北京市首都重點(diǎn)大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案）

首都重點(diǎn)大學(xué)附中2023-2024學(xué)年第一學(xué)期階段檢測(cè)高三數(shù)學(xué)2023.12第Ⅰ卷（共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題所列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則（）A．B．C．D．2．設(shè)平面向量，若，則等于（）A．1B．C．4D．3．設(shè)集合，集合，則（）A．B．C．D．4．一個(gè)袋中裝有大小相同的3個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)在不放回的取2次球，每次取出一個(gè)球，記“第1次拿出的是白球”為事件，“第2次拿出的是白球”為事件，則（）A．B．C．D．5．二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．1792B．C．1120D．6．《九章算術(shù)》卷五商功中有如下描述：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈．意思為：今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈，上棱長(zhǎng)2丈，高1丈．現(xiàn)有一芻甍，如圖所示，則該芻甍的體積為（）A．5立方丈B．20立方丈C．40立方丈D．80立方丈7．已知是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，則“是“對(duì)于任意且，”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8．記函數(shù)的最小正周期為，若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（）A．1B．C．D．39．我國(guó)油紙傘的制作工藝巧妙．如圖1，傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能夠沿著傘柄滑動(dòng)．如圖2，傘完全收攏時(shí)，傘圈已滑到的位置，且三點(diǎn)共線，為的中點(diǎn)，當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，半圈沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為，則當(dāng)傘完全張開時(shí)，的余弦值是（）A．B．C．D．10．下圖展示了一個(gè)由區(qū)間到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程：區(qū)間中的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)（如圖1）；將線段圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)、恰好重合（從到是逆時(shí)針，如圖2）；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為（如圖3），圖3中直線與軸交于點(diǎn)，則的象就是，記作．則下列命題中正確的是（）A．B．是奇函數(shù)C．在其定義域上單調(diào)遞增D．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱第Ⅱ卷（共110分）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11．函數(shù)的定義域?yàn)開_______．12．已知直線和平面．給出下列三個(gè)論斷：①；②；③．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：________．13．某部門計(jì)劃對(duì)某路段進(jìn)行限速，為調(diào)查限速是否合理，對(duì)通過(guò)該路段的300輛汽車的車速進(jìn)行檢測(cè)，將所得數(shù)據(jù)按分組，繪制成如圖所示頻率分布直方圖．則________；這300輛汽車中車速低于限速的汽車有________輛．14．設(shè)函數(shù)．①若，則不等式的解集為________；②若，且不等式的解集中恰有一個(gè)正整數(shù)，則的取值范圍是________．15．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①三棱錐的體積為定值；②存在點(diǎn)使得平面；③的最小值為；④對(duì)每一個(gè)點(diǎn)，在棱上總存在一點(diǎn)，使得平面；⑤是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的截面垂直于，則截面的面積的最小值為．其中正確的命題的序號(hào)是________．三、解答題（本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16．（本小題13分）

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面平面．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值？若不存在，說(shuō)明理由．17．（本小題13分）人工智能正在逐漸改變著我們的日常生活，不過(guò)，它所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論．為了解“拼音輸入法”的背后原理，隨機(jī)選取甲類題材“新聞稿”中1200字作為樣本語(yǔ)料庫(kù)A，其中“一”出現(xiàn)了30次，統(tǒng)計(jì)“一”與其后面一個(gè)字（或標(biāo)點(diǎn)）的搭配情況，數(shù)據(jù)如下：“一”與其后面一個(gè)字（或標(biāo)點(diǎn)）的搭配情況頻數(shù)“一個(gè)”6“一些”4“一窮”2“一條”2其他a假設(shè)用頻率估計(jì)概率．

（Ⅰ）求a的值，并估計(jì)甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率；（Ⅱ）在甲類題材“新聞稿”中隨機(jī)抽取2個(gè)“一”，其中搭配“一個(gè)”出現(xiàn)的次數(shù)為X，求X的分布列和期望；（Ⅲ）另外隨機(jī)選取甲類題材“新聞稿”中800字作為樣本語(yǔ)料庫(kù)B進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，“一”出現(xiàn)了24次，“一格”出現(xiàn)了2次，若在甲類題材“新聞稿”的撰寫中，輸入拼音“yige”時(shí)，“一個(gè)”和“一格”誰(shuí)在前面更合適？（結(jié)論不要求證明）18．（本小題14分）在中，．（Ⅰ）求證：為等腰三角形；（Ⅱ）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一，求的值．條件①：；條件②：的面積為；條件③：邊上的高為3．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19．（本小題15分）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓上異于短軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于，線段的中點(diǎn)為．直線與直線交于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓與點(diǎn)的位置關(guān)系．20．（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（本小題15分）數(shù)列滿足：或．對(duì)任意，都存在，使得，其中且兩兩不相等．（Ⅰ）若，寫出下列三個(gè)數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號(hào)．①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2．

（Ⅱ）記．若，證明：；（Ⅲ）若，求的最小值．首都重點(diǎn)大學(xué)附中2023-2024學(xué)年第一學(xué)期階段檢測(cè)高三數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題所列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1．故選：C2．故選：D3．故選：C4．【解答】解：由已知條件得，由條件概率公式可得．故選：D．5．故選：C．6．【解答】解：如圖所示：芻甍的體積為直三棱柱的體積減去兩個(gè)相同的三棱錐的體積，即．故選：A．7．【解答】解：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為，若，即，也即，當(dāng)時(shí)，顯然不成立，故由“”不能推出“對(duì)于任意且”；反之，“對(duì)于任意且”可以推出“”，即“對(duì)于任意且”，理由如下：用反證法說(shuō)明：如果，則數(shù)列為遞減數(shù)列，時(shí)，越來(lái)越小，故不能滿足對(duì)于任意且；如果，則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，顯然在且時(shí)不成立；故假設(shè)不成立，即，所以“”是“對(duì)于任意且”的必要不充分條件，故選：B8．A9．【分析】根據(jù)傘完全張開的特征可得，根據(jù)傘完全收攏可得，在中，利用余弦定理得，即可得出答案．【解答】解：由題意得當(dāng)傘完全張開時(shí)，，為的中點(diǎn)，，當(dāng)傘完全收攏時(shí)，，則，在中，由余弦定理得，，故選：A10．【答案】C【分析】借助于圖形來(lái)看四個(gè)選項(xiàng)，先由可判斷，實(shí)數(shù)所在區(qū)間不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知錯(cuò)，從圖形上可得在定義域上單調(diào)遞增，C對(duì)，先找到，再利用圖形判斷D錯(cuò)，【詳解】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，的坐標(biāo)為，直線的方程為，即，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，即A錯(cuò)．對(duì)于B，因?yàn)閷?shí)數(shù)所在區(qū)間不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不存在奇偶性．故B錯(cuò)．對(duì)于C，當(dāng)實(shí)數(shù)越來(lái)越大時(shí)，直線與軸的交點(diǎn)也越來(lái)越往右，即也越來(lái)越大，所以在定義域上單調(diào)遞增，即C對(duì)．對(duì)于D，當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在點(diǎn)A的正下方，此時(shí)點(diǎn)，所以，再由圖形可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，而非關(guān)于軸對(duì)稱，即D錯(cuò)．故選：C．第Ⅱ卷（共110分）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11．12．若，則．13．故答案為：0.025；180．

14．【分析】①在坐標(biāo)系中分別作出和的圖象，利用圖像法求解即可；②在坐標(biāo)系中分別作出和的圖象，根據(jù)圖象列不等式組求解即可．【解答】解：①當(dāng)時(shí)，和的圖象如圖所示，由圖象可得當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，若不等式的解集中恰有一個(gè)正整數(shù)，則由圖象可得，即，解得．故答案為：；．15．【解答】解：對(duì)于①，，顯然是定值，因?yàn)槠矫妫允嵌ㄖ?，所以三棱錐的體積是定值，①正確；對(duì)于②，若存在點(diǎn)，使得平面，又平面，可得，所以四邊形為正方形，即，這與矛盾，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，如圖，將側(cè)面與側(cè)面展開鋪平，則的最小值，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，平面即是平面，此時(shí)與平面相交，故不存在點(diǎn)符合要求，④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，如圖，在正方體中，可得，且是平面內(nèi)兩條相交直線，所以上平面，又平面，所以，因?yàn)槭巧系膭?dòng)點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的截面垂直，所以截面過(guò)點(diǎn)，截面交與，交于，設(shè)，則，在中，可得，，則該截面的面積為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)分別是和的中點(diǎn)，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，，即，所以平面，滿足題意，⑤正確．故選：A．三、解答題（本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16．【解答】解：（Ⅰ）在四棱錐中，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以平面，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以；（Ⅱ）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以平面，所以，因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形．所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，則可取，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄浚?，由圖可知，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為；17．【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)即可求得a的值；根據(jù)古典概型的概率公示可求得甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率；

（2）確定，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算即可求得答案；（3）計(jì)算樣本語(yǔ)料庫(kù)中“一個(gè)”和“一格”出現(xiàn)的概率，比較大小，可得結(jié)論．【解答】解：（1）由題意可得；故甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率為；（2）由題意在甲類題材“新聞稿”中隨機(jī)抽取2個(gè)“一”，搭配“一個(gè)”出現(xiàn)的概率為，則，則，，故的分布列為：012則．（3）由題意知樣本語(yǔ)料庫(kù)中“一格”出現(xiàn)的概率為，甲類題材中“一個(gè)”出現(xiàn)的概率為，由于，故輸入拼音“yige”時(shí)，“一個(gè)”在前面更合適．18．【分析】（Ⅰ）求出，由正弦定理解得，由，得為銳角，，從而，由此能證明為等腰三角形；（Ⅱ）若選條件①：由，得，求出，與已知矛盾，三角形無(wú)解，不能選；若選條件②：由的面積為，得，解得；若選條件③：由，得，可得，則．【解答】解：（Ⅰ）證明：因?yàn)樵谥?，，可得，所以由正弦定理可得，所以，解得，因?yàn)?，即，可得為銳角，所以，所以，又，所以，即為等腰三角形，得證；（Ⅱ）若選條件①：因?yàn)?，由（Ⅰ）可得，所以，與已知矛盾，三角形無(wú)解，不能選；若選條件②：因?yàn)榈拿娣e為，由（Ⅰ）可得，由，得，，解得，三角形存在且唯一，可選，此時(shí)；若選條件③：邊上的高為3，由，得，可得，則，三角形存在且唯一，可選，此時(shí)．19．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，則，直線的斜率為，直線的方程為：，令得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在橢圓上，，，點(diǎn)在以為直徑的圓上．20．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，又切線斜率為，曲線在處切線方程為：．（2），，，①當(dāng)時(shí)，成立，的單調(diào)遞減區(qū)間為R，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間．②當(dāng)時(shí)，令，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減時(shí)，在上單調(diào)遞增綜上：時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為R，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3），令，由已知可得：且，的單調(diào)區(qū)間是，，時(shí)，恒成立，，令，即證，成立，的單調(diào)遞減區(qū)間為，恒成立，綜上：的取值范圍是．21．【解答】解：（Ⅰ）數(shù)列滿足：或．對(duì)任意，都存在，使得，其中且兩兩不相等．在①中，1，1，1，2，2，2，不符合題目條件；在②中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合題目條件；在③中，1，1，1，1，1，2，2，2，2，符合題目條件．（3分）注：只得到②或只得到③給（1分），有錯(cuò)解不給分．（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列中出現(xiàn)頻數(shù)依次為，由題意．①假設(shè)，則有（對(duì)任意），與已知矛盾，所以．同理可證：．②假設(shè)，則存在唯一的，使得．那么，對(duì)，有兩兩不相等，與已知矛盾，所以．綜