專題09 三角形中的垂線段最短模型-2024年中考數(shù)學(xué)核心幾何模型重點突破（解析版）

專題09三角形中的垂線段最短模型【模型1】垂線段最短如圖，已知點P是直線1外一點，過點P作PB⊥l,的連線中最短的線段。則PB是直線外一點P與直線l上各點【模型2】兩條線段的和最小值問題如圖，已知點P是∠AOB內(nèi)任意一點，點E、F是OB,OA最小值，通常作P點關(guān)于OB的對稱點P',過點P'作PF⊥OA于點F,交OB上的動點，求PE+EF的的【例1】如圖，AD是等邊△ABC的BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上動點，當(dāng)EF+CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為()A.15°B.22.5°C.30°【答案】C【分析】過點B作BE⊥AC于點E,交AD于點F,連接CF,根據(jù)垂線段最短可知此時EF+CF取得最小值，再利用等邊三角形的性質(zhì)求解即可.【解析】解：如圖：過點B作BE⊥AC于點E,交AD于點F,連接CF,根據(jù)垂線段最短可知此時EF+CF取得最小值，AF=FC,【例2】如圖Rt△ABC,∠ACB=90°,AB=5,BC=CP的最小值是若動點P在邊AB上移動，則線段(2)依題意得，當(dāng)CD⊥AB時，CD有最小值，可得AD、CD,根據(jù)AD=2t可得答案；時，③當(dāng)AE=DE時，結(jié)合方程求解即可.【解析】(1)在RtAABC中，∠BAC=30°,BC=8cm,(2)依題意得，當(dāng)CD⊥AB時，CD有最小值，①當(dāng)AD=AE時，由4√3=2t,∴點E在AD的垂直平分線上，且AD=2AG,由12=2t得，t=6,一、單選題1.如圖，AP平分∠CAB,PD⊥AC于點D,若PD=6,點E是邊AB上一動點，關(guān)于線段PE敘述正確的是()A.PE=6B.PE>6C.PE≤6D.PE≥6【答案】D【分析】利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等以及點到直線的距離中，垂線段最短即可求解.【解析】解：過P點作PH⊥AB于H,如圖，A.OAB.OBC.OCD.OD若P,Q分別是AD何AC上的動點，則PC+PQ的最小值是()A.2.4B.44.如圖，1是一條水平線，把一頭系著小球的線一端固定在點A,小球從B到C從左向右擺動，在這一過程中，系小球的線在水平線下方部分的線段長度的變化是()A.從大變小B.從小變大C.從小變大再變小D.從大變小再變大【答案】C【分析】根據(jù)題意可知：小球在以點A為圓心，以AB長為半徑的圓弧上運動，據(jù)此即可解【解析】解：根據(jù)題意可知：小球在以點A為圓心，以AB長為半徑的圓弧上運動，如圖：過點A作AE⊥l與點E,交弧BC于點G,故系小球的線在水平線下方部分的線段長度的變化是從小變大再變小，5.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,BD平分∠ABC,如果點M,N分別為BD,BC上的動點，那么CM+MN的最小值是()A.4B.4.8【答案】B【分析】先作CE垂直AB交BD于點M,再作MN垂直BC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角分線上的點到角的兩邊距離相等，即可找到動點M和N,進而求得CM+MN的最小值.【解析】解：如圖所示：交BD于點M,交BD于點M,,過點M作MN⊥BC于點N,QBD平分∠ABC,∴ME=MN,QRtVABC中，∠即CM+MN的最小值是4.8,上的一動點，則DP的最小值是()A.7.1B.6.5【答案】C【分析】過D點作DH⊥BC于H,如圖，先根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BD=8,再利用勾股定理計算出BC=10,接著利用面積法計算出DH,然后根據(jù)垂線段最短求解.【解析】解：過D點作DH⊥BC于H,如圖∴DP的最小值為4.8.二、填空題小值為為AC上一動點，則BP的最【答案】4【分析】根據(jù)垂線段最短得出BP⊥AC時，BP的值最小，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出BP=BD,再求出答案即可.【解析】解：當(dāng)BP⊥AC時，BP有最小值，即BP的最小值是4,故答案為：4.的最小值為【分析】過點E作EF⊥CD于點F,連接BF.由菱形的性質(zhì)可知∠FCE=30°,即得出,從而可得出,即當(dāng)BF最小時最小。由垂【解析】如圖，過點E作EF⊥CD于點F,連接BF.∴當(dāng)BF最小時BE+EF最小，即最小.由垂線段最短可知當(dāng)BF⊥CD時BF最小，如圖BF'.且BM=1,在BC上有一動點Q,在BD上有一動點P,則PM+PQ的最小值為PM+PQ=PM+PQ≥MN,點N.∴VPBQ≌VPBQ*(SAS),,根據(jù)重線段最,根據(jù)重線段最故答案為：8.13.如圖，點A在直線1外，點B在直線l上，連接AB.選擇適當(dāng)?shù)墓ぞ咦鲌D.(2)在BC的延長線上任取一點D,連接AD;(3)在AB,AC,AD中，最短的線段是,依據(jù)是(3)AC,垂線段最短【分析】(1)利用直角三角板作∠ACB=90°,再利用直尺連接AC即可得；(2)利用直尺連接AD即可得；(3)根據(jù)垂線段最短即可得.(3)解：在AB,AC,AD(2)如圖，線段PM即為所求作.AC上的動點(點P不與A、D重合，點Q不與A、C重合),求PC+PQ的最小值【答案】【解析】解：如解圖，過點C作CH⊥AB于H,交AD于點P,過點P作PQ⊥AC于點Q,16.在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點A、B,其中AB=BC,由于某種原因，由C到B的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為=450米.(1)問CD是否為從村莊C到河邊最近的路?請通過計算加以說明；(2)求原來的路線BC的長.【答案】(1)CD是從村莊C到河邊最近的路，理由見解析【分析】(1)結(jié)合已知條件根據(jù)勾股定理的逆定理、垂直的定義、垂線段最短即可得解；求解即可.∴4502+6002=7502,即AD2+CD2=AC2,∴CD是從村莊C到河邊最近的路.答：原來的路線BC的長為625米.17.如圖所示，∠AED=80°,EF平分∠AED交AD于點F,∠1=40°(1)寫出判定EF//BD的推理過程.(2)當(dāng)∠ADE=50°時，線段EA、EF、ED中最短的是哪段?并說出理由.(2)EF最短，理由見解析【分析】(1)由EF平分∠AED交AD于點F,有∠FED=40°,∠1=40°直線平行.(2)由∠ADE=50°,∠1=40°,EF//BD,可判斷出∠ADB=90°,EF⊥【解析】(1)∵EF平分∠AED,(2)EF最短.∴當(dāng)∠ADE=50°時，∠ADB=90°,則BD⊥AD,AD即可得出答案.點E.直線DE交BC于(1)如圖1,若∠CDE=45°,則CD=,EB=;(2)如圖2,在(1)的條件下，點M在直線DE上運動，且滿足∠MCN=90°,MC=NC,連接ND,請判斷ND與ME的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由.(3)如圖3,若∠CDE=30°,點M在直線DE上運動，且滿足∠MCN=90°,MC=NC,連接AN,請求出AN的最小值.【答案】(1)2,1(2)ND=ME,ND⊥ME,見解析【分析】(1)證明△CDE是等腰直角三角形，可得結(jié)論；(2)如圖2中，結(jié)論：ND=ME,ND⊥ME.證明∠DCN≌△ECM(SAS),可得結(jié)論；(3)如圖3中，連接BM,證明△ACN≌△BCM(SAS),推出AN=BM,過點B作BH⊥DE【解析】(1)解：如圖1中，故答案為：2,1;理由：∵∠DCE=∠MCN=90°,∴△DCN≌△ECM(SAS),又∵NC=MC,AC=BC,過點B作BH⊥DE于H,;19.(1)如圖1,在△ABC中，AB=AC,D是BC邊的中點，E、F分別是AD、AC邊上的量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.練.如圖2所示，體育老師在地面畫了一塊△ABC場地，已知AB=AC=17米，BC=16米，D為BC的中點，測得AD的長為15米，受訓(xùn)練的兩名同學(xué)E和F分別在AD和AC邊上移傳球的運動路徑最小值(即EC+EF的最小值).圖1圖2(1)如圖①,連接BE、EF,若∠ABE=∠EFC,求證：BE=EF;(2)如圖②,若B、E、F在一條直線上，且∠ABE=∠BAC=45°,探究BD與AE的數(shù)量(3)如圖③,若AB=13,BC=10,AD=12,連接EC、EF,直接寫出EC+EF的最小值.【答案】(1)證明見解析；(2)AE=2BD,證明見解析；(3)【分析】(1)連接CE