人教版九年級數(shù)學上冊 24.32 弧長及扇形的面積（鞏固篇）（專項練習）

專題24.32弧長及扇形的面積（鞏固篇）（專項練習）一、單選題1．如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰好經過圓心O，若⊙O的半徑為3，則的長為（

）A． B． C． D．2．一個扇形的弧長是，其圓心角是150°，此扇形的面積為（

）A． B． C． D．3．一個扇形的弧長是12πcm，面積是108πcm2，則此扇形的圓心角的度數(shù)是()A．300° B．150° C．120° D．75°4．如圖，扇形OBA中，點C在弧AB上，連接BC，P為BC中點．若，，則點C沿弧從點B運動到點A的過程中，點P所經過的路徑長為（

）A． B． C． D．65．如圖．將扇形翻折，使點A與圓心O重合，展開后折痕所在直線l與交于點C，連接．若，則圖中陰影部分的面積是(

)A． B． C． D．6．如圖，中，，，BO＝2cm，將繞點O逆時針旋轉至，點在BO的延長線上，則邊BC掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為（

）A． B． C． D．7．如圖，在正三角形ABC中，邊長，將正三角形ABC繞點A按逆時針方向旋轉180°至正三角形，則線段BC掃過的面積為（

）A． B． C． D．8．如圖是一張圓心為O，半徑為4cm的圓形紙片，沿弦AC所在直線折疊，使得經過點O，將紙片展平后，作半徑，則圖中陰影部分的面積等于（

）A． B．C． D．9．如圖，在矩形ABCD中，AC為對角線，，，以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC于點M，交BC于點N，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．10．如圖，兩個半徑長均為的直角扇形的圓心分別在對方的圓弧上，扇形的圓心C是的中點，且扇形繞著點C旋轉，半徑，交于點G，半徑，交于點H，則圖中陰影面積等于（

）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點D，再將沿AB翻折交BC于點E．若，AB＝4，則的長度為_____．12．如圖，在扇形ODE中，，，是扇形的內接三角形，其中A、B、C分別在弧DE和半徑OE、OD上，，，則線段AC的最小值為______．13．如果一個扇形的半徑是2，弧長是，則此扇形的圖心角的度數(shù)為____．14．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，動點M，N分別從點A，C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿AB，CD向終點B，D移動，當點M到達點B時，運動停止．過點B作直線MN的垂線BG，垂足為點G，則G點運動的路徑長為_______cm15．如圖，邊長為4的正方形ABCD的對角線交于點O，以OC為半徑的扇形的圓心角．則圖中陰影部分面積是_____．16．如圖，在中，，，，將三角形繞點按逆時針方向旋轉（）后得到三角形，點經過的路徑為弧，則圖中陰影部分的面積是_________．17．如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，若，CB＝2，則陰影部分的面積是______．18．如圖，等腰中，，以A為圓心，以AB為半徑作﹔以BC為直徑作．則圖中陰影部分的面積是______．（結果保留）三、解答題19．如圖，將繞點B順時針旋轉60度得到，點C的對應點E恰好落在AB的延長線上，連接AD．（1）求證：；（2）若AB=4，BC=1，求A，C兩點旋轉所經過的路徑長之和．20．如圖，在⊙O中，AB是直徑，半徑為R，弧AC=R.求：（1）∠AOC的度數(shù).（2）若D為劣弧BC上的一動點，且弦AD與半徑OC交于E點.試探求△AEC≌△DEO時，D點的位置.21．如圖，邊長為的等邊△ABC內接于⊙O，D為劣弧上一點，過點B作BE⊥OD于點E，當點D從點B沿劣弧運動到點C時，求點E經過的路徑長．22．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F．（1）求證：DF⊥AC；（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積．23．如圖，在邊長為1的小正方形組成的方格紙上，將△ABC繞著點A順時針旋轉90°（1）畫出旋轉之后的△AB′C′；（2）求線段AC旋轉過程中掃過的扇形的面積．24．如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．（1）求證：OF∥BC；（2）求證：△AFO≌△CEB；（3）若EB=5cm，CD=cm，設OE=x，求x值及陰影部分的面積．

參考答案1．C【分析】連接OA、OB，作OC⊥AB于C，根據翻轉變換的性質得到OC=OA，根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理求出∠AOB，根據弧長公式計算即可．解：連接OA、OB，作OC⊥AB于C，由題意得，OC=OA，∴∠OAC=30°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAC=30°，∴∠AOB=120°，∴劣的長==2π，故選：C．【點撥】本題考查的是弧長的計算、直角三角形的性質、翻轉變換的性質，掌握弧長公式是解題的關鍵．2．B【分析】先求出該扇形的半徑，再求其面積即可；解：該扇形的半徑為：，∴扇形的面積為：，故選：B．【點撥】本題主要考查扇形面積的求解，掌握扇形面積的求解公式是解題的關鍵．3．C【分析】先根據扇形面積公式求出半徑，再根據弧長公式解答即可．解：設扇形所在的圓的半徑為rcm，圓心角為n°，由題意得：，解得：r=18，∵，∴此扇形的圓心角n=120°．故選：C．【點撥】本題考查了扇形面積和弧長公式的計算，屬于?？碱}型，熟練掌握扇形面積公式和弧長公式是解答的關鍵．4．B【分析】連接OC、OP，易得∠OPB=90°，點P是在以OB的中點D為圓心，BD為半徑的圓上運動，求即可．解：連接OC、OP，∵OB=OC，∴△BOC為等腰三角形，∵P為BC中點，∴OP⊥BC（三線合一），即∠OPB=90°，∴點P是在以OB的中點D為圓心，BD為半徑的圓上運動，如圖所示，當點C運動到點A時，點P到達位置，點P所經過的路徑長為，連接，∵D為OB中點，為AB中點，∴∥OA，∴=，BD=OA=3，∴，即點P所經過的路徑長為，故選：B．【點撥】本題考查動點的運動軌跡問題，根據定弦定角確定圓的所在位置，以及等腰三角形的性質、中位線的性質、弧長公式，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．5．B【分析】連接CO，且直線l與AO交于點D，解直角三角形求出，即可求出扇形的面積，再算出的面積，即可求出陰影部分面積．解：連接CO，且直線l與AO交于點D，如圖所示，∵扇形中，，∴，∵點A與圓心O重合，∴，，∴，∴，由勾股定理得：，∵，，∴，故選：B．【點撥】此題考查求不規(guī)則圖形的面積，扇形面積公式，添加輔助線是本題的關鍵．6．A【分析】先在Rt△OCB中利用特殊角求出OC、BC、∠COB，進而可求出，接著可以求出，則可以表示出、、，則陰影部分的面積可求．解：在Rt△OCB中，∠CBO=30°，BO=1，∴∠COB=60°，2OC=BO=BC，∴，BC=，OC=1，∴，∴，根據旋轉的性質可知，，，，∴，，，∴，∴（cm2），故選：A．【點撥】本題主要是考查了旋轉的性質、扇形面積的求解以及解含特殊角的直角三角形等知識，求出、、是解答本題的關鍵．7．B【分析】分別取BC，的中點為D，，把所求面積分解成三部分在進行求解即可；解：如圖，BC掃過的面積即為陰影部分的面積；分別取BC，的中點為D，，∴，∵等于大半圓面積減去小半圓面積，，∴，∵是所對弓形的面積的一半，∴，∴，∴；故選B．【點撥】本題主要考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，扇形的面積公式，準確利用數(shù)形結合的方法求解是解題的關鍵．8．A【分析】作OD⊥AC交圓于點D、交AC于點E，根據垂徑定理，OD平分和，又因為AC是對折線，所以OD與AC互相垂直平分，所以ODCO組成的圖形面積是與組成的圖形面積的一半，也就等于ADCEA組成圖形面積，此部分面積可用扇形OAC的面積減去△OAC面積求出，再用求出的面積減去扇形ODB的面積即得陰影部分面積．解：作OD⊥AC交圓于點D，交AC于點E，連接OC，如圖，∴OD垂直平分弦AC，平分和，∵AC是向圓內的折線，且弦AC折疊后經過點O，∴點O是點D關于AC的對稱點，即OD與AC互相垂直平分，∴OE=DE=OD設與弦AC構成的圖形面積為SADC，與構成的圖形面積為SADCO，與和線段OD構成的圖形面積為SODC，則SADC=SADCO，SODC=SADCO，∴SODC=SADC，∵OD、OA都是圓O的半徑，半徑為4cm，∴OE=OD=OA=，∴∠OAE=30°，∴∠AOE=90°-30°=60°，∴∠AOC=2∠AOE=2×60°=120°，∴S扇形OAC==(cm2)，∵AC=2AE=cm，∴S△OAC=(cm2)，∴SADC=S扇形OAC-S△OAC=（）(cm2)，∴SODC=（）(cm2)，∵OB⊥OA，∠AOE=60°，∴∠BOD=∠AOB-∠AOE=90°-60°=30°，∴S扇形OBD=(cm2)，∴S陰影=SODC-S扇形OBD==（）(cm2)，故選A．【點撥】本題考查了求扇形和弓形面積、垂徑定理、折疊問題及三角形的知識，解題的關鍵是要能通過對稱看出SODC=SADC=SADCO，以及S陰影=SODC-S扇形OBD，再分別求出各部分面積就能求解．9．A【分析】連接BM，過M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等邊三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根據三角形和扇形的面積公式即可得到結論．解：連接BM，過M作MH⊥BC于H，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵AB=1，∠ACB=30°，∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，∵BA=BM，∴△ABM是等邊三角形，∴∠ABM=60°，∴∠MBN=30°，∴MH=BM=，∴S陰=S△BCM-S扇形BMN==，故選：A．【點撥】本題考查扇形面積的計算，等邊三角形的判定和性質，扇形的面積公式等知識，明確S陰=S△BCM-S扇形BMN是解題的關鍵．10．D【分析】先根據扇形面積公式求出兩扇形面積，再過C分別作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，連接EC，再證明△CMG≌△CNH，可證得白色部分的面積等于對角線為的正方形CMEN得面積，進而可求得陰影部分的面積．解：∵兩個直角扇形的半徑長均為，∴兩個扇形面積和為，過C分別作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，連接EC，則四邊形CMEN是矩形，∵C是的中點，∴∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB，∴CM=CN，∴四邊形CMEN是正方形，∴∠CMG=∠MCN=∠CNH，∴∠MCG+∠GCN=∠NCH+∠GCN=90°，∴∠MCG=∠NCH，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴白色部分的面積等于對角線為的正方形CMEN的面積，∴空白部分面積為，∴陰影部分面積為，故選：D．【點撥】本題考查扇形面積公式、圓的有關性質、角平分線的性質、正方形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，熟記扇形面積公式，熟練掌握角平分線的性質定理和全等三角形的判定與性質，求出空白部分面積是解答的關鍵．11．【分析】由同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等可得，因此．結合AB是的直徑，可得所對的圓心角的度數(shù)．再利用弧長公式計算的長即可．解：∵、、、所在的圓是等圓又∵、、所對的圓周角都是∴==

又∵=∴===

又∵+++=∴=∴又∵AB是的直徑∴所對的圓心角為

∴的長=故答案為【點撥】本題主要考查了圓周角定理，弧長的計算，翻折變換．求所對的圓心角的度數(shù)是解題的關鍵．12．【分析】取BC的中點M，連接AM，OM，AO．AM+OM≥OA，當且僅當A、M、O三點共線時等號成立，這樣問題迎刃而解．解：取BC的中點M，連接AM，OM，AO．∵AC：BC=3：8，∴可以假設AC=3k，BC=8k，則CM=BM=4k，∵∠ACB=∠COB=90°，∴∵AM+OM≥OA，∴5k+4k≥5，∴k≥，∴k的最小值為，∴AC的最小值為，故答案為．【點撥】本題是屬于動點問題，難點是A、B、C三點都是動點，關鍵是找出與AC關聯(lián)的兩條線段OM、AM，通過添三條輔助線，將問題轉化到一個斜三角形中，這是一般學生很難想到的．在圖中，學生可能還會想到斜三角形AOC，但是OC與AC不關聯(lián)，問題也會陷入困境，因此構造合適的斜三角形至關重要．13．45°##45度【分析】直接利用扇形弧長公式代入求出即可．解：∵扇形的弧長是，半徑為2，∴，解得：n＝45，故答案為：45°．【點撥】本題考查的是弧長的計算，掌握弧長公式是解題的關鍵．14．【分析】連接BD，AC相交于O，在運動過程中，，得到點G的軌跡為以OB為直徑的半圓，G點軌跡長度等于半圓弧長，即可算出．解：連接BD，AC相交于O在運動過程中，故點G的軌跡為以OB為直徑的半圓G點軌跡長度等于半圓弧長，即：故答案為：．【點撥】本題考查動點問題，得到G點軌跡是以OB為直徑的半圓是解題關鍵．15．【分析】證明△OCG≌△OBE，經過觀察易得出結論：陰影部分面積=扇形面積-正方形面積的．解：∵四邊形ABCD為正方形，∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，∵扇形的圓心角，∴∠BOC-∠COE=∠FOH-∠COE，即∠BOE=∠COG，在△OCG和△OBE中，∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG，OB=OC∴△OCG≌△OBE，∵正方形邊長為4，∴AC=，∴OC=∵，===故答案為：【點撥】本題主要考查了正方形的性質，三角形的全等以及扇形面積的計算；掌握正方形的性質，熟練地進行三角形全等的判定，將不規(guī)則圖形的面積轉化為常見圖形的面積是解題的關鍵．16．【分析】把△ADE順時針方向旋轉60°到△ABC，要求的陰影部分的面積就是邊長為5，角為60°的扇形面積．解：圓形面積==25π扇形的面積==【點撥】此題考查了求陰影部分的面積，解題關鍵是把陰影的面積變成求扇形的面積．17．【分析】連接OC，設CD與AB的交點為E，利用垂徑定理、勾股定理判定△OBC是等邊三角形，運用扇形的面積減去△OBC的面積即可．解：連接OC，設CD與AB的交點為E，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，，CB＝2，∴，，∴∠ECB=30°，∠CBE=60°，∵CO=BO，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=60°，OC=OB=2，∴=，故答案為：．【點撥】本題考查了垂徑定理，勾股定理，扇形的面積公式，等邊三角形的判定和性質，熟練掌握垂徑定理，扇形的面積公式是解題的關鍵．18．【分析】由圖可知：陰影部分的面積＝半圓CAB的面積-△ABC的面積+扇形ABC的面積-△ABC的面積，可根據各自的面積計算方法求出面積即可．解：∵等腰中，∴BC=2∴S扇形ACB，S半圓CABπ×（1）2，S△ABC=1；所以陰影部分的面積＝S半圓CAB-S△ABC+S扇形ACB-S△ABC．故答案是：．【點撥】本題主要考查了扇形和三角形的面積計算方法．不規(guī)則圖形的面積通常轉化為規(guī)則圖形的面積的和差．19．（1）見分析；（2）【分析】（1）先利用旋轉的性質證明△ABD為等邊三角形，則可證，即再根據平行線的判定證明即可．（2）利用弧長公式分別計算路徑，相加即可求解．（1）證明：由旋轉性質得：是等邊三角形所以∴；（2）依題意得：AB=BD=4，BC=BE=1，所以A，C兩點經過的路徑長之和為．【點撥】本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、平行線的判定、弧長公式等知識，熟練掌握這些知識點之間的聯(lián)系及弧長公式是解答的關鍵．20．(1)∠AOC=60°；(2)D的位置，只要滿足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中點其中一條.【分析】（1）根據弧AC=R和弧長公式，即可求得弧所對的圓心角的度數(shù)；（2）根據全等三角形的性質得到對應角相等，再根據內錯角相等，兩條直線平行，即可得到AC∥OD，或者結合（1）的結論發(fā)現(xiàn)等邊三角形AOC，從而證明點D只要滿足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中點即可．解：（1）設∠AOC=n°,∵AC=R，∴R，∴n=60°,∴∠AOC=60°；（2）∵∠AOC=60°,OA=OC,∴△AOC是等邊三角形，∴∠ACO=∠AOC=60°.∵△AEC≌△DEO，∴∠CAO=∠DOB=∠C=60°，∴AC∥OD,∴∠BOD=∠CAO=60°,∠COD=∠C=60°,∴D是劣弧BC的中點，∴D的位置，只要滿足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中點即可．【點撥】本題考查了弧長的計算公式，熟記弧長計算公式是解答本題的關鍵，如果扇形的圓心角是no，扇形的半徑是R，則扇形的弧長l的計算公式為：.本題也考查了等邊三角形的判定與性質，平行線的判定與性質.21．【分析】如圖，以OB為直徑畫⊙K交AB于T，連接TK，圖中的優(yōu)弧，即為點E的運動軌跡．求出圓心角，半徑即可解決問題．解：如圖，以OB為直徑畫⊙K交AB于T，連接TK，圖中的優(yōu)弧，即為點E的運動軌跡．∵△ABC是等邊三角形，∴∠OBA=∠OBC=30°，∴∠TKO=60°，∵AB=BC=AC=，∴OB=2，∴KO=1，∴點E經過的路徑長為．【點撥】本題考查軌跡、等邊三角形的性質、弧長公式、三角形的外接圓與外心等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找軌跡．22．（1）證明見分析；（2）．【分析】（1）連接，易得，由，易得，等量代換得，利用平行線的判定得，由切線的性質得，得出結論；（2）連接，利用（1）的結論得，易得，得出，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結論．解：（1）證明：連接，，，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC．∵DF是⊙O的切線，∴DF⊥OD．∴DF⊥AC．（2）連接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°．∴∠A