新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第5章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用微專題3導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法解決函數(shù)問題教師用書含答案新人教A版選擇性必修第二冊

微專題3導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法解決函數(shù)問題在考試中經(jīng)常見到一類試題，即不給出解析式，而是給出函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)滿足的條件，需要據(jù)此條件構(gòu)造抽象函數(shù)，再根據(jù)條件得出構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用單調(diào)性解決問題的題目，該類題目具有一定的難度，下面總結(jié)其基本類型的處理方法：1．關(guān)系式為“加”型：(1)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)構(gòu)造[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)(2)xf′(x)＋f(x)≥0構(gòu)造[xf(x)]′＝xf′(x)＋f(x)(3)f′(x)＋f(x)≥0構(gòu)造[exf(x)]′＝ex[f′(x)＋f(x)]2．關(guān)系式為“減”型(4)f′(x)g(x)－f(x)g′(x)構(gòu)造fxgx(5)xf′(x)－f(x)≥0構(gòu)造fxx′(6)f′(x)－f(x)≥0構(gòu)造fxex′＝類型1關(guān)系式為“加”型【例1】(1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對任意的x∈R，f′(x)＋f(x)>0．則對任意正數(shù)a必有()A．f(a)>eaf(0) B．f(a)<eaf(0)C．f(a)<f0ea D．f((2)設(shè)f′(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f′(x)<3，f(－3)＝－2，則f(x)>3x＋7的解集為()A．(－∞，－1) B．(－∞，－3)C．(－3，0)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(1，＋∞)(3)已知y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時，不等式xf′(x)＋f(x)<0成立，若a＝30.3·f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝log319·f(log319)，則a，b，c的大小關(guān)系是(4)設(shè)f(x)，g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，g(－3)＝0，求不等式f(x)g(x)<0的解集．(1)D(2)B(3)c>b>a[(1)構(gòu)造函數(shù)F(x)＝exf(x)，則F′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]>0，故F(x)在R上單調(diào)遞增，又a>0，所以F(a)>F(0)，即eaf(a)>e0f(0)，所以f(a)>f0ea(2)因?yàn)閒′(x)<3，即f′(x)－3<0，設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)－3x，g′(x)＝f′(x)－3<0，則g(x)在R上單調(diào)遞減，又f(－3)＝－2，所以g(－3)＝f(－3)－3×(－3)＝7，不等式f(x)>3x＋7轉(zhuǎn)化為：f(x)－3x>7，即g(x)>g(－3)，所以x<－3．(3)令g(x)＝xf(x)，則g′(x)＝xf′(x)＋f(x)．由條件知，x>0時，g′(x)<0，即g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．又f(x)為偶函數(shù)，則g(x)為奇函數(shù)，故g(x)在R上單調(diào)遞減．又log319<logπ3<30.3，所以c>b>a．(4)[解]因?yàn)閒′(x)g(x)＋f(x)g′(x)的原函數(shù)為f(x)g(x)，構(gòu)造新函數(shù)h(x)＝f(x)g(x)可知h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，又因?yàn)間(－3)＝0，即h(－3)＝0，所以f(x)g(x)<0的解集是(－3，＋∞)．類型2關(guān)系式為“減”型【例2】(1)設(shè)f(x)、g(x)是定義域?yàn)镽的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，則當(dāng)a<x<b時有()A．f(x)g(x)>f(b)g(b)B．f(x)g(b)>f(b)g(x)C．f(x)g(a)>f(a)g(x)D．f(x)g(x)>f(a)g(x)(2)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x>0時，xf′(x)－f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)(3)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f′(x)－f(x)>0，比較f(1)與ef(0)的大小為f(1)________ef(0)．(1)B(2)A(3)>[(1)設(shè)F(x)＝fxgx，則F′(x)＝f'xgx-fxg'xgx2，由f′(x)g(x)－f(x因?yàn)閍<x<b所以fbgb<fxgx<faga，又f(x)、故f(x)g(b)>f(b)g(x)．(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)＝fxx，則g′(x)＝xf'x-fxx2，因?yàn)楫?dāng)x>0時，xf′(x)－f(x)<0，故當(dāng)x>0時，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．又因?yàn)閒(x)(所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，且g(－1)＝g(1)＝0．當(dāng)0<x<1時，g(x)>0，則f(x)>0；當(dāng)x<－1時，g(x)<0