北師大版八年級上冊數(shù)學數(shù)據(jù)的分析-知識點整理及重點題型梳理

精品文檔用心整理PAGE資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費交流使用北師大版八年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習數(shù)據(jù)的分析——知識講解【學習目標】1、了解加權(quán)平均數(shù)的意義和求法，會求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，體會用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)的思想．2、了解中位數(shù)和眾數(shù)的意義，掌握它們的求法．進一步理解平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)所代表的不同的數(shù)據(jù)特征．3、了解極差、方差和標準差的意義及求法，體會它們在刻畫數(shù)據(jù)波動時的不同特征．體會用樣本方差估計總體方差的思想，掌握分析數(shù)據(jù)的思想和方法．4、從事收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)得出結(jié)論的統(tǒng)計活動，經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的基本過程，體驗統(tǒng)計與生活的聯(lián)系，感受統(tǒng)計在生活和生產(chǎn)中的作用，養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說話的習慣.【要點梳理】要點一、算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)一般地，對于個數(shù)，我們把叫做這個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù)，記作.計算公式為.要點詮釋：平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的“平均水平”，反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.（1）當一組數(shù)據(jù)較大時，并且這些數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)附近上、下波動時，一般選用簡化計算公式.其中為新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，為取定的接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的較“整”的數(shù).（2）平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個數(shù)據(jù)均有關(guān)系，其中任一數(shù)據(jù)的變動都會相應引起平均數(shù)的變動.所以平均數(shù)容易受到個別特殊值的影響.若個數(shù)的權(quán)分別是，則叫做這個數(shù)的加權(quán)平均數(shù).要點詮釋：（1）相同數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做權(quán)，越大，表示的個數(shù)越多，“權(quán)”就越重.數(shù)據(jù)的權(quán)能夠反映數(shù)據(jù)的相對“重要程度”.（2）加權(quán)平均數(shù)實際上是算術(shù)平均數(shù)的另一種表現(xiàn)形式，是平均數(shù)的簡便運算.要點二、中位數(shù)和眾數(shù)1.中位數(shù)一般地，n個數(shù)據(jù)按照大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).要點詮釋：（1）一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的；一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定出現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中.（2）由一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可以知道中位數(shù)以上和以下數(shù)據(jù)各占一半.2.眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).要點詮釋：（1）一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定出現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中；一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個.（2）眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)而不是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù).要點三、平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是用來描述數(shù)據(jù)集中趨勢的量，其中以平均數(shù)最為重要.區(qū)別：平均數(shù)的大小與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，任何一個數(shù)的波動都會引起平均數(shù)的波動，當一組數(shù)據(jù)中有個別數(shù)據(jù)太高或太低，用平均數(shù)來描述整體趨勢則不合適，用中位數(shù)或眾數(shù)則較合適.中位數(shù)與數(shù)據(jù)排列位置有關(guān)，個別數(shù)據(jù)的波動對中位數(shù)沒影響；眾數(shù)主要研究各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)，當一組數(shù)據(jù)中不少數(shù)據(jù)多次重復出現(xiàn)時，可用眾數(shù)來描述.要點四、極差、方差和標準差1.極差一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差，稱為極差，極差＝最大數(shù)據(jù)－最小數(shù)據(jù).要點詮釋：極差是最簡單的一種度量數(shù)據(jù)波動情況的量，它受極端值的影響較大.一組數(shù)據(jù)極差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定.2.方差方差是各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方的平均數(shù).方差的計算公式是：，其中，是，，…的平均數(shù).要點詮釋：（1）方差反映的是一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況.方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小.（2）一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)都加上（或減去）同一個常數(shù)，所得的一組新數(shù)據(jù)的方差不變.（3）一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都變?yōu)樵瓉淼谋?，則所得的一組新數(shù)據(jù)的方差變?yōu)樵瓉淼谋?3.標準差方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標準差，用符號表示，即：；標準差的數(shù)量單位與原數(shù)據(jù)一致.4.極差、方差和標準差的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系：極差與方差、標準差都是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的特征數(shù)．區(qū)別：極差表示一組數(shù)據(jù)波動范圍的大小，它受極端數(shù)據(jù)的影響較大；方差反映了一組數(shù)據(jù)與其平均值的離散程度的大?。讲钤酱?，穩(wěn)定性也越??；反之，則穩(wěn)定性越好．所以一般情況下只求一組數(shù)據(jù)的波動范圍時用極差，在考慮到這組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性時用方差.要點五、用樣本估計總體在考察總體的平均水平或方差時，往往都是通過抽取樣本，用樣本的平均水平或方差近似估計得到總體的平均水平或方差.要點詮釋：（1）如果總體數(shù)量太多，或者從總體中抽取個體的試驗帶有破壞性，都應該抽取樣本.取樣必須具有盡可能大的代表性.（2）用樣本估計總體時，樣本容量越大，樣本對總體的估計也越精確.樣本容量的確定既要考慮問題本身的需要，又要考慮實現(xiàn)的可能性所付出的代價.【典型例題】類型一、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)1、（2015?福州）若一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，x的平均數(shù)與中位數(shù)相同，則實數(shù)x的值不可能是（）A．0 B．2.5 C．3【答案與解析】解：（1）將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為1，2，3，4，x，處于中間位置的數(shù)是3，∴中位數(shù)是3，平均數(shù)為（1+2+3+4+x）÷5，∴3=（1+2+3+4+x）÷5，解得x=5；符合排列順序；（2）將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后1，2，3，x，4，中位數(shù)是3，此時平均數(shù)是（1+2+3+4+x）÷5=3，解得x=5，不符合排列順序；（3）將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后1，x，2，3，4，中位數(shù)是2，平均數(shù)（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，不符合排列順序；（4）將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后x，1，2，3，4，中位數(shù)是2，平均數(shù)（1+2+3+4+x）÷5=2，解得x=0，符合排列順序；（5）將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后1，2，x，3，4，中位數(shù)，x，平均數(shù)（1+2+3+4+x）÷5=x，解得x=2.5，符合排列順序；∴x的值為0、2.5或5．故選C．【總結(jié)升華】考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，涉及到分類討論思想，較難，要明確中位數(shù)的值與大小排列順序有關(guān)，一些學生往往對這個概念掌握不清楚，計算方法不明確而解答不完整．注意找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)．如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求；如果是偶數(shù)個，則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)舉一反三：【變式】若數(shù)據(jù)3.2，3.4，3.2，，3.9，3.7的中位數(shù)是3.5，則其眾數(shù)是________，平均數(shù)是________．【答案】3.2；3.5；解：由題意，所以眾數(shù)是3.2，平均數(shù)是3.5. 2、（2016?廣州）某校為了提升初中學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，舉辦“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”比賽，現(xiàn)有甲、乙、丙三個小組進入決賽，評委從研究報告、小組展示、答辯三個方面為各小組打分，各項成績均按百分制記錄，甲、乙、丙三個小組各項得分如下表：小組研究報告小組展示答辯甲918078乙817485丙798390計算各小組的平均成績，并從高分到低分確定小組的排名順序：

如果按照研究報告占40%，小組展示占30%，答辯占30%，計算各小組的成績，哪個小組的成績最高？【思路點撥】（1）運用求平均數(shù)公式即可求出三人的平均成績，比較得出結(jié)果；（2）將三人的成績按比例求出測試成績，比較得出結(jié)果.【答案與解析】解：（1）由題意可得，

甲組的平均成績是：（分），

乙組的平均成績是：（分），

丙組的平均成績是：（分），

從高分到低分小組的排名順序是：丙＞甲＞乙；

（2）由題意可得，

甲組的平均成績是：（分），

乙組的平均成績是：（分），

丙組的平均成績是：（分），

由上可得，甲組的成績最高．答案：甲組的成績最高

【總結(jié)升華】本題考查算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、統(tǒng)計表，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．舉一反三：【變式】小王在八年級第一學期的數(shù)學成績分別為：測驗一得89分，測驗二得78分，測驗三得85分，期中考試得90分，期末考試得87分，如果按照平時、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王該學期的總評成績應該為多少?【答案】解：小王平時測試的平均成績（分）．所以（分）．答：小王該學期的總評成績應該為87.6分．3、下表是七年級(2)班30名學生期中考試數(shù)學成績表(已破損)．已知該班學生期中考試數(shù)學成績平均分是76分．(1)求該班80分和90分的人數(shù)分別是多少?(2)設(shè)此班30名學生成績的眾數(shù)為，中位數(shù)為，求的值．【答案與解析】解：(1)設(shè)該班得80分的有人，得90分的有人．根據(jù)題意和平均數(shù)的定義，得整理得解得即該班得80分的有8人，得90分的有5人．(2)因為80分出現(xiàn)8次且出現(xiàn)次數(shù)最多．所以＝80，第15、16兩個數(shù)均為80分，所以＝80，則＝80＋80＝160．【總結(jié)升華】本題為統(tǒng)計題，考查平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的意義．解題的關(guān)鍵是準確理解題意，建立等量關(guān)系.舉一反三：【變式】某教師為了對學生零花錢的使用進行教育指導，對全班50名學生每人一周內(nèi)的零花錢數(shù)額進行了調(diào)查統(tǒng)計，并繪制了統(tǒng)計圖表如圖所示的統(tǒng)計圖．零花錢數(shù)額（元）5101520學生個數(shù)（個）15205請根據(jù)圖表中的信息，回答以下問題.(1)求的值；(2)求這50名學生每人一周內(nèi)的零花錢額的眾數(shù)和平均數(shù)．【答案】解：(1)＝50－15－20－5＝10．(2)眾數(shù)是15．平均數(shù)為(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．類型二、極差、方差和標準差4、（2015?徐州）某中學開展“唱紅歌”比賽活動，九年級（1）、（2）班根據(jù)初賽成績，各選出5名選手參加復賽，兩個班各選出的5名選手的復賽成績?nèi)鐖D所示．（1）根據(jù)圖示填寫下表；班級平均數(shù)（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）九（1）85九（2）85100（2）結(jié)合兩班復賽成績的平均數(shù)和中位數(shù)，分析哪個班級的復賽成績較好；（3）計算兩班復賽成績的方差．【思路點撥】（1）觀察圖分別寫出九（1）班和九（2）班5名選手的復賽成績，然后根據(jù)中位數(shù)的定義和平均數(shù)的求法以及眾數(shù)的定義求解即可；（2）在平均數(shù)相同的情況下，中位數(shù)高的成績較好；（3）根據(jù)方差公式計算即可：s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可簡單記憶為“等于差方的平均數(shù)”）【答案與解析】解：（1）由圖可知九（1）班5名選手的復賽成績?yōu)椋?5、80、85、85、100，九（2）班5名選手的復賽成績?yōu)椋?0、100、100、75、80，∴九（1）的平均數(shù)為（75+80+85+85+100）÷5=85，九（1）的中位數(shù)為85，九（1）的眾數(shù)為85，把九（2）的成績按從小到大的順序排列為：70、75、80、100、100，∴九（2）班的中位數(shù)是80；班級平均數(shù)（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）九（1）858585九（2）8580100（2）九（1）班成績好些．因為九（1）班的中位數(shù)高，所以九（1）班成績好些．（回答合理即可給分）（3），【總結(jié)升華】本題考查了中位數(shù)、眾數(shù)以及平均數(shù)的求法，同時也考查了方差公式，解題的關(guān)鍵是牢記定義并能熟練運用公式．舉一反三：【變式】某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓．現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次測試成績中隨機抽取8次，數(shù)據(jù)如下(單位：分)甲9582888193798478乙8375808090859295(1)請你計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽，從統(tǒng)計學的角度考慮，你認為選派哪名工人參加合適?請說明理由．【答案】解：(分)，(分)．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為83分、84分．(2)由(1)知分，所以，．①從平均數(shù)看，甲、乙均為85分，平均水平相同；②從中位數(shù)看，乙的中位數(shù)大于甲，乙的成績好于甲；③從方差來看，因為，，所以甲的成績較穩(wěn)定；④從數(shù)據(jù)特點看，獲得85分以上（含85分）的次數(shù)，甲有3次，而乙有4次，故乙的成績好些；⑤從數(shù)據(jù)的變化趨勢看，乙后幾次的成績均高于甲，且呈上升趨勢，因此乙更具潛力．綜上分析可知，甲的成績雖然比乙穩(wěn)定，但從中位數(shù)、獲得好成績的次數(shù)及發(fā)展勢頭等方面分析，乙具有明顯優(yōu)勢，所以應派乙參賽更有望取得成績．類型三、統(tǒng)計思想5、我國是世界上嚴重缺水的國家之一．為了倡導“節(jié)約用水從我做起”，小剛在他所在班的50名同學中，隨機調(diào)查了10名同學家庭中一年的月均用水量(單位：t)，并將調(diào)查結(jié)果繪成了如圖所示的條形統(tǒng)計圖．(1)求這10個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計小剛所在班50名同學家庭中月均用水量不超過7t的約有多少戶．【思路點撥】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，即可知道每一名同學家庭中一年的月均用水量．再根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法、中位數(shù)和眾數(shù)的概念進行求解；（2）首先計算樣本中家庭月均用水量不超過7t的用戶所占的百分比，再進一步估計總體．【答案與解析】解：(1)觀察條形圖，可知這組樣本數(shù)據(jù)的