第一部分知識梳理第四章第二節(jié)

第一部分教材知識梳理第四章三角形第二節(jié)三角形及其性質(zhì)中招考點清單考點一三角形及其分類

1三角形的定義：由不在同一條直線上的①_________相接所組成的圖形叫做三角形

2.按邊分三條線段三角形不等邊三角形等腰三角形“底邊≠腰長”的等腰三角形等邊三角形3.按角分直角鈍角三角形②_____三角形斜三角形銳角三角形③_____三角形考點二一般三角形的性質(zhì)（高頻考點）

【考情總結(jié)】近7年考查4次，僅2014、2009和2008年未考查，題型均為填空題，一般不單獨設(shè)題，常與其他知識綜合求角度，涉及的知識有尺規(guī)作圖和軸對稱性質(zhì).1.三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊的和④_____第三邊，三角形兩邊的差⑤_____第三邊，若一個三角形的三邊邊長分別為a、b、c，則|a-b|＜c＜a+b.大于小于【溫馨提示】（1）三角形的三邊關(guān)系是判斷三條線段能否構(gòu)成三角形的重要依據(jù)，也可利用三邊關(guān)系列出不等式求某些量的取值范圍；（2）在一個三角形中，大角對大邊，小角對小邊.2.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于⑥_____.180°3.三角形內(nèi)、外角關(guān)系:（1）三角形的外角⑦_____與它不相鄰的兩內(nèi)角的和;（2）三角形的任意一個外角⑧_____任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.等于大于考點三三角形中的重要線段

1.三角形的角平分線三角形的角平分線的描述方式，如圖①所示：（1）AD是△ABC的一條角平分線.

（2）三角形的任意一條角平分線均在三角形內(nèi).

（3）∠1=∠2=⑨_______.∠ABC2.三角形的中線三角形的中線的描述方式，如圖②所示：（1）AM是△ABC的一條中線，M是BC的中點.

（2）三角形的任意一條中線均在三角形內(nèi).

（3）BM=CM，S△ABM＝S△ACM＝S△ABC.3.三角形的高線三角形的高線的描述方式：（1）AD是△ABC的一條高線，D是垂足.

（2）三角形高線的位置如圖：（3）三角形面積公式：S=a·h，其中a是三角形的一條邊長，h是這條邊上的高.【溫馨提示】三角形的角平分線、中線、高線不是直線也不是射線，而是線段；三角形的三條中線交于一點,這一點叫做三角形的重心;三角形的三條角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心;三條高的交點叫做三角形的垂心.4.三角形的中位線（1）中位線的概念：連接三角形⑩_________的線段叫做三角形的中位線.

（2）中位線的性質(zhì)：三角形的中位線_______第三邊，并且等于第三邊的_____.

兩邊中點平行于1112一半

如圖③，△ABC三邊中點分別為點D、E、F，則有（1）DF∥BC且DF=BC；DE∥AC且DE=AC；EF∥AB且EF=AB；（2）S△ADF=S△DBE=S△FEC=S△EFD=S△ABC.考點四特殊三角形的性質(zhì)及判定（高頻考點）

【考情總結(jié)】近7年每年必考，但一般不單獨設(shè)題.其中等腰三角形近7年考查5次，僅2013年和2012年未考查，性質(zhì)考查2次，判定考查3次；直角三角形近7年考查6次，僅2014、2010和2009年未考查，2013年和2012年各考查2次，其中直角三角形的性質(zhì)考查2次，直角三角形的判定考查4次.題型為解答題和填空題.1.等腰三角形性質(zhì)：（1）兩腰相等，_______相等；（2）頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合；（3）是軸對稱圖形，有___條對稱軸.

判定：(1)有兩條邊相等的三角形；(2)等角對等邊.

面積計算公式：S=ah(h是邊a上的高).

兩底角一13142.等邊三角形性質(zhì)：（1）三邊相等；（2）三內(nèi)角相等，且每一個內(nèi)角都等于_____；（3）內(nèi)外心重合；（4）是軸對稱圖形，有___條對稱軸.

判定：（1）三條邊相等的三角形；（2）三個角都相等的三角形；（3）有一個角等于60°的___________是等邊三角形.

面積計算公式：S=ah=a2(h是邊a上的高).60°三151617等腰三角形3.直角三角形性質(zhì)：（1）兩銳角之和等于_____；（2）斜邊上的中線等于斜邊的_____；（3）30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；(4)若有一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的銳角等于_____；(5)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；（6）直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半.90°一半18192030°

判定：(1)有一個角為90°；(2)斜邊上的中線等于斜邊的一半；(3)若a2+b2=c2，則以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形.

面積計算公式：S=ch=ab(a、b為直角邊，h是斜邊c上的高).

失分點9等腰三角形中分類討論思想的應(yīng)用（1）當已知等腰三角形的兩邊長時，若沒有明確邊的類型，要分已知邊是底邊和已知邊是腰兩種情況進行討論，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊作出判斷；（2）另外已知等腰三角形的一個內(nèi)角度數(shù)，確定其余兩個角的度數(shù)，也應(yīng)當分類討論，已知角是銳角時，答案是兩種，已知角是直角或者是鈍角，只有一種情況，即是已知角為等腰三角形的頂角，其余兩個角都是底角.常考類型剖析類型一三角形中位線的有關(guān)計算例1已知△ABC的各邊長度分別為3cm,4cm,5cm，則連接各邊中點的三角形的周長為（）

A.2cm

B.7cm

C.5cm

D.6cmD

【解析】如解圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三邊的中點，則DE=

AC，DF=

BC，EF=

AB，∴△DEF的周長=

DE+DF+EF

=

(AC+BC+AB)=6cm.【方法指導(dǎo)】在解決三角形中位線的有關(guān)計算時，一般先根據(jù)中點得到三角形的中位線，然后根據(jù)中位線的性質(zhì)可得到線段之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，從而可求解有關(guān)的角度問題和線段長度問題，有時還會與垂線、角平分線等的性質(zhì)結(jié)合求線段長度或角度.

拓展題1(’14瀘州)如圖，等邊△ABC中，點D、E分別為邊AB、AC的中點，則∠DEC的度數(shù)為()A.30°B.60°C.120°D.150°C【解析】由等邊△ABC得∠C=60°，由三角形中位線的性質(zhì)得DE∥BC，∴∠DEC=180°-∠C=180°-60°=120°.類型二等腰三角形性質(zhì)的有關(guān)計算例2已知等腰△ABC中，AD⊥BC于點D，且AD＝

BC，則△ABC底角的度數(shù)為_______________.45°或75°或15°【解析】本題應(yīng)分情況討論：如解圖①，AB=AC,∵AD⊥BC,∴BD=CD=BC,∠ADB=90°，∵AD=BC,∴AD=BD,∴∠B=45°，即此時△ABC底角的度數(shù)為45°；如解圖②，AC=BC,∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°，∵AD=BC,∴AD=AC,∴∠C=30°，∴∠CAB=∠B=75°，即此時△ABC底角的度數(shù)為75°；如解圖③，AD⊥BC,AD=BC=AC,∴∠ACD=30°，∴∠ACB=150°，∴∠CAB=∠CBA=15°，∴此時△ABC底角的度數(shù)為15°；綜上，△ABC底角的度數(shù)為45°或75°或15°.【方法指導(dǎo)】涉及等腰三角形的邊、角問題時，常常分情況討論：（1）對于解決已知某條邊求另外兩條邊或周長的問題時，要分這條邊是底邊還是腰，同時在確定底邊和腰后，要根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷能否構(gòu)成三角形；（2）對于解決已知某角求另外兩角度數(shù)的問題時，要分所給角是底角還是頂角，看頂角是銳角、鈍角，還是直角，同時在確定角后注意：三角形的內(nèi)角和等于180°.

拓展題2已知等腰△ABC的兩邊長分別為2和3，則等腰△ABC的周長為_____.7或8【解析】因為等腰三角形的兩邊分別為2和3，但沒有明確哪是底邊，哪是腰，所以有兩種情況，需要分類討論：當2為底時，三角形的三邊為3，2，3可以構(gòu)成三角形，周長為8；當3為底時，三角形的三邊為3，2，2可以構(gòu)成三角形，周長為7.類型三等腰三角形的判定例3如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，則圖中的等腰三角形有()A.5個B.4個

C.3個D.2個A【解析】①∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；②∵BD、CE分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；③∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)=72°，又∵BD是∠ABC的角平分線，∠ABD=，∴△ABD是等腰三角形；④由③可知∠ABC=∠ACB=72°，BD是∠ABC的角平分線，∴∠DBC=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°-∠ACB-∠DBC=180°-72°-36°＝72°,∴∠BDC=∠ACB,∴BD=BC,∴△BCD是等腰三角形；⑤由④得∠BDC=72°，由③得∠ACB=72°，CE是∠BCD的角平分線，∴∠DCE=∠BCD＝36°，∴∠DEC=180°-∠DCE-∠BDC=180°-36°-72°＝72°，∴∠DEC=∠EDC,∴CE=CD,∴△CDE是等腰三角形.【方法指導(dǎo)】有關(guān)等腰三角形的判定常用的方法為：（1）直接證明三角形的兩邊相等，可以通過直接計算或者等量代換求得兩邊的數(shù)量關(guān)系，從而判定等腰三角形；（2）通過求三角形的兩個內(nèi)角相等，利用等角對等邊即可得到三角形的兩邊相等，從而判定等腰三角形.類型四直角三角形性質(zhì)的有關(guān)計算例4在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，則AC上的中線長為_____.5

【解析】如解圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=