人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 21.17 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系（拓展篇）（專項練習(xí)）

專題21.17一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系（拓展篇）（專項練習(xí)）一、單選題1．已知，是方程的兩根，則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，設(shè)BE＝a，AB＝b，AE＝c，則以AD和AC的長為根的一元二次方程是（）A．x2﹣2cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0C．x2﹣2cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝03．如果方程有兩個不同的實數(shù)解，那么p的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．若，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為

A．2015 B． C．2016 D．20195．已知=1，則ax2+bx+c=0（）A．無實根B．有兩個相等實根C．有相異的兩實根D．有實根，但不能確定是否一定是相等兩實根6．已知關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根的平方和為，那么的值是（）A．5 B．-1 C．5或-1 D．-5或17．若，關(guān)于的方程的根的情況是（）A．有一正根和一負(fù)根 B．有兩個正根 C．有兩個負(fù)根 D．沒有實數(shù)根8．關(guān)于的一元二次方程有兩個整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于的一元二次方程同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，給出三個結(jié)論：①這兩個方程的根都負(fù)根；②；③，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個9．已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，則的值為（）A．﹣402 B． C． D．10．小明和小華解同一個一元二次方程時，小明看錯一次項系數(shù)，解得兩根為2，﹣3，而小華看錯常數(shù)項，解錯兩根為﹣2，5，那么原方程為（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=011．設(shè)為互不相等的實數(shù)，且，，則的值為（）A．-1 B．1 C．0 D．0.512．關(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有兩個不等的實數(shù)根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范圍是（）A．﹣＜a＜ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜﹣ D．﹣＜a＜0二、填空題13．已知a、b、c均為實數(shù)，且，，則______．14．將兩個關(guān)于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均為常數(shù)）的形式，如果只有系數(shù)a不同，其余完全相同，我們就稱這樣的兩個方程為“同源二次方程”．已知關(guān)于x的一元二次方程（）與方程是“同源二次方程”，且方程（）有兩個根為、，則b－2c＝______，的最大值是______．15．設(shè)a，b，c，d是四個不同的實數(shù)，如果a，b是方程的兩根，c，d是方程的兩根，那么的值為______．16．關(guān)于x的方程x2-kx-2k=0的兩個根的平方和為12，則k=________．17．若，邊是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為_________．18．關(guān)于x的方程kx2+（k+1）x+k﹣1＝0的根為整數(shù)，則實數(shù)k=________．19．若關(guān)于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三個根恰好可以組成某直角三角形的三邊長，則m的值為_____．20．已知-2是三次方程的唯一實數(shù)根，求c的取值范圍．下面是小麗的解法:解：因為-2是三次方程的唯一實數(shù)，所以，可得，再由，得出c>2根據(jù)小麗的解法，則b的取值范圍是______________．21．已知等腰△ABC的兩邊是關(guān)于x的方程x2-3mx+9m=0的兩根，第三邊的長是4，則m=______.22．已知關(guān)于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，甲由于看錯了二次項系數(shù)，求得兩個根為3和6，乙由于看錯了某一項系數(shù)的符號，求得兩個根為和，則=____________23．設(shè)關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的兩個實數(shù)根分別為α，β，若|α|+|β|=6，那么實數(shù)m的取值是_____．24．如圖，點是的邊的中點，且，設(shè)，則的取值范圍是__________.三、解答題25．定義，若關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根為（），分別以為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到點，則稱點M為該一元二次方程的的衍生點．(1)若方程為，寫出該方程的的衍生點M的坐標(biāo)．(2)若關(guān)于x的一元二次方程的衍生點為M，過點M向x軸和y軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸恰好圍成一個正方形，求m的值．(3)是否存在b，c，使得不論k（）為何值，關(guān)于x的方程的衍生點M始終在直線的圖象上，若有請求出b，c的值，若沒有說明理由．26．一元二次方程的根分別滿足以下條件，求出實數(shù)的對應(yīng)范圍．(1)兩個根同為正根；(2)兩個根均大于；(3)．27．關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無論取任何實數(shù)，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根（2）設(shè)該方程兩個同號的實數(shù)根為，，試問是否存在使成立，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．28．定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做神奇四邊形．順次連接四邊形各邊中點得到的四邊形叫做中點四邊形．（1）判斷：①在平行四邊形、矩形、菱形中，一定是神奇四邊形的是_______；②命題：如圖1，在四邊形中，，，則四邊形是神奇四邊形．此命題是________．(填“真”或“假”)命題；③神奇四邊形的中點四邊形是_______；（2）如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，．①求證：四邊形是神奇四邊形；②若，，求的長；（3）如圖3，四邊形是神奇四邊形，若，，、分別是方程的兩根，求的值．

參考答案1．D【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得：a+b=1，再由a與b是方程的兩根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3與b3采用降次的方法即可求得結(jié)果的值．解：∵a與b是方程的兩根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵，同理：∴故選：D．【點撥】本題考查了一元二次方程的解的概論、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值，靈活進行整式的運算是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】根據(jù)題意，先要表示出AD、AC的長，AD=AE-DE，然后利用等腰三角形的性質(zhì)證出DE=BE=CE，則AC=AE+CE，求出AD、AC之后，根據(jù)韋達(dá)定理判斷以它們的長為根的一元二次方程．解：∵AB⊥BE，BD⊥BC，∴∠ABE＝∠DBC＝90°，在Rt△ABE中，a2+b2＝c2，∵DE＝BE＝a，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD+∠EBC＝90°，∠EDB+∠C＝90°，∴∠EBC＝∠C，∴CE＝BE＝a，∴AC＝AE+CE＝c+a，∵AD+AC＝c﹣a+c+a＝2c，AD×AC＝（c﹣a）（c+a）＝c2﹣a2＝b2，∴以AD和AC的長為根的一元二次方程可為x2﹣2cx+b2＝0．故選：A．【點撥】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的方法，先表示出線段長度再根據(jù)韋達(dá)定理判斷原方程．3．D【分析】先將無理方程化為一元二次方程，根據(jù)根的判別式可求得，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可求得，由此可得p的取值范圍．解：∵，∴，，∵方程有兩個不同的實數(shù)解，∴，解得：．又∵方程的兩根，∴，即，∴，故選：D．【點撥】本題考查無理方程，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)關(guān)系．需注意本題中容易忽略由一個數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，得出，從而根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出．4．C【分析】根據(jù)方程的解得概念可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，再代入即可得出結(jié)論．解：是方程的兩個實數(shù)根，，即，則．故選C．【點撥】本題考查了方程的解的概念及韋達(dá)定理，熟練掌握韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】將已知方程整理可得c=b﹣2003a（a≠0），要判斷一元二次方程根的情況，即要計算Δ的正負(fù)，將c=b﹣2003a代入Δ=b2﹣4ac中，結(jié)合完全平方公式判斷Δ的正負(fù)即可.解：∵=1，∴c=b﹣2003a（a≠0），∴Δ=b2﹣4ac=b2﹣4a（b﹣2003a）=b2﹣4ab+4×2003a2=（b﹣2a）2≥0，∴方程有實數(shù)根，但不能確定是否一定是相等的兩個實數(shù)根.故選D.【點撥】本題主要考查一元二次方程根的判別式以及完全平方公式.6．B【分析】設(shè)方程的兩個根為x1、x2，則x12+x22=7，根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系可知x1、x2的和與積，列出方程即可求出m的值.解：設(shè)方程的兩個根為x1、x2，則x12+x22=7，∵x1、x2，是方程x2-mx+2m-1=0的兩個根，∴x1+x2=m，x1x2=2m-1，∴（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2=m2，∴m2-2(2m-1)-7=0，解得：m=5或m=-1，∵方程有兩個實數(shù)根，∴（-m）2-4（2m-1）=m2-8m+4≥0，解得m≥4+2或m≤4-2．∴m=5舍去，m=-1，故選B.【點撥】本題考查一元二次方程判別式的性質(zhì)及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系和判別式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.7．B【分析】根據(jù)根的判別式與0的關(guān)系判斷出根的情況，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負(fù)即可．解：方程的△=（4k+1）2-4×2（2k2-1）=8k+9，∵k＞1，∴△＞17，∴方程有兩不相等的實數(shù)根．∴x1+x2=＞>0，x1·x2=＞>0，∴方程的兩根為正根．故選B．【點撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式：①一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；△＜0?方程沒有實數(shù)根；②根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=?，x1·x2=．8．D【分析】設(shè)方程的兩根為x1、x2，方程同的兩根為y1、y2．①根據(jù)方程解的情況可得出x1?x2=2n＞0、y1?y2=2m＞0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，進而得出這兩個方程的根都是負(fù)根，①正確；②由方程有兩個實數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，將（m-1）2+（n-1）2展開代入即可得出②正確；③根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，結(jié)合x1、x2、y1、y2均為負(fù)整數(shù)即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．綜上即可得出結(jié)論．解：設(shè)方程的兩根為x1、x2，方程同的兩根為y1、y2．①∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，∴x1?x2=2n＞0，y1?y2=2m＞0，∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，∴這兩個方程的根都是負(fù)根，①正確；②∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正確；③∵y1?y2=2m，y1+y2=-2n，∴2m-2n=y1?y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，∵y1、y2均為負(fù)整數(shù)，∴（y1+1）（y2+1）≥0，∴2m-2n≥-1．∵x1?x2=2n，x1+x2=-2m，∴2n-2m=x1?x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，∵x1、x2均為負(fù)整數(shù)，∴（x1+1）（x2+1）≥0，∴2n-2m≥-1，即2m-2n≤1．∴-1≤2m-2n≤1，③成立．綜上所述：成立的結(jié)論有①②③．故選D．【點撥】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的根的判別式，根據(jù)不同結(jié)論靈活運用根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵,也是解決問題的難點．9．C解：將9n2+2010n+5=0方程兩邊同除以n2，變形得：5×（）2+2010×+9=0，,又5m2+2010m+9=0，∴m與為方程5x2+2010x+9=0的兩個解，則根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得m?==．故選C10．B解：小明看錯一次項系數(shù)，解得兩根為2，﹣3，兩根之積正確；小華看錯常數(shù)項，解錯兩根為﹣2，5，兩根之和正確，故設(shè)這個一元二次方程的兩根是α、β，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=-，x1?x2=，可得：α?β=﹣6，α+β=3，那么以α、β為兩根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，故選B．11．A【分析】把看作以上方程的兩個不同的根，可得，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可解：，，看作以上方程的兩個不同的根，即是方程的兩根，故，即故選A【點撥】本題考查了一元二次方程的根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，整體代入是解題的關(guān)鍵．12．D【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式，建立關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍．又存在x1＜1＜x2，即（x1-1）（x2-1）＜0，x1x2-（x1+x2）+1＜0，利用根與系數(shù)的關(guān)系，從而最后確定a的取值范圍．解：∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a≠0且△＞0，由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，解得，又∵x1＜1＜x2，∴x1-1＜0，x2-1＞0，那么（x1-1）（x2-1）＜0，∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，，x1x2=9，即，解得，綜上所述，a的取值范圍為：.故選D．【點撥】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系.掌握相關(guān)知識是關(guān)鍵：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．根與系數(shù)的關(guān)系為：.13．4【分析】先變形得到a+b=4，ab=2c2-4c+10，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，a、b可看作是方程x2-4x+2c2-4c+10=0的兩實數(shù)解，配方后可得（x-2）2+2（c-）2=0，得到x=2，c=，然后計算abc的值即可；解：∵a+b=4，ab=2c2-4c+10∴a、b可看作方程x2-4x+2c2-4c+10=0的兩實數(shù)解∴（x-2）2+2（c-）2=0∴x-2=0或c-=0解得x=2，c=∴ab=2×3-4×+10=4∴abc=4×=4故答案為：4．【點撥】本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．學(xué)會觀察算式形式，正確寫出一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵．14．

4；

-3【分析】利用（）與方程是“同源二次方程”得出，，即可求出；利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，進而得出，設(shè)（），得，根據(jù)方程有正數(shù)解可知，求出t的取值范圍即可求出的最大值．解：根據(jù)新的定義可知，方程（）可變形為，∴，展開，，可得，，∴；∵，，∴，∵方程（）有兩個根為、，∴，且，∴，設(shè)（），得，∵方程有正數(shù)解，∴，解得，即，∴．故答案為：4，-3．【點撥】本題考查新定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，由根與系數(shù)的關(guān)系得到是解題的關(guān)鍵．15．【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得，，兩式相加得，根據(jù)一元二次方程根的定義可得，可得，同理可得，兩式相減即可得，根據(jù),求得，進而可得解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，，兩式相加得．

因為是方程的根，所以，又，所以①

同理可得②

①-②得．因為，所以，所以．【點撥】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，根據(jù)等式的性質(zhì)變形是解題的關(guān)鍵．16．2【分析】設(shè)關(guān)于x的方程x2-kx-2k=0的兩實數(shù)根分別為x1、x2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求出x1+x2=k，x1?x2=-2k．再利用完全平方式可知，即可得到方程，解出方程．再利用根的判別式求出k的取值范圍，舍去不合題意的解即可．解：設(shè)關(guān)于x的方程x2-kx-2k=0的兩實數(shù)根分別為x1、x2，則x1+x2=k，x1?x2=-2k．∵原方程兩實數(shù)根的平方和為12，∴，∴，即．解得：，．∵方程有兩實數(shù)根，∴，即，∴或．∴舍去．綜上．故答案為：2．【點撥】本題考查一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系，熟記一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的公式是解答本題的關(guān)鍵．17．2024【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及等式的性質(zhì)即可求出答案．解：是一元二次方程的兩個實數(shù)根，【點撥】題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，也考查了一元二次方程的解．18．0或1或【分析】分情況討論，假設(shè)或，當(dāng)時，原式是一元一次方程必有根，當(dāng)時，利用根與系數(shù)的關(guān)系公式求出根的可能性，從而求出k的值．解：若，則是方程的根，若，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得，，兩式相減得，則，不妨設(shè)，若，，解得，，此時，，若，，解得，，此時，，綜上：k的值為0或1或．故答案是：0或1或．【點撥】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系公式．19．【分析】運用根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式，根據(jù)勾股定理列方程解答即可．解：設(shè)某直角三角形的三邊長分別為a、b、c，依題意可得x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，設(shè)x2﹣6x+m＝0的兩根為a、b，∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，得a+b＝6，ab＝m，則c＝4，①c為斜邊時，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合題意，舍去）；②a為斜邊時，c2+b2＝a2，42+（6﹣a）2＝a2，a＝，b＝6﹣a＝，∴m＝ab＝=故答案為．【點撥】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的綜合運用，先由根與系數(shù)的關(guān)系得到另外兩邊的關(guān)系，再結(jié)合勾股定理列出方程。本題的關(guān)鍵是分類討論。20．b>-3【分析】小麗的解法為待定系數(shù)法，先左邊展開，根據(jù)多項式相等可知：，b=n+2m，再依據(jù)題意可知，所設(shè)二次方程無解，故代入可得b的取值范圍．解：因為-2是三次方程的唯一實數(shù)，所以，則可得m=-2，n=c，再由4-4n<0，n>1n-4>-3，又∵b=n+2m=n-4b>-3故答案為：b>-3．【點撥】本題是高次方程，考查了高次方程解的情況，解題思路是降次，根據(jù)一元二次方程和一次方程解的情況進行解答．21．4或【分析】等腰三角形ABC中4可能是底邊，也可能是腰，應(yīng)分兩種情況進行討論，①4是底時，關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系，從而求出m,再根據(jù)三角形的邊不能是零，舍去；②4是腰時，則方程有一個根是4，代入即可求得m的值.解：當(dāng)4是底邊時，則關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得，或（舍去）當(dāng)4是腰時，則方程有一個根是4，把x=4代入方程得，解得：綜上所述，m的值為4或故答案為4或【點撥】本題考點涉及等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.22．±6【分析】先利用兩根分別表示出錯誤的方程為：對于甲：設(shè)，得：；對于乙：設(shè)，得：，乙的錯誤不可能是看錯了一次項系數(shù)的符號，分兩種情況：①若乙看錯了二次項系數(shù)的符號，那么甲和乙的方程里面一次項和常數(shù)項分別相等；②若乙看錯了常數(shù)項的符號，那么甲和乙的方程里面一次項相等，常數(shù)項互為相反數(shù)，則正確的方程為，求代數(shù)式的值即可.解：對于甲：設(shè)得：對于乙：設(shè)得：分情況討論：①若乙看錯了二次項系數(shù)的符號，那么解得：，不符合題意，舍去②若乙看錯了常數(shù)項的符號，那么解得：則③若乙看錯了一次項項的符號，那么解得：則故答案為±6【點撥】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，難度較大，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.23．9.【分析】由韋達(dá)定理得出α+β=2，αβ=1﹣m，將|α|+|β|=6左右兩邊同時平方，利用完全平方公式對方程進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為關(guān)于α+β、αβ的形式，分類討論，解出m的值即可.解：由韋達(dá)定理可得α+β=2，αβ=1﹣m，∵|α|+|β|=6，∴（|α|+|β|）2=36，即（|α|）2+（|β|）2+2|α|·|β|=36，α2+β2+2|α·β|=36，（α+β）2﹣2α·β+2|α·β|=36，4﹣2（1﹣m）+2|1﹣m|=36，當(dāng)1﹣m≥0時，方程無解；當(dāng)1﹣m＜0時，方程的解為m=9.故答案為9.【點撥】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟記常見的轉(zhuǎn)換公式是解題的關(guān)鍵．24．【分析】根據(jù)“點是的邊的中點，且”得出AB的長度以及△ABC是直角三角形，設(shè)出AC和BC的值，得到一個一元二次方程，根據(jù)根的判別式求出x的取值范圍，即可得出答案.解：∵點是的邊的中點，且∴AB=4，△ABC是直角三角形故x=AC+BC>AB=4令A(yù)C=a，BC=b∴∴∴a，b是關(guān)于y的一元二次方程的兩個實數(shù)根∴即：.綜上所述，x的取值范圍是：.【點撥】本題綜合考查了勾股定理、直角三角形斜邊上的中線及根的判別式．解題時，還利用了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系這一知識點．.25．(1)M(0，3)(2)(3)，【分析】（1）求出方程的兩根，根據(jù)一元二次方程的衍生點即可解決問題；（2）先整理一元二次方程為一般形式，再根據(jù)過點M向x軸和y軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸恰好圍成一個正方形，可得原方程有兩個相等的實數(shù)根或原方程的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，從而可得答案；（3）先證明過定點，求解定點的坐標(biāo)即為的坐標(biāo)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題即可．(1)解：∵，∴x（x-3）=0，解得：，，故方程x2-3x=0的衍生點為M（0，3）．(2)解：整理得：設(shè)方程的兩根分別為、，且由于過點M向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩條垂線與x軸y軸恰好圍成一個正方形，當(dāng)時，，整理得：此時方程無解，當(dāng)時，則，，解得(3)解：存在．理由如下：直線直線過定點，∴x2+bx+c=0兩個根為，∴，，∴，．【點撥】本題考查一次函數(shù)過定點問題、一元二次方程根的判別式的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．26．(1)(2)(3)或【分析】（1）由一元二次方程有兩個正根，可列不等式組，再解不等式組即可；（2）由一元二次方程兩個均大于1，可得即再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系列不等式，結(jié)合，從而可得答案；（3）由可得結(jié)合求解再利用再解方程求解的值，再檢驗即可.(1)解：一元二次方程有兩個正根，由①得：解得：或由②得：由③得：所以的取值范圍為：；(2)解：由（1）得：一元二次方程兩個均大于1，即而解得：綜上(3)解：，則解得：整理得：或經(jīng)檢驗：或都符合題意.【點撥】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，熟練的運用根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系求解一元二次方程中字母參數(shù)的值或范圍是解本題的關(guān)鍵.27．（1）證明見分析；（2）不存在，理由見分析【分析】（1）根據(jù)根的判別式公式列出的表達(dá)式，證明>0即可證明此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，將方程中的轉(zhuǎn)化為，再整體代入得到關(guān)于m的一元二次方程，解方程，最后根據(jù)兩個同號的實數(shù)根進行取舍即可．解：（1）證明：，無論取任何實數(shù)，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，，則有，，整理得：，解得：或，由方程有兩個同號的實數(shù)根可得：，即m－2>0，m>2，不存在m使成立．【點撥】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，熟記根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系公式