一次函數(shù)知識點

一次函數(shù)函數(shù)1、變量：在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量。常量：在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量。2、函數(shù)：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。*判斷y是否為x的函數(shù)，只要看x取值確定的時候，y是否有唯一確定的值與之對應(yīng)。3、定義域：一般的，一個函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域。4、確定函數(shù)定義域的方法：（1）關(guān)系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)；（2）關(guān)系式含有分式時，分式的分母不等于零；（3）關(guān)系式含有二次根式時，被開方數(shù)大于等于零；（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零；（5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。5、函數(shù)的解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做函數(shù)的解析式6、函數(shù)的圖像一般來說，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象．7、描點法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點）；第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。8、函數(shù)的表示方法列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。（二）一次函數(shù)1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念一般地，如果（k，b是常數(shù)，k0），那么y叫做x的一次函數(shù)。特別地，當一次函數(shù)中的b為0時，（k為常數(shù)，k0）。這時，y叫做x的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的圖像:一次函數(shù)的圖像都是一條直線3、一次函數(shù)圖像的畫法：①列表x0______y______0②描點③連線已知一次函數(shù)y=kx4的圖象與兩坐標軸所圍成的三角形的面積等于2，則k的值是____________．4、一次函數(shù)平移的規(guī)律：左加右減，上加下減例1、y=2x1向右平移1個單位，向下平移2個單位,求平移后的解析式為____________例2、在平面直角坐標系中，若將一次函數(shù)y＝2x＋m?1的圖象向左平移3個單位后，得到一個正比例函數(shù)的圖象，則m的值為____________5、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：一次函數(shù)的圖像是經(jīng)過點（0，b）的直線；正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過原點（0，0）的直線。一次函數(shù)y＝kx＋b（k、b為常數(shù)，且k≠0）中k的值對函數(shù)圖像的影響kb圖像特征大致圖像經(jīng)過的象限k＞0b＞0上升，交點在y軸上方．b＝0上升，交點在原點．b＜0上升，交點在y軸下方．k＜0b＞0下降，交點在y軸上方．b＝0下降，交點在原點．b＜0下降，交點在y軸下方．例1、在平面直角坐標系中，若直線y=kx+b經(jīng)過第一、三、四象限，則直線y=bx+k不經(jīng)過的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限例2、已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，且y隨x的增大而減小，則點A的坐標可以是（

）A． B． C． D．6、正比例函數(shù)的性質(zhì)一般地，正比例函數(shù)有下列性質(zhì)：（1）當k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而_______；（2）當k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而_______。7、一次函數(shù)的性質(zhì)一般地，一次函數(shù)有下列性質(zhì)：（1）當k>0時，y隨x的增大而_______（2）當k<0時，y隨x的增大而_______8、待定系數(shù)法：先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式（其中含有未知常數(shù)系數(shù)），再根據(jù)條件列出方程（或方程組），求出未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法．其中未知系數(shù)也叫待定系數(shù)．例如：函數(shù)y=kx+b中，k，b就是待定系數(shù)．用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達式的一般步驟：（1）設(shè)函數(shù)表達式為y=kx+b；（2）將已知點的坐標代入函數(shù)表達式，解方程（組）；（3）求出k與b的值，得到函數(shù)表達式。例1、一次函數(shù)，當時，對應(yīng)的y值為，則kb=________.9、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系(1)從“數(shù)”的角度看，一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像與x軸交點的橫坐標；(2)從“形”的角度看，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像與x軸交點的橫坐標是方程kx＋b＝0的解．10、一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系二元一次方程組可以看成兩個一次函數(shù)，兩個一次函數(shù)圖像的交點的橫縱坐標就是二元一次方程組的解例1、用圖象法解某二元一次方程組時，在同一直角坐標系中作出相應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖象（如圖所示），則所解的二元一次方程組是（）A．B．C．D．例2、若直線y=3x1與y=xk的交點在第四象限，則k的取值范圍是_______11、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系(1)從“數(shù)”的角度看，一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)的解集是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像在x軸上方(或下方)的部分所對應(yīng)的x的取值范圍．(2)從“形”的角度看，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像在x軸上方(或下方)的部分所對應(yīng)的x的取值范圍就是一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)的解集．(3)一元一次不等式kx＋b＞k1x＋b1(或kx＋b＜k1x＋b1)的解集是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像在一次函數(shù)y＝k1x＋b1的圖像上方(或下方)的部分所對應(yīng)的x的取值范圍．(4)一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像在一次函數(shù)y＝k1x＋b1的圖像上方(或下方)的部分所對應(yīng)的x的取值范圍就是一元一次不等式kx＋b＞k1x＋b1(或kx＋b＜k1x＋b1)的解集．例1、已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式3kx﹣b＞0的解集為．例2、如圖，直線y1=kx和直線y2=ax+b相交于點（1，2）．則關(guān)于x的不等式組ax+b＞kx＞0的解集為．例3、如圖，函數(shù)y=mx和y=kx+b的圖象相交于點P（1，m），則不等式﹣b≤kx﹣b≤mx的解集為．12、一次函數(shù)行程問題橫縱坐標（主要關(guān)注縱坐標，常見的表示：1.到某地的距離；2.兩者之間的距離，3到中間某點的距離）拐點（常見表示的含義：1.發(fā)生了意外的事情，例如：車壞了等2.到達了某地，改變了運動過程）交點（常見表示的含義：1.相遇，2到某地的距離相等）k和速度之間的關(guān)系（=速度）例1、一輛慢車與一輛快車分別從甲、乙兩地同時出發(fā)，勻速相向而行，兩車在途中相遇后都停留一段時間，然后分別按原速一同駛往甲地后停車．設(shè)慢車行駛的時間為x小時，兩車之間的距離為y千米，圖中折線表示y與x之間的函數(shù)圖象，請根據(jù)圖象解決下列問題：（1）甲乙兩地之間的距離為千米；（2）求快車和慢車的速度；（3）求線段DE所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．例2、一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時間為x（h），兩車之間的距離為y（km）．圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系．根據(jù)圖象進行以下探究：（1）甲、乙兩地之間的距離為_________km；（2）求慢車和快車的速度；（3）請解釋圖中點C的實際意義；（4）分別寫出線段AB、BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（5）在整個行駛過程中，兩車何時相距25km,請求出相應(yīng)的x的值.補充：1、關(guān)于點的距離的問題方法：點到x軸的距離用縱坐標的絕對值表示，點到y(tǒng)軸的距離用橫坐標的絕對值表示；若AB∥x軸，則的距離為_______；若AB∥y軸，則的距離為_______；點到原點之間的距離為_______2、交點問題及直線圍成的面積問題方法：兩直線交點坐標必滿足兩直線解析式，求交點就是聯(lián)立兩直線解析式求方程組的解；復雜圖形“外補內(nèi)割”即：往外補成規(guī)則圖形，或分割成規(guī)則圖形（三角形）；往往選擇坐標軸上的線段作為底，底所對的頂點的坐標確定高。3、函數(shù)圖像與坐標軸圍成的面積（假設(shè)與兩坐標軸的交點分別為A、B）4、中點公式：_______________________________________________________5、兩點間距離公式：______________________________________________________6、在平面直角坐標系中，直線（）與（）的位置關(guān)系：兩直線垂直；兩直線平行_______7、y=kx+b(斜截式方程)①k的幾何意義:|k|=②斜率公式:若A（x，y）B（x，y）,則k==例1、若m=（x1x2）（y1y2），且A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函數(shù)y=ax3x+b圖像上兩個不同的點，當m＜0時，a的取值范圍是______．8、一次函數(shù)過定點（y=mx+m（m≠0））y=m（x+1）當x=1時，y=0，所以一次函數(shù)y=mx+m恒經(jīng)過點（1，0）例1、已知平面上四點，，，，直線將四邊形分成面積相等的兩部分，則的值為 ．9、含參數(shù)P（2m1,4m+2），點P在一次函數(shù)上設(shè)P點的坐標（x，y），則x=2m1，y=4m+2，則y=2x+4例1、無論a取什么實數(shù)，點P(a－1，2a－3)都在直線l上，Q(m，n)是直線l上的點，則(2m－n＋3)2的值等于．10、等腰三角形的解法:兩點間距離公式例1、在平面直角坐標系中，已知A（3，2），x軸上確定一點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的P點的坐標為．11、等腰直角三角形的解法：_____________________例1、(1)問題解決：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，以AB為腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，點A、B、C的坐標分別為______、______、______．(2)綜合運用：①如圖2，在平面直角坐標系xOy中，點A坐標（0，﹣6），點B坐標（8，0），過點B作x軸垂線l，點P是l上一動點，點D是在一次函數(shù)y＝﹣2x+2圖像上一動點，若△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，請求出點D的坐標．②如圖2，在⑵的條件中，若M為x軸上一動點，連接AM，把AM繞M點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至線段NM，ON+A