集合與常用邏輯用語一元二次函數(shù)方程和不等式含解析

第一章集合與常用邏輯用語第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式(全卷總分值150分,考試用時120分鐘)一、單項選擇題(此題共8小題,每題5分,共40分.在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合題目要求的)1.(2021北京東城高一上期末)集合A={-1,0,1},集合B={x∈N|x2=1},那么A∩B=()A.{1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}2.(2021湖北武漢局部高中高一上期末聯(lián)考)p:a≥0;q:?x∈R,x2-ax+a>0,那么p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.(2021北京順義高一上期末)實數(shù)a,b在數(shù)軸上對應(yīng)的點如下圖,那么以下式子中正確的選項是()A.1b>1aB.a2>C.b-a>0D.|b|a<|a|b4.(2021陜西寶雞高三上期末)集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|x-a>0},假設(shè)B?A,那么實數(shù)a的取值范圍為()A.a≥2B.a>2C.a≥4D.a>45.(2021山西大學(xué)附屬中學(xué)高一上期中)命題“?x∈R,使2x2+(a-1)x+12≤0〞是假命題,那么實數(shù)a的取值范圍是≤a≤1B.-3<a<1C.a≤-1或a≥3D.-1<a<36.(2021浙江嘉興高一上期末)a>0,b>0,且2a+1b=1,那么2a+b27.(2021全國八省(市)高三上聯(lián)考)關(guān)于x的方程x2+ax+b=0,有以下四個命題:①x=1是該方程的根;②x=3是該方程的根;③該方程兩根之和為2;④該方程兩根異號.如果只有一個是假命題,那么該命題是()A.①B.②C.③D.④8.(2021浙江麗水五校高一上檢測)關(guān)于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2}(x1<x2),那么以下結(jié)論中一定錯誤的選項是()A.x1+x2=2B.x1x2<-3C.x2-x1>4D.-1<x1<x2<3二、多項選擇題(此題共4小題,每題5分,共20分.在每題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,局部選對的得3分)9.(2021福建福州四十中、十中高一上期末聯(lián)考)以下結(jié)論正確的有()A.假設(shè)命題p:?x∈R,x2+x+1<0,那么?p:?x∈R,x2+x+1≥0B.不等式x2-4x+5>0的解集為RC.“x>1〞是“(x-1)(x+2)>0〞的充分不必要條件D.?x∈R,x2=10.(2021重慶育才中學(xué)高一上期中)以下不等式中一定成立的是()A.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R)B.x2+3>2x(x∈R)C.y=x2+2x2-1D.a2+b2≥2(a-b-1)11.(2021福建龍溪高一上期中)設(shè)全集U={x|x>0},集合M={x|y=x-1},N={y|y=x2+2},A.M∩N={x|x>2}B.M∪N={x|x>1}C.(?UM)∪(?UN)={x|0<x<2}D.(?UM)∩(?UN)={x|0<x<1}12.(2021湖南益陽高二上期末)假設(shè)a>0,b>0,且a+b=4,那么以下不等式成立的是()A.ab≤2B.a2+b2≥8C.1a+1b≥1D.0<1三、填空題(此題共4小題,每題5分,共20分)13.(2021上海洋涇中學(xué)高一上期中)關(guān)于x的不等式組x2-2x-814.(2021山東煙臺高一上期中)假設(shè)一個集合是另一個集合的子集,那么稱兩個集合構(gòu)成“鯨吞〞;假設(shè)兩個集合有公共元素,且互不為對方的子集,那么稱兩個集合構(gòu)成“蠶食〞.集合A={-1,2},B={x|ax2=2,a≥0},假設(shè)這兩個集合構(gòu)成“鯨吞〞或“蠶食〞,那么a的取值集合為.

15.(2021四川成都樹德中學(xué)高二階段性測試)假設(shè)關(guān)于x的不等式ax2>-ax-1對任意實數(shù)x都成立,那么實數(shù)a的取值范圍是.

16.(2021湖北荊州沙市中學(xué)高一上期中)正數(shù)x,y滿足2x+y=xy+a,當(dāng)a=0時,x+y的最小值為;當(dāng)a=-2時,x+y的最小值為.(第一空2分,第二空3分)

四、解答題(此題共6小題,共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2021廣東深圳高一上期中)集合A={x|a<x<a+1},B={x||x+1|≤1}.(1)假設(shè)a=1,求A∪B;(2)在①A∪B=B,②(?RB)∩A=?,③B∪(?RA)=R這三個條件中任選一個作為條件,求實數(shù)a的取值范圍.(注:如果選擇多個條件分別解答,那么按第一個解答計分)18.(12分)(2021重慶彭水第一中學(xué)高一上期中)命題p:“?x∈R,使不等式x2-2x-m≤0成立〞是假命題.(1)求實數(shù)m的取值集合A;(2)假設(shè)q:-4<m-a<4是?p的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.19.(12分)(2021內(nèi)蒙古包頭高一下期末)x>y>0,z>0,求證:(1)zx<z(2)(x+y)(x+z)(y+z)>8xyz.20.(12分)(2021山東青島高一上期中)(1)假設(shè)關(guān)于x的不等式ax2-3x+2>0(a∈R)的解集為{x|x<1或x>b},求a,b的值;(2)解關(guān)于x的不等式ax2-3x+2>5-ax(a∈R).21.(12分)(2021北京豐臺高三上期中)國家開展改革委、住房城鄉(xiāng)建設(shè)部于2021年發(fā)布了?生活垃圾分類制度實施方案?,規(guī)定46個城市在2021年年底實施生活垃圾強制分類,垃圾回收、利用率要達35%以上.截至2021年年底,這46個重點城市生活垃圾分類的居民小區(qū)覆蓋率已經(jīng)接近70%.某企業(yè)為積極響應(yīng)國家垃圾分類號召,在科研部門的支持下進行技術(shù)創(chuàng)新,新上一個把廚余垃圾加工處理為可重新利用的化工產(chǎn)品的工程.該企業(yè)日加工處理量x(單位:噸)最少為70噸,最多為100噸.日加工處理總本錢y(單位:元)與日加工處理量x之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=12x2+40x+3200,且每加工處理1噸廚余垃圾得到的化工產(chǎn)品的售價為100元(1)該企業(yè)日加工處理量為多少噸時,日加工處理每噸廚余垃圾的平均本錢最低?此時該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損還是盈利狀態(tài)?(2)為了使該企業(yè)可持續(xù)開展,政府決定對該企業(yè)進行財政補貼,補貼方案共有兩種:①每日進行定額財政補貼,金額為2300元;②根據(jù)日加工處理量進行財政補貼,金額為30x.如果你是企業(yè)的決策者,為了獲得最大利潤,你會選擇哪種補貼方案?為什么?22.(12分)(2021山東濰坊安丘實驗中學(xué)、青云學(xué)府高一上聯(lián)考)關(guān)于x的不等式(k2-2k-3)x2+(k+1)x+1>0(k∈R)的解集為M.(1)假設(shè)M=R,求k的取值范圍;(2)假設(shè)存在兩個不相等的負實數(shù)a、b,使得M={x|x<a或x>b},求實數(shù)k的取值范圍;(3)是否存在實數(shù)k,滿足“對于任意n∈N*,都有n∈M,對于任意的負整數(shù)m,都有m?M〞?假設(shè)存在,求出k的值;假設(shè)不存在,說明理由.答案全解全析1.A由題意,集合A={-1,0,1},B={x∈N|x2=1}={1},所以A∩B={1}.應(yīng)選A.2.B∵q:?x∈R,x2-ax+a>0,∴Δ=(-a)2-4a<0,解得0<a<4.設(shè)A={a|a≥0},B={a|0<a<4},∵B?A,∴p是q的必要不充分條件.應(yīng)選B.3.A對于選項A,由題中數(shù)軸可得b<a<0,不等號兩邊同乘1ab,可得1b>1a對于選項B,∵b<a<0,∴a2<b2,B錯誤;對于選項C,∵b<a,∴b-a<0,C錯誤;對于選項D,∵b<0,a<0,∴|b|a=-ab,|a|b=-ab,即|b|a=|a|b,D錯誤.應(yīng)選A.4.A易得A={x|x>2或x<-4},因為B={x|x>a},所以假設(shè)B?A,那么a≥2.應(yīng)選A.5.D∵命題“?x∈R,使2x2+(a-1)x+12≤0〞是假命題∴2x2+(a-1)x+12>0對x∈R恒成立,即方程2x2+(a-1)x+12=0∴Δ=(a-1)2-4×2×12<0,解得-1<a<3,故實數(shù)a的取值范圍是-1<a<3應(yīng)選D.6.D2a+b=2a+b2a+1當(dāng)且僅當(dāng)ab=1,2a∴2a+b的最小值為9應(yīng)選D.7.A假設(shè)①是假命題,那么②③④是真命題,那么關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的一根為3,由于兩根之和為2,那么該方程的另一根為-1,兩根異號,符合題意;假設(shè)②是假命題,那么①③④是真命題,那么x=1是方程x2+ax+b=0的一個根,由于兩根之和為2,那么另一個根也為1,兩根同號,不符合題意;假設(shè)③是假命題,那么①②④是真命題,那么關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的兩根為1和3,兩根同號,不符合題意;假設(shè)④是假命題,那么①②③是真命題,那么關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的兩根為1和3,兩根之和為4,不符合題意.綜上所述,命題①為假命題.應(yīng)選A.8.D由不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2}(x1<x2),可知a<0,且a(x+1)(x-3)+1=0(a≠0)的兩根為x1、x2,不妨設(shè)y=a(x+1)(x-3)(a≠0),那么y=a(x+1)(x-3)(a≠0)的圖象與直線y=-1的交點的橫坐標(biāo)為x1、x2,由圖易得x1<-1,x2>3,因此D中結(jié)論一定錯誤.應(yīng)選D.9.ABC易知選項A正確;對于選項B,x2-4x+5=(x-2)2+1>0的解集為R,故正確;對于選項C,解不等式(x-1)(x+2)>0,得x<-2或x>1,設(shè)A={x|x>1},B={x|x<-2或x>1},那么A?B,∴“x>1〞是“(x-1)(x+2)>0〞的充分不必要條件,故正確;對于選項D,x2=|x|,假設(shè)x<0,那么x2≠x,應(yīng)選ABC.10.BD∵a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),(a-b)2≥0,a+b的符號不定,∴a3+b3與a2b+ab2的大小關(guān)系不確定,A錯誤;∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,∴x2+3>2x,B正確;y=x2+2x2-1=x2-1+2x2-1+1,當(dāng)xa2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,故a2+b2≥2(a-b-1),D正確.應(yīng)選BD.11.CD∵M={x|y=x-1}={x|x≥1},N={y|y=x2+2}={y|y∴M∩N={x|x≥2},M∪N={x|x≥1},故A,B均不正確;易得?UM={x|0<x<1},?UN={y|0<y<2},∴(?UM)∪(?UN)={x|0<x<2},(?UM)∩(?UN)={x|0<x<1},故C,D均正確.應(yīng)選CD.12.ABC對于選項A,由根本不等式可得ab≤a+b2=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時,等號成立對于選項B,2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2=16,∴a2+b2≥8,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時,等號成立,B正確;對于選項C,1a+1b=a+b41a+1b=14ba+對于選項D,由A可知ab≤2,即0<ab≤4,∴1ab≥14,D應(yīng)選ABC.13.答案-5≤k<3或4<k≤5解析由不等式x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4,解方程2x2+(2k+7)x+7k=0,得x1=-72,x2=-k當(dāng)-k<-72,即k>72時,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集為假設(shè)不等式組只有一個整數(shù)解,那么-5≤-k<-4,解得4<k≤5;當(dāng)-k>-72,即k<72時,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集為假設(shè)不等式組只有一個整數(shù)解,那么-3<-k≤5,解得-5≤k<3.綜上可得,實數(shù)k的取值范圍是-5≤k<3或4<k≤5.14.答案0解析當(dāng)a=0時,B=?,此時B?A,滿足題意;當(dāng)a>0時,B=-2a,2a,那么集合所以-2a=-1或2解得a=2或a=12故a的取值集合為0,15.答案0≤a<4解析當(dāng)a=0時,不等式ax2>-ax-1即0>-1,對任意實數(shù)x都成立,符合題意;當(dāng)a≠0時,關(guān)于x的不等式ax2>-ax-1,即ax2+ax+1>0對任意實數(shù)x都成立,等價于a>0,Δ=綜上所述,a的取值范圍為0≤a<4.16.答案3+22;7解析當(dāng)a=0時,2x+y=xy,那么2y+1∴x+y=(x+y)·2y+1x=3+2xy+yx≥3+22xy·yx=3+2故此時x+y的最小值為3+22.當(dāng)a=-2時,2x+y=xy-2,假設(shè)x=1,那么等式不成立,故x≠1,那么y=2(∴x>1,x+y=x+2(x+1)x-1=x+2+4x-1=x-1+4此時x+y的最小值為7.17.解析(1)由題意得A={x|1<x<2},B={x||x+1|≤1}={x|-2≤x≤0},(3分)∴A∪B={x|-2≤x≤0或1<x<2}.(5分)(2)選①.∵A∪B=B,∴A?B,(6分)由(1)知B={x|-2≤x≤0},∴a≥-2解得-2≤a≤-1.(9分)∴實數(shù)a的取值范圍為{a|-2≤a≤-1}.(10分)選②.∵(?RB)∩A=?,∴A?B,(6分)由(1)知B={x|-2≤x≤0},∴a≥-2解得-2≤a≤-1.(9分)∴實數(shù)a的取值范圍為{a|-2≤a≤-1}.(10分)選③.∵B∪(?RA)=R,∴A?B,(6分)由(1)知B={x|-2≤x≤0},∴a≥-2解得-2≤a≤-1.(9分)∴實數(shù)a的取值范圍為{a|-2≤a≤-1}.(10分)18.解析(1)∵命題p:“?x∈R,使不等式x2-2x-m≤0成立〞是假命題,∴?p:“?x∈R,不等式x2-2x-m>0恒成立〞是真命題,(1分)∴方程x2-2x-m=0無實根,(3分)∴Δ=4+4m<0,解得m<-1,(5分)即實數(shù)m的取值集合A={m|m<-1}.(6分)(2)∵-4<m-a<4,即a-4<m<a+4,∴q:a-4<m<a+4,(8分)由(1)可知?p:m<-1,假設(shè)q:a-4<m<a+4是?p的充分不必要條件,那么4+a≤-1,解得a≤-5.(11分)故實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤-5}.(12分)19.證明(1)因為x>y>0,所以xy>0,1xy>0,(2分于是x·1xy>y·1xy,即1y>1由z>0,得zx<zy.(6(2)因為x>0,y>0,z>0,所以x+y≥2xy,x+z≥2xz,y+z≥2yz,(9分)所以(x+y)(x+z)(y+z)≥2xy×2xz×2yz=8xyz,(10分)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時,等號同時成立,(11分)又x>y,所以(x+y)(x+z)(y+z)>8xyz.(12分)20.解析(1)∵不等式ax2-3x+2>0(a∈R)的解集為{x|x<1或x>b},∴a>0,且1,b是一元二次方程ax2-3x+2=0的兩個實數(shù)根,(2分)∴1+b=3a,1×(2)不等式ax2-3x+2>5-ax等價于ax2+(a-3)x-3>0,即(ax-3)(x+1)>0.(6分)當(dāng)a=0時,原不等式的解集為{x|x<-1};(7分)當(dāng)a≠0時,方程(ax-3)(x+1)=0的兩根為x1=-1,x2=3a,當(dāng)a>0時,原不等式的解集為x|x當(dāng)a<0時,①假設(shè)3a>-1,即a<-3,那么原不等式的解集為x|-②假設(shè)3a<-1,即-3<a<0,那么原不等式的解集為x|3③假設(shè)3a=-1,即a=-3,那么原不等式的解集為?.(11分綜上所述,當(dāng)a>0時,原不等式的解集為x|x<-1或x>3a;當(dāng)a=0時,原不等式的解集為{x|x<-1};當(dāng)-3<a<0時,原不等式的解集為x|3a<x<-1;當(dāng)解析(1)由題意可知,日加工處理每噸廚余垃圾的平均本錢為yx=x2+3200x(2分)又x2+3200x+40≥2x2·3200x+40=2×40+40=120,當(dāng)且僅當(dāng)x2=所以該企業(yè)日加工處理量為80噸時,日加工處理每噸廚余垃圾的平均本錢最低.(4分)因為100<120,所以此時該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損狀態(tài).(5分)(2)假設(shè)該企業(yè)采用第一種補貼方案,設(shè)該企業(yè)每日獲利為y1元,由題可得y1=100x-12x2+40x+3200+2300=-12x2+60x-900=-1因為x∈[70,100],所以當(dāng)x=70時,企業(yè)獲利最大,最大利潤為850元.(8分)假設(shè)該企業(yè)采用第二種補貼方案,設(shè)該企業(yè)每日獲利為y2元,由題