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培優(yōu)點(diǎn)5平面向量“奔馳定理”專題二
三角函數(shù)與解三角形平面向量是高考的必考考點(diǎn),它可以和函數(shù)、三角、數(shù)列、幾何等知識(shí)相結(jié)合考查.平面向量的“奔馳定理”,對于解決平面幾何問題,尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題,更加有效快捷,有著決定性的基石作用.考點(diǎn)一平面向量“奔馳定理”考點(diǎn)二“奔馳定理”和三角形的“四心”(四心在三角形內(nèi)部)專題強(qiáng)化練內(nèi)容索引平面向量“奔馳定理”考點(diǎn)一例1√∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶m.解得m=4.利用平面向量“奔馳定理”解題時(shí),要嚴(yán)格按照定理的格式,注意定理中的點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn);定理中等式左邊三個(gè)向量的系數(shù)不是三角形的面積,而是面積之比.易錯(cuò)提醒跟蹤演練1“奔馳定理”和三角形的“四心”(四心在三角形內(nèi)部)考點(diǎn)二例2考向1
“奔馳定理”與重心依題意,可得56a=40b=35c,例3考向2
“奔馳定理”與外心-1依題意得,sin2A∶sin2B∶sin2C=1∶1∶λ,∴sin2A=sin2B,∴2A=2B或2A+2B=π(舍),例4考向3
“奔馳定理”與內(nèi)心√所以(1-λ)∶(λ-μ)∶μ=4∶3∶2,例5考向4
“奔馳定理”與垂心依題意,可得tanA∶tan
B∶tan
C=1∶2∶3,代入tanA+tanB+tanC=tanAtan
Btan
C,可得6tanA=6tan3A,因?yàn)閠anA≠0,所以tanA=±1.又因?yàn)閠anA<tanB<tanC,涉及三角形的四心問題時(shí),內(nèi)心和重心一定在三角形內(nèi)部,而外心和垂心有可能在三角形外部,上述定理及推論中的點(diǎn)都在三角形內(nèi)部,解題時(shí),要注意觀察題目有無這一條件.規(guī)律方法跟蹤演練2方法一
據(jù)奔馳定理得,方法二S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=sin2A∶sin2B∶sin2C,專題強(qiáng)化練1.點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部,滿足
,則S△ABC∶S△APC為A.2∶1 B.3∶2
C.3∶1 D.5∶3√12345678根據(jù)奔馳定理得,S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=1∶2∶3.所以S△ABC∶S△APC=3∶1.√1234567812345678根據(jù)奔馳定理,√1234567812345678又G為△ABC的重心,√12345678在△ABC中,由余弦定理,
1234567812345678所以S△AMB∶S△BMC∶S△CMA=μ∶(1-λ-μ)∶λ=8∶13∶15,12345678√√123456781234567812345678∴a∶b∶c=2∶2∶3,令a=2k,則b=2k,c=3k,設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r,外接圓半徑為R,∴a=4,b=4,c=6,123456781234567812345678由奔馳定理知,S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=3∶4∶5,1234567812345678123456
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