連續(xù)系統(tǒng)的時域分析課件

第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析1.LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析：2.特點：比較直觀、物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換時域分析法：函數(shù)的變量----t域分析法的基礎(chǔ)

3.時域分析法主要內(nèi)容：概述：求出響應(yīng)與激勵關(guān)系

經(jīng)典法

零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

沖擊響應(yīng)與卷積積分

建立線性微分方程并本章主要內(nèi)容2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)一、微分方程的經(jīng)典解二、關(guān)于0-和0+初始值三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、沖激響應(yīng)二、階躍響應(yīng)2.3卷積積分一、信號時域分解與卷積二、卷積的圖解2.4卷積積分的性質(zhì)一、卷積代數(shù)二、奇異函數(shù)的卷積特性三、卷積的微積分性質(zhì)四、卷積的時移特性2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)一、微分方程的經(jīng)典解二、關(guān)于0-和0+值三、零輸入響應(yīng)四、零狀態(tài)響應(yīng)五、全響應(yīng)一、微分方程的經(jīng)典解y(n)(t)+an-1y

(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f

(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)高等數(shù)學(xué)中經(jīng)典解法：完全解=齊次解+特解。

y(t)(完全解)=yh(t)(齊次解)+yp(t)(特解）LTI連續(xù)系統(tǒng)：常系數(shù)的n階線性常微分方程

齊次解：

滿足齊次方程的通解，又叫齊次解

特解：

滿足非齊次方程的解，叫特解1.齊次解—與微分方程特征根決定

齊次解是齊次微分方程

y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解齊次方程：特征方程：特征根：r重共軛復(fù)根齊次解的形式由微分方程特征根確定y(n)(t)+an-1y

(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f

(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)一般微分方程表2－1不同特征根所對應(yīng)的齊次解特征根

齊次解yh(t)單實根/n個單實根et/r重實根(Cr-1tr-1+Cr-2tr-2+…C1t1+C0)et一對共軛復(fù)根

1,2=jet[Ccos(t)+Dsin(t)]或Acos(t-)其中Aej

=C+jDr重共軛復(fù)根[Ar-1tr-1cos(t+r-1)+Ar-2tr-2cos(t+r-2)+…+A0cos(t+0)]et齊次解的待定系數(shù)Ci在求得全解后由初始條件確定滿足方程必須代入t＞0時刻的初值y（0+）參考點齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)(反映的是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu))而與激勵f(t)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)；齊次解舉例解：系統(tǒng)的特征方程為特征根對應(yīng)的齊次解為2.特解—特解函數(shù)形式與激勵的函數(shù)有關(guān)特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)形式有關(guān)如下表，將特解函數(shù)式→代入原方程，比較定出待定系數(shù)。激勵f(t)響應(yīng)y(t)的特解yp(t)特征根均不為0α≠特征根α=特征根α=r重特征根特征根≠±jβ有r重等于0的特征根特解舉例如果已知：分別求兩種情況下此方程的特解。

例：給定微分方程式解:(1)由于f(t)=t2，故特解函數(shù)式為將此式代入方程得到

這里，P2，P1，P0，等式兩端各對應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有聯(lián)解得到所以，特解為(2)當(dāng)f(t)=et時

特解為yp(t)=Pet，這里，P是待定系數(shù)。代入方程后有：3.全解完全解=齊次解+特解注意：

齊次解的函數(shù)形式：僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)特解中待定系數(shù)：特解帶入非齊次方程，對比求；齊次解中待定系數(shù)：在全解求得后由初始條件定。滿足方程必須代入t＞0時刻的初值y（0+）與激勵f(t)的函數(shù)形式無關(guān)又叫固有響應(yīng)或自由響應(yīng)特解的函數(shù)形式：又叫強迫響應(yīng)由激勵確定自由響應(yīng)強迫響應(yīng)解:(1)特征方程為λ2+5λ+6=0其特征根

λ1=–2，λ2=–3。齊次解為yh(t)=C1e–2t+C2e–3t

因為f(t)=2e–t，故其特解可設(shè)為

yp(t)=Pe–t

將其代入微分方程得

Pe–t+5(–Pe–t)+6Pe–t=2e–t

解得P=1

于是特解為yp(t)=e–t例描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求（1）當(dāng)f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1時的全解；（2）當(dāng)f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0時的全解。舉例其中待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。0+y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0全解為：

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t

注意：自由響應(yīng)的系數(shù)Cj由系統(tǒng)的初始狀態(tài)和激勵信號共同來確定自由響應(yīng)強迫響應(yīng)一般輸入是在t=0時接入系統(tǒng)方程的解適用于t＞0解：齊次解同上。由于f(t)=e–2t，其指數(shù)與特征根之一相重。故其特解可設(shè)為yp(t)=(P1t+P0)e–2t代入微分方程可得P1e-2t=e–2t所以P1=1但P0不能求得。全解為y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t將初始條件代入，得y(0)=(C1+P0)+C2=1，y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得C1+P0=2,C2=–1最后得微分方程的全解為y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0注：上式第一項的系數(shù)C1+P0=2，不能區(qū)分C1和P0，因而也不能區(qū)分自由響應(yīng)和強迫響應(yīng)。（2）當(dāng)f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0時的全解。y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)總結(jié)經(jīng)典解思路

1完全解

y(t)(完全解)=yh(t)(齊次解)+yp(t)(特解）2Yh(t)(齊次解)Yh(t)-----齊次方程----特征方程-----特征根--齊次解形式3yp(t)

yp(t)

(特解）----輸入激勵f(t)-----特解—帶入方程---待定系數(shù)求特解4

將y(t)代入初始條件求解齊次解系數(shù)c1,c2---完全解在t=0-時，激勵尚未接入，該時刻的值y(j)(0-)反映了系統(tǒng)的歷史情況而與激勵無關(guān)。稱這些值為初始狀態(tài)或起始值。為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)y(j)(0-)設(shè)法求得y(j)(0+)。若輸入f(t)是在t=0時接入系統(tǒng)，方程的解適用于t＞0則確定待定系數(shù)Ci時用t=0+時刻的初始值，即y(j)(0+)(j=0,1,2…，n-1)。y(j)(0+)包含了輸入信號的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。二．關(guān)于0-和0+狀態(tài)的轉(zhuǎn)換解：將輸入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)（1）（由于上式對于所有t都成立，等號兩端δ(t)項的系數(shù)應(yīng)相等。）由于等號右端為2δ(t)，故y”(t)應(yīng)包含沖激函數(shù)，從而y’(t)在t=0處將發(fā)生躍變，即y’(0+)≠y’(0-)。但y’(t)不含沖激函數(shù)，否則y”(t)將含有δ’(t)項。由于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0處是連續(xù)的。故y(0+)=y(0-)=2*方程包含δ(t)，則積分后函數(shù)有間斷點，方程不包含δ(t)，則積分后函數(shù)連續(xù)*例：描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。由于積分在無窮小區(qū)間[0-，0+]進(jìn)行的，且y(t)在t=0連續(xù)，故y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)（1）對式(1)兩端積分有于是由上式得[y’(0+)–y’(0-)]+3[y(0+)–y(0-)]=2因為y(0+)=y(0-)=2，所以y’(0+)–y’(0-)=2，y’(0+)=y’(0-)+2=2結(jié)論：當(dāng)微分方程等號右端含有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時，響應(yīng)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些在t=0處將發(fā)生躍變。但如果右端不含時，則不會躍變。零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

y(t)=yzi(t)+yzs(t)

LTI系統(tǒng)響應(yīng)第1種：自由響應(yīng)+強迫響應(yīng)第2種：零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)yzit):

沒有外加輸入信號，只由起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)；yzst):

不考慮起始儲能的作用（起始狀態(tài)=0），只由系統(tǒng)外加輸入信號所產(chǎn)生的響應(yīng)。全響應(yīng)

y(t)=yzi(t)+yzs(t)的求取方法：借助經(jīng)典方法卷積積分法（后面學(xué)）1.概述

y(t)=yh(t)+yp(t)全響應(yīng)

y(t)=yzi(t)+yzs(t)

三、零輸入響應(yīng)yzi(t)（沒有外加輸入信號，只由起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)）零輸入響應(yīng)，對應(yīng)的輸入為零，齊次微分方程為y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)＝0當(dāng)其特征根都為單根，則零輸入響應(yīng)為：由于激勵為零，故有yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-),(j=0,1,…,n-1)由yzi(j)(0+)（0+=0-）由y(j)(0+)對比齊次解四、零狀態(tài)響應(yīng)

起始狀態(tài)為0只由外加輸入信號所產(chǎn)生的響應(yīng)非齊次方程y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)對于零狀態(tài)響應(yīng)，在t=0-時刻激勵尚未接入，故應(yīng)有yzs(j)(0-)=0；若微分方程的特征根均為單根，則其零狀態(tài)響應(yīng)為Czsj

為待定系數(shù)，yp(t)為方程的特解由yzs(j)(0+)(j=0,1,2,-------n-1)五、全響應(yīng)如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)不為零，在激勵f(t)的作用下，LTI系統(tǒng)的響應(yīng)稱為全響應(yīng)，它是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和，即

y(t)=yzi(t)+yzs(t)由y(j)(0+)由yzi(j)(0+)由yzs(j)(0+)

響應(yīng)及各階導(dǎo)數(shù)初始值(j=0,1,2,-------n-1)

y(t)=yzi(t)+yzs(t)

y（j)(t)=yzi(j)(t)+yzs(j)(t)

y（j)(0-)=yzi(j)(0-)+yzs(j)(0-)

y（j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+)響應(yīng)：且yzi(0+)、

yzs(0+)、

及各階導(dǎo)數(shù)的確定（1）零輸入響應(yīng)的

起始條件yzi(0+)

—齊次方程解，系數(shù)不同其中：Czij要由起始條件yzi(j)(0+)定且yzi（j)

(0+)=yzi(j)(0-)=y

(j)(0-)零輸入響應(yīng)注意：cj初始狀態(tài)和激勵信號共同決定固有響應(yīng)滿足方程必須代入t＞0時刻的初值y（0+）(j=0,1,2,-------n-1)（2）零狀態(tài)響應(yīng)起始條件yzs(0+)零狀態(tài)響應(yīng)Czsj--由yzs(j)(0+)定t=0_時:激勵沒有接入yzs

(j)(0-)=0零狀態(tài)（前提）t>0后：t>0后：有輸入微分方程=右端有沒有δ函數(shù)若有，利用δ函數(shù)匹配法(j=0,1,2,-------n-1)解：（1）零輸入響應(yīng)yzi(t)激勵為0，故yzi(t)滿足yzi”(t)+3yzi’(t)+2yzi(t)=0該齊次方程的特征根為–1，–2，故yzi(t)=Czi1e–t+Czi2e–2t（Czi1Czi2

由yzi1(0+)、yzi2(0+)決定）yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2yzi’(0+)=yzi’(0-)=y’(0-)=0代入初始值并解得系數(shù)為Czi1=4,Czi2=–2，代入得yzi(t)=4e–t–2e–2t,t>0例：描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。注意此時系數(shù)C的求法?。?）零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)yzs(t)解的形式：同非齊次方程，由兩部分組成形式同齊次方程的解特解（滿足非齊次方程）yzs(j)(0+)Czs1Czs2:由yzs(0+)

及yzs,(0+)定yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=6yzs(t)中有3各系數(shù)待定：Czs1,Czs2,CC應(yīng)滿足：帶入方程求得：

C=3

yzs(0+)=？yzs

’(0+)=？由δ函數(shù)匹配法定：分析+直接積分(對t>0后)yzs(0+)=0yzs’(0+)=2

yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=2δ(t)+6ε(t)

yzs(0-)=yzs’(0-)=0

零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)滿足下列方程yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+C

該齊次方程的特征根為–1，–2y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)

yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=2δ(t)+6ε(t)

右端有δ(t)微分方程積分得：yzs”(t)含有δ(t)yzs’(t)躍變yzs(t)在t=0連續(xù)yzs’(0+)≠yzs’(0-)yzs(0+)=yzs(0-)=0[yzs’(0+)-yzs’(0-)]+3[yzs(0+)-yzs(0-)]+2

因此，yzs’(0+)=2+yzs’(0-)=2

yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3

代入初始值yzs(0+)=0，yzs’(0+)=2求得

yzs(t)=–4e-t+e-2t+3，t≥0

yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=2δ(t)+6ε(t)

§2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)概述：學(xué)習(xí)了2種求LTI系統(tǒng)響應(yīng)的方法自由響應(yīng)+強迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

下面一節(jié)的內(nèi)容，針對零狀態(tài)響應(yīng)的求取，找尋一種好方法。零狀態(tài)響應(yīng)

把一激勵信號（函數(shù)），分解為沖擊函數(shù)或階

沖擊響應(yīng)

階躍響應(yīng)躍函數(shù)之和(積分），只要求出了系統(tǒng)對沖擊函數(shù)或階躍函數(shù)的響應(yīng)，利用LTI系統(tǒng)的特性，在系統(tǒng)的輸出端，疊加得到系統(tǒng)總的零狀態(tài)響應(yīng)。學(xué)習(xí)系統(tǒng)對沖擊或階躍信號的零狀態(tài)響應(yīng)：一、沖激響應(yīng)1．定義

由單位沖激函數(shù)δ(t)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)。

h(t)=T[{0},δ(t)]沖激響應(yīng)示意圖

{x(0)}={0}2．系統(tǒng)沖激響應(yīng)的求解沖激響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型對于LTI系統(tǒng),可以用一n階微分方程表示

令f(t)=

(t)則y(t)=h(t) 響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為n次)激勵及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為m次)例:當(dāng)特征根均為單根時

h(t)解的形式:由于

(t)及其導(dǎo)數(shù)在t≥0+

時都為零，因而方程式右端的自由項恒等于零.②與n,

m相對大小有關(guān)

①與特征根有關(guān)這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次解的形式相同。

0帶ε(t)當(dāng)n階微分方程右端只含激勵f（t）=δ(t)

時沖擊響應(yīng)滿足：

h(n)(t)+an-1h(n-1)(t)+…+a1h(1)(t)+a0h(t)=δ(t)且解：求特征根沖激響應(yīng)例1求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)兩種求待定系數(shù)方法：δ平衡求0+法

奇異函數(shù)相平衡求待定系數(shù)法法一：δ平衡求0+值確定系數(shù)代入h(t)，確定系數(shù)C1,C2，得代入微分方程，利用δ(t)系數(shù)匹配:a=1b=-2所以：對式(1)從0-到0+積分得:

h,

(0+)–h,(0-)=–2對式(2)從0-到0+積分得:

h(0+)–h(0-)=1法二：用奇異函數(shù)項相平衡法求待定系數(shù)根據(jù)系數(shù)平衡，得不用求h(0+)、h,(0+)解法三：線性時不變性質(zhì)法解：求沖擊響應(yīng)

設(shè)h1(t)滿足簡單方程將邊界條件代入h1(t)式，解得C1=1/2，C2=-1/2，則由系統(tǒng)的線性時不變特性解根據(jù)h(t)的定義有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)

(1)由方程可知，h(t)中含δ(t)h’(0-)=h(0-)=0先求h’(0+)和h(0+)。令h”(t)=aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+p3(t)h’(t)=aδ’(t)+bδ(t)+p2(t)h(t)=aδ(t)+p1(t)[p1(t)為不含δ(t)的某函數(shù)]代入式(1)，有例2描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f”(t)+2f’(t)+3f(t)求其沖激響應(yīng)h(t)。整理得aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c+5b+6a)δ(t)+p3(t)+5p2(t)+6p1(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)利用δ(t)系數(shù)匹配，得a=1，b=-3，c=12所以h(t)=δ(t)+p1(t)（2）h’(t)=δ’(t)-3δ(t)+p2(t)（3）h”(t)=δ”(t)-3δ’(t)+12δ(t)+p3(t)（4）對式(3)從0-到0+積分得h(0+)–h(0-)=–3對式(4)從0-到0+積分得h’(0+)–h’(0-)=12aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+p3(t)+5[aδ’(t)+bδ(t)+p2(t)]+6[aδ(t)+p1(t)]=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)微分方程的特征根為–2，–3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=C1e–2t+C2e–3t

，t>0代入初始條件h(0+)=–3，h’(0+)=12求得C1=3，C2=–6,所以h(t)=3e–2t–6e–3t,t>0結(jié)合式(2)得h(t)=δ(t)+(3e–2t–6e–3t)ε(t)對t>0時，有h”(t)+6h’(t)+5h(t)=0故h(0+)=–3，h’(0+)=123.基本單元的沖激響應(yīng)

二、階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)示意圖*階躍響應(yīng)是激勵為單位階躍函數(shù)

(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，如下圖所示。線性非時變系統(tǒng)g(t){x(0)}＝{0}01t(t)g(t)0t(t)用g(t)表示階躍響應(yīng)如果描述系統(tǒng)的微分方程是式y(tǒng)(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=f(t)，當(dāng)f(t)=

(t)時，有式（1）的特解為其初始值為:t＞0，若微分方程的特征根λi(i=1，2，…，n)均為單根，則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的一般形式(n≥m)為

若描述系統(tǒng)的微分方程是式可根據(jù)LTI系統(tǒng)的線性性質(zhì)和微積分特性求出階躍響應(yīng)：g(j)(0+)解：系統(tǒng)的微分方程設(shè)圖中左端積分器的輸入為x’’(t)，輸出為x’(t)，

右端積分器的其輸入為x’(t)，則輸出為x(t)。

左端加法器的輸出為x’’(t)＝-3x’(t)-2x(t)+f(t)即x’’(t)+3x’(t)+2x(t)＝f(t)（1）右端加法器的輸出為：y(t)=-x’(t)+2x(t)（2）例2.2-3如圖2.2-3所示的LTI系統(tǒng)，求其階躍響應(yīng)

y(t)－++f(t)--2312

x’’(t)

x’(t)

x(t)x’’(t)+3x’(t)+2x(t)＝f(t);（1）y(t)=-x’(t)+2x(t)

（2）階躍響應(yīng)若設(shè)（1）式所述系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為gx(t),則有

g(t)=-g’x(t)+2gx(t)gx(t)滿足方程

gx’’(t)+3gx’(t)+2gx(t)＝

(t)gx(0_)=g’x(0_)=0其特征根

1＝－1；2＝－2，其特解為0.5，于是得

gx(t)＝(C1e-t+C2e-2t+0.5)

(t)初始值為gx(0＋)=g’x(0＋)=0，代入上式得

gx(0＋)=C1+C2+0.5=0;g’x(0＋)=-C1-2C2=0解得

C1＝-1；C2＝0.5所以，gx(t)＝(-e-t+0.5e-2t+0.5)

(t)求出g’x(t)，代入g(t)=-g’x(t)+2gx(t)得

g(t)=-g’x(t)+2gx(t)＝(-3e-t+2e-2t+1)

(t)解法二：由（1）、（2）式求得x’’(t)+3x’(t)+2x(t)＝f(t);（1）y(t)=-x’(t)+2x(t)

（2）系統(tǒng)的微分方程為：y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=-f’(t)+2f(t)當(dāng)f(t)=(t)時，有先求h’(0+)和h(0+)令：由（4）式從0-到0+積分得將上三式代入（3）式得由（5）式從0-到0+積分得可以求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

h(t)=(3e-t-4e-2t)

(t)當(dāng)t>0,有所以由2.3卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分1.信號的時域分解(1)預(yù)備知識問f1(t)=?p(t)P（t）延時(2)任意信號分解“0”號脈沖高度f(0),寬度為△，用p(t)表示為：f(0)△p(t)“1”號脈沖高度f(△),寬度為△，用p(t-△)表示為：f(△)△p(t-△)“-1”號脈沖高度f(-△)、寬度為△，用p(t+△)表示為：f(-△)△p(t+△)(2)任意信號分解任意f(t)用許多窄脈沖表示出來信號f(t)分解為沖擊函數(shù)疊加n△→τ（連續(xù)）△→dτ（無限?。│病襢(n△)→f(τ)P(t-n△)→δ(t-τ)△→0有2.任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(t)f(t)根據(jù)h(t)的定義：δ(t)

h(t)由時不變性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齊次性：f(τ)h(t-τ)由疊加性：‖f(t)‖yzs(t)卷積積分3.卷積積分的定義

已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上的兩個函數(shù)f1(t)為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡稱卷積；記為變量，t為參變量，結(jié)果仍為t的函數(shù)。和f2(t)，則定義積分

f(t)=f1(t)*f2(t)注意：積分是在虛設(shè)的變量τ下進(jìn)行的，τ為積分注意積分限問題：二、卷積的圖解法卷積過程可分解為四步：（1）換元：t換為τ→得f1(τ)、f2(τ)（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(τ)反轉(zhuǎn)→f2(–τ)平移t→f2(t-τ)（3）兩信號重疊部分相乘：f1(τ)f2(t-τ)（有值保留）（4）相乘后圖形積分：τ從–∞到∞對乘積項積分。（重疊面積）注意：t為參變量，t在實數(shù)軸上取值圖解法計算卷積舉例例1f(t)、h(t)如圖所示，求yzs(t)=h(t)*f(t)解h(t)函數(shù)形式復(fù)雜,換元h(τ)。

f(t)函數(shù)：換元為f(τ)、反折h(τ)τf(-τ)τf(t)h(t)tt122并平移t22t

f(t-τ)h(τ)圖解法計算卷積舉例(2)0≤t≤1⑴t≤0

f(t-τ)：

yzs(t)=0

f(t-τ)2th(τ)(3)1≤t≤221h(τ)t1h(τ)tτ<t≤0,h(τ)=0f(t)1圖解法計算卷積舉例(4)2≤t≤3(5)3≤t≤+∞h(τ)t323tt-1h(τ)2例2.3-1f1(t)、f2(t)如圖所示，求f(t)=f1(t)*f2(t)f1(t)t-222解f1(t)函數(shù)：換元為f1(τ)f2(t)函數(shù)：換元為f2(τ)、反折、移位tf2(t)t2?f2(-τ)τ-2?τf1(τ)2-22tf2(t-τ)τf1(τ)2-22（1）-∞<t<-2

沒有重疊，f(t)=0（2）-2<t<0tf2(t-τ)f1(τ)f2(t-τ)-2tτ（3）0<t<2f1(τ)f2(t-τ)tt-2τ（4）2<t<4τ2f1(τ)f2(t-τ)tt-22（5）4<t

沒有重疊，f(t)=0f2(t-τ)f1(τ)4τ卷積計算例3

f1(t)=3e-2tε(τ)，f2(t)=2ε(t)求

f(t)=f1(t)*f2(t)3e-2τε(τ)2ε(t-τ)t解：分析：（1）t<0:f(t)=f1(t)*f2(t)=0（3）ε(t-τ):t-τ>0即τ<t（2）ε(τ):τ>0（4）積分限：0<τ<t§2.4卷積積分的性質(zhì)

卷積代數(shù)運算與沖擊函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積微分積分性質(zhì)卷積的時移特性相關(guān)函數(shù)

卷積積分是一種數(shù)學(xué)運算，它有許多重要的性質(zhì)（或運算規(guī)則），靈活地運用它們能簡化卷積運算。卷積積分是一種數(shù)學(xué)運算，它有許多重要的性質(zhì)一、卷積代數(shù)運算1．交換律

卷積結(jié)果與交換兩函數(shù)的次序無關(guān)

一般選比較簡單函數(shù)進(jìn)行反轉(zhuǎn)和平移證明：yzs（t）h（t）yzs（t）h（t）f1(t)f1(t)2．分配律分析物理意義：假設(shè)f1(t)沖擊響應(yīng)h（t），f2(t)+f3（t）系統(tǒng)的激勵，上式表明：幾個輸入信號之和的零狀態(tài)響應(yīng)=每個激勵的零狀態(tài)響應(yīng)之和；yzs（t）h（t）(f1(t))f2(t)+f3(t)系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：并聯(lián)系統(tǒng)沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和若假設(shè)f1(t)激勵，f2(t)+f3（t）系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)h（t）則表明：激勵作用于沖擊響應(yīng)為h（t）的系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)=激勵分別作用于沖擊響應(yīng)h2（t），h3（t）兩個子系統(tǒng)并聯(lián)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)3．結(jié)合律結(jié)論：串聯(lián)系統(tǒng)沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積結(jié)合率用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于個子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。系統(tǒng)級聯(lián)，框圖表示：

二、與沖激函數(shù)的卷積1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)證：信號f(t)分解為沖擊函數(shù)疊加f(t)δ(t)f(t)=f(t)*δ(t)*=f(t)δ(t)=f(0)篩選特性交換律結(jié)論：函數(shù)與沖擊函數(shù)的卷積為其本身f(t)δ(t)=f(0)δ(t)與沖激函數(shù)的卷積—推廣證：2.f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)f(t)f(t)=f(t)*δ(t-t0)δ(t-t0)*=推廣：

f(t-t1)*δ(t–t2)=f(t–t1-t2)

δ(t-t1)*δ(t–t2)=δ(t–t1-t2)

3.若

f1(t)*f2(t)=f(t)卷積的時移特性證：則

f1(t-t1)*f2(t-t2)=f1(t-t2)

*f2(t-t1)=f(t-t1-t2)

f1(t-t1)*f2(t-t2)=[f1(t)*δ(t-t1)]*[f2(t)*δ(t-t2)]=[f1(t)*δ(t-t2)]*[f2(t)*δ(t-t1)]=f1(t-t2)*f2(t-t1)

且f1(t-t1)*f2(t-t2)=[f1(t)*δ(t-t1)]*[f2(t)*δ(t-t2)]=[f1(t)*f(t2)]*[δ(t-t1)*δ(t-t2)]=f(t)*δ(t-t1-t2)=f(t-t1-t2))

f1(t-t1)*f2(t-t2)=f1(t-t2)*f2(t-t1)=f(t-t1-t2)卷積的時移特性—應(yīng)用f1(t-t1)

t1f2(t-t1)

t1f2(t-t2)

t2f1(t-t2)

t2f(t-t1-t2)

t1+t2f(t-t1-t2)

t1+t2**==激勵延時t1激勵延時t2響應(yīng)延時t2響應(yīng)延時t1零狀態(tài)響應(yīng)總延時t1+t2與階躍函數(shù)的卷積ε(t)*ε(t)=tε(t)f(t)*ε(t)推廣：ε(t)*ε(t)01tr(t)卷積性質(zhì)例題ε(t+3)*ε(t-5)例1解：方法一.

ε(t+3)*ε(t-5)分析：

ε(τ+3)：τ>-3ε(t-τ-5)：τ<t-5ε(t+3)*ε(t-5)分析：

t-5>-3

,t>2ε(t+3)*ε(t-5)=(t-2)ε(t-2)1.ε(t+3)*ε(t-5)卷積性質(zhì)例題

ε(t+3)*ε(t-5)例1解：方法二.ε(t)*ε(t)=tε(t)ε(t+3)*ε(t-5)=ε(t)*ε(t)*δ(t+3-5)

=

tε(t)*δ(t+3-5)分析：

利用性質(zhì)及結(jié)論

f1(t-t1)*f2(t-t2)=f(t-t1-t2)

=(t-2)ε(t-2)應(yīng)用δT(t)產(chǎn)生周期信號周期性單位沖擊函數(shù)序列分配率三、卷積的微積分性質(zhì)1.

若f(t)=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)

則f（1）(t)=f1（1）(t)*f2(t)=f1(t)*f2（1）(t)

證明：f（1）(t)=

同理：f（1）(t)=“正”：導(dǎo)數(shù)階次“負(fù)”：積分次數(shù)f（1）(t)=微分卷積的積分性質(zhì)若f(t)=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2.則

證明：f(-1)(t)==f1(t)*f2(-1)(t)卷積的積分性質(zhì)推論：3.在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，同理：f(-1)(t)==f2(t)*f1(-1)(t)=f1（-1）(t)*f2(t)f1