控制工程基礎(chǔ) 第二章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2

本章的主要內(nèi)容

控制系統(tǒng)微分方程的建立拉氏變換與反變換控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖-等效變換控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖-梅遜公式3概述

對由微分方程描述的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，若已知輸入量和變量的初始條件，對微分方程求解，就可以得到輸出量的時(shí)域表達(dá)式，據(jù)此可對系統(tǒng)進(jìn)行分析。所以建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)的首要工作。概述

在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

1、定義：控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

2、數(shù)學(xué)模型分類：在靜態(tài)條件下(即變量各階導(dǎo)數(shù)為零)，描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程叫靜態(tài)數(shù)學(xué)模型；而描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程叫動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，控制理論研究的是動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。

常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程，傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖，頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。4概述3、建模方法：建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有分析法(解析法，又稱機(jī)理建模法)和實(shí)驗(yàn)法(又稱系統(tǒng)辨識(shí))

。

（1）分析法是根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過程中所遵循的物理定理來進(jìn)行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等。

（2）實(shí)驗(yàn)法是根據(jù)元件或系統(tǒng)對某些典型輸入信號(hào)的響應(yīng)或其他實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型。當(dāng)元件或系統(tǒng)比較復(fù)雜，其運(yùn)動(dòng)特性很難用幾個(gè)簡單的數(shù)學(xué)方程表示時(shí)，實(shí)驗(yàn)法就顯得非常重要了。

注意：無論是用分析法還是用實(shí)驗(yàn)法建立模型，都存在模型精度和復(fù)雜性之間的矛盾。即描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的數(shù)學(xué)模型越精確，則方程的階次越高，對系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)越困難。所以，在控制工程上總是在滿足分析精度要求的前提下，盡量使數(shù)學(xué)模型簡單，為此在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)常做許多假設(shè)和簡化，最后得到的是有一定精度的近似模型。5[線性系統(tǒng)]：用線性數(shù)學(xué)模型來描述，滿足疊加性（疊加原理）與齊次性。

疊加性指當(dāng)幾個(gè)激勵(lì)信號(hào)同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，總的輸出響應(yīng)等于每個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)之和。

齊次性指當(dāng)輸入信號(hào)乘以某常數(shù)時(shí)，響應(yīng)也倍乘相同的常數(shù)。

概述

4、線性和非線性系統(tǒng)：控制系統(tǒng)如按照數(shù)學(xué)模型分類的話，可以分為線性和非線性系統(tǒng)。[非線性系統(tǒng)]：不滿足疊加性或齊次性，用非線性數(shù)學(xué)模型方程表示。即若為線性系統(tǒng)，則6

線性系統(tǒng)微分方程的規(guī)范化形式

x—系統(tǒng)輸入，y—系統(tǒng)輸出7

經(jīng)典控制理論中采用的是單輸入單輸出描述方法，主要是針對線性定常系統(tǒng)。

非線性系統(tǒng)的一些例子：概述8第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程9一、線性系統(tǒng)微分方程的建立1、建立微分方程的一般步驟：

（1）確定系統(tǒng)和各元部件的輸入量和輸出量。

（2）對系統(tǒng)中每一個(gè)元件列寫出與其輸入、輸出量有關(guān)的物理方程。

（3）對上述方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?，例如，略去一些對系統(tǒng)影響小的次要因素，對非線性元部件進(jìn)行線性化等。

（4）在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系的微分方程。線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟

（5）在列系統(tǒng)微分方程時(shí)，習(xí)慣上將系統(tǒng)的輸出變量放在方程式的左邊，輸入變量放在方程式的右邊，且各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列。10電阻、電容、電感元件的基本公式：電阻：電容：電感：112、應(yīng)用舉例解：設(shè)回路電流i1、i2，根據(jù)基爾霍夫定律，列寫方程如下：①②③④⑤[例2-1]：寫出右圖所示RC電路的微分方程。其中U1為輸入量，U2為輸出量。12

由④、⑤得由②導(dǎo)出將③代入①，然后將i1、i2代入，則得①②③④⑤13這就是RC組成的網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，是一個(gè)二階線性微分方程。14這是一個(gè)線性定常二階微分方程?？刂葡到y(tǒng)的微分方程①②[解]：據(jù)基爾霍夫電路定理：[例2-2]：寫出RLC串聯(lián)電路的微分方程。P13由②：，代入①得：這是所謂時(shí)間常數(shù)形式的微分方程。15

根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：mfF圖1mF圖2這也是一個(gè)二階定常微分方程。x為輸出量，F(xiàn)為輸入量。在國際單位制中，m、f和k的單位分別為：控制系統(tǒng)的微分方程[例2-3]求彈簧-質(zhì)量-阻尼器的機(jī)械位移系統(tǒng)的微分方程。設(shè)輸入量為外力F，輸出量為位移x。[解]：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。Fkxdtdxfdtxdm=++22kxdtdxfFdtxdm--=22整理得：16控制系統(tǒng)的微分方程[例2-4]機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的微分方程。設(shè)外加轉(zhuǎn)矩M為輸入量，轉(zhuǎn)角θ為輸出量。[解]：對于轉(zhuǎn)動(dòng)物體，可用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量代表慣性負(fù)載。根據(jù)機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的牛頓定理可列出微分方程：

式中f和k分別為旋轉(zhuǎn)時(shí)的粘性阻尼系數(shù)和扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù)。此式與機(jī)械位移系統(tǒng)的方程形式上是一樣的。

若方程中忽略扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù)的影響，方程為

若令則方程為

若再忽略粘滯阻尼系數(shù)，方程為整理得17關(guān)于粘性阻尼系數(shù)f

單位的說明：

粘性阻尼力與物體的相對運(yùn)動(dòng)速度成正比。直線運(yùn)動(dòng)：力直線速度F/VNm/s(Ns/m)

旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：力矩旋轉(zhuǎn)角速度T/ω

Nmrad/s18[例2-5]電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)

這里輸入是電樞電壓ua和等效到電機(jī)轉(zhuǎn)軸上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩Mc，輸出是轉(zhuǎn)速w

電樞回路方程為

其中ea

為反電勢此時(shí)激磁電流為常數(shù)，所以Ce稱為電動(dòng)機(jī)電勢常數(shù)。

Cm稱為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)，再根據(jù)牛頓定律可得機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)方程電機(jī)通電后產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩：控制系統(tǒng)的微分方程19其中和分別稱為電磁時(shí)間常數(shù)和機(jī)電時(shí)間常數(shù)消去中間變量ea、ia和m后，經(jīng)整理得：分別是轉(zhuǎn)速與電壓傳遞系數(shù)和轉(zhuǎn)速與負(fù)載和傳遞系數(shù)。這里已略去摩擦力和扭轉(zhuǎn)彈性力?？刂葡到y(tǒng)的微分方程也可寫為20這是一個(gè)線性定常二階微分方程(兩個(gè)輸入)。從數(shù)學(xué)的角度可以分別考慮單獨(dú)輸入的影響。如當(dāng)mc=0時(shí)，方程為該方程稱為空載模型。若再假設(shè)電樞電感很小則這是一個(gè)一階微分方程。若Ra和J都可忽略，則Tm=0,于是這說明電機(jī)轉(zhuǎn)速與電樞電壓成正比，當(dāng)不考慮電樞電阻和電感時(shí)，電樞電壓將與反電勢表達(dá)式相同?？刂葡到y(tǒng)的微分方程21微分方程的增量化表示上式中若電機(jī)處于平衡狀態(tài)，各變量的各階導(dǎo)數(shù)為零，則這表示電機(jī)處于平衡狀態(tài)下輸入量和輸出量之間的關(guān)系，稱為靜態(tài)模型。當(dāng)mc=常數(shù)時(shí)，稱為控制特性，反映了電樞電壓由ua1變到ua2后經(jīng)過一段時(shí)間，轉(zhuǎn)速將從w1變到w2。若用ua0、mc0和w0表示平衡狀態(tài)下ua、mc和w的數(shù)值,則(a)式寫為22令代入考慮到可得此式稱為增量化方程設(shè)mc=常數(shù)，即Dmc=0，則設(shè)ua=常數(shù)，即Dua=0，則23[需要討論的幾個(gè)問題]：1、相似系統(tǒng)和相似量：

我們注意到例2-2和例2-3的微分方程形式是完全一樣的。若令（電荷），則例2-2①式的結(jié)果變?yōu)椋嚎梢?，同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。相似系統(tǒng)和相似量[定義]具有相同的數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。例2-2和例2-3稱為力-電荷相似系統(tǒng)，在此系統(tǒng)中分別與為相似量。[作用]利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個(gè)易于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來模擬相對復(fù)雜的系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)仿真研究。24

二、非線性元件（環(huán)節(jié)）微分方程的線性化（P56）

在經(jīng)典控制領(lǐng)域，主要研究的是線性定?？刂葡到y(tǒng)。線性定常系統(tǒng)最重要的特性便是可以應(yīng)用線性疊加原理，即系統(tǒng)的總輸出可以由若干個(gè)輸入引起的輸出疊加得到。從嚴(yán)格意義上講，絕大多數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都不是線性模型（即系統(tǒng)并非是線性系統(tǒng)）。事實(shí)上，任何一個(gè)元件總是存在一定程度的非線性，即使假設(shè)具有線性的特性，也是局限在一定的范圍內(nèi)。若描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性（微分）方程，則相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，這種系統(tǒng)不能用線性疊加原理。

非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化25

在經(jīng)典控制領(lǐng)域?qū)Ψ蔷€性環(huán)節(jié)的處理能力是很小的。但在工程應(yīng)用中，除了含有強(qiáng)非線性環(huán)節(jié)或系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間變化較大的情況，一般采用近似的線性化方法。對于非線性方程，可在工作點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開，取前面的線性項(xiàng)，可以得到近似線性模型。(p57)非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化AByx0

設(shè)具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)

y=f(x)如右圖所示。

若取某一平衡狀態(tài)為工作點(diǎn)，如圖中的A(x0,y0)。A點(diǎn)附近有點(diǎn)為B

(x0+Dx,y0+Dy)，當(dāng)Dx很小時(shí)，AB段可近似看做是線性的。26AByx0設(shè)f(x)在點(diǎn)連續(xù)可微，則將函數(shù)在該點(diǎn)展開為泰勒級(jí)數(shù)，得：非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化若很小，則，即式中，K為與工作點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)，顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性表示。為了保證近似的精度，只能在工作點(diǎn)附近展開。27

對于具有兩個(gè)自變量的非線性方程，也可以在靜態(tài)工作點(diǎn)附近展開。設(shè)雙變量非線性方程為：，工作點(diǎn)為。則可近似為：式中：，。 為與工作點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)。[注意]：

⑴上述非線性環(huán)節(jié)不是指典型的非線性特性(如間隙、庫侖干摩擦、飽和特性等)，它是可以用泰勒級(jí)數(shù)展開的。⑵實(shí)際的工作情況在工作點(diǎn)附近。⑶變量的變化必須是小范圍的。其近似程度與工作點(diǎn)附近的非線性情況及變量變化范圍有關(guān)。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化28[例2-6]

如圖所示，qi

為輸入流量，q0為輸出流量，H(t)為水位高度，A為水箱截面積，求以qi為輸入，以H(t)為輸出的水位波動(dòng)微分方程。解：根據(jù)流體連續(xù)方程，可得：（1）

根據(jù)托里拆利定理，流體的流出量與流體高度的平方根成正比，比例系數(shù)為a，它表示閥門的流通能力。則（2）29將（2）式代入（1）式，得

這是一個(gè)一階非線性微分方程。

現(xiàn)在對它進(jìn)行線性化，導(dǎo)出液位系統(tǒng)的線性化微分方程。（3）

在穩(wěn)定工作狀態(tài)，設(shè)qi0為流入箱體的流量，qo0為流出的流量，而H0為箱內(nèi)穩(wěn)態(tài)液位高度。系統(tǒng)的靜態(tài)方程為把式（3）中的非線性項(xiàng)

展開成泰勒級(jí)數(shù)，則為30略去高于一次小增量

的項(xiàng)，則有式（3）中的變量用平衡工作點(diǎn)的值加增量表示，則為

（4）（3）31注意到

將以上二式代入（4）式，所以

這就是液位系統(tǒng)的線性化增量微分方程。在實(shí)際使用中，常略去增量符號(hào)而寫成但必須明確，

均為平衡工作點(diǎn)的增量。以及

（靜態(tài)方程）32本節(jié)小結(jié)數(shù)學(xué)模型，分類，建立的方法；線性系統(tǒng)微分方程的列寫方法；相似量、相似系統(tǒng)；非線性環(huán)節(jié)的線性化方法。33

線性方程的求解：

研究控制系統(tǒng)在一定的輸入作用下，輸出量的變化情況，方法有經(jīng)典法、拉氏變換法和數(shù)字求解。在自動(dòng)控制理論中主要使用拉氏變換法。34第二節(jié)拉普拉斯變換與反變換P15

拉普拉斯(Laplace)變換是描述和分析連續(xù)、線性、時(shí)不變系統(tǒng)的重要工具！拉氏變換建立了時(shí)域和復(fù)域間的聯(lián)系。用拉普拉斯變換研究線性定常系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)：求解高階線性定常微分方程時(shí)，可以將時(shí)域中的微分、積分運(yùn)算變換成復(fù)域中的代數(shù)運(yùn)算，且在變換過程中自然將初始條件考慮在內(nèi)。更重要的是，采用了拉氏變換，能夠把描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的微分方程方便地轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。35一、拉普拉斯變換(LaplaceTransform)1、拉普拉斯變換的定義：p15

設(shè)函數(shù)f(t)

若滿足：（1）當(dāng)

t<0

時(shí)，f(t)=0（2）當(dāng)t≥0

時(shí)，實(shí)函數(shù)f(t)

的積分在s的某一域內(nèi)收斂，則定義f(t)

的拉普拉斯變換為:36

并記作：

其中s為拉氏算子，是一復(fù)數(shù),s=σ+jωF(s)稱為f(t)

的像函數(shù)；

f(t)

稱為F(s)的原函數(shù)。37相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的三種表示式：

代數(shù)式A=a+jb

三角式

A=r(cosΦ+jsinΦ)

指數(shù)式A=rejΦ

相互關(guān)系：

r=|A|—A的模Φ

—A的幅角38歐拉公式：392、常用函數(shù)的拉氏變換式p16單位階躍：40指數(shù)函數(shù)：41正弦函數(shù)：42余弦函數(shù)

t的冪函數(shù)

當(dāng)n=1時(shí)（單位斜坡函數(shù)），43脈動(dòng)信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

單位脈沖信號(hào)如右圖所示。

當(dāng)R=1、信號(hào)的寬度ε→0時(shí),稱為單位脈沖信號(hào),用表示，其面積為:和

單位脈沖函數(shù)1)(=ò￥￥-dttd

其它函數(shù)可以查閱p369

拉氏變換對照表。44

[證明題]證明

的拉氏變換

證：

453.拉氏變換的主要運(yùn)算定理(p18)（1）疊加定理

兩個(gè)函數(shù)之和的拉氏變換等于兩個(gè)函數(shù)的拉氏變換式之和，即若

則

或?qū)懗?6（2）比例（齊次性）定理

若則47（3）微分定理

若則一般情況下：

初始條件=0時(shí)

48（4）積分定理

若

則

對于n重積分，當(dāng)初始條件=0時(shí)

49（5）延遲定理

若，則該定理說明如果時(shí)域函數(shù)平移，則相當(dāng)于復(fù)域中的像函數(shù)乘以。50（6）終值定理

若函數(shù)f(t)

及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，則f(t)

的終值為因此，利用F(s)終值定理可以從像函數(shù)直接求出原函數(shù)f(t)

在t→∞

時(shí)的穩(wěn)態(tài)值。說明f(t)

的穩(wěn)態(tài)性質(zhì)同sF(s)

在s=0的臨域內(nèi)的性質(zhì)一樣。51（7）初值定理若函數(shù)f(t)

及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，則f(t)

的初值為證明從略。52二、拉普拉斯反變換

Laplace反變換定義：

記為：

53

拉式變換和反變換是一一對應(yīng)的，所以通?？梢酝ㄟ^查表來求取原函數(shù)，而不需用上式來計(jì)算。當(dāng)求復(fù)雜象函數(shù)的原函數(shù)時(shí)，常用部分分式法將復(fù)雜象函數(shù)F(s)展成若干簡單象函數(shù)之和，然后查拉式反變換表。54

在一般的機(jī)電控制系統(tǒng)中，通常遇到如下形式的有理分式其中m和n都是非負(fù)的整數(shù)，n≥m

，a0

~an

及b0~bn

都是實(shí)數(shù)。

使分母為零的s值稱為極點(diǎn)，使分子為零的s值稱為零點(diǎn)。因此，上式又可以寫成以下形式：（1）55式中，p1—pn

為A(s)的n個(gè)根，即方程A(s)=0的根，稱為F(s)的極點(diǎn)（因?yàn)楫?dāng)s=pi時(shí)F(s)

的分母為零）。A(s)=0稱為F(s)的特征方程，P22說明。（2）根據(jù)根的性質(zhì)不同，分以下幾種情況來討論：561、F(s)有不相同的極點(diǎn)（A(s)=0沒有重根）

將（2）式用部分分式展開為：

（3）式中ai值為待定系數(shù)，稱為F(s)在極點(diǎn)pi處的留數(shù)。ai值可用(s-pi)

乘以方程式(3)的兩邊，并在方程式兩邊取s→pi的極限求出，即57例如求系數(shù)a1

：（2）思考：上式右側(cè)取sp的極限后是否為零？58

注意到（見拉氏變換表）

于是得到如下形式：（4）59拉氏反變換步驟1、對微分方程進(jìn)行拉氏變換，列出輸出量的拉氏變換表達(dá)式；

2、令A(yù)(s)=0,求出p1—pn；

3、求出系數(shù)a1

—an；

4、將a1—an、

p1—pn

帶入（4）式，求出f(t)。（4）60[例1]：求典型一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

式中r(t)為輸入信號(hào)，c(t)為輸出信號(hào)，T為時(shí)間常數(shù)，假設(shè)初始條件為零。設(shè)典型一階系統(tǒng)的微分方程為：解：對微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換有：將代入上式,經(jīng)整理得：兩個(gè)根為

p1=0,p2=-1/T。61求解

a1,a2經(jīng)拉氏反變換后得：通過原點(diǎn)的斜率為1/T。62[例2]：求的拉氏反變換。

解：

p1=-1；

p2=-2

求a1和a2

于是63[例3]：求的拉氏反變換。

解：

p1=-2；

p2=-3

求a1和a2

于是64解法二：等式兩側(cè)去分母，得

（2）

上式為恒等式，等式兩側(cè)s的系數(shù)和常數(shù)分別相等，從而可求出a1、a2。也可以在（2）式中代入特殊的s值，求出a1、a2。

652、含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)情況解法（1）66式中，是常值，可由以下步驟求得：

將上式兩邊乘,兩邊同時(shí)令

（或同時(shí)令），得

分別令上式兩邊實(shí)部、虛部對應(yīng)相等，即可求得。

可通過配方，化成正弦、余弦象函

數(shù)的形式，然后求其反變換。67【例】試求（1）的拉氏反變換p24例2.3解：用乘以式（1）的兩邊，并令得：6869查p370拉氏變換表19、20項(xiàng),有（2）70aabb對照拉氏變換表的19、20項(xiàng)：711/272解法（2）

含共軛復(fù)根的情況，也可用第一種情況的方法。值得注意的是，此時(shí)共軛復(fù)根相應(yīng)兩個(gè)分式的分子ak和ak+1是共軛復(fù)數(shù)，只要求出其中一個(gè)值，另一個(gè)即可得到。

[例]求的拉氏反變換。73則則有（結(jié)果同解法1）74

3、含多重極點(diǎn)的情況

設(shè)A(s)=0有r個(gè)重根p1，則必然還有n-r個(gè)非重根，所以有式中N(s)的待定系數(shù)可按無重根的方法求得，ar-a1的求法如下：首先將等式兩邊同乘以(s-p1)r

，有（1）75然后取s→p1的極限，上式右邊含有(s-p1)

的項(xiàng)全部為零，所以有：（2）若將(2)式兩邊對s求導(dǎo)，并取s→p1的極限，得：以此類推，便可得到其它系數(shù)。7677注意到：則對于第一項(xiàng)，有（見p369第10項(xiàng)）78[例2]：求的拉氏反變換。說明求解方法。[例1]：教材p26[例2.5]

79作業(yè)P732-32)5)第三節(jié)傳遞函數(shù)（TransferFunction）

將上式求拉氏變換，并令初始值為零得：一、傳遞函數(shù)的概念p31式中：x(t)—輸入，y(t)—輸出為常系數(shù)

設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：

當(dāng)傳遞函數(shù)和輸入已知時(shí)Y(s)=G(s)X(s)，通過拉氏反變換即可求出時(shí)域表達(dá)式

y(t)。

G(s)稱為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)的定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。二、傳遞函數(shù)的主要性質(zhì)

1、傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對應(yīng)，且與系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性一一對應(yīng)。

2、傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。

3、傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的物理性質(zhì)。物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。83

4、傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個(gè)輸入信號(hào)，在求傳遞函數(shù)時(shí)，除了一個(gè)有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。

5、傳遞函數(shù)是s的有理分式，n≥m，其分母多項(xiàng)式即為系統(tǒng)的特征方程式，它的最高階次就是系統(tǒng)的階數(shù)。特征方程決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

名詞：系統(tǒng)的特征方程、特征根；傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)；零極點(diǎn)分布圖。P33[例1]

求電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)。[解]已知電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的微分方程為：方程兩邊求拉氏變換為：令，得轉(zhuǎn)速對電樞電壓的傳遞函數(shù)：令，得轉(zhuǎn)速對負(fù)載力矩的傳遞函數(shù)：最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為：[例2]求下圖的傳遞函數(shù)。解：小結(jié)：1）傳遞函數(shù)是線性定常系統(tǒng)在復(fù)頻域里的數(shù)學(xué)模型，其與微分方程一樣，包含了系統(tǒng)有關(guān)動(dòng)態(tài)方面的信息。2）傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，當(dāng)初始條件不為零時(shí)，傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)的全部特點(diǎn)。3）傳遞函數(shù)反映的是系統(tǒng)本身的一種屬性，其各項(xiàng)系數(shù)完全取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，與輸入量的大小和性質(zhì)無關(guān)。4）傳遞函數(shù)不提供有關(guān)系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)的任何信息，許多物理上完全不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函數(shù)。

87比例環(huán)節(jié)五、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)P33

典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時(shí)域特征和復(fù)域（s域）特征。時(shí)域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。s域特性研究系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布。（一）比例環(huán)節(jié)：時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：

K為放大/增益系數(shù)。比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)、無慣性環(huán)節(jié)。實(shí)例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動(dòng)等。比例環(huán)節(jié)特點(diǎn)：能立即成比例地響應(yīng)輸入量的變化。881、運(yùn)算放大器常用運(yùn)放：LM324，LM358OP07，76502、液壓油缸，流量q為輸入、活塞桿速度v為輸出。舉例說明：89積分環(huán)節(jié)（二）積分環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)：時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：K表示比例系數(shù)，T稱為時(shí)間常數(shù)。0S平面j0積分環(huán)節(jié)有一個(gè)0值極點(diǎn)。在零極點(diǎn)分布圖中，極點(diǎn)用“”表示，零點(diǎn)用“”表示。特點(diǎn)：1）具有記憶功能；2）具有明顯的滯后作用。90積分環(huán)節(jié)實(shí)例圖中，為轉(zhuǎn)角，為角速度。可見，為比例環(huán)節(jié)， 為積分環(huán)節(jié)。②電動(dòng)機(jī)（忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、電樞電阻和電感及粘性摩擦等）齒輪組積分環(huán)節(jié)實(shí)例：①RC-+③

對于油缸，以流量q為輸入，活塞桿位移y為輸出，也是積分環(huán)節(jié)。91（三）慣性環(huán)節(jié)時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí),有，可解得： ，式中：K為放大系數(shù)，T為時(shí)間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)當(dāng)K=1、輸入為單位階躍函數(shù)時(shí),時(shí)域響應(yīng)曲線和零極點(diǎn)分布圖如下：通過原點(diǎn)的斜率為1/T，且只有一個(gè)極點(diǎn)（-1/T）。jRe0S平面92單位階躍響應(yīng)的求解：

可見，y(t)是非周期單調(diào)上升的，所以慣性環(huán)節(jié)又叫作非周期環(huán)節(jié)。慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)

慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn)：輸入量突變時(shí)，輸出量不能發(fā)生突變，只能按指數(shù)規(guī)律變化。93①R2C-+R1R②C三個(gè)實(shí)例：慣性環(huán)節(jié)實(shí)例③

液壓缸與彈簧和阻尼器組成的環(huán)節(jié)。P37圖2.17

結(jié)論：通過以上各例可知，一個(gè)儲(chǔ)能元件和一個(gè)耗能元件的組合，就能構(gòu)成一個(gè)慣性環(huán)節(jié)。94微分環(huán)節(jié)（四）微分環(huán)節(jié)：輸出量與輸入量的變化率成正比的環(huán)節(jié)稱之。微分環(huán)節(jié)的時(shí)域形式有三種形式：①②③相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：①②③分別稱為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒有極點(diǎn)，只有零點(diǎn)。分別是零值零點(diǎn)、實(shí)數(shù)零點(diǎn)和一對共軛復(fù)零點(diǎn)（若）。在實(shí)際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。95微分環(huán)節(jié)實(shí)例[例1]無源微分電網(wǎng)絡(luò)。式中：[例2]96

特點(diǎn)：微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，即輸出反映了輸入信號(hào)的變化趨勢，所以也等于給系統(tǒng)以有關(guān)輸入變化趨勢的預(yù)告。因而，微分環(huán)節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

P3997振蕩環(huán)節(jié)（五）振蕩環(huán)節(jié)：P40時(shí)域方程：上述傳遞函數(shù)有兩種情況：當(dāng)時(shí)，可分為兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)相乘。即：傳遞函數(shù)有兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：傳遞函數(shù)：98振蕩環(huán)節(jié)分析[分析]：y(t)的響應(yīng)過程是振幅按指數(shù)曲線衰減的的正弦運(yùn)動(dòng)。與有關(guān)。反映系統(tǒng)的阻尼程度，稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼振蕩圓頻率。當(dāng)時(shí)，曲線單調(diào)上升,無振蕩。當(dāng)時(shí)，曲線衰減振蕩。越小，振蕩越劇烈。若，傳遞函數(shù)有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。傳函可寫成：對單位階躍輸入：單位階躍響應(yīng)曲線0極點(diǎn)分布圖99解：當(dāng)時(shí)，有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。所以：解得：[例]：求質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的和。振蕩環(huán)節(jié)例子100延遲環(huán)節(jié)（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱時(shí)滯，時(shí)延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過一個(gè)延遲時(shí)間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)。如右圖所示，其傳遞函數(shù)為：

利用泰勒級(jí)數(shù)展開，并只取前兩項(xiàng)，延遲環(huán)節(jié)可化簡為：x(t)ty(t)t即當(dāng)τs

很小時(shí)，延遲環(huán)節(jié)可近似為一個(gè)慣性環(huán)節(jié)。延遲環(huán)節(jié)實(shí)例：皮帶輸送機(jī)，液體/氣體輸送管道101方框圖的基本概念第四節(jié)

控制系統(tǒng)的方框圖及等效變換

控制系統(tǒng)一般由由若干個(gè)環(huán)節(jié)組成，在控制系統(tǒng)中，常常采用方框圖來表明每一個(gè)環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的功能、相互之間的作用和負(fù)載關(guān)系，以及信號(hào)流動(dòng)的情況。將元件、部件和環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)填入方框中稱傳遞函數(shù)方框。標(biāo)明信號(hào)流向，將這些方框有機(jī)地連接起來，就構(gòu)成系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖。通過方框圖可以方面地導(dǎo)出復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。X(t)Y(t)電位器[例]：結(jié)構(gòu)：方框圖：微分方程：y(t)=kx(t)

X(s)G(s)=KY(s)

（2）信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的流向，在直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。一、控制系統(tǒng)的方框圖

控制系統(tǒng)的方框圖是系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)流向的圖解表示法。1、方框圖的基本元素

（1）函數(shù)方框（方塊

、框圖單元）:表示輸入到輸出單向傳輸間的函數(shù)關(guān)系。

（3）比較點(diǎn)（求和點(diǎn)、合成點(diǎn)、綜合點(diǎn)）：表示兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入信號(hào)進(jìn)行加減比較的元件。“+”表示相加，“-”表示相減?！?”號(hào)可省略不寫。

R(s)+R(s)±X(s)X(s)±

注意:①幾個(gè)相鄰的求和點(diǎn)可以互換、合并、分解，它們都是等效的。

②進(jìn)行相加減的量，必須具有相同的量綱。

A+B—+C(a)A+B—+C(b)A+B—+C(c)104

(4)

分支點(diǎn)（引出點(diǎn)、測量點(diǎn)）：表示信號(hào)測量或引出的位置。注意：同一位置引出的信號(hào)大小和性質(zhì)完全一樣。1052、方框圖的畫法P44

1、列出各環(huán)節(jié)或元件的微分方程，求拉氏變換。

2、確定該環(huán)節(jié)的輸入/輸出量，求傳遞函數(shù)，畫出單元框圖。

3、確定整個(gè)系統(tǒng)的輸入/輸出，由左向右，按相互作用的順序，依次畫出和連接各個(gè)環(huán)節(jié)的框圖。

4、由內(nèi)向外畫出各反饋環(huán)節(jié)，最后標(biāo)出各變量。106例1：繪制如圖所示RC電路的方框圖解：（1）寫出組成系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)的微分方程，求拉氏變換。107（2）畫出個(gè)體方框圖108

（3）從相加點(diǎn)入手，由左向右按信號(hào)流向依次連接成完整方框圖。

109結(jié)構(gòu)圖的等效變換二、結(jié)構(gòu)圖的等效變換[類型]：①環(huán)節(jié)的合并：

—串聯(lián)

—并聯(lián)

—反饋連接②信號(hào)分支點(diǎn)或相加點(diǎn)的移動(dòng)。[等效原則]：變換前后環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變。110（一）環(huán)節(jié)的合并：有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種形式。

環(huán)節(jié)的并聯(lián)：環(huán)節(jié)的合并

環(huán)節(jié)的串聯(lián)：…111

反饋聯(lián)接：112（二）求和點(diǎn)和分支點(diǎn)的移動(dòng)和互換：

如果上述三種連接交叉在一起而無法化簡，則要考慮移動(dòng)某些信號(hào)的相加點(diǎn)和分支點(diǎn)。①求和點(diǎn)的移動(dòng)：

把求和點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端求和點(diǎn)的移動(dòng)113求和點(diǎn)的移動(dòng)

把求和點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端：114②信號(hào)分支點(diǎn)的移動(dòng)：分支點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端

信號(hào)分支點(diǎn)的移動(dòng)115求和點(diǎn)和分支點(diǎn)的移動(dòng)和互換

分支點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端：[注意]：相臨的信號(hào)求和點(diǎn)位置可以互換；見下例116求和點(diǎn)和分支點(diǎn)的移動(dòng)和互換

同一信號(hào)的分支點(diǎn)位置可以互換：