基本不等式、不等式的綜合應(yīng)用

根本不等式、不等式的綜合應(yīng)用高考試題考點(diǎn)一利用根本不等式證明1.(2023年安徽卷,文15)假設(shè)a>0,b>0,a+b=2,那么以下不等式對一切滿足條件的a、b恒成立的是(寫出所有正確命題的編號).①ab≤1;②QUOTEa+QUOTEb≤QUOTE2;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤QUOTE1a+QUOTE1b≥2.解析:令a=b=1,排除②、④;由2=a+b≥2QUOTEab?ab≤1,命題①正確;a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,命題③正確;QUOTE1a+QUOTE1b=QUOTE1aQUOTE1bQUOTEa+bab=QUOTE2ab≥2,命題⑤正確.答案:①③⑤2.(2023年上海卷,文16)假設(shè)a、b∈R,且ab>0,那么以下不等式中,恒成立的是()(A)a2+b2>2ab (B)a+b≥2QUOTEab(C)QUOTE1a+QUOTE1b>QUOTE2ab (D)+QUOTEab≥2解析:對于選項A,a2+b2≥2ab,所以選項A錯;對于選項B、C,雖然ab>0,只能說明a、b同號,假設(shè)a、b都小于0時,選項B、C錯;對選項D,∵ab>0,∴QUOTEba>0,QUOTEab>0,那么QUOTEba+QUOTEab≥2.應(yīng)選D.答案:D考點(diǎn)二利用根本不等式求最值或范圍1.(2023年福建卷,文7)假設(shè)2x+2y=1,那么x+y的取值范圍是()(A)[0,2] (B)[-2,0](C)[-2,+∞) (D)(-∞,-2]解析:因為2x+2y≥2QUOTE2x·2y=2QUOTE2x+y,所以QUOTE2x+y≤QUOTE12,所以2x+y≤QUOTE14,所以x+y≤-2.應(yīng)選D.答案:D2.(2023年浙江卷,文9)假設(shè)正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,那么3x+4y的最小值是()(A)QUOTE245 (B)QUOTE285 (C)5 (D)6解析:因為x>0,y>0,x+3y=5xy,所以QUOTE15y+QUOTE35x=1,所以〔QUOTE15y+QUOTE35x〕(3x+4y)=QUOTE135QUOTE15y+QUOTE35x+QUOTE15y+QUOTE35x+QUOTE12y5x≥QUOTE135+2×QUOTE65=5,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE3x5y=QUOTE12y5x時,等號成立,所以選C.答案:C3.(2023年陜西卷,文14)在如下圖的銳角三角形空地中,欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影局部),那么其邊長x為(m).解析:如圖,過A作AH⊥BC于H,交DE于F,由得QUOTEDEBC=QUOTEx40,QUOTEADAB=QUOTEAFAH=QUOTEAF40,由QUOTEDEBC=QUOTEADAB,得AF=x,FH=40-x.那么S=x(40-x)≤QUOTE4022,當(dāng)且僅當(dāng)40-x=x,即x=20時取等號.所以所求邊長x為20(m).答案:204.(2023年四川卷,文13)函數(shù)f(x)=4x+QUOTEax(x>0,a>0)在x=3時取得最小值,那么a=.解析:因為x>0,a>0,所以f(x)=4x+QUOTEax≥2QUOTE4a=4QUOTEa,當(dāng)且僅當(dāng)4x=QUOTEax,即a=4x2時取等號.由題意可得a=4×32=36.答案:365.(2023年天津卷,文14)設(shè)a+b=2,b>0,那么QUOTE12|a|+QUOTE|a|b的最小值為.解析:由a+b=2,b>0.那么QUOTE12|a|+QUOTE|a|b=QUOTEa+b4|a|+QUOTE|a|b=QUOTEa4|a|+QUOTEb4|a|+QUOTE|a|b,由a≠0,假設(shè)a>0,那么原式=QUOTE14+QUOTEb4a+QUOTEab≥QUOTE14+2QUOTEb4a·ab=QUOTE54.當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=QUOTE43時,等號成立.假設(shè)a<0,那么原式=--QUOTEb4a-QUOTEab≥-QUOTE14+2QUOTE(-b4a)(-ab)=QUOTE34.當(dāng)且僅當(dāng)b=-2a即a=-2,b=4時等號成立.綜上得當(dāng)a=-2,b=4時,QUOTE12|a|+QUOTE|a|b取最小值QUOTE34.答案:QUOTE346.(2023年重慶卷,文15)假設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c解析:設(shè)m=2a,n=2b,x=2那么m+n=mn,即QUOTE1m+QUOTE1n=1(m>0,n>0),那么由2a+2b+2c=得mn+x=mnx,∴(mn-1)x=mn,∴x=QUOTEmnmn-1,∴x=QUOTE11-1mn,又+QUOTE1n=1≥2QUOTE1mn,∴QUOTE1mn≤QUOTE14,∴-QUOTE1mn≥-QUOTE14,∴1-QUOTE1mn≥QUOTE34,∴x=QUOTE11-1mn≤QUOTE43,即2c≤QUOTE43,∴c≤log2QUOTE43=2-log23.當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2,即a=b=1時,c取得最大值為2-log23.答案:2-log237.(2023年浙江卷,文16)假設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,那么x+y的最大值是.解析:∵xy≤QUOTE14(x+y)2,∴1=x2+y2+xy=(x+y)2-xy≥(x+y)2-QUOTE14(x+y)2=QUOTE34(x+y)2,∴(x+y)2≤QUOTE43,∴-≤x+y≤QUOTE233,當(dāng)x=y=QUOTE33時,x+y取得最大值QUOTE233.答案:QUOTE2338.(2023年江蘇卷,8)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f(x)=QUOTE2x的圖象交于P,Q兩點(diǎn),那么線段PQ長的最小值是.解析:如下圖.∵P在函數(shù)y=QUOTE2x圖象上,∴設(shè)P(x,QUOTE2x),又∵Q與P關(guān)于原點(diǎn)對稱,∴Q〔-x,-QUOTE2x〕,∴|PQ|2=(x+x)2+(QUOTE2x+QUOTE2x)2=4x2+QUOTE16x2≥2QUOTE4x2·16x當(dāng)且僅當(dāng)4x2=QUOTE16x2,即x2=2時等號成立.∴|PQ|min=4.答案:4考點(diǎn)三不等式的綜合應(yīng)用1.(2023年山東卷,文12)設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,那么當(dāng)QUOTEzxy取得最大值時,x+2y-z的最大值為()(A)0 (B)QUOTE98(C)2 (D)QUOTE94解析:由題得z+3xy=x2+4y2≥4xy(x,y,z>0),即z≥xy,QUOTEzxy≥1.當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時等號成立,那么x+2y-z=2y+2y-(4y2-6y2+4y2)=4y-2y2=-2(y2-2y)=-2[(y-1)2-1]=-2(y-1)2+2.當(dāng)y=1時,x+2y-z有最大值2.應(yīng)選C.答案:C2.(2023年新課標(biāo)全國卷Ⅱ,文12)假設(shè)存在正數(shù)x使2x(x-a)<1成立,那么a的取值范圍是()(A)(-∞,+∞) (B)(-2,+∞)(C)(0,+∞) (D)(-1,+∞)解析:由x>0及2x(x-a)<1知,a>x-QUOTE12x,令f(x)=x-x,由于y=x,y=-x在定義域內(nèi)均為增函數(shù),因此f(x)為增函數(shù),從而x>0時,f(x)>f(0)=-1,因此滿足條件的a的取值范圍為a>-1.應(yīng)選D.答案:D3.(2023年重慶卷,文15)設(shè)0≤α≤π,不等式8x2-(8sinα)x+cos2α≥0對x∈R恒成立,那么α的取值范圍為.解析:因為不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立,所以Δ=64sin2α-32cos2α≤0,即2sin2α-cos2α≤0,由2sin2α=1-cos2α,得1-2cos2α≤0,所以cos2α≥QUOTE12,又α∈[0,π],2α∈[0,2π],所以2α∈[0,QUOTEπ3]∪[QUOTE5π3,2π],即α∈[0,QUOTEπ6]∪[QUOTE5π6,π].答案:[0,QUOTEπ6]∪[QUOTE5π6,π]4.(2023年浙江卷,文16)設(shè)a,b∈R,假設(shè)x≥0時恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,那么ab=.解析:不失一般性:當(dāng)x=0時,可得0≤b≤1,當(dāng)x=1時,可得a+b=0,所以a=-b,-1≤a≤0,由x≥0時恒有0≤x4-x3+ax+b≤x4-2x2+1得ax+b≤x3-2x2+1a(x-1)≤(x-1)(x2-x-1)當(dāng)x>1時,有a≤x2-x-1恒成立,所以a≤-1,又-1≤a≤0,所以a=-1,b=1,a·b=-1.答案:-15.(2023年四川卷,文16)設(shè)a,b為正實(shí)數(shù).現(xiàn)有以下命題:①假設(shè)a2-b2=1,那么a-b<1;②假設(shè)QUOTE1b-QUOTE1a=1,那么a-b<1;③假設(shè)|QUOTEa-QUOTEb|=1,那么|a-b|<1;④假設(shè)|a3-b3|=1,那么|a-b|<1.其中的真命題有.(寫出所有真命題的編號)解析:①中,假設(shè)a,b都小于1,那么a-b<1;假設(shè)a,b中至少有一個大于等于1,那么a+b>1,由a2-b2=(a+b)(a-b)=1,所以a-b<1,故①正確.②中QUOTE1b-QUOTE1a=QUOTEa-bab=1,只需a-b=ab即可,取a=2,b=QUOTE23滿足上式但a-b=QUOTE43>1,故②錯;③中,|a-b|=|(QUOTEa-QUOTEb)(QUOTEa+QUOTEb)|=|QUOTEa+QUOTEb|>|QUOTEa-QUOTEb|=1,故③錯;④中,對于|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1,假設(shè)a,b中至少有一個大于等于1,那么a2+ab+b2>1,那么|a-b|<1,假設(shè)a,b都小于1,那么|a-b|<1,所以④正確.綜上,真命題有①④.答案:①④6.(2023年陜西卷,文21)設(shè)函數(shù)f(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)設(shè)n≥2,b=1,c=-1,證明:f(x)在區(qū)間(QUOTE12,1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn);(2)設(shè)n為偶數(shù),|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最大值;(3)設(shè)n=2,假設(shè)對任意x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤4,求b的取值范圍.解:(1)當(dāng)b=1,c=-1,n≥2時,f(x)=xn+x-1,∵ff(1)=×1<0,∴f(x)在(QUOTE12,1)內(nèi)存在零點(diǎn).又∵當(dāng)x∈(QUOTE12,1)時,f′(x)=nxn-1+1>0,∴f(x)在區(qū)間(QUOTE12,1)內(nèi)單調(diào)遞增,∴f(x)在(QUOTE12,1)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn).(2)依題意知QUOTE-1≤f(-∴QUOTE0≤b-c≤畫出可行域可知b+3c在點(diǎn)(0,-2)處取得最小值-6.在點(diǎn)(0,0)處取得最大值0,因而b+3c的最小值為-6,最大值為0.(3)當(dāng)n=2時,f(x)=x2+bx+c,對任意x1,x2∈[-1,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤4等價于f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值之差M≤4,據(jù)此分類討論如下:假設(shè)>1,即|b|>2時,M=|f(1)-f(-1)|=2|b|>4與題設(shè)矛盾.假設(shè)-1≤-QUOTEb2<0,即0<b≤2時,M=f(1)-f(-QUOTEb2)=(QUOTEb2+1)2≤4恒成立.假設(shè)0≤-QUOTEb2≤1,即-2≤b≤0時,M=f(-1)-f(-QUOTEb2)=(QUOTEb2-1)2≤4恒成立.綜上可知,-2≤b≤2.模擬試題考點(diǎn)一利用根本不等式證明1.(2023北京豐臺區(qū)期末)“x>0”是“x+QUOTE1x≥2”的()(A)充分但不必要條件(B)必要但不充分條件(C)充分且必要條件(D)既不充分也不必要條件解析:當(dāng)x>0時,x+QUOTE1x≥2QUOTEx·1x=2.因為x,QUOTE1x同號,所以假設(shè)x+QUOTE1x≥2,那么x>0,QUOTE1x>0.所以x>0是x+QUOTE1x≥2成立的充要條件.選C.答案:C2.(2023安徽示范高中聯(lián)考)假設(shè)a>0,b>0,且a+b=2,那么以下不等式恒成立的是()(A)>1 (B)QUOTE1a+QUOTE1b≤2(C)QUOTEab≥1 (D)a2+b2≥2解析:由2=a+b≥2QUOTEab得QUOTEab≤1,ab≤1,所以選項A、C不恒成立,QUOTE1a+QUOTE1b=QUOTEa+bab=QUOTE2ab≥2,選項B也不恒成立,a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2恒成立.應(yīng)選D.答案:D考點(diǎn)二利用根本不等式求最值1.(2023鄭州質(zhì)檢)假設(shè)a>b>0,那么代數(shù)式a2+QUOTE1b(a-b(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:a2+QUOTE1b(a-b)≥a2+QUOTE1(b+a-b2)

2=a2+當(dāng)且僅當(dāng)QUOTEb=a-b即a=QUOTE2,b=QUOTE22時,等號成立.應(yīng)選C.答案:C2.(2023武漢質(zhì)檢)雙曲線QUOTEx2a2-QUOTEy2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,那么QUOTEb2+13a的最小值為()(A) (B) (C)2 (D)1解析:雙曲線的離心率是2,故2=QUOTEca=QUOTEa2+b2a2=QUOTE1+(ba)

2,解得QUOTEba=QUOTE3,所以QUOTEb2+13a=QUOTE3a2+13a=a+QUOTE13a≥QUOTE233,當(dāng)且僅當(dāng)a2=QUOTE13時等號成立,故最小值是QUOTE233.應(yīng)選A.答案:A3.(2023湖北八校聯(lián)考)假設(shè)點(diǎn)P(a,b)在直線x+y=2上,且在第一象限內(nèi),那么ab+QUOTE1ab的最小值為()(A)2 (B)3 (C)4 (D)2QUOTE2解析:由題意得a+b=2(a>0,b>0),由2=a+b≥2QUOTEab,得0<ab≤1,令t=ab,那么t(0,1],y=t+QUOTE1t在(0,1]上為減函數(shù),故當(dāng)t=1時,ymin=2.答案:A考點(diǎn)三不等式的綜合應(yīng)用1.(2023北京東城區(qū)期末)某種飲料分兩次提價,提價方案有兩種,方案甲:第一次提價p%,第二次提價q%;方案乙:每次都提價QUOTEp+q2%,假設(shè)p>q>0,那么提價多的方案是.解析:設(shè)原價為1,那么提價后的價格:方案甲:(1+p%)(1+q%),乙:(1+QUOTEp+q2%)2,因為QUOTE(1+p%)(1+q%)≤QUOTE1+p%2+QUOTE1+q%2=1+QUOTEp+q2%,因為p>q>0,所以QUOTE(1+p%)(1+q%)<1+QUOTEp+q2即(1+p%)(1+q%)<(1+QUOTEp+q2%)2,所以提價多的方案是乙.答案:乙2.(2023十堰二模)設(shè)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且QUOTEAB→·QUOTEAC→=2QUOTE3,∠BAC=30°,定義f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分別是△MBC、△MCA、△MAB的面積,假設(shè)f(M)=(QUOTE12,x,y),那么QUOTE1x+QUOTE4y的最小值是.解析:根據(jù)題意QUOTEAB→·QUOTEAC→=|QUOTEAB→||QUOTEAC→|cos∠BAC=2QUOTE3,可得|QUOTEAB→||QUOTEAC→|=4,所以S△ABC=QUOTE12|QUOTEAB→||QUOTEAC→|sin∠BAC=QUOTE12×4×QUOTE12=1,那么QUOTE12+x+y=1,即x+y=QUOTE12,所以QUOTE1x+QUOTE4y=2(x+y)·(QUOTE1x+QUOTE4y)=2(1+4+QUOTE1x+QUOTE4y)≥2×(5+4)=18.當(dāng)且僅當(dāng)QUOTEyx=QUOTE4xy,即x=QUOTE16,y=QUOTE13時取等號.答案:18綜合檢測1.(2023昆明三中模擬)假設(shè)直線ax-by+2=0(a>0,b>0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長為4,那么QUOTE1a+QUOTE1b的最小值為()(A)QUOTE14(B)QUOTE2(C)QUOTE32+QUOTE2 (D)QUOTE32+2QUOTE2解析:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=4,所以圓心坐標(biāo)為(-1,2),半徑為r=2.因為直線被圓截得的弦長為4,所以直線ax-by+2=0過圓心,所以-a-2b+2=0,即a+2b=2,所以QUOTEa