動態(tài)幾何中的定值問題

動態(tài)幾何中的定值問題動態(tài)幾何類問題是近幾年中考命題的熱點，題目靈活、多變，能夠全面考查同學(xué)們的綜合分析和解決問題的能力。這類問題中就有一類是定值問題，下面通過例題來探究這類問題的解答方法。【問題1】已知一等腰直角三角形的兩直角邊AB=AC=1，P是斜邊BC上的一動點，過P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則PE+PF=。方法1：特殊值法：把P點放在特殊的B點或C點或BC中點。此種方法只適合小題。方法2：等量轉(zhuǎn)化法：這是絕大部分同學(xué)能夠想到的方法，PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE。方法3：等面積法：連接AP，總結(jié)語：這雖然是一道動態(tài)幾何問題，難嗎？不難，在解決過程中（方法2抓住了邊長AB的不變性和PE,PF與BE,AE的不變關(guān)系；方法3抓住了面積的不變性），使得問題迎刃而解。設(shè)計：大部分學(xué)生都能想到方法2，若其他兩種方法學(xué)生沒有想到，也不要深究，更不要自己講掉。此題可叫差生或中等偏下的學(xué)生回答。（設(shè)計意圖：由簡到難，讓程度最差的同學(xué)也有在課堂上展示自我的機(jī)會。）過渡：這道題太簡單了，因為等腰直角三角形太特殊了，我若把等腰直角三角形換成一般的等腰三角形，問題有沒有變化，又該如何解決？請看：【變式1】若把問題1中的等腰直角三角形改為等腰三角形，且兩腰AB=AC=5，底邊BC=6，過P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則PE+PF還是定值嗎？若是，是多少？若不是，為什么?方法1：三角形相似進(jìn)行量的轉(zhuǎn)化（板書）（M為BC中點）（解題要點：等腰三角形中，底邊上的中線是常作的輔助線，抓住這條線的長度是不變量這個特點，建立PE,PF與AM之間的聯(lián)系，化動為靜）方法2：等面積法：（M為BC中點）（板書）（解題要點：抓住三角形面積是個不變量，用等面積法求解，這是在三角形中求解與垂線段有關(guān)的量的常用方法。）(若學(xué)生想不到，可提示：在此題中，不變的東西是什么？不變的這個量和變量PE,PF之間有什么聯(lián)系，能不能用一個等式來表示？學(xué)生會三角形的邊長，角度，周長，面積等都是不變量。（設(shè)計意圖：由特殊到一般，引出求垂線段長度的常用方法：等面積法）（教師行為：出示題之后，讓學(xué)生做，教師下去看。叫用方法1的同學(xué)先站起來回答，然后再叫用方法2的同學(xué)。以達(dá)到過渡到下一題的目的。）問：我把題中的5改為a，6改為b，PE+PF還是定值嗎？你能求出這個定值嗎？答：是定值，求解方法不變。問：由這題，你能得出等腰三角形的一個一般性結(jié)論嗎？結(jié)論：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和為定值PE+PF=(a為腰長,b為底邊長,h為的邊上的高)（等面積法可以求解，注意當(dāng)頂角為鈍角的情況）（設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生探究的精神，養(yǎng)成勤總結(jié)的習(xí)慣）問題：通過前面幾題，你能說說在解答動態(tài)幾何問題時解題的關(guān)鍵是什么？應(yīng)該注意什么問題？答：不要被"動"、"變"迷惑，通過觀察，分析，動中窺靜，變化之中求不變，從而明確圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，找到不變量或不變關(guān)系，找到解題的途徑。在解題過程中要注意點或線在運動的過程中，是否需要討論。過渡：上面兩題中的動點都是在一定線段或直線上運動，有些同學(xué)可能還是覺得不夠刺激，下面再來一道刺激一點的，讓點在一個區(qū)域內(nèi)運動，請看：【變式2】已知P為邊長為a的等邊三角形ABC內(nèi)任意一動點，P到三邊的距離分別為h1,h2,h3,則P到三邊的距離之和是否為定值？為什么？（由上題的啟示，學(xué)生可能很容易想到等面積法）為定值（M為BC中點）（板書）可以用幾何畫板度量長度，進(jìn)行演示（設(shè)計意圖：使學(xué)生更深一步理解等面積法的應(yīng)用）過渡：研究完了P在三角形內(nèi)部運動的情況，我們不防降低對P點的約束，讓這個好動的點P動到三角形外部去，情況又會有何變化？【變式3】已知P為邊長為a的等邊三角形ABC外任意一點，P到三邊的距離分別為h1,h2,h3,則P到三邊的距離之間有何關(guān)系？為什么？圖1圖2圖3在幾何畫板中操作，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點P移出三角形時，h1＋h2＋h3發(fā)生改變，那么h1,h2,h3有沒有什么一定的關(guān)系呢？等面積法還可以用嗎？△PAB，△PBC，△PAC的面積有何關(guān)系？這三個三角形的面積和不變的三角形ABC的面積有何關(guān)系？（只需講解一種情況，其它讓學(xué)生自己去補充）圖1：為定值（板書）圖2：為定值（只把結(jié)論板書）圖3：為定值（只把結(jié)論板書）圖1圖2圖3圖1：為定值（板書）圖2：為定值（只把結(jié)論板書）圖3：為定值（只把結(jié)論板書）（設(shè)計意圖：滲透分類討論思想在平面幾何中的應(yīng)用。）（教師行為：在幾何畫板中作出個三角形，填充內(nèi)部，讓學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)幾個三角形之間的面積關(guān)系。）過渡：前面我們研究的都是以三角形為背景的動態(tài)幾何定值問題，下面再看一道以圓為背景的定值問題?！締栴}2】已知：已知弧AB為120度，在以AB為弦的弓形劣弧上取一點M(不包括A、B兩點)，以M為圓心作圓M和AB相切，分別過A，B作⊙M的切線，兩條切線相交于點C.求證：∠ACB有定值，并求出這個定值.分析：問：這個圖形中不變的是什么？不變的角是那一個？答：此題中的不變量是弧AB，因此∠AMB也是不變量；不變關(guān)系是相切。問：已知直線和圓已經(jīng)相切，我們會想到什么？答：連接圓心與切線方法1：問：要證∠ACB有定值，可以轉(zhuǎn)化為求什么為定值？答：要證∠ACB有定值，只需證∠CAB+∠CBA是定值，只需證∠MAB+∠MBA是定值，只要∠AMB是定值即可。證明：在△ABC中，∠MAB+∠MBA=180－∠AMB，∵M(jìn)是△ABC的內(nèi)心，∴∠CAB+∠CBA=2(180－∠AMB).∴∠ACB=180－（∠CAB+∠CBA）=180－2(180－∠AMB)=2∠AMB－180＝60.∴∠ACB有定值60.方法2：問：要證∠ACB有定值，可以轉(zhuǎn)化為求什么為定值？答：要證∠ACB有定值，只需證∠EMF是定值，只需證∠EMD+∠FMD是定值，只要∠AMD+∠BMD即∠AMB是定值即可。證明：在四邊形CEMF中，∠C+∠EMF=180，∵M(jìn)是△ABC的內(nèi)心，∴∠DMA=∠EMA,∠FMB=∠DMB，∴∠EMD+∠FMD=2∠AMB=240∴∠EMF=120∴∠C=180-∠EMF=60總結(jié)：若要證的不變量比較困難，你可以先找找題中比較容易看出的不變量，然后建立兩者之間的聯(lián)系。（設(shè)計意圖：多角度，多方位地研究動態(tài)幾何中的定值問題，本題以圓為背景，研究角的定值問題。）過渡：上題是道有關(guān)定值的證明題，也就是已經(jīng)明確方向肯定是定值了，若不是證明題呢？【問題3】（2014?蘇州）如圖，二次函數(shù)y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖象與x軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于C（0，﹣3），點D在二次函數(shù)的圖象上，CD∥AB，連接AD，過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖象于點E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代數(shù)式表示a；（2）求證：為定值；（3）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點為F，探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點G，連接GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．分析：（1）由C在二次函數(shù)y=a（x2﹣2mx﹣3m2）上，則其橫縱坐標(biāo)必滿足方程，代入即可得到a與c的關(guān)系式．（2）求證為定值，一般就是計算出AD、AE的值，然后相比．而求其長，過E、D作x軸的垂線段，進(jìn)而通過設(shè)邊長，利用直角三角形性質(zhì)得方程求解，是求解此類問題的常規(guī)思路，如此易得定值．（3）要使線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且（2）中=，則可考慮若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可．由AD、AE、F點都易固定，且G在x軸的負(fù)半軸上，則易得G點大致位置，可連接CF并延長，證明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可．歸納小結(jié)：解答動態(tài)幾何定值探索問題的方法，一般有兩種：第一種是分兩步完成：先探求定值.它要用題中固有的幾何量表示.再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點放在特殊的位置，找出定值的表達(dá)式，然后寫出證明.第二種是采用綜合法，直接寫出證明.結(jié)束語：數(shù)學(xué)因運動不再枯燥，數(shù)學(xué)因運動而充滿活力。希望同學(xué)們能夠把握動態(tài)幾何的解題規(guī)律?！菊n堂小結(jié)】問：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一類怎么樣的問題？用什么方法解決？答：動態(tài)幾何中的定值問題特點：圖形中的某個元素，按某種規(guī)律在運動類型：（1）點動（2）線動（3）旋轉(zhuǎn)、平移（4）形變解題思路：不要被"動"、"變"迷惑，通過觀察，分析，動中窺靜，變化之中求不變，從而明確圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，找到解題的途徑。作業(yè)：1．閱讀材料：如圖1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，點P在AB邊上，PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，則PE+PF=OA．（此結(jié)論不必證明，可直接應(yīng)用）（1）【理解與應(yīng)用】如圖2，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC，BD相交于點O，點P在AB邊上，PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，則PE+PF的值為．（2）【類比與推理】如圖3，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AB=4，AD=3，點P在AB邊上，PE∥OB交AC于點E，PF∥OA交BD于點F，求PE+PF的值；（3）【拓展與延伸】如圖4，⊙O的半徑為4，A，B，C，D是⊙O上的四點，過點C，D的切線CH，DG相交于點M，點P在弦AB上，PE∥BC交AC于點E，PF∥AD于點F，當(dāng)∠ADG=∠BCH=30°時，PE+PF是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．2．（2014?宿遷）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x軸于點A，B，交y軸于點C，設(shè)過點A，B，C三點的圓與y軸的另一個交點為D．（1）如圖1，已知點A，B，C的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此拋物線的表達(dá)式與點D的坐標(biāo)；②若點M為拋物線上的一動點，且位于第四象限，求△BDM面積的最大值；（2）如圖2，若a=1，求證：無論b，c取何值，點D均為頂點，求出該定點坐標(biāo)．3．如圖，在中，，O是AB上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的半圓與AC切于點D，與AB交于點E，若AD＝2，AE＝1，求的值和四邊形BCDE的面積。

參考答案：1．考點： 圓的綜合題；等邊三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；弦切角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題： 壓軸題；探究型．分析： （1）易證：OA=OB，∠AOB=90°，直接運用閱讀材料中的結(jié)論即可解決問題．（2）易證：OA=OB=OC=0D=，然后由條件PE∥OB，PF∥AO可證△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA，從而可得==1，進(jìn)而求出EP+FP=．（3）易證：AD=BC=4．仿照（2）中的解法即可求出PE+PF=4，因而PE+PF是定值．解：（1）如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．∵AB=BC=2，∴AC=2．∴OA=．∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE+PF=OA=．（2）如圖3，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．∵AB=4，AD=3，∴BD=5．∴OA=OB=OC=OD=．∵PE∥OB，PF∥AO，∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．∴，．∴==1．∴+=1．∴EP+FP=．∴PE+PF的值為．（3）當(dāng)∠ADG=∠BCH=30°時，PE+PF是定值．理由：連接OA、OB、OC、OD，如圖4．∵DG與⊙O相切，∴∠GDA=∠ABD．∵∠ADG=30°，∴∠ABD=30°．∴∠AOD=2∠ABD=60°．∵OA=OD，∴△AOD是等邊三角形．∴AD=OA=4．同理可得：BC=4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴，．∴==1．∴=1．∴PE+PF=4．∴當(dāng)∠ADG=∠BCH=30°時，PE+PF=4．點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、弦切角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，考查了類比聯(lián)想的能力，由一定的綜合性．要求PE+PF的值，想到將相似所得的比式相加是解決本題的關(guān)鍵．2．考點：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）①利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；利用勾股定理的逆定理證明∠ACB=90°，由圓周角定理得AB為圓的直徑，再由垂徑定理知點C、D關(guān)于AB對稱，由此得出點D的坐標(biāo)；②求出△BDM面積的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值．解答中提供了兩種解法，請分析研究；（3）根據(jù)拋物線與x軸的交點坐標(biāo)、根與系數(shù)的關(guān)系、相似三角形求解．解答：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），∴，解得，∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣4；∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．如答圖1，連接AC、BC．由勾股定理得：AC=，BC=．∵AC2+BC2=AB2=100，∴∠ACB=90°，∴AB為圓的直徑．由垂徑定理可知，點C、D關(guān)于直徑AB對稱，∴D（0，4）．（2）解法一：設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），∴，解得，∴直線BD解析式為：y=﹣x+4．設(shè)M（x，x2﹣x﹣4），如答圖2﹣1，過點M作ME∥y軸，交BD于點E，則E（x，﹣x+4）．∴ME=（﹣x+4）﹣（x2﹣x﹣4）=﹣x2+x+8．∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME（xE﹣xD）+ME（xB﹣xD）=ME（xB﹣xD）=4ME，∴S△BDM=4（﹣x2+x+8）=﹣x2+4x+32=﹣（x﹣2）2+36．∴當(dāng)x=2時，△BDM的面積有最大值為36；解法二：如答圖2﹣