2023年河南省商丘市部分學(xué)校高考數(shù)學(xué)段考試卷（文科）（六）及答案解析

2023年河南省商丘市部分學(xué)校高考數(shù)學(xué)段考試卷（文科）（六）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合4={-2,-1,0,4,6},B={x\x<4},則ACB=（）

A.{-2,-1,0}B.{-2,—1,4}C.{-1,0,4}D.{-2,—1,0,4}

2.已知復(fù)數(shù)2=符，則￡=（）

1—Zl

A.l+2iB.l-2iC.2+iD.2-i

3.在某次演講比賽中，由兩個(gè)評(píng)委小組（分別為專業(yè)人士（記為小組4）和觀眾代表（記為小組

B））給參賽選手打分，根據(jù)兩個(gè)評(píng)委小組給同一名選手打分的分值繪制成如圖所示的折線圖，

則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

）分值11n

C----小組A

80-75

70-‘9/'、_芻8—'小組B

..'、6668'、乎

60

55/-n、58

50-

30-36

4...........................................A

0123456789評(píng)委序號(hào)

A.小組4打分的分值的平均數(shù)為48

B.小組B打分的分值的中位數(shù)為66

C.小組4打分的分值的極差大于小組B打分的分值的極差

D.小組4打分的分值的方差小于小組B打分的分值的方差

4.已知tan。=-3,則sin2?！猚os26=（）

A.券B.|C.|D.i7

0

5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）,t7-2—>|a

A.11+2>/~5

B.15+仁

C.15+2V5正視圖側(cè)視圖

D.16+2/Tr3

俯視圖

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S=()

A.-30B.-20C.-10D.0

7.已知電磁波在空間中自由傳播時(shí)的損耗公式為L(zhǎng)=32.4+20(，gD+SF),其中。為傳輸

距離(單位：km),F為載波頻率(單位：MHz),L為傳輸損耗(單位：dB).若載波頻率變?yōu)樵?/p>

來(lái)的200倍，傳輸損耗增加90dB,則傳輸距離約為原來(lái)的參考數(shù)據(jù)：lg2?0.3.()

A.1。21倍B.1。2.2倍C,1025倍D.1。2.7倍

8.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(3)=0,且/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則不等式

f(x)+2f(-x)<0的解集為()

X

A.(-00,-3)U(3,+00)B.(-3,0)U(0,3)

C.(-3,0)U(3,+00)D.(-00,-3)U(0,3)

9.將函數(shù)/(x)=sin(2x+6的圖象向右平移,個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)

九(無(wú))=/(x)+|g(x)|的值域?yàn)?)

A.B.[-1,1]C.[-^,1]D.[―產(chǎn)口

10.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F,N(2,l),M為C上位于第一象限的一點(diǎn)，且點(diǎn)M的橫

坐標(biāo)小于2,則△MFN的面積的最大值為()

A.2B1C.1D1

11.已知四棱錐P-力BCD的底面4BC0是矩形，高為/々A。=2/%,AB=2,AB1

PD,PA=PD,則四棱錐P-A8CD的外接球的體積為()

A.126冗B.367rC.4QyJ~6nD.等兀

12.已知雙曲線C：冬一《=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)?，點(diǎn)M，N是C的一

條漸近線上的兩點(diǎn)，且而=2而(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，|MN|=|F/2l,若P為C的左頂點(diǎn)，且

乙MPN=135°,則雙曲線C的離心率為()

A.V-3B.2C.V-5D.<7

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足版=，近，屁=［卷一］而，則實(shí)數(shù)；1=.

14.已知圓/+(y-2)2=5，圓過點(diǎn)(2,-1)且與圓G相切于點(diǎn)(2,1)，則圓的方程

為.

15.已知在△ABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足bcosA+acosB=yJ~3ccosC>

b2+a2=c2+6,則4ABC的面積為.

16.若過點(diǎn)P(l,a)(aeR)有n條直線與函數(shù)/(x)=(x-2)e、的圖象相切，則當(dāng)n取最大值時(shí),

a的取值范圍為.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛即｝是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列，等比數(shù)列仍“｝滿足瓦=a］，2b4=a4+a5.

(I)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(11)記。=￡，求數(shù)列&｝的前n項(xiàng)和加

18.(本小題12.0分)

某體育頻道為了解某地電視觀眾對(duì)卡塔爾世界杯的收看情況，隨機(jī)抽取了該地200名觀眾進(jìn)

行調(diào)查，下表是根據(jù)所有調(diào)查結(jié)果制作的觀眾日均收看世界杯時(shí)間(單位：時(shí))的頻率分布表：

日均收看世界杯時(shí)間(時(shí))[0.5,1](1,1.5](1.5,2](2,2.5](2.5,3](3,3.5]

頻率0.10.180.220.250.20.05

如果把日均收看世界杯的時(shí)間高于2.5小時(shí)的觀眾稱為“足球迷”.

⑴根據(jù)已知條件完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該地的電視觀眾是

否為“足球迷”與性別有關(guān)；

非足球迷足球迷合計(jì)

女70

男40

合計(jì)

(2)從樣本中為“足球迷”的觀眾中，先按性別比例用分層抽樣的方法抽出5人，再?gòu)倪@5人中

隨機(jī)抽取3人進(jìn)行交流，求3人都是男性觀眾的概率.

2

參考公式：依=砌喘%同其中n=a+b+c+d.

參考數(shù)據(jù):

P(K2>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(本小題12.0分)

如圖，在三棱柱—中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，ArCLBC,平面4久加。1

平面ABC,E,F分別為棱力iG，BC的中點(diǎn).

(1)證明：EF//平面4BB141；

(2)若三棱柱ABC-&BiCi的體積為2，3,求點(diǎn)C到平面4BB1%的距離.

20.(本小題12.0分)

已知橢圓C；^+《=l(a>b>0)的上頂點(diǎn)為4右頂點(diǎn)為B,坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線48的距離

為g,A/IOB的面積為2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過點(diǎn)P(2,0)且不過點(diǎn)Q(3,l)的直線，與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，直線MQ與直線x=4交于

點(diǎn)E,證明：PQ//NE.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=m(x-l)ex-x2.

(1)當(dāng)m=4時(shí),求f(%)的極小值;

(2)若不等式f(x)>-/在［1,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)7n的取值范圍.

22.(本小題10.0分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Q的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為pcos。+2psin6-4=0.

(1)設(shè)曲線的與曲線C2交于4,B兩點(diǎn)，求|4B|：

(2)若M,N是曲線Q上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，月.OMJ.ON,求|OM|?|ON|的取值范圍.

23.(本小題12.0分)

己知函數(shù)/'(x)=|x-2|+\2x+1|.

(I)求不等式f(x)>6的解集；

(11)若外為的最小值為3a,b,c為正實(shí)數(shù)，且a+b=|t,證明：總+華+島?文.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：因?yàn)榧?={-2,-l,0,4,6},B={x\x<4},則4CB={-2,-1,0}.

故選：A.

利用交集的定義可求.

本題主要考查交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】因?yàn)閦=符，

1-22

所以7-(4-3i)(l+2i)_4+8i-3i+6_.

所以Z-(i_2i)(l+2i)—5—2?+1,

???z=2—i?

故選：D.

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得z,根據(jù)共朝復(fù)數(shù)的概念可得答案.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共朝復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：由圖可知，小組A打分的平均數(shù)為［(43+47+46+48+50+47+54+50+47)=

48,故A正確；

將小組B打分從小到大排列為36、55、58、62、66、68、68、70、75,所以中位數(shù)為66,故B

正確；

小組A打分的分值的極差為54-43=11,小組B打分的分值的極差為75-36=39,故C錯(cuò)誤；

小組4打分的分值相對(duì)更集中，所以小組4打分的分值的方差小于小組B打分的分值的方差，故。

正確；

故選：C.

根據(jù)平均數(shù)公式判斷A,將小組B打分從小到大排列，即可求出中位數(shù)，從而判斷B,求出極差判

斷C,根據(jù)數(shù)據(jù)的分布情況判斷

本題主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)和極差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?-3,

2z

所以siM?！猚os20=2sin20—cos202stn0—cos0

sin20+cos20

2tcm2e_i_2X(-3)2-1_17

tan20+l-(_3)2+I-10

故選：D.

利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計(jì)算可得.

本題主要考查了二倍角公式及同角基本關(guān)系在三角函數(shù)值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖得該幾何體為如圖所示的多面體,

且4E=DF=1,BH=CG=AD=BC=AB=DC=HG=EF=2,

所以EH=GF=J22+(2-1)2=屋,

則其表面積為gx(l+2)x2x2+2x2x2+lx2+2xV-5=16+2口.

故選：D.

根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，從而求出幾何體的表面積.

本題主要考查三視圖，幾何體的表面積的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：由程序框圖知，第一次循環(huán)，判斷SW10不成立，5=40,n=2；

第二次循環(huán)，判斷SW10不成立，5=20,n=3；

第三次循環(huán)，判斷S410不成立，5=10,n=4；

第四次循環(huán)，判斷SS10成立，S=0,n=5；

第五次循環(huán)，判斷S<10成立，S=-10.71=6；

第六次循環(huán)，判斷SS10成立，S=—20,n=7,跳出循環(huán)，輸出S=—20.

故選：B.

根據(jù)給定的程序框圖，依次計(jì)算直到條件被滿足即可作答.

本題主要考查程序框圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：設(shè)原來(lái)的傳輸損耗、載波頻率、傳輸距離分別為3F,D,

變化后的傳輸損耗、載波頻率、傳輸距離分別為L(zhǎng)',F',D',

則Z/=L+90,F'=200F,

因此90=L'-L=20(lgD'+IgF')-20(lgD+IgF)=20欣+20匈］,

Dr

于是lg4=4.5-1g。=4.5-lg200=4.5-(2+lg2)?2.2,解得與工IO22,

DrU

所以傳輸距離約為原來(lái)的1022倍.

故選:B.

設(shè)出變化前后的相關(guān)量，再結(jié)合已知列式，借助對(duì)數(shù)運(yùn)算求解作答.

本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：因?yàn)?Q)是定義在R上的奇函數(shù)，f(3)=0,且f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃-3)=0,f(x)在(—8,0)上單調(diào)遞增，

由」x)+jf(-x)<0)得WQ)>0>

當(dāng)x>0時(shí)，由/(%)>0=/(3),得x>3,

當(dāng)％<0時(shí)，由f(x)V0=/(-3),得XV-3,

所以原不等式的解集為(一8,-3)U(3,+8).

故選：A.

由題意不等式<o等價(jià)于口。)>0,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分x>。和x<0兩種情況討

論即可得解.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】A

【解析】解：將函數(shù)=sin(2x+》的圖象向右平移汐單位長(zhǎng)度得到g(x)=sin[2(x+

自=sin2x,

所以/i(x)=/(x)+|g(x)|=sin(2x+])+\sin2x\=cos2x+|sin2x|,

cos2x+sin2x,kn<x<-+kn

所以h(%)=cos2%+|si九2%|=n,kEZf

cos2x-sin2x,kn-^z-<x<n+kn

\T~2s\n(2x+7),fc7T<X<774-/C7T

2

所以九(x)=L\n,kEZ,

V^cos(2x+-),/CTT4--<%<yr4-fc/r

當(dāng)時(shí)工工工3+而，kEZ時(shí)，2"+JW2x+J工孚+2"，kWZ口寸，

Z444

則一?<sin(2x+§W1，即一1</i(x)<\T~2>

當(dāng)時(shí)+3—Awz時(shí)，2"+乎V2x+J<孚+2"，ZWZ時(shí)，

Z444

則一￥<cos(2x+3)W1，即一1</i(x)<V-2;

綜上可得九(x)的值域?yàn)閇-

故選：A.

根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到g(x)的解析式，即可得到九(x)的解析式，再將函數(shù)寫成分段函數(shù),

利用輔助角公式化簡(jiǎn)，最后結(jié)合正、余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

10.【答案】C

【解析】解：由題意，可得F(l,0)，則|FN|=，2，直線FN的方程為y=%-1,

設(shè)與直線FN平行且與拋物線C相切的直線的方程為y=x+m,

聯(lián)立拋物線C的方程可得/+(2m-4)x+m2=0(*),

由A=(2m—4)2—4m2=0,可得m=1,

所以當(dāng)M點(diǎn)為直線y=x+1與拋物線C相切的切點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)到直線FN的距離最大,

當(dāng)m=l時(shí)，由(*)式可得％=1,則M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2),

此時(shí)點(diǎn)M到直線FN的距離為與級(jí)1=<7.

V2

所以△MFN的面積的最大值為gx<2x7^=1.

故選：C.

求出與直線FN平行且與拋物線C相切的直線的方程，切點(diǎn)為M時(shí)，三角形面積最大，即可得解.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

11.【答案】B

【解析】解：如圖，在矩形4BCD中，連接對(duì)角線AC,BD,記ACnBD=F,則點(diǎn)F為矩形ABCD的

外接圓圓心，

取4D的中點(diǎn)E,連接PE,EF,記^PAD的外接圓圓心為G,易知EF〃AB,EF==1,PE1AD,

且P,E,G共線.

因?yàn)?BJLP0,AB1AD,ADCPD=D,AD,P。u平面P4。，所以4B,平面/371。，

所以EFl平面PAD,PEu平面PAD,EF1PE,EF^AD=E,EF,ADu平面ABCD,

所以PE_L平面力BCD,所以PE=yTi，所以PA=PD=J(V~6)2+(V-2)2=2A/-2>易得乙4PC=

120°,

所以由正弦定理得△P力。的外接圓半徑為=2<2,即GP=2/7.

過G作G。_L平面PAD,S.GO=EF=1,連接FO,由G。1平面PAD,

可知GO//EF,貝IJ四邊形EFOG為矩形，所以FO//PG,貝I］尸。1平面4BCO.

根據(jù)球的性質(zhì)，可得點(diǎn)。為四棱錐P-2BCD的外接球的球心.

因?yàn)镻0=VPG2+OG2=OTT=3,所以四棱錐P-ABC。的外接球的體積為與x33=367r.

故選：B.

作出輔助線，求出平面P4D外接圓半徑，再利用勾股定理求出外接球的半徑，即可求出球的體積.

本題主要考查多面體外接球問題，球的體積問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

因?yàn)镻為雙曲線的左頂點(diǎn)，所以P(—a,0),

所以=V(a+a)2+b2,\PN\=yj[-a-(-a)]2+b2=b,

又|MN|=2c,4MPN=135°,

由余弦定理得=\MP\2+\NP\2-2\MP\'\NP\cosl35°,

即4c2=(a+a)2+b2+b2+y/~2b?(a+a)2+b2>整理得b2a,

所以離心率e=￡=

a

故選：C.

根據(jù)而=2M0,可得M，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而可得四邊形M&NF2為平行四邊形，再根據(jù)|MN|=

可得四邊形為矩形，再求出，的坐標(biāo)，求出\PN\,再利用余弦定理構(gòu)

\FXF2\,M&NF2“N|PM|,

造齊次式即可得解.

本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了雙曲線離心率的求解，屬于中檔題.

13.【答案】［

【解析】解:如圖所示:

.._，，■，，“，,―一,，一,.?.，,”——''■">1'''*,

則AE=>L4C，DE=DA+AE=DA-^-AAC=-AD+2(48+4。)=/MB+(A-1)AD=^AB-

3

4-

1

A=

解得:4-

故答案為：--

4

利用向量的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)求值.

本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】(X-4尸+必=5

【解析】解：如圖所示：

過點(diǎn)(0,2)和(2,1)的直線方程為x+2y—4=0,

以點(diǎn)(2,-1)和點(diǎn)(2,1)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線為y=0,

由H4=°得。2(4,0),則圓C2的半徑r=V22+12=V-5，

所以圓C2的方程為(x-4>+y2=5.

故答案為:(%—4)2+y2=5.

由兩圓外切，兩圓心所在直線與圓C2中弦的垂直平分線交點(diǎn)即為C2,再求出半徑，即可得圓的

方程.

本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】蜉

【解析】解：因?yàn)閎cosZ+acosB=I5ccosC,

由正弦定理得sinBcosZ+sinAcosB=y/~3sinCcosCf

即sin(4+8)=y/~~3sinCcosC，得sinC=^J~~3sinCcosC

又sinC00,所以cosC=

因?yàn)椤?Q2=c?+6,

所以由余弦定理可得c?=/+02-6=產(chǎn)+@2_2abeosC,

^V2abcosC=6,

所以ab=3A/-3?

故44BC的面積為gabsinC=1x3y/~~3x=女?.

故答案為：號(hào).

根據(jù)正弦定理以及同角關(guān)系可得cosC=?,sinC=?，進(jìn)而根據(jù)余弦定理即可得時(shí)的值，由面

積公式即可求解.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】(一3,—e)

【解析】解：設(shè)過點(diǎn)P(l,a)的直線［與f(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0,(&-2)/。),

因?yàn)?'(乃=(x-l)ex,

所以切線，的斜率為((而)=(x0-l)e、。，

z

所以切線2的方程為y-(x0-2)e*。=(x0-l)e°(x-x0)?

xx

將P(La)代入得a-(&-2)e?=(x0-l)e?(l-x0)-________,一

xxx

即a=(x0-l)e°(l-x0)+(%o—2)e°=(-XQ4-3x0-3)e°,

設(shè)g(%)=(-?4-3%-3)e”,則g'(%)=(-%2+3%-3)ex4-(-2x+

------y=a

3)e*=(—x2+x)ex,-3|\'

、v=v(.v)

由g'(X)=。，得％=?；?=1,

當(dāng)％VO或%>1時(shí),y(x)<0,所以g(%)在(-8,0),(1,+8)上單調(diào)遞減;

當(dāng)0<%vl時(shí)，gf(x)>0,所以g(%)在(0,1)上單調(diào)遞增,

所以應(yīng)小魚=g(o)=-3,gQ4極大值=g⑴=一%

又一/+3X-3=-(X-1)2-1<0,所以g(x)<0恒成立，

所以g(x)的圖象大致如圖所示，

由圖可知,方程a=(—詔+3通-3)e*。最多3個(gè)解,

即過點(diǎn)尸(l,a)(aGR)的切線最多有3條，

即n的最大值為3,此時(shí)一3<a<-e.

故答案為：(—3,—e).

設(shè)過點(diǎn)P(l,a)的直線I與/(x)的圖象的切點(diǎn)為。0，(和-2)〃。)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程,

再根據(jù)切線過點(diǎn)P(l,a),可得a=(—萬(wàn)+3%0-3)e*。,則方程a=(-瑤+3&-3)e"。解的個(gè)數(shù)

即為切線的條數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=(-/+3x-3)ex,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，作

出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，屬于中檔題.

17.【答案】解:(I)由數(shù)列｛即｝是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列,

可得an=2+4(n—1)——4n—2；

等比數(shù)列｛匕｝的公比設(shè)為q,由瓦=%=2,

2b4=+45=14+18=32,即九=2q3=16,

解得q=2,

則砥=2n：

(H)cn噴=(2…)?(扔-】，

則數(shù)列｛”｝的前n項(xiàng)和7；=1-1+3-|+5-1+...+(2n-l)-(1)n-x,

3Tn=111+3,^+5[+...+(2n—1)?(1)n,

上面兩式相減可得義7；=1+2[|+^+...H-Cl)71-1]-(2n-1)-(1)n

=1+2?J”-(2n-1)-(j)n)

化為名=6_(2n+3)?(》nT.

【解析】(I)由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算可得所求通項(xiàng)公式；

(H)求得7=(271-1)??)"-】，由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求

和.

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，以及數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，考查方程思

想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)由頻率分布表可知，“足球迷”對(duì)應(yīng)的頻率為0.2+0.05=0.25.

所以在抽取的200人中，“足球迷”有200x0.25=50人.

故2x2列聯(lián)表如下：

非足球迷足球迷合計(jì)

女701080

男8040120

合計(jì)15050200

所以心聾黠黑寓當(dāng)

因?yàn)?1.111>10.828,所以有99.9%的把握認(rèn)為該地的電視觀眾是否為“足球迷”與性別有關(guān).

(2)樣本中為“足球迷”的觀眾有50人，男、女人數(shù)之比為4：1.

故用分層抽樣方法從中抽出5人，男性有4人，記為A2,43,44,女性有1人，記為B,

從這5人中再隨機(jī)抽取3人,有(4,42,43)，(41，4，4)，(A2,A3,A4),O/A)，OZ，B)，

(人。共個(gè)結(jié)果,

(AVA3,B),4⑻,(A2,A3,B),2,4,8)，(4,4,B)10

其中3人都是男性觀眾的結(jié)果有4個(gè)，

所以3人都是男性觀眾的概率為白=|.

【解析】(1)由頻率分布表填寫2x2列聯(lián)表，計(jì)算K2,與臨界值比較確定結(jié)論；

(2)由分層抽樣確定男性和女性人數(shù)，5人中隨機(jī)抽取3人，列舉所有可能的結(jié)果，由古典概型公式

計(jì)算概率.

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)以及古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：如圖，取4B的中點(diǎn)G,

連接&G,GF,

^\GF//AC,GF=^AC.A^E/IAC.A^E=^AC,

所以4E〃GF,ArE=GF,

所以四邊形為EFG為平行四邊形，所以EF〃

ArG.

因?yàn)镋FC平面ABBMi，&Gu平面4BB14,

所以EF〃平面ABB"].

(2)取4c的中點(diǎn)C,連接BD,AXB.

因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以BO_LAC.

又平面4416C1平面力BC,且平面44￡Cn平面/BC=AC,

所以BD1平面441GC.

因?yàn)锳iCu平面44]CiC,所以8。141c.

因?yàn)?C1BC,BDCBC=B,BD,BCu平面ABC,

所以AC1平面ABC.

x2-

所以%BC-ABiQ=2XA1C=2A/3>T-MIC=2.

因?yàn)?Cu平面4BC,所以&C1AC.

在Rt△4&C和Rt△B&C中，由勾股定理可得4力==2，^,4母1AB,ArG=。，

所以SA^AB="x2x「=「?

設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為d,

由%-4公8=匕1-48(?，得]x>/~7xd=；x廠x22x2>解得d=-2v21.

所以點(diǎn)C到平面48%久的距離為學(xué).

【解析】(1)利用中位線得線線平行，進(jìn)而可證平行四邊形，由線面平行的判斷定理即可求證.

(2)根據(jù)面面垂直可得線面垂直，利用體積公式可求解&C,進(jìn)而根據(jù)等體積法即可求解.

本題考查線面平行以及點(diǎn)到平面的距離相關(guān)知識(shí)，屬于較難題.

20.【答案】解：(1)依題意，A(0,b),B(a,0),有|4B|=鏟,

因?yàn)锳AOB的面積為2,貝IJS-OB=：ab=2,

又點(diǎn)0到直線AB的距離為窄，則有SMOB=|\AB\x罕=粵。.2+爐=2,

于是『紇力10>而a>b>0,解得卜=2;，，

U2+bz=10(/,=ypZ

所以橢圓C的方程為?+<=1；

82

證明：(2)直線PQ的斜率部。=三=1,

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線1的方程為％=2,代入橢圓方程得

y=±1，

不妨設(shè)此時(shí)M(2,l),N(2,-l),則E(4,l),直線NE的斜率%E=號(hào)歲=1=kPQ,因此PQ〃NE；

當(dāng)直線1的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=fc(x-2)(fc*1),

設(shè)M(XI,yi),N(X2，，2)，則直線MQ的方程為y-1=-3),令x=4,得

由盛2二;消去y得：(1+4/c2)x2-16fc2%4-16/c2-8=0,由于點(diǎn)P在橢圓C內(nèi),

1.2Q丫1+勺-4

_二-3*2__力+二-4-丫2/1-3)_

必有4>0,則無(wú)14-%=~~~2y%1%2’6k1

22

l+4/c"1-4-X2I-(4-犯)(打-3)I

伏1)(笆*8)

k(X]-2)+X]-4k(X2-2)(X]—3)-(4-X2)(X]3)_(4--1)[3(%]+丫2)-%]%2-8]

_______l+4『l+4k"O'

(4-X2)(XI-3)(4-X2)(%I-3)(4-X2)(XI-3)

因此ANE=kpQ=l,即PQ〃NE,

所以PQ〃NE.

【解析】(1)根據(jù)給定條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離、三角形面積列出關(guān)于a,b的方程組，求解作答；

(2)直線，的斜率存在時(shí)，設(shè)出其方程并與橢圓方程聯(lián)立，求出直線MQ的方程，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，

利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式求出直線NE的斜率即可判斷，再驗(yàn)證直線，的斜率不存在的情況

作答.

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)當(dāng)m=4時(shí)，/(x)=4(x-l)ex-x2,

則/'(x)=4e*+4(%—l)ex-2x=2x(2ex—1),

令/''(x)>0,得x<—)2或工>0,令f'Q)<0,得—m2cx<0,

所以f(x)在(一8,-伍2)和(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-)2,0)上單調(diào)遞減,

所以/(X)成小腹=/(0)=-4.

2x

(2)由f(%)>Inx—xf可得Enx<m(x—l)e,

故mx<m(x—l)e”在［1,+8)上恒成立，

令g(x)=)第一—l)e”,xE［1,+co),

若mWO,則g(%)N0恒成立，不合題意.

-i

右TH>0,則“(久)=--mxex.

令九(%)="-mxex,xG［1,+8),

則〃(%)=—晝—zn(%+l)ex<。在［1,+8)上恒成立,

所以九⑶在［1,+8)上單調(diào)遞減.

當(dāng)m>；時(shí),h(x)</i(l)=1—me<0,即g'(x)<0,

所以g(x)在［L+8)上單調(diào)遞減，

故wg(i)=o，

即)x<m(x-l)e”在［1,+oo)上恒成立，滿足題意.

當(dāng)0<mV；時(shí),g'(l)=1—me>=m—e^<l—e<0?

所以存在a>1,使得g'(g)=0,

當(dāng)％6(1,%o)時(shí)，g'(%)>。，當(dāng)％€(&,+8)時(shí)，“(%)V0,

所以g(x)在(l,%o)上單調(diào)遞增，在(%o,+8)上單調(diào)遞減，

所以存在e使得g(x')>g(l)=0,不合題意.

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是弓,+8).

【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)/'(乃，利用((乃研究函數(shù)單調(diào)性，從而求出極小值；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=Inx-m(x-Y)ex,xG［l,+oo),即只需尋找函數(shù)g(x)恒小于零時(shí)實(shí)數(shù)m的取

值范圍.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值與極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

22.【答案】解：⑴因?yàn)榍€Ci的參數(shù)方程為仁藍(lán)籌(a為參數(shù))，

7=COSa22

所以Ms譏a，又si/a+cos