中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)題型精講精練人教版：專題01 反比例函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)（熱考題型）-解析版

專題01反比例函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)【思維導(dǎo)圖】◎考點(diǎn)題型1反比例函數(shù)的概念一般地，形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。表現(xiàn)形式：還可以寫成和xy=k的形式.【注意】反比例函數(shù)的自變量x≠0，故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點(diǎn)。反比例函數(shù)解析式的特征:1.等號(hào)左邊是函數(shù)，等號(hào)右邊是一個(gè)分式。分子是不為零的常數(shù)（也叫做比例系數(shù)），分母中含有自變量，且指數(shù)為1.2.比例系數(shù)3.自變量的取值為一切非零實(shí)數(shù)。4.函數(shù)的取值是一切非零實(shí)數(shù)。例．（2020·黑龍江齊齊哈爾·期中）下列各選項(xiàng)中，兩個(gè)量成反比例關(guān)系的是（

）．A．正方形的邊長(zhǎng)和面積 B．圓的周長(zhǎng)一定，它的直徑和圓周率C．速度一定，路程和時(shí)間 D．總價(jià)一定，單價(jià)和數(shù)量【答案】D【分析】判斷兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例，就看這兩個(gè)量是對(duì)應(yīng)的比值一定，還是對(duì)應(yīng)的乘積一定．如果比值一定，就成正比例；如果乘積一定，就成反比例．由此逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】A．正方形的面積÷正方形的邊長(zhǎng)=正方形的邊長(zhǎng)，沒有定值，故正方形的邊長(zhǎng)和面積不成比例，不符合題意；B．∵周長(zhǎng)（定值）=直徑×圓周率（定值），故直徑也為定值，故圓的周長(zhǎng)一定，它的直徑和圓周率不成比例，不符合題意；C．∵路程÷時(shí)間=速度（定值），是比值為定值，符合正比例的意義，故速度一定，路程和時(shí)間成正比例關(guān)系，不符合題意；D．∵單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)（一定），是乘積為定值，符合反比例的意義，故總價(jià)一定，單價(jià)和數(shù)量成反比例關(guān)系，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題屬于辨識(shí)正、反比例的量，就看這兩個(gè)量是對(duì)應(yīng)比值一定，還是對(duì)應(yīng)乘積一定，再做判斷．變式1．（2022·河南三門峽·九年級(jí)期末）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)反比例的一般形式是y＝，找到符合這一類型的函數(shù)即可．【詳解】解：A、y是x的一次函數(shù)，不符合題意；B、y與x2成反比例函數(shù)，不符合題意；C、y是x的正比例函數(shù)，不符合題意；D、y是x的反比例函數(shù)，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的定義，熟練掌握常見函數(shù)的一般形式是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·江蘇·蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校八年級(jí)期中）已知是反比例函數(shù)，則函數(shù)的圖象在（

）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義可得再求解m的值，從而可得答案．【詳解】解：是反比例函數(shù)，解得：∴反比例函數(shù)為：∴函數(shù)的圖象在第一，三象限．故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的定義與圖象，掌握“反比例函數(shù)的定義及圖象分布的象限”是解本題的關(guān)鍵．變式3．（2022·遼寧丹東·九年級(jí)期末）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，，則（

）A．1 B．－1 C．4 D．－4【答案】D【分析】先設(shè)出反比例函數(shù)解析式，代入確定k值，再代入可求出a的值．【詳解】設(shè)反比例函數(shù)解析式，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得：，∴反比例函數(shù)解析式則，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式和求反比例函數(shù)的函數(shù)值，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型2反比例函數(shù)的圖像圖像的畫法：描點(diǎn)法1.列表（應(yīng)以O(shè)為中心，沿O的兩邊分別取三對(duì)或以上互為相反的數(shù)）2.描點(diǎn)（由小到大的順序）3.連線（從左到右光滑的曲線）圖像的特征：1.函數(shù)的圖像是雙曲線．2.圖像的對(duì)稱性：圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）在雙曲線的另一支上．圖象關(guān)于直線y=x或y=-x對(duì)稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，）和（，）在雙曲線的另一支上．3.k的取值與函數(shù)圖象弧度之間的關(guān)系：|k|越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直．|k|越小，圖象的彎曲度越大．例．（2021·湖南永州·九年級(jí)期中）在同一直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的大致圖像是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】由于本題不確定k的符號(hào)，所以應(yīng)分k＞0和k＜0兩種情況分類討論，針對(duì)每種情況分別畫出相應(yīng)的圖像，然后與各選擇比較，從而確定答案．【詳解】解：（1）當(dāng)k＞0時(shí)，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限；（2）當(dāng)k＜0時(shí)，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖像．靈活掌握反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)和一次函數(shù)的圖像性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，在思想方法方面，本題考查了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想．變式1．（2021·陜西·榆林市第一中學(xué)分校九年級(jí)期中）若函數(shù)的圖象是雙曲線，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)反比函數(shù)的定義，可得且，解出即可求解．【詳解】解：函數(shù)的圖象是雙曲線，∴該函數(shù)為反比例函數(shù)，∴且，解得：．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比函數(shù)的定義，熟練掌握若，則稱是的反比例函數(shù)，反比例函數(shù)的圖象為雙曲線．變式2．（2022·江蘇連云港·八年級(jí)期末）如圖，直線y＝kx（k≠0）與雙曲線y＝相交于A、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，連接BC，則△ABC的面積為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】利用反比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，設(shè)A點(diǎn)（a，），則C點(diǎn)（-a，），由坐標(biāo)的特征便可計(jì)算△ABC面積；【詳解】解：∵反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（-x，-y）也在函數(shù)圖象上，∴反比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)A點(diǎn)（a，），則C點(diǎn)（-a，），∵AB=，C點(diǎn)到AB的距離為2a，∴△ABC面積=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱是解題關(guān)鍵．變式3．（2022·河南駐馬店·一模）如圖，直線AB經(jīng)過原點(diǎn)O，且交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，A，點(diǎn)C在x軸上，且．若，則k的值為（

）A．12 B． C． D．6【答案】C【分析】如圖所示，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，根據(jù)對(duì)稱性可以得到，從而推出，再由三線合一定理得到CE=OE，則，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，∵A、B都在反比例函數(shù)圖象上，且AB經(jīng)過原點(diǎn)，∴，∴，∵BC=BO，BE⊥OC，∴CE=OE，∴，∴．故選C．.【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)的對(duì)稱性，三線合一定理等等，熟知反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型3已知雙曲線分布的象限，求參數(shù)的取值范圍反比例函數(shù)的性質(zhì)：的取值圖像所在象限函數(shù)的增減性k>0一、三象限在每個(gè)象限內(nèi)，值隨的增大而減小k>0二、四象限在每個(gè)象限內(nèi)，值隨的增大而增大【注意】雙曲線的兩個(gè)分支是斷開的，研究反比例函數(shù)的增減性時(shí)，要將兩個(gè)分支分別討論，不能一概而論。例．（2022·福建泉州·八年級(jí)期末）函數(shù)與（k、b為常數(shù)，且kb≠0）在同坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判讀即可得出結(jié)果．【詳解】解：A、中，k>0，b<0，∴kb<0，∴經(jīng)過二、四象限，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、中，k<0，b=0，∴kb=0，∴為x軸，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、中，k<0，b>0，∴kb<0，∴經(jīng)過二、四象限，選項(xiàng)正確；D、中，k>0，b>0，∴kb>0，∴經(jīng)過一、三象限，選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二者的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式1．（2022·河北·大城縣教學(xué)研究中心九年級(jí)期末）反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則k的值可以是（

）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】根據(jù)反比例函圖象經(jīng)過第二、四象限，此時(shí)，即可得出答案．【詳解】解：由圖象可知，反比例函圖象經(jīng)過第二、四象限，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握知反比例函數(shù)圖象所在的象限與k的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·浙江杭州·一模）如圖，是三個(gè)反比例函數(shù)，，在y軸右側(cè)的圖象，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)，的圖象在第一象限，∴，，∵反比例函數(shù)的圖象在第四象限，∴，∵的圖象距原點(diǎn)較遠(yuǎn)，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．變式3．（2022·湖北·老河口市教學(xué)研究室一模）反比例函數(shù)的圖象位于一、三象限，k的取值范圍是（

）A．k≥1

B．k＞1 C．k≤1 D．k＜1【答案】B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象所在的象限可得到，解不等式即可．【詳解】反比例函數(shù)的圖象位于一、三象限解得故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，即對(duì)于反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，圖象在第一、三象限，當(dāng)時(shí)，圖象在第二、四象限，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的根據(jù)．◎考點(diǎn)題型4判斷反比例函數(shù)的增減性例．（2022·江蘇南京·八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．若x1x2＜0，則y1y2＜0 B．若（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，則k＜0C．若x1+x2＝0，則A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．若k＞0，x1＞x2＞0，則y2＞y1＞0【答案】B【分析】先根據(jù)題意得到然后根據(jù)所給條件結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行逐一求解判斷即可．【詳解】解：A、∵，反比例函數(shù)y＝的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），∴∵，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故此選項(xiàng)符合題意；C、∵，即，∴，即A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故此選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)k＞0，在第一象限y隨x增大而減小，若x1＞x2＞0，則y2＞y1＞0，故此選項(xiàng)不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)階段練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)（3，y1），（1，y2），（﹣2，y3），則下列結(jié)論正確的是（）A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，∴圖象位于第二、四象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∵（3，y1）、（1，y2）、（﹣2，y3），∴點(diǎn)（﹣2，y3）在第二象限內(nèi)，點(diǎn)（3，y1）、（1，y2）位于第四象限內(nèi)，∴y3＞y1＞y2，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)，圖象位于第一、三象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·上海市復(fù)旦初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）在下列給出的函數(shù)中，y隨x的增大而減小的是(

)A．y＝3x﹣2 B．y＝﹣x2 C．y＝（x＞0） D．y＝（x＜0）【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象判斷即可．【詳解】A．在y＝3x﹣2中，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)A不符合題意；B．在y＝﹣x2中，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)B不符合題意；C．在y＝中，x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，故選項(xiàng)C符合題意；D．在y＝中，x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，牢記各個(gè)函數(shù)的圖象特征是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·江蘇泰州·八年級(jí)期中）已知反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得到的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】求得函數(shù)值為2時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量的值，結(jié)合圖象即可求得．【詳解】解：把y=2代入，求得x=4，由圖象可知，當(dāng)y＜2時(shí)，x＞4或x＜0，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)：反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型5已知增減性求參數(shù)例．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在反比例函數(shù)的圖象的每一個(gè)分支上，y都隨x的減小而增大，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知k+1＞0．從而得出k的范圍．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象的每一個(gè)分支上，y都隨x的減小而增大，∴k+1＞0，∴k＞-1，故選：C．【點(diǎn)睛】題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇·蘇州市立達(dá)中學(xué)校八年級(jí)期中）已知，兩點(diǎn)在雙曲線上，且，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把，代入雙曲線可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：，，∵，∴，解得：；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）在反比例函數(shù)的圖象的每一支上，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)y隨x的增大而增大判斷出k-3的符號(hào)，求出k的取值范圍即可．【詳解】∵反比例函數(shù)的圖象每一支上，y隨x的增大而增大，∴k-3＜0，解得k＜3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，即反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，當(dāng)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．變式3．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）反比例函數(shù)的圖象上，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，即可得到關(guān)于的不等式，求解即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象上，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，∴，解得：，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限，y隨著x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，圖象在第二、四象限.在每個(gè)象限，y隨著x的增大而增大．◎考點(diǎn)題型6比較函數(shù)值或自變量的大小例．（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）若點(diǎn)，是反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)點(diǎn)（a-1，y1）、（a+1，y2）在圖象的同一支上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)（a-1，y1）、（a+1，y2）分別在圖象的兩支上時(shí)．【詳解】解：∵k=-1＜0，∴圖象在二、四象限，在每一支上，y隨x的增大而增大，①當(dāng)點(diǎn)（a-1，y1）、（a+1，y2）在圖象的同一支上，∵y1＜y2，∴或，解得a＞1或a＜-1；②當(dāng)點(diǎn)（a-1，y1）、（a+1，y2）分別在圖象的兩支上，∵y1＜y2，∴a-1＞0，a+1＜0，即a＞1，a＜-1，無解，此情況不存在，綜上，a＜-1或a＞1，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握當(dāng)k＜0時(shí)，在圖象的每一支上，y隨x的增大而增大．變式1．（2022·浙江寧波·八年級(jí)期末）已知點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上，且，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)，k=2>0，∴函數(shù)經(jīng)過一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，∵，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握，當(dāng)k>0時(shí)，圖象經(jīng)過一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增加而減??；當(dāng)k<0時(shí)，圖象經(jīng)過二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增加而增大是解題關(guān)鍵．變式2．（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)期末）若點(diǎn)、、都在反比例函數(shù)的圖象上，則、、的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象得出此函數(shù)在每一象限內(nèi)的增減性，再由各點(diǎn)橫坐標(biāo)的值即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵反比例函數(shù)中k=-6＜0，∴雙曲線在第二、四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，∵0＞-a2-1＞-a2-2，a2+1＞0，∴點(diǎn)（-a2-1，y1）、（-a2-2，y2）在第二象限，點(diǎn)（a2+1，y3）在第四象限，∴y1＞y2＞0，y3＜0．∴y3＜y2＜y1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．變式3．（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)期末）已知點(diǎn)，，都在雙曲線上，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得：反比例函數(shù)圖象位于第二、四象限內(nèi)，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：反比例函數(shù)圖象位于第二、四象限內(nèi)，∴在每一象限內(nèi)，隨的增大而增大，且點(diǎn)，位于第四象限內(nèi)，位于第二象限內(nèi)，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型7反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義記應(yīng)用1）設(shè)點(diǎn)P（a，b）是雙曲線上任意一點(diǎn)，作PA⊥x軸于A點(diǎn)，PB⊥y軸于B點(diǎn)，則矩形PBOA的面積是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面積都是k2）．2）由雙曲線的對(duì)稱性可知，P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q也在雙曲線上，作QC⊥PA的延長(zhǎng)線于C，則有三角形PQC的面積為2|k|．3）直線與雙曲線的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，兩圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱．例．（2022·浙江湖州·八年級(jí)期末）如圖，和都是等腰直角三角形，，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則與的面積差為（

）．A．32 B．16 C．8 D．4【答案】C【分析】已知反比例函數(shù)的解析式為，根據(jù)系數(shù)k的代數(shù)意義，設(shè)函數(shù)圖象上點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，)再結(jié)合已知條件求解即可；【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)C(n，0)，因?yàn)辄c(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，所以設(shè)點(diǎn)B(m，)．∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(n，n)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(n，)，由AD=BD，得n?=m?n，化簡(jiǎn)整理得m2?2mn=?16．∴S△OAC?S△BAD=n2?(m?n)2=?m2+mn=?(m2?2mn)，即S△OAC?S△BAD=8．故選C【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、等腰三角形的性質(zhì)以及面積公式，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義．變式1．（2022·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，四邊形的面積的變化為（

）A．不變 B．逐漸增大 C．逐漸減小 D．先增大后減小【答案】B【分析】連接OP，根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，可得，再由四邊形的面積等于，即可求解．【詳解】解：如圖，連接OP，∵PB⊥y軸，∴，∵四邊形的面積等于，∵點(diǎn)是軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)逐漸增大∴四邊形的面積隨點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增大而增大．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸，垂足為H，連接OA，已知△AOH的面積是6，則k的值是（

）A．3 B． C．12 D．【答案】D【分析】先設(shè)出A點(diǎn)的坐標(biāo)，由△AOH的面積可求出xy的值，即，即可求出反比例函數(shù)的待定系數(shù)．【詳解】解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為，由圖可知A點(diǎn)在第二象限，∴，，又∵AB⊥x軸，∴，，∴，∴，即，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于，熟練掌握反比例函數(shù)的待定系數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)期中）反比例函數(shù)與在第一象限內(nèi)的圖象如圖，點(diǎn)P在上．長(zhǎng)方形PCOD交于點(diǎn)A，B，若圖中四邊形BOAP的面積為6，則的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．12【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求解即可求解．【詳解】解：由圖知，點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，四邊形PCOD是長(zhǎng)方形，∴S長(zhǎng)方形PCOD=k1，∵點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)圖象上，∴S△BOD=S△AOC=×3=，∵四邊形BOAP的面積為6，∴k1=6+2×=9，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，熟知反比例函數(shù)比例系數(shù)k與特殊圖形的面積關(guān)系是解答的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型8求反比例函數(shù)的解析式例．（浙江省麗水市2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知是關(guān)于的反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求此函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)值是，求的值．【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為(2)【分析】（1）首先設(shè)反比例函數(shù)解析式為，然后把，代入反比例函數(shù)，即可得出反比例函數(shù)解析式；（2）利用（1）中反比例函數(shù)解析式，把代入解析式，即可得出m的值．（1）解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為，把，代入反比例函數(shù)解析式，可得：，∴反比例函數(shù)解析式為．（2）解：由（1）可得：，∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)值是，又∵當(dāng)時(shí)，，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)表達(dá)式、反比例函數(shù)的定義，解本題的關(guān)鍵在正確求出反比例函數(shù)表達(dá)式．變式1．（2022·浙江湖州·八年級(jí)期末）如圖，已知是一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)C．求：(1)反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)不等式的解集（直接寫出答案）．【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為，一次函數(shù)解析式為(2)或．【分析】（1）根據(jù)A（n，﹣2），B（1，4）是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，可以求得m的值，進(jìn)而求得n的值，即可解答本題；（2）根據(jù)函數(shù)圖象以及點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求解．（1）解：∵A（n，﹣2），B（1，4）是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y的圖象的