初中升高中數(shù)學(xué)銜接最全經(jīng)典教材

PAGE１０PAGE１初高中數(shù)學(xué)銜接教材典型試題舉一反三理解記憶成功銜接第一部分如何做好初高中銜接1-3頁(yè)第二部分現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)知識(shí)存在的“脫節(jié)”4頁(yè)第三部分初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接緊密的知識(shí)點(diǎn)5-9頁(yè)第四部分分章節(jié)講解10-66頁(yè)第五部分銜接知識(shí)點(diǎn)的專題強(qiáng)化訓(xùn)練67-100頁(yè)第一部分，如何做好高、初中數(shù)學(xué)的銜接●第一講如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)●初中生經(jīng)過(guò)中考的奮力拼搏，剛跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中課程學(xué)好的愿望。但經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，他們普遍感覺(jué)高中數(shù)學(xué)并非想象中那么簡(jiǎn)單易學(xué)，而是太枯燥、乏味、抽象、晦澀，有些章節(jié)如聽(tīng)天書(shū)。在做習(xí)題、課外練習(xí)時(shí)，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知從何下手。相當(dāng)部分學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“困難期”，數(shù)學(xué)成績(jī)出現(xiàn)嚴(yán)重的滑坡現(xiàn)象。漸漸地他們認(rèn)為數(shù)學(xué)神秘莫測(cè)，從而產(chǎn)生畏懼感，動(dòng)搖了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，甚至失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。造成這種現(xiàn)象的原因是多方面的，但最主要的根源還在于初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)上的銜接問(wèn)題。下面就對(duì)造成這種現(xiàn)象的一些原因加以分析、總結(jié)。希望同學(xué)們認(rèn)真吸取前人的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，搞好自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。一高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)特點(diǎn)的變化1數(shù)學(xué)語(yǔ)言在抽象程度上突變。不少學(xué)生反映，集合、映射等概念難以理解，覺(jué)得離生活很遠(yuǎn)，似乎很“玄”。確實(shí)，初、高中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學(xué)主要是以形象、通俗的語(yǔ)言方式進(jìn)行表達(dá)。而高一數(shù)學(xué)一下子就觸及抽象的集合語(yǔ)言、邏輯運(yùn)算語(yǔ)言以及以后要學(xué)習(xí)到的函數(shù)語(yǔ)言、空間立體幾何等。2思維方法向理性層次躍遷。高中數(shù)學(xué)思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學(xué)生將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思維非常靈活的平面幾何問(wèn)題，也對(duì)線段相等、角相等,分別確定了各自的思維套路。因此，初中學(xué)習(xí)中習(xí)慣于這種機(jī)械的、便于操作的定勢(shì)方式。高中數(shù)學(xué)在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象化對(duì)思維能力提出了高要求。當(dāng)然，能力的發(fā)展是漸進(jìn)的，不是一朝一夕的。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應(yīng)，故而導(dǎo)致成績(jī)下降。高一新生一定要能從經(jīng)驗(yàn)型抽象思維向理論型抽象思維過(guò)渡，最后還需初步形成辯證型思維。3知識(shí)內(nèi)容的整體數(shù)量劇增。高中數(shù)學(xué)在知識(shí)內(nèi)容的“量”上急劇增加了。例如：高一《代數(shù)》第一章就有基本概念52個(gè)，數(shù)學(xué)符號(hào)28個(gè)；《立體幾何》第一章有基本概念37個(gè)，基本公理、定理和推論21個(gè)；兩者合在一起僅基本概念就達(dá)89個(gè)之多，并集中在高一第一學(xué)期學(xué)習(xí)，形成了概念密集的學(xué)習(xí)階段。加之高中一年級(jí)第一學(xué)期只有七十多課時(shí)，輔助練習(xí)、消化的課時(shí)相應(yīng)地減少了。使得數(shù)學(xué)課時(shí)吃緊，因而教學(xué)進(jìn)度一般較快，從而增加了教與學(xué)的難度。這樣，不可避免地造成學(xué)生不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而影響成績(jī)的提高。這就要求：第一，要做好課后的復(fù)習(xí)工作，記牢大量的知識(shí)。第二，要理解掌握好新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使新知識(shí)順利地同化于原有知識(shí)結(jié)構(gòu)之中。第三，因知識(shí)教學(xué)多以零星積累的方式進(jìn)行的，當(dāng)知識(shí)信息量過(guò)大時(shí)，其記憶效果不會(huì)很好，因此要學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理，形成板塊結(jié)構(gòu)，實(shí)行“整體集裝”。如表格化，使知識(shí)結(jié)構(gòu)一目了然；類(lèi)化，由一例到一類(lèi)，由一類(lèi)到多類(lèi)，由多類(lèi)到統(tǒng)一；使幾類(lèi)問(wèn)題同構(gòu)于同一知識(shí)方法。第四，要多做總結(jié)、歸類(lèi)，建立主體的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。二不良的學(xué)習(xí)狀態(tài)1學(xué)習(xí)習(xí)慣因依賴心理而滯后。初中生在學(xué)習(xí)上的依賴心理是很明顯的。第一，為提高分?jǐn)?shù)，初中數(shù)學(xué)教師將各種題型都一一羅列，學(xué)生依賴于教師為其提供套用的“模子”；第二，家長(zhǎng)望子成龍心切，回家后輔導(dǎo)也是常事。升入高中后，教師的教學(xué)方法變了，套用的“模子”沒(méi)有了，家長(zhǎng)輔導(dǎo)的能力也跟不上了。許多同學(xué)進(jìn)入高中后，還象初中那樣，有很強(qiáng)的依賴心理，跟隨老師慣性運(yùn)轉(zhuǎn)，沒(méi)有掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)。表現(xiàn)在不定計(jì)劃，坐等上課，課前沒(méi)有預(yù)習(xí)，對(duì)老師要上課的內(nèi)容不了解，上課忙于記筆記，沒(méi)聽(tīng)到“門(mén)道”。2思想松懈。有些同學(xué)把初中的那一套思想移植到高中來(lái)。他們認(rèn)為自已在初一、二時(shí)并沒(méi)有用功學(xué)習(xí)，只是在初三臨考時(shí)才發(fā)奮了一、二個(gè)月就輕而易舉地考上了高中，有的還是重點(diǎn)中學(xué)里的重點(diǎn)班，因而認(rèn)為讀高中也不過(guò)如此。高一、高二根本就用不著那么用功，只要等到高三臨考時(shí)再發(fā)奮一、二個(gè)月，也一樣會(huì)考上一所理想的大學(xué)的。存有這種思想的同學(xué)是大錯(cuò)特錯(cuò)的。有多少同學(xué)就是因?yàn)楦咭?、二不努力學(xué)習(xí)，臨近高考了，發(fā)現(xiàn)自己缺漏了很多知識(shí)再?gòu)浹a(bǔ)后悔晚矣。3學(xué)不得法。老師上課一般都要講清知識(shí)的來(lái)龍去脈，剖析概念的內(nèi)涵，分析重點(diǎn)難點(diǎn)，突出思想方法。而一部分同學(xué)上課沒(méi)能專心聽(tīng)課，對(duì)要點(diǎn)沒(méi)聽(tīng)到或聽(tīng)不全，筆記記了一大本，問(wèn)題也有一大堆；課后又不能及時(shí)鞏固、總結(jié)、尋找知識(shí)間的聯(lián)系，只是趕做作業(yè)，亂套題型，對(duì)概念、法則、公式、定理一知半解，機(jī)械模仿，死記硬背。還有些同學(xué)晚上加班加點(diǎn)，白天無(wú)精打采，或是上課根本不聽(tīng)，自己另搞一套，結(jié)果是事倍功半，收效甚微。4不重視基礎(chǔ)。一些“自我感覺(jué)良好”的同學(xué)，常輕視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，經(jīng)常是知道怎么做就算了，而不去認(rèn)真演算書(shū)寫(xiě)，但對(duì)難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好高騖遠(yuǎn)，重“量”輕“質(zhì)”，陷入題海。到正規(guī)作業(yè)或考試中不是演算出錯(cuò)就是中途“卡殼”。5進(jìn)一步學(xué)習(xí)條件不具備。高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，知識(shí)的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎(chǔ)知識(shí)與技能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備。高中數(shù)學(xué)很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數(shù)值的求法、實(shí)根分布與參變量的討論、，三角公式的變形與靈活運(yùn)用、空間概念的形成、排列組合應(yīng)用題及實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等。有的內(nèi)容還是初中教材都不講的脫節(jié)內(nèi)容，如不采取補(bǔ)救措施，查缺補(bǔ)漏，就必然會(huì)跟不上高中學(xué)習(xí)的要求。三科學(xué)地進(jìn)行學(xué)習(xí)高中學(xué)生僅僅想學(xué)是不夠的，還必須“會(huì)學(xué)”，要講究科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)習(xí)效率，才能變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，才能提高學(xué)習(xí)成績(jī)。1培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。反復(fù)使用的方法將變成人們的習(xí)慣。什么是良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣？良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣包括制定計(jì)劃、課前自學(xué)、專心上課、及時(shí)復(fù)習(xí)、獨(dú)立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結(jié)和課外學(xué)習(xí)幾個(gè)方面。(1)制定計(jì)劃使學(xué)習(xí)目的明確，時(shí)間安排合理，不慌不忙，穩(wěn)扎穩(wěn)打，它是推動(dòng)主動(dòng)學(xué)習(xí)和克服困難的內(nèi)在動(dòng)力。但計(jì)劃一定要切實(shí)可行，既有長(zhǎng)遠(yuǎn)打算，又有短期安排，執(zhí)行過(guò)程中嚴(yán)格要求自己，磨煉學(xué)習(xí)意志。(2)課前自學(xué)是上好新課、取得較好學(xué)習(xí)效果的基礎(chǔ)。課前自學(xué)不僅能培養(yǎng)自學(xué)能力，而且能提高學(xué)習(xí)新課的興趣，掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)。自學(xué)不能走過(guò)場(chǎng)，要講究質(zhì)量，力爭(zhēng)在課前把教材弄懂，上課著重聽(tīng)老師講思路，把握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，盡可能把問(wèn)題解決在課堂上。(3)上課是理解和掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)?！皩W(xué)然后知不足”，課前自學(xué)過(guò)的同學(xué)上課更能專心聽(tīng)課，他們知道什么地方該詳，什么地方可以一帶而過(guò)，該記的地方才記下來(lái)，而不是全抄全錄，顧此失彼。(4)及時(shí)復(fù)習(xí)是高效率學(xué)習(xí)的重要一環(huán)。通過(guò)反復(fù)閱讀教材，多方面查閱有關(guān)資料，強(qiáng)化對(duì)基本概念知識(shí)體系的理解與記憶，將所學(xué)的新知識(shí)與有關(guān)舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行分析比效，一邊復(fù)習(xí)一邊將復(fù)習(xí)成果整理在筆記本上，使對(duì)所學(xué)的新知識(shí)由“懂”到“會(huì)”。(5)獨(dú)立作業(yè)是通過(guò)自己的獨(dú)立思考，靈活地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，進(jìn)一步加深對(duì)所學(xué)新知識(shí)的理解和對(duì)新技能的掌握過(guò)程。這一過(guò)程也是對(duì)意志毅力的考驗(yàn)，通過(guò)運(yùn)用使對(duì)所學(xué)知識(shí)由“會(huì)”到“熟”。(6)解決疑難是指對(duì)獨(dú)立完成作業(yè)過(guò)程中暴露出來(lái)對(duì)知識(shí)理解的錯(cuò)誤，或由于思維受阻遺漏解答，通過(guò)點(diǎn)撥使思路暢通，補(bǔ)遺解答的過(guò)程。解決疑難一定要有鍥而不舍的精神。做錯(cuò)的作業(yè)再做一遍。對(duì)錯(cuò)誤的地方要反復(fù)思考。實(shí)在解決不了的要請(qǐng)教老師和同學(xué)，并要經(jīng)常把易錯(cuò)的知識(shí)拿來(lái)復(fù)習(xí)強(qiáng)化，作適當(dāng)?shù)闹貜?fù)性練習(xí)，把求老師問(wèn)同學(xué)獲得的東西消化變成自己的知識(shí)，使所學(xué)到的知識(shí)由“熟”到“活”。(7)系統(tǒng)小結(jié)是通過(guò)積極思考，達(dá)到全面系統(tǒng)深刻地掌握知識(shí)和發(fā)展認(rèn)識(shí)能力的重要環(huán)節(jié)。小結(jié)要在系統(tǒng)復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上以教材為依據(jù)，參照筆記與資料，通過(guò)分析、綜合、類(lèi)比、概括，揭示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，以達(dá)到對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通的目的。經(jīng)常進(jìn)行多層次小結(jié)，能對(duì)所學(xué)知識(shí)由“活”到“悟”。(8)課外學(xué)習(xí)包括閱讀課外書(shū)籍與報(bào)刊，參加學(xué)科競(jìng)賽與講座，走訪高年級(jí)同學(xué)或老師交流學(xué)習(xí)心得等。課外學(xué)習(xí)是課內(nèi)學(xué)習(xí)的補(bǔ)充和繼續(xù)，它不僅能豐富同學(xué)們的文化科學(xué)知識(shí)，加深和鞏固課內(nèi)所學(xué)的知識(shí)，而且能夠滿足和發(fā)展興趣愛(ài)好，培養(yǎng)獨(dú)立學(xué)習(xí)和工作的能力，激發(fā)求知欲與學(xué)習(xí)熱情。2循序漸進(jìn)，防止急躁。由于同學(xué)們年齡較小，閱歷有限，為數(shù)不少的同學(xué)容易急躁。有的同學(xué)貪多求快，囫圇吞棗；有的同學(xué)想靠幾天“沖刺”一蹴而就；有的取得一點(diǎn)成績(jī)便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同學(xué)們要知道，學(xué)習(xí)是一個(gè)長(zhǎng)期地鞏固舊知、發(fā)現(xiàn)新知的積累過(guò)程，決非一朝一夕可以完成的。為什么高中要學(xué)三年而不是三天！許多優(yōu)秀的同學(xué)能取得好成績(jī)，其中一個(gè)重要原因是他們的基本功扎實(shí)，他們的閱讀、書(shū)寫(xiě)、運(yùn)算技能達(dá)到了自動(dòng)化或半自動(dòng)化的熟練程度。3注意研究學(xué)科特點(diǎn)，尋找最佳學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)學(xué)科擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力的重任。它的特點(diǎn)是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對(duì)能力要求較高。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要講究“活”，只看書(shū)不做題不行，只埋頭做題不總結(jié)積累也不行。對(duì)課本知識(shí)既要能鉆進(jìn)去，又要能跳出來(lái)，結(jié)合自身特點(diǎn)，尋找最佳學(xué)習(xí)方法。華羅庚先生倡導(dǎo)的“由薄到厚”和“由厚到薄”的學(xué)習(xí)過(guò)程就是這個(gè)道理。方法因人而異，但學(xué)習(xí)的四個(gè)環(huán)節(jié)（預(yù)習(xí)、上課、作業(yè)、復(fù)習(xí)）和一個(gè)步驟（歸納總結(jié)）是少不了的。第二部分，現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)知識(shí)存在以下“脫節(jié)”1．立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用。2．因式分解初中一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對(duì)系數(shù)不為“1”的涉及不多，而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡(jiǎn)求值都要用到,如解方程、不等式等。3．二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。4．初中教材對(duì)二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容。配方、作簡(jiǎn)圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與常用方法。5．二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）在初中不作要求，此類(lèi)題目?jī)H限于簡(jiǎn)單常規(guī)運(yùn)算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安排專門(mén)的講授。6．圖像的對(duì)稱、平移變換，初中只作簡(jiǎn)單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對(duì)其圖像的上、下；左、右平移，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)，軸、直線的對(duì)稱問(wèn)題必須掌握。7．含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中這部分內(nèi)容視為重難點(diǎn)。方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。8．幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都沒(méi)有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識(shí)的講授。第三部分初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接緊密的知識(shí)點(diǎn)1絕對(duì)值：⑴在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值。⑵正數(shù)的絕對(duì)值是他本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是他的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0，即⑶兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小⑷兩個(gè)絕對(duì)值不等式:；或2乘法公式：⑴平方差公式：⑵立方差公式：⑶立方和公式：⑷完全平方公式：，⑸完全立方公式：3分解因式：⑴把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變化叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。⑵方法：①提公因式法，②運(yùn)用公式法，③分組分解法，④十字相乘法。4一元一次方程：⑴在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程。

⑵解一元一次方程的步驟：去分母，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為1。⑶關(guān)于方程解的討論①當(dāng)時(shí)，方程有唯一解；②當(dāng)，時(shí)，方程無(wú)解③當(dāng)，時(shí)，方程有無(wú)數(shù)解；此時(shí)任一實(shí)數(shù)都是方程的解。5二元一次方程組：（1）兩個(gè)二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。（2）適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。（3）二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。（4）解二元一次方程組的方法：①代入消元法，②加減消元法。6不等式與不等式組（1）不等式：①用符不等號(hào)（>、≠、<）連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向相反。（2）不等式的解集：①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。②一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。③求不等式解集的過(guò)程叫做解不等式。（3）一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。

（4）一元一次不等式組：①關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。

②一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集。③求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組。7一元二次方程：①方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根②方程有兩根同號(hào)③方程有兩根異號(hào)④韋達(dá)定理及應(yīng)用：,8函數(shù)

（1）變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量。

（2）一次函數(shù)：①若兩個(gè)變量,間的關(guān)系式可以表示成（為常數(shù)，不等于0）的形式，則稱是的一次函數(shù)。②當(dāng)=0時(shí)，稱是的正比例函數(shù)。

（3）一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)①把一個(gè)函數(shù)的自變量與對(duì)應(yīng)的因變量的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。②正比例函數(shù)=的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線。③在一次函數(shù)中，當(dāng)0，O，則經(jīng)2、3、4象限；當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、4象限；當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、3、4象限；當(dāng)0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、3象限。④當(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而增大，當(dāng)0時(shí)，的值隨值的增大而減少。（4）二次函數(shù)：①一般式：()，對(duì)稱軸是頂點(diǎn)是；②頂點(diǎn)式：()，對(duì)稱軸是頂點(diǎn)是；③交點(diǎn)式：()，其中（），（）是拋物線與x軸的交點(diǎn)（5）二次函數(shù)的性質(zhì)①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。②時(shí)，在對(duì)稱軸（）左側(cè)，值隨值的增大而減少；在對(duì)稱軸（）右側(cè)；的值隨值的增大而增大。當(dāng)時(shí)，取得最小值③時(shí)，在對(duì)稱軸（）左側(cè)，值隨值的增大而增大；在對(duì)稱軸（）右側(cè)；的值隨值的增大而減少。當(dāng)時(shí)，取得最大值9圖形的對(duì)稱（1）軸對(duì)稱圖形：①如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。②軸對(duì)稱圖形上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)確定的線段被對(duì)稱軸垂直平分。（2）中心對(duì)稱圖形：①在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做他的對(duì)稱中心。②中心對(duì)稱圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱中心平分。10平面直角坐標(biāo)系（1）在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系。水平的數(shù)軸叫做軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做軸或縱軸，軸與軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸，他們的公共原點(diǎn)稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。（2）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的對(duì)稱點(diǎn)：設(shè)，是直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)，①若和關(guān)于軸對(duì)稱，則有。②若和關(guān)于軸對(duì)稱，則有。③若和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有。④若和關(guān)于直線對(duì)稱，則有。⑤若和關(guān)于直線對(duì)稱，則有或。11統(tǒng)計(jì)與概率：

（1）科學(xué)記數(shù)法：一個(gè)大于10的數(shù)可以表示成的形式，其中大于等于1小于10，是正整數(shù)。

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖：①用圓表示總體，圓中的各個(gè)扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做扇形統(tǒng)計(jì)圖。②扇形統(tǒng)計(jì)圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)與360度的比。

（3）各類(lèi)統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)劣：①條形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚表示出每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)目；②折線統(tǒng)計(jì)圖：能清楚反映事物的變化情況；③扇形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。（5）平均數(shù)：對(duì)于個(gè)數(shù)，我們把()叫做這個(gè)個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，記為。

（6）加權(quán)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)里各個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度未必相同，因而，在計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí)往往給每個(gè)數(shù)據(jù)加一個(gè)權(quán)，這就是加權(quán)平均數(shù)。

（7）中位數(shù)與眾數(shù)：①N個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。②一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最大的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這個(gè)組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。③優(yōu)劣比較：平均數(shù)：所有數(shù)據(jù)參加運(yùn)算，能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，因此在現(xiàn)實(shí)生活中常用，但容易受極端值影響；中位數(shù)：計(jì)算簡(jiǎn)單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息；眾數(shù)：各個(gè)數(shù)據(jù)如果重復(fù)次數(shù)大致相等時(shí)，眾數(shù)往往沒(méi)有特別的意義。

（8）調(diào)查：①為了一定的目的而對(duì)考察對(duì)象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱為普查，其中所要考察對(duì)象的全體稱為總體，而組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象稱為個(gè)體。②從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查，其中從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。③抽樣調(diào)查只考察總體中的一小部分個(gè)體，因此他的優(yōu)點(diǎn)是調(diào)查范圍小，節(jié)省時(shí)間，人力，物力和財(cái)力，但其調(diào)查結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準(zhǔn)確。為了獲得較為準(zhǔn)確的調(diào)查結(jié)果，抽樣時(shí)要主要樣本的代表性和廣泛性。

（9）頻數(shù)與頻率：①每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，而每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率。②當(dāng)收集的數(shù)據(jù)連續(xù)取值時(shí)，我們通常先將數(shù)據(jù)適當(dāng)分組，然后再繪制頻數(shù)分布直方圖。

（10）數(shù)據(jù)的波動(dòng)：①極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差。②方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和的平均數(shù)。③標(biāo)準(zhǔn)差就是方差的算術(shù)平方根。④一般來(lái)說(shuō)，一組數(shù)據(jù)的極差，方差，或標(biāo)準(zhǔn)差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。（11）事件的可能性：①有些事情我們能確定他一定會(huì)發(fā)生，這些事情稱為必然事件；有些事情我們能肯定他一定不會(huì)發(fā)生，這些事情稱為不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的。②有很多事情我們無(wú)法肯定他會(huì)不會(huì)發(fā)生，這些事情稱為不確定事件。③一般來(lái)說(shuō)，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的。

（12）概率：①人們通常用1（或100%）來(lái)表示必然事件發(fā)生的可能性，用0來(lái)表示不可能事件發(fā)生的可能性。②游戲?qū)﹄p方公平是指雙方獲勝的可能性相同。③必然事件發(fā)生的概率為1，記作（必然事件）；不可能事件發(fā)生的概率為，記作（不可能事件）；如果A為不確定事件，那么第四部分分章節(jié)突破1.1數(shù)與式的運(yùn)算1.1.1絕對(duì)值1.1.2乘法公式1.1.3二次根式1.1.４分式1．2分解因式2.1一元二次方程2.1.1根的判別式2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）2．2二次函數(shù)2.2.1二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質(zhì)2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式2.2.3二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用2.3方程與不等式2.3.1二元二次方程組解法2.3.2一元二次不等式解法3．1相似形3.1.1．平行線分線段成比例定理3.1.2相似形3.2三角形3.2.1三角形的“四心”3.2.2幾種特殊的三角形3．3圓3.3.1直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系3.3.2點(diǎn)的軌跡1.1數(shù)與式的運(yùn)算1.１.1．絕對(duì)值絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零．即絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離．例1解不等式：＞4．解法一：由，得；由，得；①若，不等式可變?yōu)?，即?，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可變?yōu)?，?＞4，∴不存在滿足條件的x；③若，不等式可變?yōu)?，即?，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．綜上所述，原不等式的解為x＜0，或x＞4．13ABx04CDxP|x－1||x－3|圖1．1－1解法二：如圖1．1－1，表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離|PA|，即|PA|＝|13ABx04CDxP|x－1||x－3|圖1．1－1所以，不等式＞4的幾何意義即為|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知點(diǎn)P在點(diǎn)C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D(坐標(biāo)為4)的右側(cè)．x＜0，或x＞4．練習(xí)1．填空：（1）若，則x=_________；若，則x=_________.（2）如果，且，則b＝________；若，則c＝________.2．選擇題：下列敘述正確的是（）（A）若，則（B）若，則（C）若，則（D）若，則3．化簡(jiǎn)：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．1.1.2.乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3）三數(shù)和平方公式；（4）兩數(shù)和立方公式；（5）兩數(shù)差立方公式．對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明．例1計(jì)算：．解法一：原式===．解法二：原式===．例2已知，，求的值．解：．練習(xí)1．填空：（1）（）；（2）；（3）．2．選擇題：（1）若是一個(gè)完全平方式，則等于（）（A）（B）（C）（D）（2）不論，為何實(shí)數(shù)，的值（）（A）總是正數(shù)（B）總是負(fù)數(shù)（C）可以是零（D）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)1.1.3．二次根式一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．根號(hào)下含有字母、且不能夠開(kāi)得盡方的式子稱為無(wú)理式.例如，等是無(wú)理式，而，，等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化．為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等．一般地，與，與，與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫(xiě)成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類(lèi)似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類(lèi)二次根式．2．二次根式的意義將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：（1）；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）．例2計(jì)算：．解法一：＝＝＝＝＝．解法二：＝＝＝＝＝．例3試比較下列各組數(shù)的大?。海?）和；（2）和.解：（1）∵，，又，∴＜．（2）∵又4＞2eq\r(2)，∴eq\r(6)＋4＞eq\r(6)＋2eq\r(2)，∴＜.例4化簡(jiǎn)：．解：＝＝＝＝．例5化簡(jiǎn)：（1）；（2）．解：（1）原式．（2）原式=，∵，∴，所以，原式＝．例6已知，求的值．解：∵，，∴．練習(xí)1．填空：（1）＝_____；（2）若，則的取值范圍是_____；（3）_____；（4）若，則________．2．選擇題：等式成立的條件是（）（A）（B）（C）（D）3．若，求的值．4．比較大?。?－eq\r(3)eq\r(5)－eq\r(4)（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當(dāng)M≠0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：；．上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)．2．繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1若，求常數(shù)的值．解：∵，∴解得．例2（1）試證：（其中n是正整數(shù)）；（2）計(jì)算：；．（1）證明：∵，∴（其中n是正整數(shù)）成立．（2）解：由（1）可知＝．（3）證明：∵＝＝，又n≥2，且n是正整數(shù)，∴eq\f(1,n＋1)一定為正數(shù)，∴＜eq\f(1,2)．例3設(shè)，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．解：在2c2－5ac＋2a2＝0兩邊同除以a2，得2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，∴e＝eq\f(1,2)＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2．練習(xí)1．填空題：對(duì)任意的正整數(shù)n，()；2．選擇題：若，則＝（）（A）１（B）（C）（D）3．正數(shù)滿足，求的值．4．計(jì)算．習(xí)題1．1A組1．解不等式：(1)；(2)；(3)． ２．已知，求的值．3．填空：（1）＝________；（2）若，則的取值范圍是________；（3）________．B組1．填空：（1），，則________；（2）若，則____；2．已知：，求的值．C組1．選擇題：（1）若，則（）（A）（B）（C）（D）（2）計(jì)算等于（）（A）（B）（C）（D）2．解方程．3．計(jì)算：．4．試證：對(duì)任意的正整數(shù)n，有＜eq\f(1,4)．1.1.1．絕對(duì)值1．（1）；（2）；或2．D3．3x－181.1.2．乘法公式1．（1）（2）（3）2．（1）D（2）A1.1.3．二次根式1．（1）（2）（3）（4）．2．C3．14．＞1.1.4．分式1．eq\f(1,2)2．B3．4．習(xí)題1．1A組1．（1）或（2）－4＜x＜3（3）x＜－3，或x＞32．13．（1）（2）（3）B組1．（1）（2），或－eq\f(1,5)2．4．C組1．（1）C（2）C2．3．4．提示：1．2分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）；（4）．解：（1）如圖1．2－1，將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成－1與－2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為－3x，就是x2－3x＋2中的一次項(xiàng)，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．－ay－by－ay－byxx圖1．2－4－2611圖1．2－3－1－211圖1．2－2－1－2xx圖1．2－1說(shuō)明：今后在分解與本例類(lèi)似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖1．2－1中的兩個(gè)x用1來(lái)表示（如圖1．2－2所示）．（2）由圖1．2－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由圖1．2－4，得－11xy圖1．2－5－11xy圖1．2－5（4）＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)（如圖1．2－5所示）．2．提取公因式法與分組分解法例2分解因式：（1）；（2）．解：（1）===．或＝＝＝＝＝．（2）===．或===．3．關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、，則二次三項(xiàng)式就可分解為.例3把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：（1）；（2）．解：（1）令=0，則解得，，∴==．（2）令=0，則解得，，∴=．練習(xí)1．選擇題：多項(xiàng)式的一個(gè)因式為（）（A）（B）（C）（D）2．分解因式：（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3；（3）x2－2x－1；（4）．習(xí)題1．21．分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．2．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）．3．三邊，，滿足，試判定的形狀．4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．1.2分解因式1．B2．（1）(x＋2)(x＋4)（2）（3）（4）．習(xí)題1．21．（1）（2）（3）（4）2．（1）；（2）；（3）；（4）．3．等邊三角形4．2.1一元二次方程2.1.1根的判別式我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以將其變形為．①因?yàn)閍≠0，所以，4a2＞0．于是（1）當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，2＝；（2）當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－；（3）當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情況可以由b2－4ac來(lái)判定，我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判別式，通常用符號(hào)“Δ”來(lái)表示．綜上所述，對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，2＝；（2）當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－；（3）當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)），如果方程有實(shí)數(shù)根，寫(xiě)出方程的實(shí)數(shù)根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．（2）該方程的根的判別式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，．（3）由于該方程的根的判別式為Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以， ①當(dāng)a＝2時(shí)，Δ＝0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝1； ②當(dāng)a≠2時(shí)，Δ＞0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1＝1，x2＝a－1．（3）由于該方程的根的判別式為Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以①當(dāng)Δ＞0，即4(1－a)＞0，即a＜1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，； ②當(dāng)Δ＝0，即a＝1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝1； ③當(dāng)Δ＜0，即a＞1時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．說(shuō)明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過(guò)程中，需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類(lèi)討論．分類(lèi)討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來(lái)解決問(wèn)題．2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理） 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，則有 ；． 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系： 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理． 特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化為x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以兩個(gè)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例2已知方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值．分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個(gè)根．但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來(lái)解題，即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一個(gè)根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就為5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．所以，方程的另一個(gè)根為－，k的值為－7．解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，則2x1＝－，∴x1＝－．由（－）＋2＝－，得k＝－7．所以，方程的另一個(gè)根為－，k的值為－7．例3已知關(guān)于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值．分析： 本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值．但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零．解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化簡(jiǎn)，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．當(dāng)m＝－1時(shí)，方程為x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，滿足題意；當(dāng)m＝17時(shí)，方程為x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合題意，舍去．綜上，m＝17．說(shuō)明：（1）在本題的解題過(guò)程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可．（1）在今后的解題過(guò)程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式Δ是否大于或大于零．因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根．例4已知兩個(gè)數(shù)的和為4，積為－12，求這兩個(gè)數(shù)．分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù)．也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來(lái)求解．解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x，y，則x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．∴或因此，這兩個(gè)數(shù)是－2和6．解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程x2－4x－12＝0的兩個(gè)根．解這個(gè)方程，得x1＝－2，x2＝6． 所以，這兩個(gè)數(shù)是－2和6． 說(shuō)明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來(lái)解題）要比解法一簡(jiǎn)捷． 例5若x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根． （1）求|x1－x2|的值；（2）求的值；（3）x13＋x23． 解：∵x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根，∴，． （1）∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＝＋6＝，∴|x1－x2|＝． （2）． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－)×[(－)2－3×()]＝－． 說(shuō)明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問(wèn)題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），則，，∴|x1－x2|＝．于是有下面的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），則|x1－x2|＝（其中Δ＝b2－4ac）．今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論．例6若關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：設(shè)x1，x2是方程的兩根，則x1x2＝a－4＜0，①且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．②由①得a＜4，由②得a＜eq\f(17,4)．∴a的取值范圍是a＜4．練習(xí)1．選擇題：（1）方程的根的情況是（）（A）有一個(gè)實(shí)數(shù)根（B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（D）沒(méi)有實(shí)數(shù)根（2）若關(guān)于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）（A）m＜（B）m＞－（C）m＜，且m≠0（D）m＞－，且m≠02．填空:（1）若方程x2－3x－1＝0的兩根分別是x1和x2，則＝．（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情況是．（3）以－3和1為根的一元二次方程是．3．已知，當(dāng)k取何值時(shí)，方程kx2＋ax＋b＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？4．已知方程x2－3x－1＝0的兩根為x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．習(xí)題2.1A組1．選擇題:（1）已知關(guān)于x的方程x2＋kx－2＝0的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是（）（A）－3（B）3（C）－2（D）2（2）下列四個(gè)說(shuō)法：①方程x2＋2x－7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為－7；②方程x2－2x＋7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為7；③方程3x2－7＝0的兩根之和為0，兩根之積為；④方程3x2＋2x＝0的兩根之和為－2，兩根之積為0．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)（3）關(guān)于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一個(gè)根是0，則a的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－12．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的兩根之和為－2，則k＝．（2）方程2x2－x－4＝0的兩根為α，β，則α2＋β2＝．（3）已知關(guān)于x的方程x2－ax－3a＝0的一個(gè)根是－2，則它的另一個(gè)根是．（4）方程2x2＋2x－1＝0的兩根為x1和x2，則|x1－x2|＝．3．試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒(méi)有實(shí)數(shù)根？4．求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－7x－1＝0各根的相反數(shù)．B組1．選擇題:若關(guān)于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的兩根互為相反數(shù)，則k的值為（）（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）02．填空:（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2n＋mn2－mn的值等于．（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．3．已知關(guān)于x的方程x2－kx－2＝0．（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩根為x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根為x1和x2．求：（1）|x1－x2|和；（2）x13＋x23．5．關(guān)于x的方程x2＋4x＋m＝0的兩根為x1，x2滿足|x1－x2|＝2，求實(shí)數(shù)m的值．C組1．選擇題：（1）已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程2x2－8x＋7＝0的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于（）（A）（B）3（C）6（D）9（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的兩個(gè)根，則的值為（）（A）6（B）4（C）3（D）（3）如果關(guān)于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有兩實(shí)數(shù)根α，β，則α＋β的取值范圍為（）（A）α＋β≥（B）α＋β≤（C）α＋β≥1（D）α＋β≤1（4）已知a，b，c是ΔABC的三邊長(zhǎng)，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情況是（）（A）沒(méi)有實(shí)數(shù)根（B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（D）有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的兩根為x1，x2，且3x1＋2x2＝18，則m＝．3．已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）是否存在實(shí)數(shù)k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由；（2）求使－2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值；（3）若k＝－2，，試求的值．4．已知關(guān)于x的方程．（1）求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相應(yīng)的x1，x2．5．若關(guān)于x的方程x2＋x＋a＝0的一個(gè)大于1、零一根小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2.1一元二次方程練習(xí)1．（1）C（2）D2．（1）－3（2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（3）x2＋2x－3＝03．k＜4，且k≠04．－1提示：(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9習(xí)題2．1A組1．（1）C（2）B提示：②和④是錯(cuò)的，對(duì)于②，由于方程的根的判別式Δ＜0，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；對(duì)于④，其兩根之和應(yīng)為－．（3）C提示：當(dāng)a＝0時(shí)，方程不是一元二次方程，不合題意．2．（1）2（2）（3）6（3）3．當(dāng)m＞－，且m≠0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m＝－時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m＜－時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．4．設(shè)已知方程的兩根分別是x1和x2，則所求的方程的兩根分別是－x1和－x2，∵x1＋x2＝7，x1x2＝－1，∴(－x1)＋(－x2)＝－7，(－x1)×(－x2)＝x1x2＝－1，∴所求的方程為y2＋7y－1＝0．B組1．C提示：由于k=1時(shí)，方程為x2＋2＝0，沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以k＝－1．2．（1）2006提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006．（2）－3提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a3＋a2b＋ab2＋b3＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋b)(a2＋b2)＝(a＋b)[(a＋b)2－2ab]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．3．（1）∵Δ＝(－k)2－4×1×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．4．（1）|x1－x2|＝，＝；（2）x13＋x23＝．5．∵|x1－x2|＝，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，滿足題意，∴m＝3．C組1．（1）B（2）A（3）C提示：由Δ≥0，得m≤，∴α＋β＝2(1－m)≥1．（4）B提示：∵a，b，c是ΔABC的三邊長(zhǎng)，∴a＋b＞c，∴Δ＝(a＋b)2－c2＞0．2．（1）12提示：∵x1＋x2＝8，∴3x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋x1＝2×8＋x1＝18，∴x1＝2，∴x2＝6，∴m＝x1x2＝12．3．（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立．∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴k≠0，且Δ＝16k2－16k(k+1)=－16k≥0，∴k＜0．∵x1＋x2＝1，x1x2＝，∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2x12－51x2＋2x22＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝2－＝－，即＝，解得k＝，與k＜0相矛盾，所以，不存在實(shí)數(shù)k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立．（2）∵－2＝＝，∴要使－2的值為整數(shù)，只須k＋1能整除4．而k為整數(shù)，∴k＋1只能取±1，±2，±4．又∵k＜0，∴k＋1＜1，∴k＋1只能?。?，－2，－4，∴k＝－2，－3，－5．∴能使－2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值為－2，－3和－5．（3）當(dāng)k＝－2時(shí)，x1＋x2＝1，①x1x2＝，②①2÷②，得＋2＝8，即，∴，∴．4．（1）Δ＝；（2）∵x1x2＝－≤0，∴x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0．①若x1≤0，x2≥0，則x2＝－x1＋2，∴x1＋x2＝2，∴m－2＝2，∴m＝4．此時(shí)，方程為x2－2x－4＝0，∴，．②若x1≥0，x2≤0，則－x2＝x1＋2，∴x1＋x2＝－2，∴m－2＝－2，∴m＝0．此時(shí)，方程為x2＋2＝0，∴x1＝0，x2＝－2．5．設(shè)方程的兩根為x1，x2，則x1＋x2＝－1，x1x2＝a，由一根大于1、另一根小于1，得(x1－1)(x2－1)＜0，即x1x2－(x1＋x2)+1＜0，∴a－(－1)＋1＜0，∴a＜－2．此時(shí)，Δ＝12－4×(－2)＞0，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜－2．2．2二次函數(shù)2.2.1二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質(zhì)問(wèn)題1函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問(wèn)題，我們可以先畫(huà)出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的圖象，通過(guò)這些函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間所存在的關(guān)系．先畫(huà)出函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了．y＝x2y＝2x2圖2.2-1xOy再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)y＝x2，y＝2x2y＝x2y＝2x2圖2.2-1xOy同學(xué)們也可以用類(lèi)似于上面的方法畫(huà)出函數(shù)y＝x2，y＝－2x2的圖象，并研究這兩個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系．通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象可以由y＝x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍得到．在二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的開(kāi)口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開(kāi)口的大?。畣?wèn)題2函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？圖2.2-2xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋1同樣地，我們可以利用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來(lái)研究它們之間的關(guān)系．同學(xué)們可以作出函數(shù)y＝2(x圖2.2-2xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋1類(lèi)似地，還可以通過(guò)畫(huà)函數(shù)y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系．通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開(kāi)口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”．由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開(kāi)口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線x＝－；當(dāng)x＜時(shí)，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x＞時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取最小值y＝．（2）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開(kāi)口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線x＝－；當(dāng)x＜時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞時(shí)，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取最大值y＝． 上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過(guò)圖2．2－3和圖2．2－4直觀地表示出來(lái)．因此，在今后解決二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決問(wèn)題．例1求二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋1圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大（或減?。?？并畫(huà)出該函數(shù)的圖象．解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函數(shù)圖象的開(kāi)口向下；對(duì)稱軸是直線x＝－1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，4)；當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)y取最大值y＝4；當(dāng)x＜－1時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞－1時(shí)，y隨著x的增大而減??；采用描點(diǎn)法畫(huà)圖，選頂點(diǎn)A(－1，4))，與x軸交于點(diǎn)B和C，與y軸的交點(diǎn)為D(0，1)，過(guò)這五點(diǎn)畫(huà)出圖象（如圖2－5所示）．說(shuō)明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫(huà)函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫(huà)圖更簡(jiǎn)便、圖象更精確．例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷(xiāo)階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：x/元130150165y/件705035若日銷(xiāo)售量y是銷(xiāo)售價(jià)x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？分析：由于每天的利潤(rùn)＝日銷(xiāo)售量y×(銷(xiāo)售價(jià)x－120)，日銷(xiāo)售量y又是銷(xiāo)售價(jià)x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤(rùn)最大值，首先需要求出每天的利潤(rùn)與銷(xiāo)售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤(rùn)的最大值．解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)y＝kx＋（B）將x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有解得k＝－1，b＝200．∴y＝－x＋200．設(shè)每天的利潤(rùn)為z（元），則z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∴當(dāng)x＝160時(shí)，z取最大值1600．答：當(dāng)售價(jià)為160元/件時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，為1600元．例3把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，求b，c的值．解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到的圖像，也就是函數(shù)y＝x2的圖像，所以，解得b＝－8，c＝14． 解法二：把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，等價(jià)于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像． 由于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝(x－4)2＋2的圖像，即為y＝x2－8x＋14的圖像，∴函數(shù)y＝x2－8x＋14與函數(shù)y＝x2＋bx＋c表示同一個(gè)函數(shù)，∴b＝－8，c＝14．說(shuō)明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題，所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律．這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進(jìn)行正向的思維來(lái)解決的，其運(yùn)算量相對(duì)較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來(lái)的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的問(wèn)題來(lái)解，具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)．今后，我們?cè)诮忸}時(shí)，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題．例4已知函數(shù)y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值．分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個(gè)變化的范圍，需要對(duì)a的取值進(jìn)行討論． 解：（1）當(dāng)a＝－2時(shí)，函數(shù)y＝x2的圖象僅僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)(－2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時(shí)x＝－2；（2）當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，由圖2．2－6①可知，當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)取最大值y＝4；當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)取最小值y＝a2；（3）當(dāng)0≤a＜2時(shí)，由圖2．2－6②可知，當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)取最大值y＝4；當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)取最小值y＝0；（4）當(dāng)a≥2時(shí)，由圖2．2－6③可知，當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)取最大值y＝a2；當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)取最小值y＝0．xxyO－2a①xyO－2aa24圖2.2－6xyOa－224a2②－2xyOaa24③說(shuō)明：在本例中，利用了分類(lèi)討論的方法，對(duì)a的所有可能情形進(jìn)行討論．此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù)，而是取部分實(shí)數(shù)來(lái)研究，在解決這一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，通常需要借助于函數(shù)圖象來(lái)直觀地解決問(wèn)題．練習(xí)1．選擇題：（1）下列函數(shù)圖象中，頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的是（）（A）y＝2x2（B）y＝2x2－4x＋2（C）y＝2x2－1（D）y＝2x2－4x（2）函數(shù)y＝2(x－1)2＋2是將函數(shù)y＝2x2（）（A）向左平移1個(gè)單位、再向上平移2個(gè)單位得到的（B）向右平移2個(gè)單位、再向上平移1個(gè)單位得到的（C）向下平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的（D）向上平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的2．填空題（1）二次函數(shù)y＝2x2－mx＋n圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2)，則m＝，n＝．（2）已知二次函數(shù)y＝x2+(m－2)x－2m，當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．（3）函數(shù)y＝－3(x＋2)2＋5的圖象的開(kāi)口向，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取最值y＝；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減?。?．求下列拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大（?。┲导皔隨x的變化情況，并畫(huà)出其圖象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6x－x2．4．已知函數(shù)y＝－x2－2x＋3，當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時(shí)，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大（?。┲禃r(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式通過(guò)上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．頂點(diǎn)式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－h(huán)，k)．除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來(lái)表示．為了研究另一種表示方式，我們先來(lái)研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．當(dāng)拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交時(shí)，其函數(shù)值為零，于是有ax2＋bx＋c＝0．① 并且方程①的解就是拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程①的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而方程①的解的個(gè)數(shù)又與方程①的根的判別式Δ＝b2－4ac有關(guān)，由此可知，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式Δ＝b2－4ac存在下列關(guān)系：（1）當(dāng)Δ＞0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則Δ＞0也成立．（2）當(dāng)Δ＝0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（拋物線的頂點(diǎn)）；反過(guò)來(lái)，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則Δ＝0也成立．（3）當(dāng)Δ＜0時(shí)，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則Δ＜0也成立．于是，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以x1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2． 所以，y＝ax2＋bx＋c＝a()=a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1)(x－x2)．由上面的推導(dǎo)過(guò)程可以得到下面結(jié)論： 若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點(diǎn)，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3．交點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來(lái)解題．例1已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，－1），求二次函數(shù)的解析式．分析：在解本例時(shí)，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點(diǎn)位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式，再由函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)來(lái)求解出系數(shù)a．解：∵二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．又頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）．設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，－1），∴，解得a＝－2．∴二次函數(shù)的解析式為，即y＝－2x2＋8x－7．說(shuō)明：在解題時(shí)，由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最終解決了問(wèn)題．因此，在解題時(shí)，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題．例2已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式．分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過(guò)的兩點(diǎn)實(shí)際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式．解法一：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，∴可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展開(kāi)，得y＝ax2＋2ax－3a，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝，或y＝－． 分析二：由于二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，所以，對(duì)稱軸為直線x＝－1，又由頂點(diǎn)到x軸的距離為2，可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或－2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來(lái)解，然后再利用圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式． 解法二：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，∴對(duì)稱軸為直線x＝－1．又頂點(diǎn)到x軸的距離為2，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或－2．于是可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－，或a＝．所以，所求的二次函數(shù)為y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2． 說(shuō)明：上述兩種解法分別從與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)這兩個(gè)不同角度，利用交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式來(lái)解題，在今后的解題過(guò)程中，要善于利用條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題．例3已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函數(shù)的表達(dá)式．解：設(shè)該二次函數(shù)為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函數(shù)為y＝－2x2＋12x－8．通過(guò)上面的幾道例題，同學(xué)們能否歸納出：在