上海市普陀區(qū)重點中學2024屆中考數(shù)學最后沖刺濃縮精華卷含解析

上海市普陀區(qū)重點中學2024屆中考數(shù)學最后沖刺濃縮精華卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．若a=，則實數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點的大致位置是（）A．點E B．點F C．點G D．點H2．下列圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個圖形中一共有3個菱形，第②個圖形中一共有7個菱形，第③個圖形中一共有13個菱形，…，按此規(guī)律排列下去，第⑨個圖形中菱形的個數(shù)為（）A．73 B．81 C．91 D．1093．如圖，以正方形ABCD的邊CD為邊向正方形ABCD外作等邊△CDE，AC與BE交于點F，則∠AFE的度數(shù)是（）A．135° B．120° C．60° D．45°4．若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）A．x=0 B．x=3 C．x≠0 D．x≠35．下列各數(shù)中負數(shù)是（）A．﹣（﹣2）B．﹣|﹣2|C．（﹣2）2D．﹣（﹣2）36．下列運算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2=a6 B．（x3）3=x6 C．x5+x5=x10 D．﹣a8÷a4=﹣a47．已知3a﹣2b=1，則代數(shù)式5﹣6a+4b的值是（）A．4B．3C．﹣1D．﹣38．如圖，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中點．將△ABG沿AG對折至△AFG，延長GF交DC于點E，則DE的長是()A．1 B．1.5 C．2 D．2.59．如圖，如果從半徑為9cm的圓形紙片剪去圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐（接縫處不重疊），那么這個圓錐的高為A．6cm B．cm C．8cm D．cm10．若拋物線y＝x2－(m－3)x－m能與x軸交，則兩交點間的距離最值是（）A．最大值2， B．最小值2 C．最大值2 D．最小值2二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點F是邊BC上不與點B，C重合的一個動點，直線DE垂直平分BF，垂足為D．當△ACF是直角三角形時，BD的長為_____．12．如圖，一個直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個四邊形，則∠1+∠2=_______度．13．已知線段AB=2cm，點C在線段AB上，且AC2=BC·AB，則AC的長___________cm．14．關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣x﹣=0有實數(shù)根，則a的取值范圍為________．15．已知正方形ABCD，AB＝1，分別以點A、C為圓心畫圓，如果點B在圓A外，且圓A與圓C外切，那么圓C的半徑長r的取值范圍是_____．16．圖，A，B是反比例函數(shù)y=圖象上的兩點，過點A作AC⊥y軸，垂足為C，AC交OB于點D．若D為OB的中點，△AOD的面積為3，則k的值為________．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）如圖,有四張背面完全相同的紙牌A,B,C,D,其正面分別畫有四個不同的幾何圖形,將這四張紙牌背面朝上洗勻.從中隨機摸出一張,求摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率;小明和小亮約定做一個游戲,其規(guī)則為:先由小明隨機摸出一張紙牌,不放回,再由小亮從剩下的紙牌中隨機摸出一張,若摸出的兩張牌面圖形都是軸對稱圖形小明獲勝,否則小亮獲勝,這個游戲公平嗎?請用列表法(或樹狀圖)說明理由(紙牌用A,B,C,D表示).18．（8分）在“母親節(jié)”期間，某校部分團員參加社會公益活動，準備購進一批許愿瓶進行銷售，并將所得利潤捐給慈善機構(gòu)．根據(jù)市場調(diào)查，這種許愿瓶一段時間內(nèi)的銷售量y(個)于銷售單價x(元/個)之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示．試判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；若許愿瓶的進價為6元/個，按照上述市場調(diào)查銷售規(guī)律，求利潤w(元)與銷售單價x(元/個)之間的函數(shù)關(guān)系式；若許愿瓶的進貨成本不超過900元，要想獲得最大利潤，試求此時這種許愿瓶的銷售單價，并求出最大利潤．19．（8分）如圖所示，直線y=x+2與雙曲線y=相交于點A(2，n)，與x軸交于點C．求雙曲線解析式；點P在x軸上，如果△ACP的面積為5，求點P的坐標.20．（8分）某景區(qū)商店銷售一種紀念品，每件的進貨價為40元．經(jīng)市場調(diào)研，當該紀念品每件的銷售價為50元時，每天可銷售200件；當每件的銷售價每增加1元，每天的銷售數(shù)量將減少10件．當每件的銷售價為52元時，該紀念品每天的銷售數(shù)量為件；當每件的銷售價x為多少時，銷售該紀念品每天獲得的利潤y最大？并求出最大利潤．21．（8分）如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CD是⊙O的切線，AD⊥CD于點D，E是AB延長線上一點，CE交⊙O于點F，連接OC、AC．（1）求證：AC平分∠DAO．（2）若∠DAO=105°，∠E=30°①求∠OCE的度數(shù)；②若⊙O的半徑為2，求線段EF的長．22．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2＋mx＋n經(jīng)過點A(3，0)、B(0，－3)，點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設(shè)點P的橫坐標為t．分別求出直線AB和這條拋物線的解析式．若點P在第四象限，連接AM、BM，當線段PM最長時，求△ABM的面積．是否存在這樣的點P，使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．23．（12分）為保護環(huán)境，我市公交公司計劃購買A型和B型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛．若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元．求購買A型和B型公交車每輛各需多少萬元？預(yù)計在某線路上A型和B型公交車每輛年均載客量分別為60萬人次和100萬人次．若該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬人次，則該公司有哪幾種購車方案？在（2）的條件下，哪種購車方案總費用最少？最少總費用是多少萬元？24．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分線交AE于點O，以點O為圓心，OA為半徑的圓經(jīng)過點B，交BC于另一點F．(1)求證：CD與⊙O相切；(2)若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、C【解題分析】

根據(jù)被開方數(shù)越大算術(shù)平方根越大，可得答案．【題目詳解】解：∵＜＜，∴3＜＜4，∵a=，∴3＜a＜4，故選：C．【題目點撥】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，利用被開方數(shù)越大算術(shù)平方根越大得出3＜＜4是解題關(guān)鍵．2、C【解題分析】試題解析：第①個圖形中一共有3個菱形，3=12+2；第②個圖形中共有7個菱形，7=22+3；第③個圖形中共有13個菱形，13=32+4；…，第n個圖形中菱形的個數(shù)為：n2+n+1；第⑨個圖形中菱形的個數(shù)92+9+1=1．故選C．考點：圖形的變化規(guī)律.3、B【解題分析】

易得△ABF與△ADF全等，∠AFD=∠AFB，因此只要求出∠AFB的度數(shù)即可．【題目詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠DAF，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFD=∠AFB，∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB，∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，∴∠CBE=15°，∵∠ACB=45°，∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°．∴∠AFE=120°．故選B．【題目點撥】此題考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形及等邊三角形的性質(zhì)，會運用其性質(zhì)進行一些簡單的轉(zhuǎn)化．4、D【解題分析】分析：根據(jù)分式有意義的條件進行求解即可.詳解：由題意得，x﹣3≠0，解得，x≠3，故選D．點睛：此題考查了分式有意義的條件.注意：分式有意義的條件事分母不等于零，分式無意義的條件是分母等于零.5、B【解題分析】

首先利用相反數(shù)，絕對值的意義，乘方計算方法計算化簡，進一步利用負數(shù)的意義判定即可．【題目詳解】A、-（-2）=2，是正數(shù)；B、-|-2|=-2，是負數(shù)；C、（-2）2=4，是正數(shù)；D、-（-2）3=8，是正數(shù)．故選B．【題目點撥】此題考查負數(shù)的意義，利用相反數(shù)，絕對值的意義，乘方計算方法計算化簡是解決問題的關(guān)鍵．6、D【解題分析】

各項計算得到結(jié)果，即可作出判斷．【題目詳解】A、原式=a5，不符合題意；B、原式=x9，不符合題意；C、原式=2x5，不符合題意；D、原式=-a4，符合題意，故選D．【題目點撥】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．7、B【解題分析】

先變形，再整體代入，即可求出答案．【題目詳解】∵3a﹣2b=1，∴5﹣6a+4b=5﹣2（3a﹣2b）=5﹣2×1=3，故選：B．【題目點撥】本題考查了求代數(shù)式的值，能夠整體代入是解此題的關(guān)鍵．8、C【解題分析】

連接AE,根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證Rt△AFE≌Rt△ADE,在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理求出DE的長.【題目詳解】連接AE，∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°，由折疊的性質(zhì)得：Rt△ABG≌Rt△AFG，在△AFE和△ADE中，∵AE=AE，AD=AF，∠D=∠AFE，∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF=DE，設(shè)DE=FE=x，則CG=3，EC=6?x.在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得：(6?x)2+9=(x+3)2，解得x=2.則DE=2.【題目點撥】熟練掌握翻折變換、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是本題的解題關(guān)鍵.9、B【解題分析】試題分析：∵從半徑為9cm的圓形紙片上剪去圓周的一個扇形，∴留下的扇形的弧長==12π，根據(jù)底面圓的周長等于扇形弧長，∴圓錐的底面半徑r==6cm，∴圓錐的高為=3cm故選B.考點:圓錐的計算．10、D【解題分析】設(shè)拋物線與x軸的兩交點間的橫坐標分別為：x1，x2，

由韋達定理得：x1+x2=m-3，x1?x2=-m，則兩交點間的距離d=|x1-x2|==,∴m=1時，dmin=2．故選D.二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、2或【解題分析】

分兩種情況討論：（1）當時，，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)可解；（2）當時，過點A作于點M，證明列比例式求出，從而得，再利用垂直平分線的性質(zhì)得．【題目詳解】解：（1）當時，∵垂直平分，.（2）當時，過點A作于點，在與中，.故答案為或．【題目點撥】本題主要考查了等腰三角形的三線合一性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)定理得應(yīng)用．本題難度中等．12、270【解題分析】

根據(jù)三角形的內(nèi)角和與平角定義可求解．【題目詳解】解析：如圖，根據(jù)題意可知∠5=90°，∴∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=180°+180°-（∠3+∠4）=360°-90°=270°，故答案為：270度.【題目點撥】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理和內(nèi)角與外角之間的關(guān)系．要會熟練運用內(nèi)角和定理求角的度數(shù)．13、【解題分析】

設(shè)AC=x，則BC=2-x，根據(jù)AC2=BC·AB列方程求解即可.【題目詳解】解：設(shè)AC=x，則BC=2-x，根據(jù)AC2=BC·AB可得x2=2(2-x),解得：x=或（舍去）.故答案為.【題目點撥】本題考查了黃金分割的應(yīng)用，關(guān)鍵是明確黃金分割所涉及的線段的比.14、a≥﹣1且a≠1【解題分析】

利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到≠1且△=（﹣1）2﹣4a?（﹣）≥1，然后求出兩個不等式的公共部分即可．【題目詳解】根據(jù)題意得a≠1且△=（﹣1）2﹣4a?（﹣）≥1，解得：a≥﹣1且a≠1．故答案為a≥﹣1且a≠1．【題目點撥】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：當△＞1時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=1時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△＜1時，方程無實數(shù)根．15、﹣1＜r＜．【解題分析】

首先根據(jù)題意求得對角線AC的長，設(shè)圓A的半徑為R，根據(jù)點B在圓A外，得出0＜R＜1，則-1＜-R＜0，再根據(jù)圓A與圓C外切可得R+r=，利用不等式的性質(zhì)即可求出r的取值范圍．【題目詳解】∵正方形ABCD中，AB=1，

∴AC=，

設(shè)圓A的半徑為R，

∵點B在圓A外，

∴0＜R＜1，

∴-1＜-R＜0，

∴-1＜-R＜．

∵以A、C為圓心的兩圓外切，

∴兩圓的半徑的和為，

∴R+r=，r=-R，

∴-1＜r＜．

故答案為：-1＜r＜．【題目點撥】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系，正方形的性質(zhì)，勾股定理，不等式的性質(zhì)．掌握位置關(guān)系與數(shù)量之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16、1．【解題分析】先設(shè)點D坐標為（a，b），得出點B的坐標為（2a，2b），A的坐標為（4a，b），再根據(jù)△AOD的面積為3，列出關(guān)系式求得k的值．解：設(shè)點D坐標為（a，b），∵點D為OB的中點，∴點B的坐標為（2a，2b），∴k=4ab，又∵AC⊥y軸，A在反比例函數(shù)圖象上，∴A的坐標為（4a，b），∴AD=4a﹣a=3a，∵△AOD的面積為3，∴×3a×b=3，∴ab=2，∴k=4ab=4×2=1．故答案為1“點睛”本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，以及運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，根據(jù)△AOD的面積為1列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共8題，共72分）17、（1）.（2）公平.【解題分析】

試題分析：（1）首先根據(jù)題意結(jié)合概率公式可得答案；（2）首先根據(jù)（1）求得摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的有16種情況，若摸出兩張牌面圖形都是中心對稱圖形的有12種情況，繼而求得小明贏與小亮贏的概率，比較概率的大小，即可知這個游戲是否公平．試題解析：（1）共有4張牌，正面是中心對稱圖形的情況有3種，所以摸到正面是中心對稱圖形的紙牌的概率是；（2）列表得：

A

B

C

D

A

（A，B）

（A，C）

（A，D）

B

（B，A）

（B，C）

（B，D）

C

（C，A）

（C，B）

（C，D）

D

（D，A）

（D，B）

（D，C）

共產(chǎn)生12種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中兩張牌都是軸對稱圖形的有6種，∴P（兩張都是軸對稱圖形）=，因此這個游戲公平．考點：游戲公平性；軸對稱圖形；中心對稱圖形；概率公式；列表法與樹狀圖法.18、（1）y是x的一次函數(shù)，y=－30x+1（2）w=－30x2＋780x－31（3）以3元/個的價格銷售這批許愿瓶可獲得最大利潤4元【解題分析】

（1）觀察可得該函數(shù)圖象是一次函數(shù)，設(shè)出一次函數(shù)解析式，把其中兩點代入即可求得該函數(shù)解析式，進而把其余兩點的橫坐標代入看縱坐標是否與點的縱坐標相同．（2）銷售利潤=每個許愿瓶的利潤×銷售量．（3）根據(jù)進貨成本可得自變量的取值，結(jié)合二次函數(shù)的關(guān)系式即可求得相應(yīng)的最大利潤．【題目詳解】解：（1）y是x的一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b，∵圖象過點（10，300），（12，240），∴，解得．∴y=－30x＋1．當x=14時，y=180；當x=16時，y=120，∴點（14，180），（16，120）均在函數(shù)y=－30x+1圖象上．∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=－30x+1．（2）∵w=（x－6）（－30x＋1）=－30x2＋780x－31，∴w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為w=－30x2＋780x－31．（3）由題意得：6（－30x+1）≤900，解得x≥3．w=－30x2＋780x－31圖象對稱軸為：．∵a=－30＜0，∴拋物線開口向下，當x≥3時，w隨x增大而減?。喈攛=3時，w最大=4．∴以3元/個的價格銷售這批許愿瓶可獲得最大利潤4元．19、（1）；（2）（，0）或【解題分析】

（1）把A點坐標代入直線解析式可求得n的值，則可求得A點坐標，再把A點坐標代入雙曲線解析式可求得k的值，可求得雙曲線解析式；（2）設(shè)P（x，0），則可表示出PC的長，進一步表示出△ACP的面積，可得到關(guān)于x的方程，解方程可求得P點的坐標．【題目詳解】解：（1）把A（2，n）代入直線解析式得：n=3，∴A（2，3），把A坐標代入y=，得k=6，則雙曲線解析式為y=．（2）對于直線y=x+2，令y=0，得到x=-4，即C（-4，0）．設(shè)P（x，0），可得PC=|x+4|．∵△ACP面積為5，∴|x+4|?3=5，即|x+4|=2，解得：x=-或x=-，則P坐標為或．20、（1）180；（2）每件銷售價為55元時，獲得最大利潤；最大利潤為2250元．【解題分析】分析：（1）根據(jù)“當每件的銷售價每增加1元，每天的銷售數(shù)量將減少10件”，即可解答；（2）根據(jù)等量關(guān)系“利潤=（售價﹣進價）×銷量”列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．詳解：（1）由題意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件），故答案為180；（2）由題意得：y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]=﹣10x2+1100x﹣28000=﹣10（x﹣55）2+2250∴每件銷售價為55元時，獲得最大利潤；最大利潤為2250元．點睛：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知得出二次函數(shù)的最值是中考中考查重點，同學們應(yīng)重點掌握．21、（1）證明見解析；（2）①∠OCE=45°；②EF=-2.【解題分析】【試題分析】（1）根據(jù)直線與⊙O相切的性質(zhì)，得OC⊥CD.又因為AD⊥CD，根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線也平行，得：AD//OC.∠DAC=∠OCA.又因為OC=OA，根據(jù)等邊對等角，得∠OAC=∠OCA.等量代換得：∠DAC=∠OAC.根據(jù)角平分線的定義得：AC平分∠DAO.（2）①因為AD//OC，∠DAO=105°，根據(jù)兩直線平行，同位角相等得，∠EOC=∠DAO=105°，在中，∠E=30°，利用內(nèi)角和定理，得：∠OCE=45°.②作OG⊥CE于點G，根據(jù)垂徑定理可得FG=CG，因為OC=，∠OCE=45°.等腰直角三角形的斜邊是腰長的倍，得CG=OG=2.FG=2.在Rt△OGE中，∠E=30°，得GE=，則EF=GE-FG=-2.【試題解析】（1）∵直線與⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD//OC.∴∠DAC=∠OCA.又∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA.∴∠DAC=∠OAC.∴AC平分∠DAO.（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，∴∠EOC=∠DAO=105°∵∠E=30°，∴∠OCE=45°.②作OG⊥CE于點G，可得FG=CG∵OC=，∠OCE=45°.∴CG=OG=2.∴FG=2.∵在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=.∴EF=GE-FG=-2.【方法點睛】本題目是一道圓的綜合題目，涉及到圓的切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及判定，三角形內(nèi)角和，垂徑定理，難度為中等.22、(1)拋物線的解析式是.直線AB的解析式是.(2).（3）P點的橫坐標是或.【解題分析】

（1）分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分別代入y=x2+mx+n與y=kx+b，得到關(guān)于m、n的兩個方程組，解方程組即可；（2）設(shè)點P的坐標是（t，t﹣3），則M（t，t2﹣2t﹣3），用P點的縱坐標減去M的縱坐標得到PM的長，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到當t=﹣=時，PM最長為=，再利用三角形的面積公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM計算即可；（3）由PM∥OB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，然后討論：當P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能；當P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；當P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值．【題目詳解】解：(1)把A（3，0）B（0，-3）代入，得解得所以拋物線的解析式是.設(shè)直線AB的解析式是,把A（3，0）B（0，）代入,得解得所以直線AB的解析式是.(2)設(shè)點P的坐標是（）,則M（,）,因為在第四象限，所以PM=，當PM最長時，此時==.（3）若存在，則可能是：①P在第四象限：平行四邊形OBMP,PM=OB=3，PM最長時，所以不可能.②P在第一象限平行四邊形OBPM：PM=OB=3，，解得，（舍去），所以P點的橫坐標是.③P在第三象限平行四邊形OBPM：PM=OB=3，，解得（舍去），①，所以P點的橫坐標是.所以P點的橫坐標是或.23、（1）購買A型公交車每輛需100萬元，購買B型公交車每輛需150萬元．（2）三種方案：①購買A型公交車6輛，則B型公交車4輛；②購買A型公交車7輛，則B型公交車3輛；③購買A型公交車8輛，