字信號(hào)處理1.2.1數(shù)字信號(hào)處理的一般過程

A/D

量化

抽樣

數(shù)字處理

D/A

變換

平滑濾波xa(t)xa(n)x(n)y(n)ya(t)ya(n)說明：（1）在自然界中大量的信號(hào)是模擬信號(hào)，所以數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)一般輸入為模擬信號(hào)xa(t)。（2）模擬信號(hào)xa(t)經(jīng)過抽樣處理得到離散信號(hào)xa(n)，再經(jīng)A/D量化得數(shù)字信號(hào)x(n)，輸入數(shù)字處理單元。（3）經(jīng)數(shù)字處理單元輸入數(shù)字信號(hào)x(n)變換成輸出數(shù)字信號(hào)y(n)。（4）輸出數(shù)字信號(hào)y(n)經(jīng)過D/A變換和平滑濾波得模擬信號(hào)ya(t)輸出。（5）因?yàn)橄到y(tǒng)中輸入、輸出信號(hào)之間的變換是由數(shù)字處理單元完成，所以該系統(tǒng)是數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)。

91.2.2數(shù)字信號(hào)處理的優(yōu)點(diǎn)（1）精度高：模擬系統(tǒng)中高精度模擬元件、電路精度只能達(dá)10-２～10-3

數(shù)字系統(tǒng)精度可達(dá)10-3～10-5，甚至更高（2）可靠性高：模擬系統(tǒng)信號(hào)容易受干擾，產(chǎn)生失真；二進(jìn)制的數(shù)字信號(hào)在傳輸、存儲(chǔ)、處理中不容易丟失信息。（3）靈活性強(qiáng)：模擬系統(tǒng)要改變系統(tǒng)特性一般要改變?cè)?、或改變電路連接，比較困難。數(shù)字系統(tǒng)中，特別是計(jì)算機(jī)數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)可以通過修改信號(hào)處理軟件參數(shù)，或運(yùn)行不同的程序模塊就可以進(jìn)行不同的處理?？梢院苋菀椎貙?shí)現(xiàn)多路信號(hào)的同時(shí)處理等要求。

另外，數(shù)字電路容易實(shí)現(xiàn)大規(guī)模集成電路；數(shù)字信號(hào)容易加密等等優(yōu)點(diǎn)也是數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)獲得廣泛應(yīng)用的原因。101.2.3數(shù)字信號(hào)處理的研究范圍

數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)由于數(shù)字計(jì)算機(jī)的應(yīng)用而得到廣泛地使用。數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)已廣泛地應(yīng)用到數(shù)字通信、電子測(cè)量、遙感遙測(cè)、生物醫(yī)學(xué)工程以及數(shù)字圖象技術(shù)、震動(dòng)分析等等領(lǐng)域，可以說數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)在各個(gè)生產(chǎn)、科學(xué)、技術(shù)領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用。本課程的研究范圍：（1）數(shù)字信號(hào)和數(shù)字系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述；（第2章）（2）數(shù)字信號(hào)的付氏變換及其快速算法；（第3、4章）（3）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)方法。（第5、6、7章）數(shù)字信號(hào)處理的兩個(gè)基本處理方法：（1）信號(hào)形式變化，以便獲取更多信息；（2）濾除信號(hào)無(wú)用成分，突出有用成分，以便取得有用信息。數(shù)字信號(hào)處理研究的核心問題就是如何從數(shù)字化信號(hào)中獲取信息。111.3有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)1.3.1

付氏變換物理含義：若函數(shù)x(t)表示信號(hào)，t——時(shí)間。則X(f)表示信號(hào)的頻譜，f——頻率?！穷l率。

12若x(t)是以T為周期的函數(shù)，則付氏變換可以用付立葉級(jí)數(shù)表示物理含義：若函數(shù)x(t)表示周期信號(hào)，t——時(shí)間。T——周期。則Cm表示信號(hào)的離散頻譜，f——頻率?！穷l率。13x(t)是以T為周期的矩形函數(shù)，則其付立葉級(jí)數(shù)表示為：基波（1次諧波）3次諧波5次諧波7次諧波……14對(duì)以T為周期的矩形波的正弦諧波疊加逐次逼近：1次諧波1、3次諧波1、3、5次諧波1、3、5、····、19次諧波1、3、5·····、39次諧波1、3、5、······、199次諧波1、3、5、······、1999次諧波151.3.2

特殊函數(shù)sinc(x)xrect(t)Tt1617數(shù)字信號(hào)處理多媒體教學(xué)系統(tǒng)版權(quán)所有：yuning2003。3第2版18數(shù)字信號(hào)處理多媒體教學(xué)系統(tǒng)版權(quán)所有：yuning2003。3第2版第1章結(jié)束19數(shù)字信號(hào)處理多媒體教學(xué)系統(tǒng)版權(quán)所有：yuning2003。3第2版第2章

離散時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間系統(tǒng)數(shù)字信號(hào)處理20第2章離散時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間系統(tǒng)2.1連續(xù)信號(hào)的采樣與恢復(fù)

2.1.1、連續(xù)信號(hào)的采樣

1、采樣電路

2、數(shù)學(xué)模型p(t)x(t)x[n]xp(t)Ax(t)p(t)x[n]去A/D變換器21數(shù)字信號(hào)處理多媒體教學(xué)系統(tǒng)版權(quán)所有：yuning2003。3第2版222.1.2、采樣信號(hào)的頻域表示采樣脈沖是以T為周期，可以用付立葉級(jí)數(shù)表示兩邊作付立葉變換，得：代入得：23連續(xù)信號(hào)采樣分析圖結(jié)論：連續(xù)時(shí)間信號(hào)采樣后，其頻譜被周期化。假如采樣頻率大于信號(hào)的最高頻率成分的兩倍，則頻譜之間沒有混疊。截取主周期得到原信號(hào)頻譜，可以恢復(fù)原信號(hào)。如果不滿足這一條件，就會(huì)發(fā)生混疊，原信號(hào)不能恢復(fù)。24聲音1：采樣頻率22.05KHz，數(shù)字化16Bit，雙聲道錄音。離散信號(hào)的信息與采樣頻率的關(guān)系（示例）聲音1：采樣頻率1.38KHz，數(shù)字化16Bit，雙聲道錄音。聲音1：采樣頻率689Hz，數(shù)字化16Bit，雙聲道錄音。聲音2：采樣頻率11.025KHz，數(shù)字化8Bit，單聲道錄音。聲音2：采樣頻率5.51KHz，數(shù)字化8Bit，單聲道錄音。聲音2：采樣頻率689Hz，數(shù)字化8Bit，單聲道錄音。聲音2：采樣頻率2.526KHz，數(shù)字化8Bit，單聲道錄音。252.1.3、采樣定理：

如連續(xù)時(shí)間信號(hào)（模擬信號(hào)）是有限帶寬信號(hào)，當(dāng)采樣頻率fs大于信號(hào)的最高頻率成分fmax

的兩倍（fs

>2fmax），則從采樣信號(hào)（離散時(shí)間信號(hào)）可以完全恢復(fù)原信號(hào)（模擬信號(hào)）

。當(dāng)fs=2fmax

時(shí)fs為臨界采樣頻率，也稱為L(zhǎng)aiquest采樣頻率。說明：1、對(duì)實(shí)際信號(hào)直接進(jìn)行采樣一般是不能滿足采樣定理?xiàng)l件的，因?yàn)閷?shí)際信號(hào)中往往都包括了很高的頻率成分。所以在對(duì)實(shí)際模擬信號(hào)采樣之前需要進(jìn)行抗混疊濾波。通過抗混疊濾波器濾除信號(hào)中高于臨界采樣頻率1/2的高頻成分，再進(jìn)行采樣。2、以上從理想采樣脈沖序列得出的采樣定理，對(duì)于有一定寬度的實(shí)際采樣脈沖仍然是正確的。用實(shí)際采樣脈沖得到的采樣信號(hào)的頻譜在周期頻移時(shí)要多乘一個(gè)系數(shù)Cm（C0=1）（見P12圖2.5）。具體數(shù)學(xué)證明，見參考資料。3、因?yàn)樵诓蓸有盘?hào)的恢復(fù)時(shí)，僅僅截取主周期頻譜。所以用實(shí)際采樣脈沖得到的采樣信號(hào)與理想采樣脈沖序列得出的采樣信號(hào)在恢復(fù)時(shí)是一樣的。262.1.4、采樣信號(hào)的恢復(fù)：1、濾波器處理：

使用低通濾波器對(duì)x(n)進(jìn)行處理，截取采樣信號(hào)的主周期頻譜（具體濾波處理運(yùn)算第5章再介紹）。濾波器頻域特性為：272、插值公式處理：上述濾波器的輸出x(t)為：通過采樣值x（n）可以計(jì)算任意時(shí)刻t的模擬信號(hào)值。（當(dāng)然包括非采樣時(shí)刻的信號(hào)值）。插值恢復(fù)公式可以計(jì)算出原來(lái)信號(hào)。A283、電子D/A器件恢復(fù)：

濾波器D/Ax(n)

x(t)

x(t)D/A輸出x(n)

電子D/A器件硬件恢復(fù)方法具有實(shí)時(shí)特性，在聲卡、視頻卡、CD播放機(jī)等數(shù)字電子設(shè)備中廣泛使用。292.2離散時(shí)間信號(hào)序列2.2.1離散時(shí)間信號(hào)的序列表示302.2.2序列的運(yùn)算規(guī)則

:同一時(shí)間的值相運(yùn)算。加減x(n)w(n)y(n)積x(n)w(n)y(n)

標(biāo)乘x(n)w(n)A延時(shí)x(n)w(n)Z-1分支x(n)w2(n)w1(n)312.2.3幾種常用序列1、單位沖擊序列：2、單位階躍序列：3、矩形序列：324、正弦序列：（1）它是正弦信號(hào)的采樣序列：定義：為數(shù)字角頻率，單位是弧度。（3）正弦序列的周期性：

（2）序列周期性：若對(duì)于任意的n有成立。周期為N。思考題：正弦序列不一定是周期序列。在滿足上述條件時(shí)，它才是周期序列。在什么情況下，正弦序列不具有周期性？正弦序列的周期性與哪些參數(shù)有關(guān)？335、復(fù)指數(shù)序列：序列的沖擊響應(yīng)表示：說明：復(fù)指數(shù)序列是正弦序列的組合。是為了方便數(shù)學(xué)演算而引入的一種表示方式。從物理意義上來(lái)說，復(fù)指數(shù)序列也可以看作是正弦信號(hào)的采樣序列。說明：任意離散序列可以表示為單位取樣延時(shí)的幅度加權(quán)之和。這種序列的表示方式有利于對(duì)序列的一些數(shù)學(xué)運(yùn)算。342.3離散系統(tǒng)及其特性2.3.1離散系統(tǒng)（離散信號(hào)處理系統(tǒng)）的定義：能反映輸入信號(hào)序列x(n)和輸出信號(hào)y(n)的因果關(guān)系的設(shè)備或運(yùn)算稱為離散系統(tǒng)。記為：如：某離散系統(tǒng)（平均值系統(tǒng)）運(yùn)算流程圖：x(n)Z-1y(n)1/2352.3.2線性非時(shí)變離散系統(tǒng)1、系統(tǒng)的線性特性362、系統(tǒng)的時(shí)不變特性：系統(tǒng)的時(shí)不變特性（又稱為非移變、非時(shí)變）是指系統(tǒng)的特性不隨時(shí)間變化

對(duì)于實(shí)際的離散信號(hào)系統(tǒng)，在一定的使用條件下可以看成線性非時(shí)變系統(tǒng)（LTI系統(tǒng)）。主要是信號(hào)幅度要限制在系統(tǒng)的線性工作區(qū)域，系統(tǒng)工作時(shí)間內(nèi)特性不變。372.3.3離散線性卷積1、系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)2、LTI系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)的響應(yīng)：383、離散序列的線性卷積：4、離散卷積的性質(zhì)：39說明：卷積運(yùn)算的結(jié)合性可以表示串聯(lián)系統(tǒng)的等效特性。40說明：卷積運(yùn)算的分配性可以表示并聯(lián)系統(tǒng)的等效特性。41卷積運(yùn)算的說明：在LTI系統(tǒng)中，單位沖擊響應(yīng)h(n)唯一地確定了一個(gè)系統(tǒng)特性。通過卷積運(yùn)算可以得到任意輸入信號(hào)x(n)的響應(yīng)y(n)。2.3.4線性卷積的計(jì)算（1）直接計(jì)算式計(jì)算：對(duì)于不同的n值逐點(diǎn)計(jì)算所有k的乘積、疊加求和。42（2）作圖法計(jì)算：按轉(zhuǎn)折平移n相乘疊加輸出n+1h(n)x(n)y(n)x(k)k3210h(k)k11101h(0-k)k11101y(0)k30h(1-k)k11101y(1)n305h(2-k)k11101y(2)n3056h(3-k)k11101y(3)n30566h(4-k)k11101y(4)n305663h(5-k)k11101y(5)n315663h(6-k)k11101y(6)n3156630432.3.5LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性

LTI系統(tǒng)特性可以由單位沖擊響應(yīng)h(n)來(lái)說明，包括它的穩(wěn)定性和因果性。1、LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性：一個(gè)離散系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號(hào)有界，其輸出信號(hào)也有界，則此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。離散LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：442、LTI系統(tǒng)的因果性：一個(gè)離散系統(tǒng)，當(dāng)輸出信號(hào)變化不會(huì)發(fā)生在輸入信號(hào)變化之前，則此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。離散LTI系統(tǒng)因果性的充要條件是：452.3.6LTI系統(tǒng)的差分方程描述

LTI系統(tǒng)特性可以由單位沖擊響應(yīng)h(n)來(lái)說明，也可以用差分方程來(lái)描述。1、差分運(yùn)算：一個(gè)離散時(shí)序信號(hào)的變化可以用差分運(yùn)算來(lái)描述。一階（后向）差分二階差分K階差分

描述離散時(shí)序信號(hào)的變化的差分運(yùn)算可以表示成不同時(shí)間序列分量的線性組合。K階差分可以表示成K個(gè)時(shí)間的序列值的線性組合。所以，離散差分運(yùn)算可以分解成有限長(zhǎng)序列的代數(shù)運(yùn)算。462、LTI系統(tǒng)的差分方程表示：一個(gè)離散LTI系統(tǒng)的工作情況可以用其輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的變化關(guān)系（差分方程）來(lái)描述。差分方程：把高階差分展開式代入差分方程并整理得：或：說明：（1）差分方程說明在LTI系統(tǒng)中，某一時(shí)間的輸出信號(hào)值取決于前

M個(gè)時(shí)間的輸入信號(hào)值和前N個(gè)時(shí)間的輸出信號(hào)值的線性組合。（2）系數(shù)和為常數(shù)，取決于系統(tǒng)特性。（3）差分方程中輸出信號(hào)的有效時(shí)延N稱為此方程的階數(shù)，N階差分方程。（4）一般差分方程為遞歸型（有反饋系統(tǒng)）。如果差分方程系數(shù)滿足，差分方程為非遞歸型（無(wú)反饋系統(tǒng)）。473、LTI系統(tǒng)的差分方程的解：一個(gè)離散LTI系統(tǒng)的工作情況可以用差分方程來(lái)描述。與微分方程類似，要唯一確定一個(gè)系統(tǒng)的輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的關(guān)系，還必須有附加約束條件（如系統(tǒng)初始狀態(tài)）。482.4離散信號(hào)與離散系統(tǒng)的頻域表示(付氏變換）2.4.1問題的提出492.4.2離散序列的傅氏(Fourier)變換:502.4.3離散序列的傅氏(Fourier)變換的性質(zhì)5152532.4.4離散LTI系統(tǒng)的頻域表示：542.5離散信號(hào)的Z變換為了將離散系統(tǒng)的差分方程的解法，轉(zhuǎn)換成代數(shù)解法引入Z變換。2.5.1Z變換的定義及其收斂域55

上例說明序列的Z變換可能在某個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂，在收斂域中其Z變換可以表示成一個(gè)解析函數(shù)。根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的條件，X(z)收斂的條件是級(jí)數(shù)絕對(duì)可和?？梢?，同一個(gè)解析函數(shù)在不同的收斂域可能表示不同的序列的Z變換。所以，在說明某解析函數(shù)是某個(gè)序列的Z變換時(shí)，要同時(shí)給出收斂域。562、收斂域定義及特性：不同特點(diǎn)的序列和其收斂域的關(guān)系：（1）有限長(zhǎng)序列：

定義：使序列x(n)的Z變換X(z)收斂的復(fù)平面上所有Z的集合，稱為該Z變換的收斂域。記為ROC(RegionofConvergence)。57（2）右邊序列：（3）左邊序列：58

（4）雙邊序列：

結(jié)論：雙邊序列的Z變換收斂域一般是Z平面上的圓環(huán)。單邊序列的情況下，內(nèi)環(huán)可能為原點(diǎn)；外環(huán)可能為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。也可能是整個(gè)Z平面，也可能沒有收斂域；。59序列Z變換的收斂域ROC∞602.5.2Z變換的性質(zhì)：(相關(guān)的證明見教材P31~33）2、時(shí)移特性：3、頻移特性：1、線性性：614、卷積特性：5、序列乘積的Z變換：6、初值特性：62其余特性見P37表1-3。7、的導(dǎo)數(shù)：8、帕斯瓦爾定理：632.5.3Z反變換根據(jù)X(z)和ROC求x(n)。1、冪級(jí)數(shù)法642、部分分式法6566673、反演公式法：公式證明見P37。反演公式的留數(shù)計(jì)算方法：68692.6單變Z變換：2.6.1定義

說明：對(duì)于因果序列單變Z變換與雙邊Z變換相同。所以可以用單Z變換來(lái)解給定初始條件的LTI因果系統(tǒng)問題。當(dāng)然，也可以直接使用雙邊Z變換來(lái)解。我們可使用單邊Z變換來(lái)解給定初始條件的LTI因果系統(tǒng)問題，但如果把單變Z變換靠成雙邊Z變換一種特殊情況，所有的問題都可以直接使用雙邊Z變換。在以后的使用中，如果不做特別說明，則Z變換就是指的雙邊Z變換。70離散信號(hào)Z域表示頻域表示S域表示2.7幾種變換之間的關(guān)系712.8用Z變換分析LTI系統(tǒng)2.8.1系統(tǒng)函數(shù)的Z域形式2.8.2系統(tǒng)函數(shù)與差分方程722.8.3系統(tǒng)函數(shù)的收斂域與系統(tǒng)特性1、系統(tǒng)穩(wěn)定性：2、系統(tǒng)因果特性：732.8.4系統(tǒng)函數(shù)的另、極點(diǎn)位置對(duì)系統(tǒng)特性的影響74單位圓零、極點(diǎn)矢量圖75討論：1、幅頻特性：2、相位特性：767778數(shù)字信號(hào)處理多媒體教學(xué)系統(tǒng)版權(quán)所有：yuning2003。3第2版第3章

離散傅氏變換DFT數(shù)字信號(hào)處理79傅氏變換的幾種形式80離散化頻譜討論1、在四種傅立葉變換中，只有第四種適合于在計(jì)算機(jī)上演算。2、第四變換對(duì)，稱為周期序列的離散傅氏級(jí)數(shù)（DFS）。3、周期序列取其主值區(qū)間（n=0,~,N-1)可以得到有限長(zhǎng)序列。有限長(zhǎng)序列也可以通過周期延拓得到周期序列。根據(jù)以上的討論，我們首先研究離散周期序列的傅氏變換。周期序列813.1離散傅氏級(jí)數(shù)(DFS)和離散傅氏變換（DFT）的導(dǎo)出3.1.1周期序列的離散傅氏級(jí)數(shù)(DFS)82定義周期序列的傅氏變換：8384說明（1）有限長(zhǎng)序列的DFT為N點(diǎn)有限長(zhǎng)離散頻譜。

（2）有限長(zhǎng)序列DFT與周期與N點(diǎn)的周期序列的DFS主值序列相同。

（3）如果把有限長(zhǎng)序列x(n)通過補(bǔ)另加長(zhǎng)為N1>N點(diǎn)，則可以得到N1點(diǎn)離散頻譜。3.1.2離散傅氏變換DFT的定義及用途1、離散傅氏變換DFT的定義852、一般模擬信號(hào)的DFT處理過程

離散傅氏變換雖然適合于在計(jì)算機(jī)上計(jì)算實(shí)現(xiàn)，但它是針對(duì)有限長(zhǎng)離散信號(hào)（或離散周期信號(hào)）定義的。對(duì)于一般的連續(xù)非周期信號(hào)x(t)，如何使用DFT計(jì)算頻譜？解決了這一問題DFT才具有實(shí)際意義。連續(xù)信號(hào)x(t)連續(xù)頻譜（幅度譜圖）

說明：如果信號(hào)不滿足采樣定理可能產(chǎn)生混疊誤差。在采樣前要進(jìn)行抗混疊濾波，使它成為滿足采樣定理的有限帶寬信號(hào)。86采樣信號(hào)x[n]頻譜（幅度譜）（1）采樣：

時(shí)域離散化，頻域周期化。87截?cái)嘈盘?hào)x(n)·w(n)頻譜折積，產(chǎn)生泄漏（2）截?cái)啵?/p>

時(shí)間序列x(n)被截?cái)酁橛邢揲L(zhǎng)；周期頻譜產(chǎn)生折積波紋。（此過程會(huì)產(chǎn)生泄漏誤差，可以采取窗函數(shù)修正減小泄漏誤差）88（3）時(shí)域周期化：時(shí)間序列周期化，周期頻譜離散化。（DFS）（頻域采樣，柵欄效應(yīng)，頻率分辨率F）離散化頻譜時(shí)域周期化89有限長(zhǎng)離散化頻譜（4）取主值區(qū)域計(jì)算：有限長(zhǎng)時(shí)間序列（N點(diǎn)），有限長(zhǎng)離散頻譜（N點(diǎn)）。計(jì)算DFT。有限長(zhǎng)離散信號(hào)90結(jié)論

對(duì)于一般連續(xù)信號(hào)通過采樣、截?cái)?、周期化和主值?jì)算的處理，可以使用DFT計(jì)算其頻譜。處理過程中，可能產(chǎn)生混疊誤差、泄漏誤差和頻譜采樣?xùn)艡谛?yīng)。但只要采取適當(dāng)?shù)姆椒?，可以在滿足一定的精度要求之下，用DFT計(jì)算結(jié)果作為原連續(xù)信號(hào)頻譜?；殳B誤差處理：抗混疊濾波；提高采樣頻率。泄漏誤差處理：截?cái)啻昂瘮?shù)的修正。頻譜采樣?xùn)艡谛?yīng)：使頻譜的頻率分辨率滿足分析要求（頻率分辨率F=1/NT），截?cái)鄶?shù)據(jù)長(zhǎng)度N的選定，即連續(xù)信號(hào)分析時(shí)間為tp=NT。913.2DFT的性質(zhì)1、對(duì)稱性：定義：旋轉(zhuǎn)因子的性質(zhì)：92（1）、當(dāng)x(n)為實(shí)序列：93當(dāng)x(n)為偶對(duì)稱實(shí)序列x(n)=x(N-n)：（2）、當(dāng)x(n)為復(fù)數(shù)序列：（3）、反變換第二形式：942、線性特性3、平移特性4、調(diào)制特性955、序列加長(zhǎng)后的頻譜結(jié)論：頻譜不變，但分辨率提高r倍。（頻譜rN點(diǎn)）如果序列作周期性延長(zhǎng)r倍，頻譜會(huì)如何變化？（課后練習(xí)）96數(shù)字信號(hào)處理多媒體教學(xué)系統(tǒng)版權(quán)所有：yuning2003。3第2版3.3序列Z變換和DFT的關(guān)系3.3.1Z變換在單位圓上的取樣：

結(jié)論：有限長(zhǎng)序列x(n)n=0~N-1的DFTX(k)等于序列的Z變換X(z)在單位圓上的等距離取樣值。(相鄰點(diǎn)相位角間隔為）12N-1N-2Z平面在這些點(diǎn)上的X(z)就是X(k)r=1973.3.2Z變換的內(nèi)插表示：

結(jié)論：有限長(zhǎng)序列x(n)n=0~N-1的Z變換X(z)在任意z點(diǎn)的值可以由其DFTX(k)通過以上插值公式求得。12N-1N-2Z平面知道這些點(diǎn)上的X(k)就可以求出任意點(diǎn)的X(z)r=1983.4線性卷積的DFT計(jì)算定義周期序列的卷積：(稱為圓周卷積)3.4.1圓周卷積：

周期序列的圓周表示：當(dāng)序列x(n)為周期序列時(shí)，可以將序列元素按反時(shí)針方向順序排列在N等分的圓周上。序列時(shí)移m，是將序列在圓周上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)m個(gè)位置。1、圓周卷積定義：n=0992、圓周卷積與DFT根據(jù)DFS定義可以證明：在主周期可以用DFT計(jì)算DFS。1003.4.2循環(huán)卷積1、定義：1012、循環(huán)卷積的性質(zhì)：102數(shù)字信號(hào)處理多媒體教學(xué)系統(tǒng)版權(quán)所有：yuning2003。3第2版1033、循環(huán)卷積的矩陣計(jì)算方法：

循環(huán)卷積的計(jì)算方法除了前面介紹的同心圓周圖型法外，還可以用解析式的矩陣計(jì)算方法。1043.4.2線性卷積與循環(huán)卷積3.4.3DFT與線性卷積：105數(shù)字信號(hào)處理多媒體教學(xué)系統(tǒng)版權(quán)所有：yuning2003。3第2版1063.5線性卷積的分段計(jì)算方法：根據(jù)長(zhǎng)序列分段計(jì)算卷積后的各段結(jié)果組合方法分段卷積可以有兩種方法：重疊相加法和重疊保留法1073.5.1重疊相加法：108重疊相加法計(jì)算步驟：109

這里采用DFT方法計(jì)算各段線性卷積可以減少計(jì)算量。這個(gè)問題將在下一章中具體討論。1101113.5.2重疊保留法：112重疊保留法計(jì)算步驟：1131141153.6相關(guān)運(yùn)算（滯后乘積）：116快速傅立葉變換FFT是DFT計(jì)算的高效、快速算法。1、問題的提出：直接計(jì)算DFT的計(jì)算量：所以直接計(jì)算的計(jì)算量為N2數(shù)量級(jí)，需要改進(jìn)算法提高計(jì)算效率。1965年庫(kù)利——圖基發(fā)表DFT的快速算法FFT。使計(jì)算量降到(N/2)log2N。N24816326412825651210242048N24166425610244096163846553626211410485764194304N/2log2N1412328019244810242304512011264計(jì)算量比較表1172、FFT算法的引入：（1）把長(zhǎng)序列分解成短序列計(jì)算，然后再組合出結(jié)果。（3）根據(jù)這兩點(diǎn)提高計(jì)算效率的方法，提出了多種不同的算法。如庫(kù)利——圖基算法（時(shí)間抽取基2FFT算法）；桑德——圖基算法（頻率抽取基2FFT算法）；WFTA算法（小N素?cái)?shù)組合算法）；CZT算法（線性調(diào)頻Z變換算法）；ZFFT算法（局部頻譜細(xì)化算法）等等。1184.1庫(kù)利——圖基算法（時(shí)間抽取基2FFT算法）4.1.1基本原理為了便于分解，設(shè)序列的長(zhǎng)度N為2的整數(shù)次方，N=2K。119120基本蝶形運(yùn)算2點(diǎn)DFT運(yùn)算121N=8基2時(shí)間抽取，可得出如下計(jì)算流程圖：W0W1W2x[0]x[2]x[6]x[1]x[5]x[3]x[7]x[4]X[0]X[1]X[2]X[3]X[4]X[5]X[7]X[6]W0W0W0W0W0W2W2W0W31224.1.2計(jì)算量和算法特點(diǎn)（1）以碟形運(yùn)算為基礎(chǔ)進(jìn)行組合計(jì)算，計(jì)算因子WK的指數(shù)K與運(yùn)算所在的級(jí)數(shù)和組內(nèi)位置有關(guān)。（2）中間數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)，可采用原位存儲(chǔ)法。即每次碟形運(yùn)算的結(jié)果可以存儲(chǔ)在原數(shù)據(jù)的同一個(gè)存儲(chǔ)單元。這樣在高速硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，可節(jié)省存儲(chǔ)器。（3）輸入序列的混序。因?yàn)镈FT輸入序列是順序采樣的，所以在計(jì)算FFT之前需要進(jìn)行序列按混序要求排序。排序算法很多，較常用的計(jì)算混序號(hào)的方法有二進(jìn)制序號(hào)反轉(zhuǎn)算法。如：序號(hào)n

和混序號(hào)用3位二進(jìn)制數(shù)表示，它們互為反轉(zhuǎn)。1234.2桑德——圖基算法（頻率抽取基2FFT算法）124基本蝶形運(yùn)算2點(diǎn)DFT運(yùn)算125N=8基2頻率抽取，可得出如下計(jì)算流程圖：x[0]x[2]x[6]x[1]x[5]x[3]x[7]x[4]X[0]X[1]X[2]X[3]X[4]X[5]X[7]X[6]W0W2W2W0W0W0W0W0W0W1W2W31264.2.2計(jì)算量和算法特點(diǎn)（1）以蝶形運(yùn)算為基礎(chǔ)進(jìn)行組合計(jì)算，計(jì)算因子WK的指數(shù)K與運(yùn)算所在的級(jí)數(shù)和組內(nèi)位置有關(guān)。（2）中間數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)，可采用原位存儲(chǔ)法。即每次蝶形運(yùn)算的結(jié)果可以存儲(chǔ)在原數(shù)據(jù)的同一個(gè)存儲(chǔ)單元。這樣在高速硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，可節(jié)省存儲(chǔ)器。（3）輸出序列為混序。因?yàn)镈FT輸出序列要求是順序的，所以在計(jì)算FFT之后需要進(jìn)行序列按混序要求排序。輸出序列混序與時(shí)間抽取方法的輸入序列混序相同。所以排序算法相同。

兩種FFT算法的計(jì)算量相同，計(jì)算過程也類似。所以，在實(shí)際應(yīng)用中兩種算法可以任意選用。FFT算法大大地減少了DFT的計(jì)算量，使計(jì)算機(jī)數(shù)字信號(hào)處理得以廣泛應(yīng)用。127128（1）軟件實(shí)現(xiàn)。用于各種多媒體系統(tǒng)。（2）單片信號(hào)處理微機(jī)（DSP）實(shí)現(xiàn)。如著名的TMS320系列信號(hào)處理機(jī)。具有固化的FFT程序，計(jì)算1024點(diǎn)浮點(diǎn)數(shù)據(jù)只需2mS；128階FIR數(shù)字濾波器可處理10MHz的信號(hào)。用于實(shí)時(shí)多媒體系統(tǒng)，如可視電話，語(yǔ)言識(shí)別系統(tǒng)等。4.3.1FFT的實(shí)現(xiàn)方法：（3）陣列處理機(jī)實(shí)現(xiàn)。如信號(hào)處理陣列機(jī)；并行處理機(jī)等。用于大型圖象信號(hào)處理，如氣象衛(wèi)星云圖處理等。4.3.2FFT的應(yīng)用1、信號(hào)的頻譜分析：抗混疊濾波器

抽樣A/D

頻譜分析FFT

窗口截?cái)鄕(t)x[n]X[k]

主要誤差的處理：混疊誤差（抗混疊濾波，提高采樣頻率）；泄漏誤差（窗口函數(shù)的修正）；柵欄效應(yīng)（采樣點(diǎn)數(shù)N的選定，延長(zhǎng)采樣時(shí)間t=NT）。

A/D變換器的精度要求要根據(jù)實(shí)際情況，使頻譜X(k)滿足分析要求。4.3FFT的實(shí)現(xiàn)方法與應(yīng)用129

例：某FFT信號(hào)分析處理器采樣頻率為5.12KHz。為了便于計(jì)算，取信號(hào)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)N是2的整數(shù)次方。問該處理器信號(hào)分析的頻率范圍是多少？若信號(hào)分析要求頻譜的分辨率達(dá)10Hz，求信號(hào)采樣持續(xù)時(shí)間至少為多長(zhǎng)？信號(hào)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)應(yīng)為多少？|H(k)|fs/2-fs/2tp1302、快速卷積FFT計(jì)算（快速算法）：一般應(yīng)用中，有M>>N。這時(shí)，可以采用分段計(jì)算方法，進(jìn)一步減少計(jì)算量。分段計(jì)算，可以用重疊相加法和重疊保留法。1314.4線性調(diào)頻Z變換算法

DFT頻譜是序列的Z變換在單位圓上的等間隔取樣。但在一些應(yīng)用中，需要計(jì)算某一段范圍的較密集取樣點(diǎn)的頻譜；或非等間隔取樣點(diǎn)的頻譜；甚至可能要求頻譜的取樣點(diǎn)不在單位圓上，而在某一條螺旋線上。對(duì)于這樣一些頻譜計(jì)算要求，DFT計(jì)算無(wú)法滿足。在這些情況下，采用線性調(diào)頻Z變換算法（ChirpZTrasnationCZT)是很有效的。4.4.1CZT算法的基本原理132CZT計(jì)算流程1334.4.2CZT算法的快速算法：1344.4.2CZT算法的快速算法計(jì)算步驟：1354.4.3CZT算法的計(jì)算量：1364.5實(shí)數(shù)序列的FFT高效算法和高效卷積：

FFT計(jì)算為復(fù)數(shù)運(yùn)算，所以輸入序列x(n)在運(yùn)算時(shí)可以為復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)。如果是實(shí)序列一般是把虛部置另。如果利用虛部數(shù)據(jù)可以提高計(jì)算效率。所以，通過組合后計(jì)算一次N點(diǎn)FFT可以得出2個(gè)N點(diǎn)實(shí)數(shù)序列的DFT頻譜。4.5.1實(shí)數(shù)序列的FFT高效算法137

如果希望計(jì)算2N點(diǎn)實(shí)數(shù)序列的FFT，也可以采用組合方法提高計(jì)算效率。138

高效卷積可用于：一次快速卷積可計(jì)算兩個(gè)信號(hào)分別輸入一個(gè)LTI系統(tǒng)的兩個(gè)輸出；或一個(gè)信號(hào)分別輸入兩個(gè)LTI系統(tǒng)的輸出。用于分段卷積可以一次計(jì)算兩個(gè)分段。4.5.2實(shí)數(shù)序列的FFT高效卷積算法1394.5實(shí)數(shù)序列的FFT高效算法和高效卷積：

FFT計(jì)算為復(fù)數(shù)運(yùn)算，所以輸入序列x(n)在運(yùn)算時(shí)可以為復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)。如果是實(shí)序列一般是把虛部置另。如果利用虛部數(shù)據(jù)可以提高計(jì)算效率。所以，通過組合后計(jì)算一次N點(diǎn)FFT可以得出2個(gè)N點(diǎn)實(shí)數(shù)序列的DFT頻譜。4.5.1實(shí)數(shù)序列的FFT高效算法140

如果希望計(jì)算2N點(diǎn)實(shí)數(shù)序列的FFT，也可以采用組合方法提高計(jì)算效率。141

高效卷積可用于：一次快速卷積可計(jì)算兩個(gè)信號(hào)分別輸入一個(gè)LTI系統(tǒng)的兩個(gè)輸出；或一個(gè)信號(hào)分別輸入兩個(gè)LTI系統(tǒng)的輸出。用于分段卷積可以一次計(jì)算兩個(gè)分段。4.5.2實(shí)數(shù)序列的FFT高效卷積算法142數(shù)字信號(hào)處理第五章

數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)143第五章數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)

濾波的定義：對(duì)輸入信號(hào)通過一定的處理得輸出信號(hào)，這個(gè)處理通常是濾除輸入信號(hào)的某些頻率成分；保留信號(hào)中某些頻率范圍內(nèi)的有用信號(hào)成分。所以把這種處理的過程稱為濾波。5.1引言

濾波器的定義：實(shí)現(xiàn)濾波處理的運(yùn)算電路、或設(shè)備稱為濾波器。

一般情況下，數(shù)字濾波器是完成濾波處理的一個(gè)LTI線性時(shí)不變系統(tǒng)。

數(shù)字濾波的定義：對(duì)數(shù)字信號(hào)序列通過一定的算法進(jìn)行處理，提取信號(hào)中某頻率范圍內(nèi)的信號(hào)成分的過程稱為數(shù)字濾波。1445.1.1數(shù)字濾波器的表示：H(z)X(z)Y(z)系統(tǒng)函數(shù)表示差分方程表示為了便于實(shí)現(xiàn)處理運(yùn)算，數(shù)字濾波器的表示通常使用以下形式。1455.1.2數(shù)字濾波器的分類及特性1、按信號(hào)通過系統(tǒng)時(shí)的特性（主要是幅頻特性）來(lái)分類：可以有低通、高通、帶通和帶阻四種基本類型。|H(ejω)|ωc-ωc-ππ-2π2π-fs/2-fsfs/2fs-fcfcf146|H(ejω)|ω2-ω2-ππ-2π2πω1-ω1|H(ejω)|ωc-ωc-ππ-2π2π147|H(ejω)|ω2-ω2-ππ-2π2πω1-ω12、按系統(tǒng)沖擊響應(yīng)（或差分方程）分類其他較復(fù)雜的特性濾波器可以由基本濾波器組合而成。

可以分成無(wú)限沖擊響應(yīng)IIR和有限沖擊響應(yīng)FIR濾波器兩類。這兩種濾波器都可以現(xiàn)實(shí)各種基本濾波器頻率特性要求，但它們?cè)谟?jì)算流程、具體特性逼近等方面是有差別的。148FIR濾波器（非遞歸型）IIR濾波器（遞歸型）1495.2LTI系統(tǒng)的信號(hào)流圖1、方框圖法方框圖法簡(jiǎn)明且直觀，其三種基本運(yùn)算如下圖所示：

z-1單位延時(shí):a乘常數(shù):相加:150例如：已知差分方程如下

y(n)得計(jì)算方框圖：b0x(n)

x(n)1512、信號(hào)流圖法信號(hào)流圖表示系統(tǒng)運(yùn)算過程的信號(hào)流通，對(duì)于較復(fù)雜的計(jì)算過程可以得到比較簡(jiǎn)潔的表示。其三種基本運(yùn)算如下圖所示：基本延時(shí)：乘常數(shù)：相加：

說明：對(duì)于同一個(gè)傳遞函數(shù)可以有不同形式的信號(hào)流圖來(lái)實(shí)現(xiàn)。一般應(yīng)選擇結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、系數(shù)變化靈敏度低的實(shí)現(xiàn)流圖。算法結(jié)構(gòu)的選擇對(duì)于系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)是很重要的。152例如：已知差分方程如下1235467可得信號(hào)流圖：a1y(n-1)b0x(n)1535.3IIR濾波器的結(jié)構(gòu)：沖擊響應(yīng)有無(wú)窮項(xiàng)。是有反饋系統(tǒng)，有N個(gè)極點(diǎn)和M個(gè)另點(diǎn)。為了保持系統(tǒng)穩(wěn)定，所有極點(diǎn)應(yīng)在單位圓內(nèi)。系統(tǒng)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)收斂（因果性），要求N>=M。系統(tǒng)設(shè)計(jì)中要確定階數(shù)M、N和系數(shù)bi、ak。為了防止有限字長(zhǎng)效應(yīng)引起系統(tǒng)不穩(wěn)定，一般采用低階系統(tǒng)，或多個(gè)低階系統(tǒng)的級(jí)連的實(shí)現(xiàn)形式。.

特點(diǎn)：154IIR

濾波器的直接實(shí)現(xiàn)（I型）計(jì)算信號(hào)流圖：5.3.1IIR濾波器直接實(shí)現(xiàn)：z-1z-1z-1z-1z-1z-1b0b1b2bMa1a2aNx(n)y(n)方框圖：1555.3.2IIR濾波器直接實(shí)現(xiàn)II型將系統(tǒng)函數(shù)變形為2級(jí)運(yùn)算：156得IIR濾波器直接實(shí)現(xiàn)II型信號(hào)流圖：

在直接實(shí)現(xiàn)II型信號(hào)流圖中一部分時(shí)延單元的輸入相同，可以合并簡(jiǎn)化。得正準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)流圖。

157IIR濾波器正準(zhǔn)型信號(hào)流圖

正準(zhǔn)型流圖是對(duì)直接II型的簡(jiǎn)化。因?yàn)镸個(gè)時(shí)延單元具有相同的輸入：x，(n)

，所以可以合并M個(gè)基本時(shí)延單元，節(jié)省了時(shí)延單元。1585.3.3IIR濾波器的級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)：

因?yàn)镮IR濾波器是遞歸運(yùn)算，所以對(duì)高階系統(tǒng)有誤差積累和容易不穩(wěn)定的缺點(diǎn)?？梢圆扇∈褂玫碗A系統(tǒng)來(lái)級(jí)聯(lián)或并聯(lián)的方法實(shí)現(xiàn)。1、級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)：先將系統(tǒng)函數(shù)按零、極點(diǎn)進(jìn)行因式分解

其中，pk為實(shí)零點(diǎn)，ck為實(shí)極點(diǎn)；qk，qk*表示復(fù)共軛零點(diǎn)，dk，dk*表示復(fù)共軛極點(diǎn)，M=M1+2M2，N=N1+2N2再將共軛因子展開，構(gòu)成實(shí)系數(shù)二階因子，則得：159

為了方便，分子取正號(hào)，分母取負(fù)號(hào)；這樣，流圖上的系數(shù)均為正。最后，將兩個(gè)一階因子組合成二階因子（或?qū)⒁浑A因子看成是二階因子的退化形式），則有：其中：

對(duì)于每個(gè)二階環(huán)節(jié)可用正準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)：160

特點(diǎn)：僅影響第k對(duì)零點(diǎn)，同樣僅影響第k對(duì)極點(diǎn)，子網(wǎng)絡(luò)的零、極點(diǎn)也是整個(gè)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)。便于調(diào)節(jié)濾波器的頻率特性。A1612.并聯(lián)型：將H（Z）展成部分分式形式。其中，均為實(shí)數(shù)，與復(fù)共軛；當(dāng)M<N時(shí)，不包含項(xiàng)；M=N時(shí)，該項(xiàng)為G0。一階環(huán)節(jié)：二階環(huán)節(jié)：傳遞環(huán)節(jié)：162其結(jié)構(gòu)圖如下：163|H(ejω)|π-πωArg(H(ejω))π-πω1645.4FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)：特點(diǎn)：*無(wú)反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)只有一個(gè)極點(diǎn)Z=0，為M階極點(diǎn)。ROC：|Z|>0。

*無(wú)論差分方程的系數(shù)取任何有效的值，系統(tǒng)都是因果穩(wěn)定的。

*沖擊響應(yīng)等于差分方程系數(shù)：h(n)=bnn=0,1,·····,M

*設(shè)計(jì)時(shí)選定階數(shù)M和系數(shù)bn使系統(tǒng)特性滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)。1655.4.1FIR數(shù)字濾波器計(jì)算直接實(shí)現(xiàn)流程圖：z-1z-1z-1b0b1b2bMx(n)y(n)1、直接實(shí)現(xiàn)方框圖：h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)2、直接實(shí)現(xiàn)信號(hào)流圖（橫截型）：1665.4.2FIR數(shù)字濾波器計(jì)算級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)流程圖：系統(tǒng)函數(shù)可以表示成二階因式的乘積：得級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)的信號(hào)流圖：特點(diǎn)：便于靈活調(diào)整零點(diǎn)位置。但設(shè)計(jì)時(shí)系數(shù)的計(jì)算量增大。1675.4.3FIR數(shù)字濾波器的快速算法實(shí)現(xiàn)流程圖：

因?yàn)镕IR數(shù)字濾波器的沖擊響應(yīng)h(n)為有限長(zhǎng)度，所以可以采用FFT方法（快速算法）計(jì)算DFT：當(dāng)M>>N時(shí)，可以采用分段卷積方法提高計(jì)算效率，減少計(jì)算量。168Arg(H(ejω))π/2-π/2π-πω|H(ejω)|π-πω169數(shù)字信號(hào)處理多媒體教學(xué)系統(tǒng)版權(quán)所有：yuning2003。3第2版第六章

IIR數(shù)字濾波器的理論與設(shè)計(jì)數(shù)字信號(hào)處理1706.1IIR濾波器的設(shè)計(jì)概述6.1.1.數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)就是按照給定的濾波處理系統(tǒng)的性能要求，設(shè)計(jì)一個(gè)因果、穩(wěn)定的數(shù)字系統(tǒng)去逼近這個(gè)性能要求；并且用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)。171IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法：（1）以模擬濾波器函數(shù)為基礎(chǔ)的變換法；（2）直接設(shè)計(jì)法：根據(jù)另、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)特性的影響，調(diào)整另極點(diǎn)位置滿足系統(tǒng)特性。然后由另、極點(diǎn)值求得得H(z)。（3）最優(yōu)化設(shè)計(jì)法：（計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)）在某種最小化誤差準(zhǔn)則下，建立差分方程系數(shù)ak、bi

對(duì)理想特性的逼近方程，使用迭代方法解方程組得到最佳逼近系統(tǒng)。由于此方法計(jì)算量大，需要借助于計(jì)算機(jī)進(jìn)行設(shè)計(jì)。本章主要討論第1種方法。6.1.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

這些特性經(jīng)常被特定地說明為特征頻率點(diǎn)的性能指標(biāo)，如截止頻率（3dB損耗頻率點(diǎn)）；最小阻帶衰耗；通帶波動(dòng)范圍等。1726.1.3利用模擬濾波器來(lái)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的方法：1736.2理想濾波器的特性及逼近方法6.2.1理想濾波器特性：（1）、理想濾波器的特性：174175結(jié)論：理想濾波器的幅度頻率特性在通帶內(nèi)是矩形特性，阻帶內(nèi)為零；理想濾波器的相位頻率特性在通帶內(nèi)與頻率成線性關(guān)系（阻帶內(nèi)可以不作要求）。理想濾波器的沖擊響應(yīng)為非因果、無(wú)窮延伸的。理想濾波器的群延時(shí)為常數(shù)（即所有正弦波分量都有相同的相位延時(shí)，輸出波形不變）。h(t)t|H(jΩ)|ΩΩ

c-Ω

c理想低通濾波器特性：176

理想濾波器具有非因果無(wú)窮的沖擊響應(yīng)和不連續(xù)的頻率特性，要用穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)這樣的特性是不可能的。工程上是用有限沖擊響應(yīng)的因果LTI系統(tǒng)或具有連續(xù)頻率特性的LTI系統(tǒng)來(lái)逼近理想特性。在滿足一定的誤差要求的情況下用可實(shí)現(xiàn)函數(shù)來(lái)逼近理想濾波特性。A0.707Aβ*A|H(jΩ)|Ω

cΩ

sΩ

對(duì)相位特性的逼近在一般的應(yīng)用中可以不作要求。（2）理想濾波器特性的逼近方法：實(shí)際低通濾波器特性：177（3）逼近函數(shù)的平方幅度響應(yīng)表示

所以在工程設(shè)計(jì)中，使用連續(xù)頻率函數(shù)來(lái)逼近理想濾波器特性時(shí)，通常用平方幅度響應(yīng)來(lái)表示逼近函數(shù)。然后再求出相應(yīng)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(s)。（可以通過設(shè)計(jì)表格來(lái)得到H(s)。）

在數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，可以利用成熟的模擬濾波器設(shè)計(jì)技術(shù)，先設(shè)計(jì)出符合性能指標(biāo)的模擬濾波器（原型濾波器，用傳遞函數(shù)H(s)表示）。然后將H(s)進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到數(shù)字濾波器。1786.3模擬濾波器設(shè)計(jì)

一般模擬濾波器的設(shè)計(jì)是要找到一個(gè)比較簡(jiǎn)單的連續(xù)函數(shù)來(lái)逼近理想濾波器特性（通常是幅度頻率特性），逼近誤差滿足所要求的指標(biāo)。說明：

*為了方便給出設(shè)計(jì)公式或設(shè)計(jì)表格，只討論低通濾波器的設(shè)計(jì)。其他類型的濾波器可以由原型低通濾波器變換而得到。*為了使設(shè)計(jì)中的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，對(duì)頻率坐標(biāo)進(jìn)行歸一化處理，即采用為設(shè)計(jì)曲線頻率坐標(biāo)。歸一化的低通濾波器截止頻率為1。這樣設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)與實(shí)際頻率無(wú)關(guān)。*為了達(dá)到既滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，又使逼近函數(shù)盡量簡(jiǎn)單便于實(shí)現(xiàn)的目的，通常給出一組帶參數(shù)的設(shè)計(jì)函數(shù)，設(shè)計(jì)中可以調(diào)整參數(shù)來(lái)滿足設(shè)計(jì)要求。6.3.1問題的提出：

*逼近函數(shù)的表達(dá)式一般采用平方幅度函數(shù)。通過計(jì)算式或設(shè)計(jì)表格可求得系統(tǒng)函數(shù)H(s)。1796.3.2巴特沃斯（Butterworth)濾波器（B型）：|H(jΩ)|Ω

/Ω

c110.707k=1k=2k=51、Butterworth濾波器幅度頻率特性1802、Batterworth低通濾波器的特點(diǎn)：

181

3、Butterworth濾波器的設(shè)計(jì)：根據(jù)逼近要求通過查特性曲線或計(jì)算求取階數(shù)

k，再查表求得H(s)

。1821831846.3.3切比雪夫（Chebyshev）濾波器(C型）：1、切比雪夫函數(shù)特性：1851862、切比雪夫（Chebyshev）濾波器幅度頻率特性：|H(jΩ)|2Ω

/Ω

c111/(1+ε2)k=3ε=0.5k=6ε=0.31873、Chebyshev低通濾波器的特點(diǎn)：k=3

k=4

k=5

k=6

188k=3

k=4

k=5

k=6

189

k=3

k=3

k=6