江蘇省南京市秦淮區(qū)2023-2024學年八年級上學期期中數學試卷

2023-2024學年江蘇省南京市秦淮區(qū)八年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卷相應位置上）1．（2分）第19屆杭州亞運會剛剛落下帷幕，在以下給出的運動圖片中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）等腰三角形底邊長為2，周長為10，則此三角形的腰長為（）A．8 B．4 C．3 D．23．（2分）如圖，△ABE≌△ACD，BE，∠A＝70°，則∠AEB的度數為（）A．80° B．85° C．90° D．95°4．（2分）三角形中，到三邊距離相等的點是（）A．三條高線的交點 B．三條中線的交點 C．三條角平分線的交點 D．三邊垂直平分線的交點5．（2分）下列條件中不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．AB2+BC2＝AC2 B．AB2﹣BC2＝AC2 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.請把答案填寫在答題卷相應位置上）7．（2分）等腰三角形一個角等于100°，則它的一個底角是°．8．（2分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm，則AB的長是cm．9．（2分）三角形的三邊長為a、b、c，且滿足等式（a+b）2﹣c2＝2ab，則此三角形是三角形（直角、銳角、鈍角）．10．（2分）如圖，∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，就能使△ABC≌△DEF．11．（2分）如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，△ABD的周長為18cm，則△ABC的周長是cm．12．（2分）以一個直角三角形的三邊為直徑作3個半圓，若半圓A、B的面積分別是3、4，則半圓C的面積是．13．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝20，BC＝7，則點A到BC的距離是．14．（2分）定義：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍，則稱這個三角形為奇異三角形．例如等邊三角形就是一種奇異三角形．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝1，若Rt△ABC是奇異三角形，則b2c2的值為．15．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝3，AD＝5，點P為線段BC上的一動點，若△ADP為等腰三角形．16．（2分）如圖，在△ABC中，∠CAB＝45°，AB＝2，過點C作CD⊥CB，且CD＝CB，連接AD2的值為．三、解答題（本大題共10小題，共68分.請在答題卷指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（6分）如圖，AB＝AC，BD＝CD18．（6分）如圖，點E、C在BF上，AC＝DF，∠A＝∠D．求證：BE＝CF．19．（6分）已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ACB＝90°，BC＝9，AD＝520．（6分）如圖，在△ABC中，CD是AB邊的中線，將△BCD沿CD折疊，使點B落在點E的位置．判斷△AED的形狀并加以證明．21．（6分）如圖，已知△ABC，請用無刻度的直尺和圓規(guī)作⊙P，AC邊的距離相等，且⊙P經過A（不寫作法，保留作圖痕跡，標上相應字母）22．（6分）如圖，折疊長方形紙片ABCD，使點D落在邊BC上的點F處，長AD＝10cm，求EC的長．23．（8分）已知：△ABC是等邊三角形，點P、Q分別是邊AB、BC上的動點，且PA＝QB．連接AQ、CP交于點M．（1）如圖1，當點P是AB邊的中點時，∠CMQ＝°；（2）在P、Q運動過程中，∠CMQ的大小是否變化？請利用圖2證明你的結論．24．（8分）（1）利用網格畫四邊形ABCD任意兩邊的垂直平分線，設它們相交于點O；（2）點O（填“在”或“不在”）另外兩條邊的垂直平分線上；（3）把頂點D向左移動8格，以上結論（填“成立”或“不成立”）；（4）直接寫出當四邊形滿足什么條件時，四邊的垂直平分線交于一點．25．（8分）如圖，將直角三角形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，直角三角形ABC中，BC＝a，AC＝b，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x（1）小明發(fā)明了求正方形邊長的方法：由題意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因為AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝（2）小亮也發(fā)現了另一種求正方形邊長的方法：利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x與a、b、c的關系，請根據小亮的思路完成他的求解過程：（3）請結合小明和小亮得到的結論驗證勾股定理．26．（8分）【了解概念】如圖1，已知A，B為直線MN同側的兩點，連接AP，BP，則稱點P為點A，B關于直線l的“等角點”．【理解運用】（1）如圖2，在△ABC中，D為BC上一點，E關于直線AB對稱，連接EB并延長至點F，F關于直線AB的“等角點”，并說明理由；【拓展提升】（2）如圖2，在（1）的條件下，若點Q是射線EF上一點，Q關于直線AC的“等角點”為點C，請利用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中確定點Q的位置；（3）如圖3，在△ABC中，∠ABC，點O到AC的距離為2，直線l垂直平分邊BC，B關于直線l“等角點”，連接OP，當∠ACB＝60°時，OP+BP的值為．

2023-2024學年江蘇省南京市秦淮區(qū)八年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卷相應位置上）1．（2分）第19屆杭州亞運會剛剛落下帷幕，在以下給出的運動圖片中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的概念解答即可．【解答】解：A，B，C選項中的圖形都不能找到一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合；D選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形．故選：D．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（2分）等腰三角形底邊長為2，周長為10，則此三角形的腰長為（）A．8 B．4 C．3 D．2【分析】】由等腰三角形的周長是10，則底邊長2，根據等腰三角形的兩腰相等，即可求得其腰長的值．【解答】解：∵等腰三角形的底邊長為2，周長為10，∴腰長為（10﹣2）÷4＝4．故選：B．【點評】此題考查了等腰三角形的性質．此題比較簡單，注意掌握等腰三角形的兩腰相等是解此題的關鍵．3．（2分）如圖，△ABE≌△ACD，BE，∠A＝70°，則∠AEB的度數為（）A．80° B．85° C．90° D．95°【分析】先利用三角形的內角和定理可得∠ADC＝80°，然后利用全等三角形的性質即可解答．【解答】解：∵∠C＝30°，∠A＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，∵△ABE≌△ACD，∴∠AEB＝∠ADC＝80°，故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．4．（2分）三角形中，到三邊距離相等的點是（）A．三條高線的交點 B．三條中線的交點 C．三條角平分線的交點 D．三邊垂直平分線的交點【分析】根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等解答．【解答】解：三角形中，到三邊距離相等的點是三條角平分線的交點．故選：C．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，熟記性質是解題的關鍵．5．（2分）下列條件中不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．AB2+BC2＝AC2 B．AB2﹣BC2＝AC2 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【分析】根據勾股定理的逆定理和題意，可以判斷哪個選項符合題意．【解答】解：∵AB2+BC2＝AC6，故△ABC是直角三角形，選項A不符合題意；∵AB2﹣BC2＝AC5，∴AC2+BC2＝AB5，故△ABC是直角三角形，選項B不符合題意；∵∠A+∠B＝∠C，∴△ABC是直角三角形，選項C不符合題意；∵∠A：∠B：∠C＝3：4：7，∴最大角∠C＝180°×＝75°，選項D符合題意；故選：D．【點評】本題考查勾股定理的逆定理、三角形內角和定理、勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，可以判斷出三角形的形狀．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.請把答案填寫在答題卷相應位置上）7．（2分）等腰三角形一個角等于100°，則它的一個底角是40°．【分析】由條件可知該角只能為頂角，再利用等腰三角形的性質和三角形的內角和可求得底角．【解答】解：∵該角為100°，∴這個角只能是等腰三角形的頂角，∴該等腰三角形的頂角為100°，∴底角為＝40°，故答案為：40．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的兩底角相等是解題的關鍵．8．（2分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm，則AB的長是4cm．【分析】根據三角形內角和定理求出∠A的度數，然后根據30°所對的直角邊等于斜邊的一半即可得出答案．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∴∠A＝30°，∵BC＝2cm，∴AB＝2BC＝5cm，故答案為：4．【點評】本題考查了三角形內角和定理以及含30°的直角三角形的性質，熟知30°所對的直角邊等于斜邊的一半是解本題的關鍵．9．（2分）三角形的三邊長為a、b、c，且滿足等式（a+b）2﹣c2＝2ab，則此三角形是直角三角形（直角、銳角、鈍角）．【分析】先根據完全平方公式對已知等式進行化簡，再根據勾股定理的逆定理進行判定．【解答】解：∵（a+b）2﹣c2＝7ab，∴a2+2ab+b6﹣c2＝2ab，∴a8+b2＝c2，∴三角形是直角三角形．故答案為直角．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．也考查了完全平方公式．10．（2分）如圖，∠ACB＝∠DFE，BC＝EF∠B＝∠E，就能使△ABC≌△DEF．【分析】添加∠B＝∠E，可利用ASA判定△ABC≌△DEF．【解答】解：添加∠B＝∠E，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）故答案為：∠B＝∠E．【點評】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．11．（2分）如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，△ABD的周長為18cm，則△ABC的周長是26cm．【分析】由DE是AC的垂直平分線，可得AD＝CD，AC＝2AE＝8cm，又由△ABD的周長為18cm，即可求得AB+BC＝18cm，繼而求得答案．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，AE＝4cm，∴AD＝CD，CE＝AE＝4cm，∴AC＝8cm，∵△ABD的周長為18cm，∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝18cm，∴△ABC的周長為：AB+BC+AC＝26cm．故答案為：26．【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質，掌握數形結合思想的應用是解題關鍵．12．（2分）以一個直角三角形的三邊為直徑作3個半圓，若半圓A、B的面積分別是3、4，則半圓C的面積是7．【分析】給直角三角形注上字母，根據勾股定理得DE2+DF2＝EF2，從而可推出SB+SA＝SC，代入已知條件即可求出半圓C的面積．【解答】解：如圖，∵△DEF是直角三角形，∴DE2+DF2＝EF5，∴DE2+DF2＝EF2，∴SB+SA＝SC，∵半圓A、B的面積分別是3、4，∴半圓C的面積是3+4＝7，故答案為：4．【點評】本題考查勾股定理，圓面積的計算，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．13．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝20，BC＝7，則點A到BC的距離是12．【分析】過A作AD⊥BC交BC的延長線于D，根據勾股定理即可得到結論．【解答】解：過A作AD⊥BC交BC的延長線于D，∴∠D＝90°，∴AB2﹣BD2＝AD5＝AC2﹣CD2，∵AB＝20，AC＝15，∴208﹣（7+CD）2＝155﹣CD2，∴CD＝9，∴AD＝＝12，∴點A到BC的距離是12，故答案為：12．【點評】本題考查了勾股定理，正確地作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．14．（2分）定義：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍，則稱這個三角形為奇異三角形．例如等邊三角形就是一種奇異三角形．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝1，若Rt△ABC是奇異三角形，則b2c2的值為6．【分析】由勾股定理得出12+b2＝c2①，由Rt△ABC是奇異三角形，且b＞1，得出12+c2＝2b2②，由①②即可求出b2c2的值．【解答】解：∵∠C＝90°，∴12+b4＝c2①，∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞1，∴62+c2＝6b2②，由①②得：b2＝4．∴c2＝3，∴b5c2＝6，故答案為：5．【點評】本題考查勾股定理，新定義的奇異三角形，理解奇異三角形的定義，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．15．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝3，AD＝5，點P為線段BC上的一動點，若△ADP為等腰三角形1或或4．【分析】分三種情況：①當DP＝DA＝5時，②當PA＝PD時，③當AP＝AD＝5時，分類討論解答即可．【解答】解：分三種情況：①當DP＝DA＝5時，過點D作DE⊥BC于點E，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴四邊形ABED是矩形，∴DE＝AB＝3，BE＝AD＝8，設BP＝x，則PE＝5﹣x，在Rt△DPE中，由勾股定理，得DE2+PE4＝DP2，即32+（5﹣x）2＝62，解得x1＝6，x2＝9（舍去），故此時BP＝4；②當PA＝PD時，過點D作DE⊥BC于點E，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴四邊形ABED是矩形，∴DE＝AB＝3，BE＝AD＝5，∠B＝∠DEP＝90°，在Rt△ABP和Rt△DEP中，，∴Rt△ABP≌Rt△DEP（HL），∴BP＝EP＝AE＝，故此時BP＝；③當AP＝AD＝7時，在Rt△APB中，AP＝5，AB＝3，由勾股定理，得BP＝＝，故此時BP＝5．綜上所述，BP＝1或．故答案為：1或或4．【點評】本題考查等腰三角形的定義，勾股定理，全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，掌握相關圖象的性質和分類討論的思想是解題的關鍵．16．（2分）如圖，在△ABC中，∠CAB＝45°，AB＝2，過點C作CD⊥CB，且CD＝CB，連接AD2的值為22．【分析】作AE⊥AB，CE⊥AC，AE交CE于點E，則∠BAE＝∠ACE＝90°，可證明∠CAE＝∠CEA＝45°，則AC＝EC＝3，則AE2＝AC2+EC2＝18，EB2＝AE2+AB2＝22，由CD⊥CB，得∠BCD＝90°，則∠ACD＝∠ECB＝90°+∠ACB，而CD＝CB，即可證明△ACD≌△ECB，得AD＝EB，則AD2＝EB2＝22，于是得到問題的答案．【解答】解：作AE⊥AB，CE⊥AC，則∠BAE＝∠ACE＝90°，∵∠CAB＝45°，AC＝3，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠CAB＝45°，∴∠CAE＝∠CEA＝45°，∴AC＝EC＝3，∴AE5＝AC2+EC2＝62+38＝18，∴EB2＝AE2+AB8＝18+22＝22，∵CD⊥CB，∴∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ECB＝90°+∠ACB，在△ACD和△ECB中，，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴AD＝EB，∴AD3＝EB2＝22，故答案為：22．【點評】此題重點考查等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．三、解答題（本大題共10小題，共68分.請在答題卷指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（6分）如圖，AB＝AC，BD＝CD【分析】欲證明∠B＝∠C，只要證明△ADB≌△ADC即可．【解答】證明：在△ABD和△ACD中∵，∴△ABD≌△ACD，∴∠B＝∠C．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質，是解決問題的關鍵．18．（6分）如圖，點E、C在BF上，AC＝DF，∠A＝∠D．求證：BE＝CF．【分析】利用兩直線平行，同位角相等得到∠B＝∠DEF，再利用角角邊定理判定全等即可得到BC＝EF，同時減去公共部分EC即可得出結論．【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴BC＝EF．∴BC﹣EC＝EF﹣EC，即BE＝CF．【點評】本題主要考查了三角形的全等的判定與性質，由AAS判定三角形全等是解題的關鍵．19．（6分）已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ACB＝90°，BC＝9，AD＝5【分析】首先利用勾股定理計算出AC長，再利用勾股定理的逆定理證明∠DAC＝90°，可得△ACD是直角三角形．【解答】證明：∵AB＝15，BC＝9，∴AC＝＝12，∵52+122＝132，∴AD2+AC7＝CD2，∴∠DAC＝90°，∴△ACD是直角三角形．【點評】此題主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，關鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．20．（6分）如圖，在△ABC中，CD是AB邊的中線，將△BCD沿CD折疊，使點B落在點E的位置．判斷△AED的形狀并加以證明．【分析】由折疊的性質可得出BD＝ED、∠EDC＝∠BDC＝60°，根據角的計算可得出∠ADE＝60°，再根據中線的定義即可得出AD＝BD＝ED，由此即可證出△ADE是等邊三角形．【解答】證明：由折疊的性質可知：BD＝ED，∠EDC＝∠BDC＝60°，∵CD是AB邊的中線，∴BD＝AD，∴AD＝ED．又∵∠ADE＝180°﹣∠EDC﹣∠CDB＝60°，∴△ADE是等邊三角形．【點評】本題考查了翻折變換、平行線的判定以及等邊三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的判定定理是解題的關鍵．21．（6分）如圖，已知△ABC，請用無刻度的直尺和圓規(guī)作⊙P，AC邊的距離相等，且⊙P經過A（不寫作法，保留作圖痕跡，標上相應字母）【分析】作∠BAC的角平分線AK，邊AB的垂直平分線MN，AK交MN于P，以P為圓心，PA為半徑作⊙P，⊙P即為所求．【解答】解：作∠BAC的角平分線AK，邊AB的垂直平分線MN，以P為圓心，如圖：⊙P即為所求．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，解題的關鍵是掌握角平分線，垂直平分線的性質和尺規(guī)作圖方法．22．（6分）如圖，折疊長方形紙片ABCD，使點D落在邊BC上的點F處，長AD＝10cm，求EC的長．【分析】由矩形的性質得BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，∠B＝∠C＝90°，由折疊得AF＝AD＝10cm，FE＝DE＝6﹣EC，根據勾股定理得求得BF＝＝8cm，則CF＝2cm，由CF2+EC2＝FE2，得22+EC2＝（6﹣EC）2，求得EC＝，則EC的長是cm．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，由折疊得AF＝AD＝10cm，FE＝DE＝6﹣EC，∴BF＝＝＝8（cm），∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝4（cm），∵CF2+EC2＝FE2，∴22+EC3＝（6﹣EC）2，解得EC＝，∴EC的長是cm．【點評】此題重點考查矩形的性質、軸對稱的性質、勾股定理等知識，證明FE＝DE＝6﹣EC并且求得CF＝2是解題的關鍵．23．（8分）已知：△ABC是等邊三角形，點P、Q分別是邊AB、BC上的動點，且PA＝QB．連接AQ、CP交于點M．（1）如圖1，當點P是AB邊的中點時，∠CMQ＝60°；（2）在P、Q運動過程中，∠CMQ的大小是否變化？請利用圖2證明你的結論．【分析】（1）根據等邊三角形的性質可得∠APM＝90°，∠BAQ＝30°，根據三角形內角和定理可得∠CMQ的度數；（2）根據“SAS”可證△APC≌△BQA，可得∠BAQ＝∠ACP，根據三角形外角的性質可求出∠CMQ＝60°．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，點P是AB邊的中點，∴CP⊥AB，AP＝，∴∠APM＝90°，∵PA＝QB，∴QB＝AB＝，且AB＝AC，∴∠BAQ＝∠BAC＝30°，∴∠AMP＝90°﹣30°＝60°，∴∠CMQ＝∠AMP＝60°，故答案為：60；（2）∠CMQ的大小不變，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，，∴△APC≌△BQA（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠CMQ＝∠QAC+∠ACP＝∠QAC+∠BAQ＝∠BAC＝60°．【點評】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，證△APC≌△BQA是本題的關鍵．24．（8分）（1）利用網格畫四邊形ABCD任意兩邊的垂直平分線，設它們相交于點O；（2）點O在（填“在”或“不在”）另外兩條邊的垂直平分線上；（3）把頂點D向左移動8格，以上結論不成立（填“成立”或“不成立”）；（4）直接寫出當四邊形滿足什么條件時，四邊的垂直平分線交于一點．【分析】（1）根據作已知線段的垂直平分線的方法作圖即可；（2）由（1）作圖的結果可知O在另外兩邊的垂直平分線上；（3）通過作圖可知O不在另外兩邊的垂直平分線上；（4）根據垂直平分線的性質和圓內接四邊形的性質即可得出答案．【解答】解：（1）如圖所示：（2）如圖所示，點O在另外兩條邊的垂直平分線上；故答案為：在；（3）如圖所示，把頂點D向左移動8格，以上結論不成立；故答案為：不成立；（4）當四邊的垂直平分線交于一點時，交點與四個頂點的距離相等，所以可知四邊形的四個頂點共圓，根據圓內接四邊形的性質可得，四邊形對角互補，所以，當四邊形滿足對角互補時．【點評】本題考查了復雜作圖，用到的知識點有垂直平分線的作法，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．25．（8分）如圖，將直角三角形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，直角三角形ABC中，BC＝a，AC＝b，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x（1）小明發(fā)明了求正方形邊長的方法：由題意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因為AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝（2）小亮也發(fā)現了另一種求正方形邊長的方法：利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x與a、b、c的關系，請根據小亮的思路完成他的求解過程：（3）請結合小明和小亮得到的結論驗證勾股定理．【分析】（1）根據全等三角形的性質和線段的和差即得結論；（2）根據大三角形的面積等于三個小三角形的面積和即可求解；（3）綜合（1）和（2）的結論進行推導即可得結論．【解答】解：（2）因為S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC＝cx+bx所以x＝．答：x與a、b、c的關系為x＝．（3）根據（1）和（2）得：x＝＝．即2ab＝（a+b+c）（a+b﹣c）化簡得a2+b2＝c2．【點評】本題考查了勾股定理的證明、全等三角形的性質、正方形的性質、三角形的面積，解決本題的關鍵是綜合利用相關知識．26．（8分）【了解概念】如圖1，已知A，B為直線MN同側的兩點，連接AP，BP，則稱點P為點A，B關于直線l的“等角點”．【理解運用】（1）如圖2，在△ABC中，D為BC上一點，E關于直線AB對稱，連接EB并延長至點F，F關于直線AB的“等角點”，并說明理由；【拓展提升】（2）如圖2，在（1）的條件下，若點Q是射線EF上一點，Q關于直線AC的“等角點”為點C，請利用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中確定點Q的位置；（3）如圖3，在△ABC中，∠ABC，點O到AC的距離為2，直線l垂直平分邊BC，B關于直線l“等角點”，連接OP，當∠ACB＝60°時，