函數(shù)的單調(diào)性及與函數(shù)有關(guān)的不等問題分析

PAGEPAGE12函數(shù)的單調(diào)性及與函數(shù)有關(guān)的不等問題一.函數(shù)單調(diào)性的意義：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)又一重要性質(zhì)，設(shè)函數(shù).若對于任意的.,當(dāng)<時都有<則是區(qū)間D上的增（減）函數(shù)，區(qū)間D為的增（減）區(qū)間。特別的當(dāng)D=I時，稱是單調(diào)函數(shù)。必須了解單調(diào)性與“區(qū)間”緊密相關(guān)，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性。即：函數(shù)的單調(diào)性只能在定義域內(nèi)討論，且談函數(shù)的單調(diào)性時，必須指明對應(yīng)的區(qū)間。（2）定義中的，具有任意性，證明時不可用特殊值代替。（3）函數(shù)的單調(diào)性在比較大小、求函數(shù)最值方面都有廣泛的應(yīng)用。因此有是增（減）函數(shù)，且<<(>),這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”。（4）熟練掌握增、減函數(shù)的定義，注意定義的如下兩種等價形式：設(shè)，[a,b],那么①在[a,b]上是增函數(shù)；在[a,b]上是減函數(shù)。②>0在[a,b]上是增函數(shù)；<0在[a,b]上是減函數(shù)需要指出的是，①的幾何意義是：增(減)函數(shù)圖像上任意兩點連線的斜率都大于（小于）零?！究键c專練】1.下列說法正確的是（）A.定義在上的函數(shù)，若存在<，有<，那么在上為增函數(shù)。B..定義在上的函數(shù)，若有無窮多對，使得當(dāng)<時，有<，那么在上為增函數(shù)。C.若在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上也為增函數(shù)，那么在上也一定為增函數(shù).D.若在區(qū)間上為增函數(shù)，且<，那么<。2.（０５天津）設(shè)是函數(shù)＝的反函數(shù)，則使成立的ｘ取值范圍為（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．（０５．遼寧）已知ｙ＝是定義在Ｒ上的單調(diào)函數(shù)，實數(shù)，，，若則（）Ａ．Ｃ．Ｄ．已知函數(shù)=在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A.a<0B.0<a<0.5C.a<0.5D.0.5<a<1（０６北京）已知＝是上的增函數(shù)，那么ａ的取值范圍是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（１，３）6．已知＝是上的減函數(shù)，那么ａ的取值范圍是.7.(2010浙江)＝在上單調(diào)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍為：。9.已知=，若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求a的取值范圍。10．（０６福建）已知是周期為２的奇函數(shù)，當(dāng)０＜ｘ＜１時，＝，設(shè)，，則（）Ａ．ａ＜ｂ＜ｃＢ．ｂ＜ａ＜ｃＣ．ｃ＜ｂ＜ａＤ．ｃ＜ａ＜ｂ已知定義在R上的奇函數(shù)是一個減函數(shù)，且，則的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.以上都可能12.已知函數(shù)，且，則的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.以上都可能13.設(shè)是定義在上的單調(diào)增函數(shù)，且滿足，則不等式的解集為()A.B.C.D.14.若是R上的減函數(shù)，且的圖像經(jīng)過點和,則不等式的解集是.15.已知=且，若，則a的取值范圍是16.(09陜西)定義在R上的偶函數(shù)滿足:對任意的有.則當(dāng)時,有()A.B.C.D.二.研究函數(shù)單調(diào)性問題的一般方法：（1）在研究函數(shù)的單調(diào)性時，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，有時需要將函數(shù)化簡，轉(zhuǎn)化為討論一些熟知函數(shù)的單調(diào)性。即基本初等函數(shù)性質(zhì)法。掌握下列一些單調(diào)規(guī)律對解題大有裨益：①若，均為增(減)函數(shù)，則+在公共的定義域上仍為增（減）函數(shù)；②若為增(減)函數(shù)，則—為減（增）函數(shù)；③奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反。④互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調(diào)性；⑤若，均為增函數(shù)且恒正（負(fù)），則也為增（減）函數(shù)。⑥若為單調(diào)函數(shù)且恒正或恒負(fù)，則與單調(diào)性相反。⑦復(fù)合函數(shù)的單調(diào)規(guī)律是“同則增，異則減”，即與若具有相同的單調(diào)性則必為增函數(shù)，若具有不同的單調(diào)性則必為減函數(shù)，討論復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟是：①求出復(fù)合函數(shù)的定義域；②把復(fù)合函數(shù)分解成為若干個常見的基本函數(shù)，并判定其單調(diào)性；③把中間變量的變化范圍轉(zhuǎn)化成自變量的變化范圍；④根據(jù)上述復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律判定其單調(diào)性.【考點專練】１.（０５上海）若函數(shù)＝，則該函數(shù)在上是（）Ａ．單調(diào)遞減無最小值Ｂ．單調(diào)遞減有最小值Ｃ．單調(diào)遞增無最大值Ｄ．單調(diào)遞增有最大值2．（０５全國）已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3.（2006廣東）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)是（）A.B.C.D.4.（04，上海）若函數(shù)=在上為增函數(shù)，則實數(shù)a、b的取值范圍是。5.(2012安徽文)若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則。6.（07，遼寧）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是7.函數(shù)=的單調(diào)遞增區(qū)間為，那么實數(shù)a的取值范圍是()A.B.C.D.8.設(shè)=+，,是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，將的圖像按向量平移得到一個新的函數(shù)G(x)的圖像，則G(x)的單調(diào)遞減區(qū)間必定是（）A.B.C.D.9.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.10.若函數(shù)=在上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A.a>2B.a<2C.a2D.a211.給出下面四個條件：①②③④能使是函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)的是.12.（2006，重慶）已知在[0,1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）Ａ．（０，１）Ｂ．（１，２）Ｃ．（０，２）Ｄ．［２，＋13.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）(A) (B) (C)(D)14.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()(A)(B) (C)(0,+∞)(D)15.（０６天津）如果函數(shù)＝在區(qū)間上是增函數(shù)，那么實數(shù)ａ的取值范圍是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．（１，Ｄ．16.（2011江蘇）函數(shù)的單增區(qū)間是：。17.已知函數(shù)。（1）若，求的定義域。（2）若在區(qū)間（0，1上是減函數(shù)，求的取值范圍。18.（2011，上海）已知函數(shù)=，其中常數(shù)a,b滿足ab。若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；若，求的的取值范圍。(2)證明函數(shù)的單調(diào)性與求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，均可用單調(diào)函數(shù)的定義，具體方法常用作差法或作商比較法。【考點專練】1.函數(shù)對任意都有=，并且當(dāng)x>0時>1,求證：①在R是增函數(shù)。②若，解不等式。已知函數(shù)的定義域（0，，且對任意的正實數(shù)都有，且當(dāng)時（1）求證：（2）求（3）解不等式3.（２００６，東北三校）設(shè)函數(shù)是定義在Ｒ上的函數(shù)，對任意實數(shù)ｍ，ｎ都有＝且當(dāng)ｘ＜０時，＞１。（１）證明：①②當(dāng)ｘ＞０時，０＜＜１；③是Ｒ上的減函數(shù)。（２）如果對任意實數(shù)ｘ，ｙ，有恒成立，求實數(shù)ａ的取值范圍。（２００６，蘇州）已知y=是奇函數(shù)，它在上是增函數(shù)，且＜０，試問＝在上是增函數(shù)還是減函數(shù)？5.已知是定義在上的奇函數(shù),若且有eq\o\ac(○,1)判斷在上的單調(diào)性,并證明之.eq\o\ac(○,2)解不等式（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，除定義法外，還可以根據(jù)函數(shù)圖像用數(shù)形結(jié)合法。（4）利用導(dǎo)數(shù)也可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，其步驟：①求定義域②求導(dǎo)數(shù)；③令>0得不等式的解集即為單調(diào)增區(qū)間.<0的解集即為單調(diào)減區(qū)間。注意：1.單調(diào)區(qū)間是定義域的子集。2.反之,若已知函數(shù)在某個區(qū)間上具有單調(diào)性;則在該區(qū)間上恒成立.3.若單調(diào)區(qū)間在兩個或兩個以上,用”,”“及”,“和”，“與”表示。（5）含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間求解方法是：“三問”【考點專練】1.(07,四川)設(shè)函數(shù)=為奇函數(shù)，其圖像在點處的切線與直線垂直，導(dǎo)函數(shù)的最小值為—12.①求a,b,c的值。②求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)有[-1,3]上的最大值和最小值。2設(shè)函數(shù)＝，其中ａ為實數(shù)。①若的定義域為Ｒ，求ａ的取值范圍；②當(dāng)?shù)亩x域為Ｒ時，求的單調(diào)區(qū)間。（０７，陜西）3.（０７安徽）設(shè)函數(shù)＝—，，其中，將的最小值記為。①求的表達(dá)式。②討論在（－１，１）內(nèi)的單調(diào)性并求極值。4.（04，全國）已知函數(shù)=在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍。5.（04，天津）已知函數(shù)=是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時取得極值-2.（1）求的單調(diào)區(qū)間和極大值。（2）證明對任意，不等式恒成立。6.已知=為奇函數(shù)。①求a,b的值。②求單調(diào)區(qū)間，并加以證明。③求的值域。7.(陜西09)已知函數(shù).(1)若在處取得極值,求a的值.(2)求的單調(diào)區(qū)間.（3）若的最小值為1，求a的取值范圍。8.已知函數(shù)。（1）設(shè)，討論的單調(diào)性。（2）若對任意恒有，求的取值范圍。已知函數(shù)，其中。（1）當(dāng)時，求曲線在（2，處的切線方程。（2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。10。已知函數(shù)和。在處的切線平行。（1）試求函數(shù)和的單調(diào)增區(qū)間。（2）設(shè)，求證；11.（2011四川）已知函數(shù)。（1）設(shè)函數(shù)求的單調(diào)區(qū)間與極值。（2）設(shè),解關(guān)于的方程。12.（2011天津）已知，函數(shù)（1）求單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，證明：存在使；（3）若存在均屬于區(qū)間的，且使證明：13.（2011天津）已知函數(shù)其中。（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（3）證明：對任意，在區(qū)間內(nèi)均存在零點。14.（2011浙江）設(shè)函數(shù)，。（1）求的單調(diào)區(qū)間；(2)求所有的實數(shù)，使對恒成立。15.（2011陜西）設(shè)函數(shù)定義在上，，導(dǎo)函數(shù)，。（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值。（2）討論與的大小關(guān)系。（3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由。16.（2012陜西）設(shè)函數(shù)。(1)設(shè)證明：區(qū)間內(nèi)存在唯一零點；（2）設(shè)，若對任意，有，求的取值范圍；（3）在（1）的條件下，設(shè)是在區(qū)間內(nèi)的零點，判斷數(shù)列的增減性。17.設(shè)函數(shù)。（（1）設(shè)，若對恒成立，求的取值范圍。（2）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否有零點，有幾個零點？為什么？18.（06湖南卷）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；19.解不等式20、（2010年全國卷一21)已知函數(shù)f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x(Ⅰ)當(dāng)a=時，求f(x)的極值;(Ⅱ)若f(x)在(-1,1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍.21.22．已知函數(shù)當(dāng)時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值。若g(x)=f(x)+在上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。23.（2009年重慶）不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A、B、C、[1，2]D、24、若不等式，對于均成立，那么實數(shù)的取值范圍是（）A、B、[0，5）C、D、[0，1]25.若存在實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍為：。26.不等式對一切的恒成立，則實數(shù)的取值范圍為：。27.已知函數(shù)f(x)＝alnx－x2＋1.(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為4x－y＋b＝