復(fù)變函數(shù)與積分變換課后的習(xí)題答案-七八節(jié)

習(xí)題七1.證明：如果f(t)滿足傅里葉變換的條件，當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，那么有其中當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)，那么有其中證明：因?yàn)槠渲袨閒(t)的傅里葉變換當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，從而為偶函數(shù)，從而故有為奇數(shù)。=所以，當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，有同理，當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)，有.其中2.在上一題中，設(shè).計(jì)算的值.解:.解:解：(2)解：因?yàn)樗愿鶕?jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)可得(3)解：(4)解:令，那么在上半平面有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn).故.(5)解:同(4).利用留數(shù)在積分中的應(yīng)用,令那么.5.設(shè)函數(shù)F(t)是解析函數(shù)，而且在帶形區(qū)域?yàn)樽C明當(dāng)時(shí)，有對(duì)所有的實(shí)數(shù)t成立.(書(shū)上有推理過(guò)程)6.求符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換.解:因?yàn)榘押瘮?shù).不難看出故：的傅里葉變換求解:f(t)的傅里葉變換，a為一常數(shù).證明當(dāng)a>0時(shí),令u=at.那么當(dāng)a<0時(shí),令u=at,那么.故原命題成立.證明.證明：，證明：以及證明：同理：計(jì)算.解：當(dāng)時(shí)，假設(shè)那么故=0.假設(shè)那么假設(shè)那么故為單位階躍函數(shù)，求以下函數(shù)的傅里葉變換.習(xí)題八1.求以下函數(shù)的拉普拉斯變換.(1)，(2)，(3)(4)，(5)解:(1)(2)(3)(4)(5)2.求以下函數(shù)的拉普拉斯變換.〔1〕(2)解:(1)(2),其中函數(shù)為階躍函數(shù),求的拉普拉斯變換.解:解：5.求以下函數(shù)的拉普拉斯變換.(1)(2)(3)(4)(5(6(7)(8)解:(1)(2)(4)(5)(6)(7)(8)，對(duì)常數(shù)，假設(shè)，證明證明:7記，證明:證明：當(dāng)n=1時(shí),所以，當(dāng)n=1時(shí),顯然成立。假設(shè)，當(dāng)n=k-1時(shí),有現(xiàn)證當(dāng)n=k時(shí)8.記，如果a為常數(shù),證明:證明：設(shè)，由定義9.記，證明:,即證明：(1)(2)(3)(4)(5)(6解：(1)(2)(3)(4)(5)(6)11.設(shè)函數(shù)f,g,h均滿足當(dāng)t<0時(shí)恒為零，證明以及證明：證明：設(shè)，那么，那么，所以13.求以下函數(shù)的拉普拉斯逆變換.(1)(2)(3)(4)(5)(6解：(1)(2)(3故(4)因?yàn)樗?5)其中所以(6)所以證明：又因?yàn)樗?，根?jù)卷積定理證明：因?yàn)樗?，根?jù)卷積定理有16.求以下函數(shù)的拉普拉斯逆變換.(1)(2)(3)(4)解:(1)故(2)：(3)故(4)故且所以(1)(2)(3)(4)(5)解:(1)設(shè)方程兩邊取拉氏變換,得為Y(s)的三個(gè)一級(jí)極點(diǎn),那么(2)方程兩邊同時(shí)取拉氏變換,得(3)方程兩邊取拉氏變換,得因?yàn)橛衫献儞Q的微分性質(zhì)知，假設(shè)L[f(t)]=F(s),那么即因?yàn)樗怨视?4)方程兩邊取拉氏變換,設(shè)L[y(t)]=Y(s),得故(5)設(shè)L[y(t)]=Y(s),那么方程兩邊取拉氏變換,,得故(1)(2)解:(1)設(shè)微分方程組兩式的兩邊同時(shí)取拉氏變換,得得(2)代入(1)，得(3)代入(1)，得(2)設(shè)方程兩邊取拉氏變換,得(3)代入(1)：所以故(1)