空間向量和立體幾何練習(xí)題及答案解析解析

1．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在線段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．〔1〕求證：M為PB的中點；〔2〕求二面角B﹣PD﹣A的大??；〔3〕求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．【分析】〔1〕設(shè)AC∩BD=O，那么O為BD的中點，連接OM，利用線面平行的性質(zhì)證明OM∥PD，再由平行線截線段成比例可得M為PB的中點；〔2〕取AD中點G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)可得PG⊥平面ABCD，那么PG⊥AD，連接OG，那么PG⊥OG，再證明OG⊥AD．以G為坐標(biāo)原點，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBD與平面PAD的一個法向量，由兩法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；〔3〕求出的坐標(biāo)，由與平面PBD的法向量所成角的余弦值的絕對值可得直線MC與平面BDP所成角的正弦值．【解答】〔1〕證明：如圖，設(shè)AC∩BD=O，∵ABCD為正方形，∴O為BD的中點，連接OM，∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，那么，即M為PB的中點；〔2〕解：取AD中點G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，那么PG⊥AD，連接OG，那么PG⊥OG，由G是AD的中點，O是AC的中點，可得OG∥DC，那么OG⊥AD．以G為坐標(biāo)原點，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，由PA=PD=，AB=4，得D〔2，0，0〕，A〔﹣2，0，0〕，P〔0，0，〕，C〔2，4，0〕，B〔﹣2，4，0〕，M〔﹣1，2，〕，，．設(shè)平面PBD的一個法向量為，那么由，得，取z=，得．取平面PAD的一個法向量為．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣PD﹣A的大小為60°；〔3〕解：，平面BDP的一個法向量為．∴直線MC與平面BDP所成角的正弦值為|cos＜＞|=||=||=．【點評】此題考察線面角與面面角的求法，訓(xùn)練了利用空間向量求空間角，屬中檔題．2．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2．〔Ⅰ〕求證：MN∥平面BDE；〔Ⅱ〕求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；〔Ⅲ〕點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長．【分析】〔Ⅰ〕取AB中點F，連接MF、NF，由可證MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，那么MN∥平面BDE；〔Ⅱ〕由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A為原點，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面MEN與平面CME的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，進一步求得正弦值；〔Ⅲ〕設(shè)AH=t，那么H〔0，0，t〕，求出的坐標(biāo)，結(jié)合直線NH與直線BE所成角的余弦值為列式求得線段AH的長．【解答】〔Ⅰ〕證明：取AB中點F，連接MF、NF，∵M為AD中點，∴MF∥BD，∵BD?平面BDE，MF?平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N為BC中點，∴NF∥AC，又D、E分別為AP、PC的中點，∴DE∥AC，那么NF∥DE．∵DE?平面BDE，NF?平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，那么MN∥平面BDE；〔Ⅱ〕解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A為原點，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A〔0，0，0〕，B〔2，0，0〕，C〔0，4，0〕，M〔0，0，1〕，N〔1，2，0〕，E〔0，2，2〕，那么，，設(shè)平面MEN的一個法向量為，由，得，取z=2，得．由圖可得平面CME的一個法向量為．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值為，那么正弦值為；〔Ⅲ〕解：設(shè)AH=t，那么H〔0，0，t〕，，．∵直線NH與直線BE所成角的余弦值為，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=或t=．∴當(dāng)H與P重合時直線NH與直線BE所成角的余弦值為，此時線段AH的長為或．【點評】此題考察直線與平面平行的判定，考察了利用空間向量求解空間角，考察計算能力，是中檔題．3．如圖，幾何體是圓柱的一局部，它是由矩形ABCD〔及其內(nèi)部〕以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是的中點．〔Ⅰ〕設(shè)P是上的一點，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；〔Ⅱ〕當(dāng)AB=3，AD=2時，求二面角E﹣AG﹣C的大?。痉治觥俊并瘛秤衫镁€面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，結(jié)合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；〔Ⅱ〕法一、取的中點H，連接EH，GH，CH，可得四邊形BEGH為菱形，取AG中點M，連接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，說明∠EMC為所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大?。ǘ?、以B為坐標(biāo)原點，分別以BE，BP，BA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出A，E，G，C的坐標(biāo)，進一步求出平面AEG與平面ACG的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大?。窘獯稹拷猓骸并瘛场逜P⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP?平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP?平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；〔Ⅱ〕解法一、取的中點H，連接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四邊形BECH為菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中點M，連接EM，CM，EC，那么EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC為所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC為等邊三角形，故所求的角為60°．解法二、以B為坐標(biāo)原點，分別以BE，BP，BA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．由題意得：A〔0，0，3〕，E〔2，0，0〕，G〔1，，3〕，C〔﹣1，，0〕，故，，．設(shè)為平面AEG的一個法向量，由，得，取z1=2，得；設(shè)為平面ACG的一個法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小為60°．【點評】此題考察空間角的求法，考察空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了線面角的求法及利用空間向量求二面角的大小，是中檔題．4．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E與二面角C﹣BE﹣F都是60°．〔Ⅰ〕證明平面ABEF⊥平面EFDC；〔Ⅱ〕求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【分析】〔Ⅰ〕證明AF⊥平面EFDC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABEF⊥平面EFDC；〔Ⅱ〕證明四邊形EFDC為等腰梯形，以E為原點，建立如下圖的坐標(biāo)系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夾角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】〔Ⅰ〕證明：∵ABEF為正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；〔Ⅱ〕解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE為二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF為正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF為二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四邊形EFDC為等腰梯形．以E為原點，建立如下圖的坐標(biāo)系，設(shè)FD=a，那么E〔0，0，0〕，B〔0，2a，0〕，C〔，0，a〕，A〔2a，2a，0〕，∴=〔0，2a，0〕，=〔，﹣2a，a〕，=〔﹣2a，0，0〕設(shè)平面BEC的法向量為=〔x1，y1，z1〕，那么，那么，取=〔，0，﹣1〕．設(shè)平面ABC的法向量為=〔x2，y2，z2〕，那么，那么，取=〔0，，4〕．設(shè)二面角E﹣BC﹣A的大小為θ，那么cosθ===﹣，那么二面角E﹣BC﹣A的余弦值為﹣．【點評】此題考察平面與平面垂直的證明，考察用空間向量求平面間的夾角，建立空間坐標(biāo)系將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．5．如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB=5，AC=6，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于點H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．〔Ⅰ〕證明：D′H⊥平面ABCD；〔Ⅱ〕求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．【分析】〔Ⅰ〕由底面ABCD為菱形，可得AD=CD，結(jié)合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，進一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由線面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；〔Ⅱ〕以H為坐標(biāo)原點，建立如下圖空間直角坐標(biāo)系，由求得所用點的坐標(biāo)，得到的坐標(biāo)，分別求出平面ABD′與平面AD′C的一個法向量，設(shè)二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角為θ，求出|cosθ|．那么二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求．【解答】〔Ⅰ〕證明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，那么EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，那么EF⊥BD，∴EF⊥DH，那么EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，那么DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，那么D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；〔Ⅱ〕解：以H為坐標(biāo)原點，建立如下圖空間直角坐標(biāo)系，∵AB=5，AC=6，∴B〔5，0，0〕，C〔1，3，0〕，D′〔0，0，3〕，A〔1，﹣3，0〕，，，設(shè)平面ABD′的一個法向量為，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一個法向量，設(shè)二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角為θ，那么|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值為sinθ=．【點評】此題考察線面垂直的判定，考察了二面角的平面角的求法，訓(xùn)練了利用平面的法向量求解二面角問題，表達了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．6．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，側(cè)面ABB1A1是邊長為2的正方形，點E，F(xiàn)分別在線段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．〔Ⅰ〕證明：平面ABB1A1⊥平面ABC；〔Ⅱ〕假設(shè)CA⊥CB，求直線AC1與平面CEF所成角的正弦值．【分析】〔I〕取AB的中點D，連結(jié)CD，DF，DE．計算DE，EF，DF，利用勾股定理的逆定理得出DE⊥EF，由三線合一得CD⊥AB，故而CD⊥平面ABB1A1，從而平面ABB1A1⊥平面ABC；〔II〕以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面CEF的法向量，那么直線AC1與平面CEF所成角的正弦值等于|cos＜＞|．【解答】證明：〔I〕取AB的中點D，連結(jié)CD，DF，DE．∵AC=BC，D是AB的中點，∴CD⊥AB．∵側(cè)面ABB1A1是邊長為2的正方形，AE=，A1F=．∴A1E=，EF==，DE==，DF==，∴EF2+DE2=DF2，∴DE⊥EF，又CE⊥EF，CE∩DE=E，CE?平面CDE，DE?平面CDE，∴EF⊥平面CDE，又CD?平面CDE，∴CD⊥EF，又CD⊥AB，AB?平面ABB1A1，EF?平面ABB1A1，AB，EF為相交直線，∴CD⊥平面ABB1A1，又CD?ABC，∴平面ABB1A1⊥平面ABC．〔II〕∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC=．以C為原點，以CA，CB，CC1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：那么A〔，0，0〕，C〔0，0，0〕，C1〔0，0，2〕，E〔，0，〕，F(xiàn)〔，，2〕．∴=〔﹣，0，2〕，=〔，0，〕，=〔，，2〕．設(shè)平面CEF的法向量為=〔x，y，z〕，那么，∴，令z=4，得=〔﹣，﹣9，4〕．∴=10，||=6，||=．∴sin＜＞==．∴直線AC1與平面CEF所成角的正弦值為．【點評】此題考察了面面垂直的判定，線面角的計算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．7．如圖，在四棱錐中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2．〔1〕求證：AB⊥PC；〔2〕在線段PD上，是否存在一點M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小為45°，如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由．【分析】〔1〕利用直角梯形的性質(zhì)求出AB，AC的長，根據(jù)勾股定理的逆定理得出AB⊥AC，由PA⊥平面ABCD得出AB⊥PA，故AB⊥平面PAC，于是AB⊥PC；〔2〕假設(shè)存在點M，做出二面角的平面角，根據(jù)勾股定理求出M到平面ABCD的距離從而確定M的位置，利用棱錐的體積求出B到平面MAC的距離h，根據(jù)勾股定理計算BM，那么即為所求角的正弦值．【解答】解：〔1〕證明：∵四邊形ABCD是直角梯形，AD=CD=2，BC=4，∴AC=4，AB===4，∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB，∴AB⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴AB⊥PC．〔2〕假設(shè)存在符合條件的點M，過點M作MN⊥AD于N，那么MN∥PA，∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC．過點M作MG⊥AC于G，連接NG，那么AC⊥平面MNG，∴AC⊥NG，即∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角．假設(shè)∠MGN=45°，那么NG=MN，又AN=NG=MN，∴MN=1，即M是線段PD的中點．∴存在點M使得二面角M﹣AC﹣D的大小為45°．在三棱錐M﹣ABC中，VM﹣ABC=S△ABC?MN==，設(shè)點B到平面MAC的距離是h，那么VB﹣MAC=，∵MG=MN=，∴S△MAC===2，∴=，解得h=2．在△ABN中，AB=4，AN=，∠BAN=135°，∴BN==，∴BM==3，∴BM與平面MAC所成角的正弦值為=．【點評】此題考察了工程垂直的判定與性質(zhì)，空間角與空間距離的計算，屬于中檔題．8．如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC=60°．〔1〕求側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大??；〔2〕點D滿足=+，在直線AA1上是否存在點P，使DP∥平面AB1C？假設(shè)存在，請確定點P的位置，假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔1〕推導(dǎo)出A1O⊥平面ABC，BO⊥AC，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值．〔2〕假設(shè)存在點P符合題意，那么點P的坐標(biāo)可設(shè)為P〔0，y，z〕，那么．利用向量法能求出存在點P，使DP∥平面AB1C，其坐標(biāo)為〔0，0，〕，即恰好為A1點．【解答】解：〔1〕∵側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于點O，∴A1O⊥平面ABC．又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱長都相等，∴AO=1，OA1=OB=，BO⊥AC．…〔2分〕故以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，那么A〔0，﹣1，0〕，B〔，0，0〕，A1〔0，0，〕，C〔0，1，0〕，∴=〔0，1，〕，=〔〕，=〔0，2，0〕．…〔4分〕設(shè)平面AB1C的法向量為，那么，取x=1，得=〔1，0，1〕．設(shè)側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的為θ，那么sinθ=|cos＜，＞|=||=，∴側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值為．…〔6分〕〔2〕∵=，而，，∴=〔﹣2，0，0〕，又∵B〔〕，∴點D〔﹣，0，0〕．假設(shè)存在點P符合題意，那么點P的坐標(biāo)可設(shè)為P〔0，y，z〕，∴．∵DP∥平面AB1C，=〔﹣1，0，1〕為平面AB1C的法向量，∴由=λ，得，∴y=0．…〔10分〕又DP?平面AB1C，故存在點P，使DP∥平面AB1C，其坐標(biāo)為〔0，0，〕，即恰好為A1點．…〔12分〕【點評】此題考察線面角的正弦值的求法，考察滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．9．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中點，BD與AB1交于點O，且CO⊥平面ABB1A1．〔Ⅰ〕證明：平面AB1C⊥平面BCD；〔Ⅱ〕假設(shè)OC=OA，△AB1C的重心為G，求直線GD與平面ABC所成角的正弦值．【分析】〔Ⅰ〕通過證明AB1⊥BD，AB1⊥CO，推出AB1⊥平面BCD，然后證明平面AB1C⊥平面BCD．〔Ⅱ〕以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)D，OB1，OC所在直線為x，y，z軸，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．求出平面ABC的法向量，設(shè)直線GD與平面ABC所成角α，利用空間向量的數(shù)量積求解直線GD與平面ABC所成角的正弦值即可．【解答】〔本小題總分值12分〕解：〔Ⅰ〕∵ABB1A1為矩形，AB=2，，D是AA1的中點，∴∠BAD=90°，，，從而，，∵，∴∠ABD=∠AB1B，…〔2分〕∴，∴，從而AB1⊥BD…〔4分〕∵CO⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，∴AB1⊥CO，∵BD∩CO=O，∴AB1⊥平面BCD，∵AB1?平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BCD…〔6分〕〔Ⅱ〕如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)D，OB1，OC所在直線為x，y，z軸，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．在矩形ABB1A1中，由于AD∥BB1，所以△AOD和△B1OB相似，從而又，∴，，，，∴，，∵G為△AB1C的重心，∴，…〔8分〕設(shè)平面ABC的法向量為，，由可得，令y=1，那么z=﹣1，，所以．…〔10分〕設(shè)直線GD與平面ABC所成角α，那么=，所以直線GD與平面ABC所成角的正弦值為…〔12分〕【點評】此題考察平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考察空間想象能力以及計算能力．10．在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，將△ABD沿BD折起，使得點A折起至A′，設(shè)二面角A′﹣BD﹣C的大小為θ．〔1〕當(dāng)θ=90°時，求A′C的長；〔2〕當(dāng)cosθ=時，求BC與平面A′BD所成角的正弦值．【分析】〔1〕過A作BD的垂線交BD于E，交DC于F，連接CE，利用勾股定理及余弦定理計算AE，CE，由A′E⊥CE得出A′C；〔2〕利用余弦定理可得A′F=，從而得出A′F⊥平面ABCD，以F為原點建立坐標(biāo)系，求出和平面A′BD的法向量，那么BC與平面A′BD所成角的正弦值為|cos＜＞|．【解答】解：〔1〕在圖1中，過A作BD的垂線交BD于E，交DC于F，連接CE．∵AB=4，AD=2，∴BD==10．∴，BE==8，cos∠CBE==．在△BCE中，由余弦定理得CE==2．∵θ=90°，∴A′E⊥平面ABCD，∴A′E⊥CE．∴|A′C|==2．〔2〕DE==2．∵tan∠FDE=，∴EF=1，DF==．當(dāng)即cos∠A′EF=時，．∴A′E2=A′F2+EF2，∴∠A'FE=90°又BD⊥AE，BD⊥EF，∴BD⊥平面A'EF，∴BD⊥A'F∴A'F⊥平面ABCD．以F為原點，以FC為x軸，以過F的AD的平行線為y軸，以FA′為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖：∴A′〔0，0，〕，D〔﹣，0，0〕，B〔3，2，0〕，C〔3，0，0〕．∴=〔0，2，0〕，=〔4，2，0〕，=〔，0，〕．設(shè)平面A′BD的法向量為=〔x，y，z〕，那么，∴，令z=1得=〔﹣，2，1〕．∴cos＜＞===．∴BC與平面A'BD所成角的正弦值為．【點評】此題考察了空間角與空間距離的計算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．11．如圖，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱錐D﹣BB1C1C構(gòu)成的幾何體中，∠BAC=90°，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=，平面CC1D⊥平面ACC1A1．〔Ⅰ〕求證：AC⊥DC1；〔Ⅱ〕假設(shè)M為DC1的中點，求證：AM∥平面DBB1；〔Ⅲ〕在線段BC上是否存在點P，使直線DP與平面BB1D所成的角為？假設(shè)存在，求的值，假設(shè)不存在，說明理由．【分析】〔Ⅰ〕證明AC⊥CC1，得到AC⊥平面CC1D，即可證明AC⊥DC1．〔Ⅱ〕易得∠BAC=90°，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，依據(jù)條件可得A〔0，0，0〕，，，B〔0，0，1〕，B1〔2，0，1〕，，利用向量求得AM與平面DBB1所成角為0，即AM∥平面DBB1．〔Ⅲ〕利用向量求解【解答】解：〔Ⅰ〕證明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC⊥CC1，由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1，所以AC⊥平面CC1D，又C1D?平面CC1D，所以AC⊥DC1．〔Ⅱ〕證明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又∠BAC=90°，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，依據(jù)條件可得A〔0，0，0〕，，，B〔0，0，1〕，B1〔2，0，1〕，，所以，，設(shè)平面DBB1的法向量為，由即令y=1，那么，x=0，于是，因為M為DC1中點，所以，所以，由，可得，所以AM與平面DBB1所成角為0，即AM∥平面DBB1．〔Ⅲ〕解：由〔Ⅱ〕可知平面BB1D的法向量為．設(shè)，λ∈[0，1]，那么，．假設(shè)直線DP與平面DBB1成角為，那么，解得，故不存在這樣的點．【點評】此題考察了空間線線垂直、線面平行的判定，向量法求二面角．屬于中檔題12．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB=EA=ED，EF∥BD〔I〕證明：AE⊥CD〔II〕在棱ED上是否存在點M，使得直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為？假設(shè)存在，確定點M的位置；假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔I〕利用面面垂直的性質(zhì)得出CD⊥平面AED，故而AE⊥CD；〔II〕取AD的中點O，連接EO，以O(shè)為原點建立坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面BDEF的法向量，令|cos＜＞|=，根據(jù)方程的解得出結(jié)論．【解答】〔I〕證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，∴CD⊥平面AED，∵AE?平面AED，∴AE⊥CD．〔II〕解：取AD的中點O，過O作ON∥AB交BC于N，連接EO，∵EA=ED，∴OE⊥AD，又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，OE?平面AED，∴OE⊥平面ABCD，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，如下圖：設(shè)正方形ACD的邊長為2，，那么A〔1，0，0〕，B〔1，2，0〕，D〔﹣1，0，0〕，E〔0，0，1〕，M〔﹣λ，0，1﹣λ〕∴=〔﹣λ﹣1，0，1﹣λ〕，=〔1，0，1〕，=〔2，2，0〕，設(shè)平面BDEF的法向量為=〔x，y，z〕，那么，即，令x=1得=〔1，﹣1，﹣1〕，∴cos＜＞==，令||=，解得λ=0，∴當(dāng)M與點E重合時，直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為．【點評】此題考察了線面垂直的判定，空間向量與線面角的計算，屬于中檔題．13．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．〔1〕設(shè)點E為PD的中點，求證：CE∥平面PAB；〔2〕線段PD上是否存在一點N，使得直線與平面PAC所成的角θ的正弦值為？假設(shè)存在，試確定點N的位置，假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔1〕取AD中點M，利用三角形的中位線證明EM∥平面PAB，利用同位角相等證明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，證得EC∥平面PAB；〔2〕建立坐標(biāo)系，求出平面PAC的法向量，利用直線與平面PAC所成的角θ的正弦值為，可得結(jié)論．【解答】〔1〕證明：取AD中點M，連EM，CM，那么EM∥PA．∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，∴EM∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，∴MC∥平面PAB．∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC?平面EMC，∴EC∥平面PAB．〔2〕解：過A作AF⊥AD，交BC于F，建立如下圖的坐標(biāo)系，那么A〔0，0，0〕，B〔，﹣，0〕，C〔，1，0〕，D〔0，4，0〕，P〔0，0，2〕，設(shè)平面PAC的法向量為=〔x，y，z〕，那么，取=〔，﹣3，0〕，設(shè)=λ〔0≤λ≤1〕，那么=〔0，4λ，﹣2λ〕，=〔﹣λ﹣1，2﹣2λ〕，∴|cos＜，＞|==，∴，∴N為PD的中點，使得直線與平面PAC所成的角θ的正弦值為．【點評】此題考察線面平行的判定，考察線面角，考察向量知識的運用，考察學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．14．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為平行四邊形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC，∠ABC=45°，點E是線段PA上靠近點A的三等分點．〔Ⅰ〕求證：AB⊥PC；〔Ⅱ〕假設(shè)△PAB是邊長為2的等邊三角形，求直線DE與平面PBC所成角的正弦值．【分析】〔Ⅰ〕作PO⊥AB于O，連接OC，可得PO⊥面ABCD．由△POB≌△POC，∠ABC=45°，得OC⊥AB，即得AB⊥面POC，可證得AB⊥PC．〔Ⅱ〕以O(shè)為原點建立空間坐標(biāo)系，，利用向量求解．【解答】解：〔Ⅰ〕作PO⊥AB于O…①，連接OC，∵平面PAB⊥平面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，∴PO⊥面ABCD．…〔2分〕∵PB=PC，∴△POB≌△POC，∴OB=OC，又∵∠ABC=45°，∴OC⊥AB…②又PO∩CO=O，由①②，得AB⊥面POC，又PC?面POC，∴AB⊥PC．…〔6分〕〔Ⅱ〕∵△PAB是邊長為2的等邊三角形，∴．如圖建立空間坐標(biāo)系，設(shè)面PBC的法向量為，，由，令，得；，．，設(shè)DE與面PBC所成角為θ，∴直線DE與平面PBC所成角的正弦值．…〔12分〕【點評】此題考察了空間線線垂直的判定，向量法求線面角，屬于中檔題．15．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，側(cè)面ABB1A1是邊長為2的正方形，點E，F(xiàn)分別在線段AAl，A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF，M為AB中點〔I〕證明：EF⊥平面CME；〔Ⅱ〕假設(shè)CA⊥CB，求直線AC1與平面CEF所成角的正弦值．【分析】〔Ⅰ〕推導(dǎo)出Rt△EAM∽Rt△FA1E，從而EF⊥ME，又EF⊥CE，由此能證明EF⊥平面CEM．〔Ⅱ〕設(shè)線段A1B1中點為N，連結(jié)MN，推導(dǎo)出MC，MA，MN兩兩垂直，建空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AC1與平面CEF所成角的正弦值．【解答】證明：〔Ⅰ〕在正方形ABB1A1中，A1E=，AM=1，在Rt△EAM和Rt△FA1E中，，又∠EAM=∠FA1E=，∴Rt△EAM∽Rt△FA1E，∴∠AEM=∠A1FE，∴EF⊥EM，又EF⊥CE，ME∩CE=E，∴EF⊥平面CEM．解：〔Ⅱ〕在等腰三角形△CAB中，∵CA⊥CB，AB=2，∴CA=CB=，且CM=1，設(shè)線段A1B1中點為N，連結(jié)MN，由〔Ⅰ〕可證CM⊥平面ABB1A1，∴MC，MA，MN兩兩垂直，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么C〔1，0，0〕，E〔0，1，〕，F(xiàn)〔0，，2〕，A〔0，1，0〕，C1〔1，0，2〕，=〔﹣1，1，〕，=〔0，﹣，〕，=〔1，﹣1，2〕，設(shè)平面CEF的法向量為=〔x，y，z〕，那么，取z=2，得=〔5，4，2〕，設(shè)直線AC1與平面CEF所成角為θ，那么sinθ==，∴直線AC1與平面CEF所成角的正弦值為．【點評】此題考察線面垂直的證明，考察線面角的正弦值求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．初一數(shù)學(xué)由視圖到立體圖形課堂導(dǎo)學(xué)一．選擇題（共20小題）1．如圖是由幾個大小相同的小正方體組合而成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置小正方體的個數(shù)，則該幾何體的主視圖是（）A．B．C．D．2．某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體是（）A．B．C．D．3．一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù)，則從正面看到的這個幾何體的形狀圖正確的是（）A．B．C．D．4．某幾何體的三視圖如圖所示，這個幾何體是（）A．三棱柱B．球體C．圓錐體D．圓柱體5．如圖是由幾個小立方塊所搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示在該方塊的個數(shù)，則這個幾何體的左視圖為（）A．B．C．D．6．一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（）A．正方體B．圓錐C．三棱柱D．四棱柱7．如圖三視圖所對應(yīng)的直觀圖是下面的（）A．B．C．D．8．某幾何體由一些大小相同的小正方體組成，如圖是它的俯視圖和主視圖，那么組成該幾何體的小正方體的個數(shù)最少為（）A．4個B．5個C．6個D．7個9．如圖所示是由幾個小立方塊搭成的幾何體的俯視圖，則這個幾何體左視圖是（）A．B．C．D．10．如圖是由5個立方塊搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上的小立方塊的個數(shù)，則這個幾何體的左視圖是（）A．B．C．D．11．一個幾何體由若干個相同的正方體組成，其主視圖和左視圖如圖所示，則這個幾何體中正方體最多有（）個．A．3B．4C．5D．612．若圖是由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和俯視圖，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是（）A．6B．8C．10D．1213．從正面、左面、上面觀察一個由小正方體構(gòu)成的幾何體依次得到以下的形狀圖，那么構(gòu)成這個幾何體的小正方體有（）A．4個B．5個C．6個D．7個14．由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則搭成該幾何體的小正方體的個數(shù)最多為（）A．7個B．8個C．9個D．10個15．某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體是（）A．圓錐B．長方體C．圓柱D．四棱柱16．如圖，是一個由多個相同小正方體搭成的幾何體的俯視圖，圖中所標(biāo)的數(shù)字為該位置小正方體的個數(shù)，則這個幾何體的左視圖是（）A．B．C．D．17．由幾個大小相同的小正方體搭建而成的幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則搭建這個幾何體所需要的小正方體的個數(shù)至少為（）A．5B．6C．7D．818．如圖是由6個立方塊搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上的小立方塊的個數(shù)，則這個幾何體的主視圖是（）A．B．C．D．19．一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，它的俯視圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置小立方塊的個數(shù)，則該幾何體的左視圖為（）A．B．C．D．20．一個由若干個相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則小正方體的最少個數(shù)為（）A．5個B．6個C．7個D．8個二．填空題（共30小題）21．由若干個小正方體組成的幾何體的三視圖如圖所示，則組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)為．22．小穎同學(xué)到學(xué)校領(lǐng)來n盒粉筆，整齊地摞在講桌上，從三面看到的平面圖形如圖所示，則n的值是．23．一個幾何體由若干大小相同的小立方塊搭成，如圖分別是從它的正面、上面看到的形狀圖，那么搭成該幾何體至少需用小立方塊個．24．如圖，是由幾個邊長為1的小立方體所組成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小正方體的個數(shù)，則這個幾何體的表面積為．25．由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則搭成該幾何體的小正方體的個數(shù)最少是．26．若一個幾何體由若干個完全相同的小正方體構(gòu)成，并且該幾何體從正面和上面看到的形狀圖如圖所示．則構(gòu)成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是．27．如圖是由一些相同的小正方體構(gòu)成的立體圖形的三種視圖，則構(gòu)成這個立體圖形的小正方體的個數(shù)是個．28．已知：如圖是由若干個大小相同的小正方體所搭成的幾何體從正面、左面和上面看到的形狀圖，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是．29．一個幾何體由幾個大小相同的小立方塊搭成，從正面和上面看到的這個幾何體的形狀圖如圖所示，則該幾何體最少是用個小立方塊搭成的．30．如圖是由幾個相同的小正方體分別從上面、左面看到的形狀圖，這樣的幾何體最多需要個小立方體塊，最少需要個小立方體塊．31．用小立方塊搭一個幾何體，使得它從正面看和從上面看到的形狀圖如圖所示，它最少要m個小立方塊，最多要n個小立方塊，則m+n的值為．32．用小立方體搭一個幾何體，從它的正面、上面看到的形狀圖如圖所示，則搭這樣的幾何體最多需要個小立方體，最少需要個小立方體．33．如圖所示，是由一些相同的小立方體搭成的幾何體分別從正面、左面、上面看到的該幾何體的形狀圖，那么構(gòu)成這個立體圖形的小正方形有個．34．一個幾何體由若干個相同的正方體組成，其主視圖和俯視圖如圖所示，則這個幾何體中正方體的個數(shù)最多是．35．如圖所示是若干個大小相同的小正方體搭成的幾何體從三個不同方向看到的圖形，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是．36．一個幾何體從正面和上面看到的圖形如圖所示，若這個幾何體最多有a個小正方體組成，最少有b個小正方體組成，則a+b＝．37．用小立方塊搭一幾何體，它的主視圖和俯視圖如圖所示，這個幾何體最少要個立方塊，最多要個立方塊．38．一個幾何體是由一些大小相同的小正方塊擺成的，從正面看與從上面看得到的形狀圖如圖所示，則組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)n的所有可能值的和是．39．用小立方體搭一個幾何體，分別從它的正面、上面看到的形狀如圖所示．這樣的幾何體最少需要個小立方體；最多需要個小立方體．40．在桌子上擺有一些大小相同的正方體木塊組成一個幾何體，如圖分別是從正面和從上面看到的形狀圖，組成這個幾何體的小立方塊個數(shù)最多需要塊．41．一個幾何體由多個完全相同的小正方體組成，它的三視圖如圖所示，那么組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)為個．42．由一些完全相同的小正方體搭成的幾何體，分別從它正面和左面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是，最多是．43．用小立方塊指一個幾何體，使它的從正面和從上面看到的這個幾何體的形狀圖如圖所示，這個幾何體最少要a個小立方塊，最多要b個小立方塊，則a+b＝．44．由若干個相同的小正方形達搭成一個幾何體，分別從正面和左面看，所得的形狀如圖所示，則搭建這個幾何體所需的小正方體的個數(shù)最少是．45．一個幾何體由若干大小相同的小立方塊搭成，如圖分別是從它的正面、上面看到的形狀圖，若該幾何體所用小立方塊的個數(shù)為n，則n的最大值和最小值之和為．46．一個幾何體由若干大小相同的小立方塊搭成的，如圖分別是從它的左面，上面看到的平面圖形，則組成這個幾何體的小立方塊最多有個．47．由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體從正面和從左面看到的形狀用如圖所示，則所需的小正方體的個數(shù)最多是個．48．由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體從正面和從左面看到的圖形如圖，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最多為，最少為．49．用若干個相同的小正方體搭一個幾何體，該幾何體的主視圖、俯視圖如圖所示．若小正方體的棱長為1，則搭成的幾何體的表面積是．50．由幾個小正方體組成的幾何組合體的主視圖、左視圖如圖所示，那么這幾何組合體至少由個小正方體組成．三．解答題（共10小題）51．用若干個完全相同的小正方體搭成一個幾何體，當(dāng)從正面、上面看這個幾何體時，得到的圖形如圖所示．問：在這個幾何體中，小正方體的個數(shù)最多是多少？最少是多少？52．用小立方塊搭成一個幾何體，使它從正面和上面看到的形狀圖如圖所示．搭建這樣的幾何體，最多要幾個小立方塊？最少要幾個小立方塊？53．一個幾何體從正面和從上面看到的圖形如圖所示，若這個幾何體最多有a個小正方體組成，最少有b個小正方體組成，求a+b的值．54．根據(jù)如圖所給出的幾何體從三個方向看得到的形狀圖，試確定幾何體中小正方體的數(shù)目的范圍．55．一個幾何體由幾塊相同的小正方體疊成，它的三視圖如下圖所示．請回答下列問題：（1）填空：①該物體有層高；②該物體由個小正方體搭成；（2）該物體的最高部分位于俯視圖的什么地方？（注：在俯視圖上標(biāo)注，并有相應(yīng)的文字說明）56．一個物體是由棱長為3cm的正方體模型堆砌而成的，其視圖如圖：（1）請在俯視圖上標(biāo)出小正方體的個數(shù)（2）求出該物體的體積是多少．（3）該物體的表面積是多少？57．一個幾何體是由若干個棱長為3cm的小正方體搭成的，從正面、左面、上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示：（1）在“從上面看”的圖中標(biāo)出各個位置上小正方體的個數(shù)；（2）求該幾何體的體積．58．用小正方體搭一個幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖所示，這樣的幾何體需要小正方體最多幾塊？最少幾塊？答：最多塊；最少塊．59．一個立體圖形是由若干個小正方體堆積而成的，其三視圖如圖，則組成這個立體圖形的小正方體有多少個．60．下面的圖形是一個物體的三視圖，請畫出初一數(shù)學(xué)由視圖到立體圖形課堂導(dǎo)學(xué)一．選擇題（共20小題）1．如圖是由幾個大小相同的小正方體組合而成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置小正方體的個數(shù)，則該幾何體的主視圖是（）A．B．C．D．2．某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體是（）A．B．C．D．3．一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù)，則從正面看到的這個幾何體的形狀圖正確的是（）A．B．C．D．4．某幾何體的三視圖如圖所示，這個幾何體是（）A．三棱柱B．球體C．圓錐體D．圓柱體5．如圖是由幾個小立方塊所搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示在該方塊的個數(shù)，則這個幾何體的左視圖為（）A．B．C．D．6．一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（）A．正方體B．圓錐C．三棱柱D．四棱柱7．如圖三視圖所對應(yīng)的直觀圖是下面的（）A．B．C．D．8．某幾何體由一些大小相同的小正方體組成，如圖是它的俯視圖和主視圖，那么組成該幾何體的小正方體的個數(shù)最少為（）A．4個B．5個C．6個D．7個9．如圖所示是由幾個小立方塊搭成的幾何體的俯視圖，則這個幾何體左視圖是（）A．B．C．D．10．如圖是由5個立方塊搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上的小立方塊的個數(shù)，則這個幾何體的左視圖是（）A．B．C．D．11．一個幾何體由若干個相同的正方體組成，其主視圖和左視圖如圖所示，則這個幾何體中正方體最多有（）個．A．3B．4C．5D．612．若圖是由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和俯視圖，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是（）A．6B．8C．10D．1213．從正面、左面、上面觀察一個由小正方體構(gòu)成的幾何體依次得到以下的形狀圖，那么構(gòu)成這個幾何體的小正方體有（）A．4個B．5個C．6個D．7個14．由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則搭成該幾何體的小正方體的個數(shù)最多為（）A．7個B．8個C．9個D．10個15．某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體是（）A．圓錐B．長方體C．圓柱D．四棱柱16．如圖，是一個由多個相同小正方體搭成的幾何體的俯視圖，圖中所標(biāo)的數(shù)字為該位置小正方體的個數(shù)，則這個幾何體的左視圖是（）A．B．C．D．17．由幾個大小相同的小正方體搭建而成的幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則搭建這個幾何體所需要的小正方體的個數(shù)至少為（）A．5B．6C．7D．818．如圖是由6個立方塊搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上的小立方塊的個數(shù)，則這個幾何體的主視圖是（）A．B．C．D．19．一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，它的俯視圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置小立方塊的個數(shù)，則該幾何體的左視圖為（）A．B．C．D．20．一個由若干個相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則小正方體的最少個數(shù)為（）A．5個B．6個C．7個D．8個二．填空題（共30小題）21．由若干個小正方體組成的幾何體的三視圖如圖所示，則組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)為．22．小穎同學(xué)到學(xué)校領(lǐng)來n盒粉筆，整齊地摞在講桌上，從三面看到的平面圖形如圖所示，則n的值是．23．一個幾何體由若干大小相同的小立方塊搭成，如圖分別是從它的正面、上面看到的形狀圖，那么搭成該幾何體至少需用小立方塊個．24．如圖，是由幾個邊長為1的小立方體所組成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小正方體的個數(shù)，則這個幾何體的表面積為．25．由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則搭成該幾何體的小正方體的個數(shù)最少是．26．若一個幾何體由若干個完全相同的小正方體構(gòu)成，并且該幾何體從正面和上面看到的形狀圖如圖所示．則構(gòu)成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是．27．如圖是由一些相同的小正方體構(gòu)成的立體圖形的三種視圖，則構(gòu)成這個立體圖形的小正方體的個數(shù)是個．28．已知：如圖是由若干個大小相同的小正方體所搭成的幾何體從正面、左面和上面看到的形狀圖，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是．29．一個幾何體由幾個大小相同的小立方塊搭成，從正面和上面看到的這個幾何體的形狀圖如圖所示，則該幾何體最少是用個小立方塊搭成的．30．如圖是由幾個相同的小正方體分別從上面、左面看到的形狀圖，這樣的幾何體最多需要個小立方體塊，最少需要個小立方體塊．31．用小立方塊搭一個幾何體，使得它從正面看和從上面看到的形狀圖如圖所示，它最少要m個小立方塊，最多要n個小立方塊，則m+n的值為