2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義進(jìn)階方案-02 大題專攻（一）（立體幾何中的空間角與距離問(wèn)題）（解析版）

專題02大題專攻（一）（立體幾何中的空間角與距離問(wèn)題）

目錄

題型一：求線面角

題型二：求二面角

題型三：求空間距離

應(yīng)用體驗(yàn)精選好題做一當(dāng)十

題型一：求線面角

1.（2021?安徽?合肥市第八中學(xué)高二期中）如圖.在正方體ABCD-AgCQ中，E為。A的中點(diǎn).

（1）求證：8。//平面ACE；

（2）求直線AD與平面ACE所成角的正弦值.

（1）證明見(jiàn)詳解

⑵漁

6

（1）如圖所示：

連接被與〃'交于點(diǎn)0,

因?yàn)?,￡為中點(diǎn),

所以O(shè)E//BR,又OEu平面ACE,B'0平面ACE,

所以平面ACE；

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

令M=2,所以A（0,0,0）,D（0,2,0）,C（2,2,,0）,E（0,Zl）

布=（0,2,0）,而=（2,2,0）,荏=（0,2,1）

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為＞=（x,y,z）

n-AC=012x+2y=0

令y=.l,x=l,z=2

n-AE=0[2y+z=0

所以3=(1,—1,2),

76

所以直線4〃與平面〃萬(wàn)所成角的正弦值

6

2.（2021?河北?藁城新冀明中學(xué)高三月考）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形,

PB工BC,PDLCD,且PA=2,E為PO的中點(diǎn).

（1）求證：24_L平面ABC。；

（2）求PC與平面ACE所成角的正弦值.

【答案】

（1）證明見(jiàn)解析

（1）因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以

又因?yàn)锽C_LPB,ABcPB=B,

所以BCJ?平面aw,

因?yàn)镽4u平面上鉆，所以8C_LR4,

因?yàn)?_LAD,PDVCD,ADIPD=D,

所以。。_1_平面/%￡＞，

因?yàn)镻Au平面P4。，所以C￡＞_LP4,

因?yàn)?CcC￡）=C,所以PA_L平面4BCD

（2）

如圖建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-也,

則A（0,0,0）,C（2,2,0）,E（0,1,1）,P（0,0,2）,

設(shè)A=（x,y,z）為平面ACE的一個(gè)法向量，

又因?yàn)橐?（2,2,0）,荏=（0,1,1）,PC=（2,2,-2）

[AC-n=2x+2y=0.1”口

所以＜一_令丁=一1，可得x=l,z=l,

AE?萬(wàn)=y+z=0

所以得％=（1,一1,1）,

設(shè)PC與平面ACE所成角為e,

I?|-2|1

則.”HP訃茴不熹、1

所以PC與平面4CE所成角的正弦值為g.

題型二：求二面角

1.（2021?吉林?東北師大附中高二期中）如圖，四棱錐P-ABC。中，APAB為等邊三角形,平面R43_L

底面A8CO,底面ABCD為直角梯形，其中NA8C=NBAZ）=90。，AD=AB=2,BC=\,例為線段PO中點(diǎn).

（1）證明：AM，平面PC。；

（2）求平面PAC與平面MAC的夾角的余弦值.

p

M

【答案】

(1)證明見(jiàn)解析.

⑵運(yùn)

4

(1)

取AB中點(diǎn)。，C。中點(diǎn)E,連結(jié)OP,0E.

平面底面A3C7),底面A3C￡＞為直角梯形，

所以QPL底面ABC。，OEA.AB,

以。為原點(diǎn)，以05、OE、0P所在直線分別為MN*軸，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,

則A(-l,0,0),C(l,l,0),D(-l,2,0),A(0,0,我,

Q=(l,0,拘，AC=(2,1,0)

AM±DC,

又")=AP=2,M為線段PZ)中點(diǎn)，AMYPD,

PDcCD=D,

■■■AM_L平面PC。；

(2)

設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為蔡=(不,y,Z1),

in-AC=2x=0

]令再=1,則y=-2,Z[=_,

m-AP=x,+gz[=0

加=(1,-2,一

設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為〃=(犬2，%，22)，

n-AC=2X2+>2=0

則__1G，令w=i貝I」y2--2,z2=\/3,

n?AM=—x2+y2+—z2=0

/?=(1,-2,5/3),

設(shè)平面PAC與平面MAC的夾角為e,

4y/6

cos0=|cos〈〃*ri)|=乃"

I加ll〃l8A/6~4，

平面PAC與平面MAC的夾角的余弦值為遠(yuǎn).

4

2.(2021?重慶市第H^一中學(xué)校高二期中)在如圖所示的幾何體中，平面平面ABCD,四邊形ABCZ)

是菱形，四邊形4DMW是矩形，ND4B=5,AB=2,AM=l,E是AB的中點(diǎn).

(1)求證：/宓,平面地用；

TT

(2)在線段A"上是否存在點(diǎn)尸，使二面角P-EC-O的大小為:？若存在，求出”的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)

4

說(shuō)明理由.

【答案】

(1)證明見(jiàn)解析；

(2)存在，AP=@.

7

(1)

7T

連結(jié)劭，由四邊形ABCD是菱形，=E是AB的中點(diǎn).

所以￡)E_LAB,

因?yàn)樗倪呅蜛DNM是矩形，

平面ADNML平面A8CO且交線為AD

所以M4J_平面ABCD,乂DEu平面ABCD,

所以E>E_LAM,又AWnAB=A,

所以。E_L平面4啊，

（2）

由DELAB,AB//CD,故DE1CD,

因?yàn)樗倪呅蜛OVM是矩形，平面ADMW，平面ABC。且交線為AO,

NDLAD,所以N￡）_L平面A8CO,

以。為原點(diǎn)，OE為*軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則仇0,0,0）,E（V3,0,0）,C（0,2,0）,N（0,0,l）,設(shè)

P（V3,-l,w）（0</?<1）則

反=卜后2,0）,麗=（0,-1,m），

NDJ■平面ABCD,平面的法向量為麗=（0,0,1）,

->/3x+2y=0

設(shè)平面PEC的法向量為,n=（.v.,v,z）,萬(wàn).反=”?麗=o,即■

一y+mz=0

取z=l,萬(wàn)=|〒，膽，1

假設(shè)在線段A"上存在點(diǎn)尸’使二面角P-EC"的大小為『

解得〃7=—，

7

所以點(diǎn)P在線段40上，符合題意的點(diǎn)尸存在，此時(shí)AP=^.

7

題型三：求空間距離

1.(2021?上海市文來(lái)中學(xué)高二期中)如圖：正四棱柱A8C3-A4G4中，底面邊長(zhǎng)為2,8G與底面A8CD

所成角的大小為arctan2,M是。。的中點(diǎn)，N是8。上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)麗=2麗(0<4<1).

(1)當(dāng)時(shí)，證明：MN與平面A8GQ平行；

(2)若點(diǎn)N到平面800的距離為4,試用4表示。，并求出。的取值范圍.

【答案】

(1)證明見(jiàn)解析

(2)d=\/2(1-Z),0<J<V2.

(1)

證明：連接BR,由2=:得”是加的中點(diǎn)，又〃是的中點(diǎn)，所以MN//RB,

又肱V<Z面ABCQ,QBu面ABCQ,所以MN〃面ABCQ.

解：因?yàn)镃G，平面ABC。,所以NGBC為直線BG與底面4%為所成角，即tanNC^C=再=2,

BC

所以CG=28C=4,

所以以〃為原點(diǎn)，以DA,OC,Q〃為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

則8(2,2,0),C(0,2,0),0(0,0,0),M(0,0,2),所以麗=(2,2,0),冊(cè)=(-2,0,0),,BM=(-2,-2,2)，

又麗=4麗=(2人240),即N(242Z0),所以麗=(2424一2),

,.(20

設(shè)平面8CV的法向量為5=*,y,z),則〃?絲二：,BpJ。"A-o八，令y=1，得5=(0,1/)，

無(wú)BM=0[-2x-2y+2z=0

-------MNn2-2A

設(shè)MN4平面久財(cái)所成的角為a，則sina=|cos〈MN,n)|=|?砌慟1=偽麗?,

所以/V到平面6a/的距離為"=|MN|sina=J^=J^(l-4),所以所以0<1<夜.

2.(2021?河北?秦皇島一中高二月考)已知在長(zhǎng)方形A8C。中，AO=2A8=2近，點(diǎn)E是AO的中點(diǎn),

沿BE折起平面ABE，使平面ABE，平面88E.

(1)求證：在四棱錐A-BCDE中，ABrAC；

(2)在線段AC上是否存在點(diǎn)尸，使二面角A-BE-F的余弦值為手？若存在，找出點(diǎn)F的位置；若不存

在，說(shuō)明理由；

(3)若點(diǎn)/為線段AC的中點(diǎn)，求點(diǎn)C到平面3EF的距離.

【答案】

(1)證明見(jiàn)解析

(2)存在，點(diǎn)尸為線段AC的中點(diǎn)

⑶空

5

(1)

連結(jié)CE.因?yàn)椤盀锳D的中點(diǎn),AO=2AB=25/2?所以AB=AE=>/2-

因?yàn)樗倪呅瘟︻H為長(zhǎng)方形，所以4LL"AD=BC=2@

在直角三角形4膜中，BE=ylAB2+AE2=^(V2)2+(>/2)2=2,同理?2.

又陷2&,所以8必+。爐=8。2,所以"_1_座

乂平面力即1平面加用平面/跖n平面比比三龍，所以龍_L平面｛班；所以4員L◎:

又ABI.AE,R.AEICE=E,所以ABL平面AEC,所以ABLAC.

(2)

尸為線段的中點(diǎn).

易知△4配'和△應(yīng)'C均為等腰直角三角形，過(guò)｛點(diǎn)作底邊座'的高，交跖于。點(diǎn)，取8c中點(diǎn)G,連結(jié)僅以。

為原點(diǎn)，麗元麗為小八z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則/(0,0,1),8(1,0,0),

C(-l,2,0),M-1,0,0),￡4-(1,0,1),AC=(-1>2,-1),顯然平面｛膜的一個(gè)法向量為正=(O，1Q).

ZJk

假設(shè)在線段〃'上存在點(diǎn)尸，使二面角止比‘-尸的余弦值為乎.設(shè)通=入/，則而^麗+入/二。-入，2

[ri'EF=0

X,1-X),又麗=(2,0,0),設(shè)平面版的法向量為7=(x,y,z),可得冗而，即得

2A.m"1_I_正

(l-/l)x+2Ay+(l-A)z

令片1可得，百-(0,1,—),那么cos〈加￡＞「|扁而「/24--5，可

2x=0加r(M)

得入=：,即當(dāng)點(diǎn)尸為線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角上仍「尸的余弦值為骼.

(3)

當(dāng)尸為中點(diǎn)時(shí)，由(2)知3=(0,1,-2),

而覺(jué)=(0,2,0),所以點(diǎn)C到平面BEF的距離4=!」常==當(dāng).

應(yīng)用體驗(yàn)精選好題做一當(dāng)十

1.(2021?河北省晉州市第二中學(xué)高二期中).如圖，AE_L平面ABC。，CF\\AE,AD\\BC,AD±AB，

AB=AD=\，AE=BC=2.

(1)求證：Bb〃平面ADE；

(2)求直線CE與平面BOE所成角的正弦值；

(3)若二面角E—6D—F的余弦值為:，求線段CF的長(zhǎng).

【答案】

(1)證明見(jiàn)解析

(2)?

-I

(1)

建立以/為原點(diǎn)，分別以通，亞，通的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖).

可得A(0,0,0),/?(l,0,0),C(l,2,0),0(0,1,0),￡(0,0,2)

設(shè)b=M%>0)，則c(i,z/0.

證明，依題意，布=(1,0,0)是平面ADE的法向量，乂喬=(0,2,〃)，可得麗?麗=0，乂因?yàn)橹本€平

面A￡>E,所以BE〃平面AOE；

(2)

依題意,BD=(-l,l,0),BE=(-l,0,2),CE=(-l,-2,2)

設(shè)3=(”z)為平面瓦汨的法向量，則,；黑］；，即(do,不妨令z=l，可得7=(2,2,1),

因此有c°s(區(qū)用=Spj=~,所以直線CE與平面比出所成角的正弦值為［；

(3)

設(shè)正=(%,%,z。)為平面BDF的法向量,

不妨令y=i,可得〃?=1』,4

師向一14-1118

由題意，有卜os(M?卜解得人=1經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

Q

所以，線段CF的長(zhǎng)為

2.(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))三棱柱ABC-AgCi中，AB=5C=A4,=3,AC=2,B、C=2不，

面48G，面BBCC.

(1)證明：LB.C-

(2)求直線AC與面ABC所成角的正弦值.

4

【詳解】

(1))證明：區(qū)444=3,...四邊形能GC是菱形.

又面46G_L面初C；C,面4陽(yáng)D面購(gòu)GC=6C.

二區(qū)「_1_面46G.

又..飛氏面46G,:.RCUB即46_L8C.

(2)解：B\CCB&=0,連接4"由(1)的結(jié)論氏人面4圈，得8CJ_40,

/.A。=,32-(77)2=五,

又CQ=4BC-BQ?=J32-(⑺2=夜,

而4G=2,.,.40_LG0，二4。，面8CG5.

以。1,0B,恤為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則G（o,-"o）,4（/o,o）,A（O,O，?，:.束=（布,6，0）,BX=（-V7,0,A/2）.

設(shè)面48G的法向量為〃=(x,?z),

J訂場(chǎng)何第=0J/x+0y=O

所以葉近必[H.M=OU/7X+及Z=0令x=V2?

得〃=（0,-6/?）.

記直線與面｛叱（即面484）所成角為0.

???的"砌，，sin”摘邛.

直線5c與面胸所成角的正弦值：立.

4

3.（2021?重慶八中模擬預(yù)測(cè)）如圖甲，正方形A4'A'A邊長(zhǎng)為⑵AAJIBBJICC,,AB=3,BC=4,AA；

分別交8B-CG于點(diǎn)P,Q,將正方形/MAA沿SB—CC,折疊使得AA,與A'A重合，構(gòu)成如圖乙所示的

三棱柱ABC-A4C，點(diǎn)用在該三棱柱底邊AC上.

⑴若證明：8M〃平面APQ；

（2）若直線8M與平面APQ所成角的正弦值為巫，求AAZ的長(zhǎng).

15

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）AM=3或AM=五.

【詳解】

（1）證明：在圖乙中，過(guò)〃作MN〃CQ,交4Q于N,連接PN,

則MN//PB.MNPB共面且平面MNPB交平面APQ于PN,

■:AB=3,BC=4,

.?.AC=5,又"'AA為正方形，

715

QC=7,tanQAC=-,由有MN=3=BP,

四邊形MNPB為平行四邊形，，BM//PN,

乂PNu平面4PQ,斯工平面人/5。，

/.BM〃平面APQ.

（2）由（1）,AC2=AB2+BC2,：.AB1BC.

由題圖知，PB=AB=3,QC=7,分別以54，BC,8片為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A（3,0,0）,C（0,4,0）,P（0,0,3）,Q（0,4,7）,

前=（0,4,0）,Q=（-3,0,3）,而=（-3,4,7）,

設(shè)平面APQ的法向量為。=（x,y,z）,

.n-AP=-3x

則n〈一+3z=0,

n-AQ=-3x+4y+7z=0,

令x=l,得萬(wàn)=（1,-1,1）,

設(shè)癡=4近，得”（3-3九440）,

???直線BM與平面AP。所成角的正弦值為巫，

15

.河臼|3-7,而

.|兩,司^（3-3A）2+16/-V315'

解得2=（3或4=本3即4W=3或AM=15..

4.（2021?江蘇?高二專題練習(xí)）如圖，三棱柱48C-A&G所有的棱長(zhǎng)為2,A.B=\C=>[2,M是棱8。

的中點(diǎn).

（I）求證：AM，平面ABC;

（II）在線段BC是否存在一點(diǎn)尸，使直線6P與平面ABC所成角的正弦值為巫？若存在，求出CP

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）存在，CP=-CB

4t12

【詳解】

解：（1）證明：AB=AC=應(yīng),8c=2,M是8c中點(diǎn),

乂A4,=2,AM=V3,

22

AM+A1M=AA^9

A.M±AM,

_L平面ABC,

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M-qz,

由（1）知平面4比的法向量為兩=（6,0,0）,A（MO,O）,A（0.0,1）,5（0,1,0）,C（0,-l,0）,

而=配-甌=配-麗

令定=4配=（GI,-2ZT）,（0<A<l）

則而=刪+聲=（0,-2,0）+（-64242）=（-&,2/1-2,;1）,

設(shè)直線於與平面48。所成角為。，則

sin6=|cos（MA,BP^=—~/—

y/3784“—82+4

33

解得2二或/5（舍）'

所以當(dāng)CP=qCB|時(shí)，滿足題意，此時(shí)CP=

5.(2021?湖南師大附中高二期中)如圖，在四棱錐P-43CD中，底面A8CD是正方形，側(cè)棱24,底面

ABCD,同E，尸分別是PCP￡>上的動(dòng)點(diǎn)，S.PEFD=PFEC.

(1)求證：￡尸平面24￡)；

13

(2)若=且PC與底面A8C3所成角的正弦值為g,求平面A￡C與平面A￡D夾角的余弦值.

【答案】

(1)證明見(jiàn)解析

⑵叵

22

(1)

PFPF

證明：由PEFD=PFEC,得「;=—,^EFHCD.

ECFD

???24_1底面他。￡>,???24_18,又CD_LAD,且24cAD=A,PA,AOu平面B4￡)，

??.CQ_L平面PA。，即石尸_L平面Q4￡>.

(2)

由PAJ_底面ABC。，得PC與底面ABC。所成角即為/PC4,

3

AsinZPCA=1,不妨設(shè)E4=3,則PC=5,AC=4,AB=BC=272，

以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，以A￡>所在直線為V軸，以”所在直線為z軸

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

p

則A（0,0,0）,B（2a,0,0）,D（0,2^,0）,W4

（202V2]UUll

：.AE=【虧‘亍=（0,272,0）.

設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),

2x/220cA

n-AE-0,------x+------y+2z=0,人廠12

則'33令x=0,則2=-鼻

n-AD=0

2垃y=Q'

又8D_L平面ACE,而麗=卜2正,2五,0),

u/\m-n35/22

二平面ACE的一個(gè)法向量帆=(-1,1,0),cos的，〃片-

由圖可知平面AEC與平面AEO夾角為銳二面角，則平面AEC與平面AE。夾角的余弦值為.

22

6.(2021?福建省漳州第一中學(xué)高二月考)如圖，在直三棱柱A8C-AAC中，平面A8C,其垂足。

落在直線48上.

(1)求證：BC1A}B

(2)若AD=G，AB=BC=2,P為AC的中點(diǎn)，求二面角P-A8-C的余弦值.

4G

【答案】

(i)證明見(jiàn)解析

⑵過(guò)

7

【分析】

(1)首先根據(jù)題意易證AAtlBC,AD±BC,從而得到BC_L平面，再利用線面垂直的性質(zhì)即可得到

(2)以B為原點(diǎn)，分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解即可.

(1)

因?yàn)槔矫鍭BC,BCu平面ABC,所以AA，8C,

因?yàn)?平面ABC,BCu平面ABC,所以ADL8C,

IBC

因?yàn)锳。，3c,所以BC,平面AAB,

nAD=A

又因?yàn)锳8u平面AA8,所以3CJ.A8.

(2)

由(1)知：BCJ_平面,ABI平面AA8,所以BC_LAB.

又因?yàn)樵赗TA/WD中，sin^DBA=—,所以/084=工，

23

所以tanNABA=竽=6,即蝴=26.

以B為原點(diǎn)，BC,BA,BBt分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示：

>4（0,2,0）,C（2,0,0）,P（l,l,0）,3（0,0,0）,4（0,2,26）,

所以麗=（1,1,0）,甌=（0,2,2石），BC=（2,0,0）

設(shè)平面尸48的法向量］=(x,y,z),

n-BP=x+y=0

則令x=3,解得y=-3,Z=百,

n-BA=2y+26z=0

即5=b，-3,6）.

設(shè)平面ABC的法向量蔡=(x,y,z),

m-=2y+2后z=0

則，令y=-3,解得x=o,Z=y/3>

m-BC=2x=0

即正=（0,-3,Jj）.

9+3幣

所以cos（n，4=2

V21-V12-7

又因?yàn)槎娼荘-A8-C的平面角為銳角，

所以求二面角P-AB-C的余弦值為邁.

7

7.(2021?江西省分宜中學(xué)高一月考)如圖，在三棱柱中，已知ABJJ則面88℃，

7T

AB=BC=\,BB]=2,ZBCQ=-.

(1)求證：G8j_平面ABC；

(2)設(shè)在=/1不(0。41),且平面ABg與Mg所成的銳二面角的大小為30。，試求2的值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)2=1

【詳解】

(1)證明：4氏L側(cè)面BBCC,BGu側(cè)面BMC

IT

*'-A8.LBC],在△BCC]中，BC=1,CCX=BBX=2,/BCC\=—.

22

由余弦定理可得3G2=BC+CC}-2BCCC,?cosZBCC}

=l2+22-2xlx2xcosy=3,:.BC、=B

：.BC2+BC；=CC「，BC±8G，

,/BCoAB=B,

■■■G8_L平面/8C

(2)由(1)可知8C,BA,B￡兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，

BCBABG所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則5(0,0,0),A(0,1,0),4(-1,0,百),G(0,0,6).

所以區(qū)'=(—1,0,6),所以屋=?,0,后)，

則荏=(1-4,-1,&),麗'=(-1,-1,我.

設(shè)平面AB'E的法向量為〃=(x,y,z),

□I,\n-AE=O」(l->l)x_y+由;lz=O

則由一，即<

[n-AB1=0[-x-y+5/3z=0

r-?3-3A3-3-323

令z=6，則nx=不~=,..〃=(z,

2-zt2-A2-A2-2

???mL側(cè)面明GC,.?.麗=(0,1,0)是平面的一個(gè)法向量，

3

__________2ZI__________

I]/)*.)*南—2?

兩邊平方并化簡(jiǎn)得2萬(wàn)-52+3=0,

所以2=1或2(舍去).

???4的值為1.

8.(2021?重慶南開(kāi)中學(xué)高一期末)已知三棱柱A8C-A內(nèi)G，AB=AC=BC=2,側(cè)面BCC4為矩形,

面48。_1面486.

(1)求證：4用=ACX；

(2)若二面角的余弦值為《，P為BC中點(diǎn)，求尸81與面4ABi所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析：(2)當(dāng).

35

【詳解】

(1)取中點(diǎn)。，由丁AA3C是正三角形，所以耳G，

又因?yàn)锽CC4為矩形，而三棱柱中AA//8B-所以AALBG，

從而用G_L面AAQ,則與G，AD,所以4B1=AG.

(2)面ABCL面ABg,4。_1_面4與￡,設(shè)A￡>=f,

如圖，以。為原點(diǎn)，OG為x軸正方向，為》軸正方向，D4為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,6,0),B,(-1,0,0),G(1,0,0)，A(0,0/)，P(0,-&r),鬲=(—1,0,—f),隔6,0),

面ABC法向量即為￡>4=（0,75,0），設(shè)面AAB|法向量為〃?=（x,y,z）,

m-AB=0（1-V3y/5

則_L=慶=-73,1,—,所以所給二面角余弦為廠/3一丁，所以r=6.

㈤A4=oI?）行［4+產(chǎn)

此時(shí)的=卜1,6,-@面例用法向量為而=（-?I/），所求角e的正弦值為:

氤^^=萼，所以，所成角的正弦值為縹

sin。=

9.（2021險(xiǎn)國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在多面體A8C-48G中，四邊形4期A是正方形，。，平面A叫A，

AC=AB=1,B,C,//BC,BC=2B、C1?

（i）求證：A與〃平面AGC.

（2）求異面直線CA與8a所成角的余弦值.

（3）若點(diǎn)M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得二面角C-AG-M的余弦值為;.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)也；(3)M位于B氤

6

【詳解】

以A為原點(diǎn)，以AC,AB,AA,為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,如圖所示:

則8(0,1,0),C(l,0,0),A(0,0,1),B((0,1,1),G

(I)證明：冤=(-1,0,1),福=(0,1,1),

設(shè)平面AGC的法向量為I=(%,y,z),則"3=?

“?AG=。

一x+z=0

;,11z令x=i得％=(i,-1,1),

—x+—y=0

122)

/.n}-AB】=0,又AB】a平面\CXC,

???AB”平面AC。.

(2)區(qū)=(-1,0,1),=

設(shè)異面直線CA,與BQ所成角為"則cos0=3,

6

.?.異面直線CA與8cl所成角的余弦值為立.

6

(3)設(shè)用((M⑼(04XW1),則碩=(0",-1),

n-AG=0

設(shè)平面MAG的法向量為石=(x,y,z),則《2

瓦.硒^=0’

_X__y—Q_

/.p-2，令y=l得%=(-1,1,為，

Ay-z=O

]

c°s如止麗=血〃2+2=丁

解得丸=1或2=5(舍),

.?.當(dāng)/位于8點(diǎn)時(shí)，二面角C-AG-M的余弦值為

10.(2021?湖北?華中師大一附中高二期中)如圖，在梯形A8CD中，ABHDC,AD=DC=2,AB=4,

現(xiàn)將AAOC沿AC翻折成直二面角P-AC-8.

(1)證明：CBLPA；

(2)記AAPB的重心為G,若異面直線PC與AB所成角的余弦值為!,在側(cè)面PBC內(nèi)是否存在一點(diǎn)M,

4

使得G”,平面P5C，若存在，求出點(diǎn)M到平面PAC的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】

(1)證明見(jiàn)解析

(2)存在，偵

3

(1)

取A3的中點(diǎn)E,連結(jié)CE.

VAB=4,CD=2,：.AEUDC,AE=DC,二四邊形ADCE是平行四邊形,

ACE=AD=2,：.CE=AE=EB,：.Z4CB=90°,BPCB1C4,

又平面平面ACS,且兩平面的交線為AC,：.CB_L平面PAC,

又B4u平面PAC,：.CBLPA.

(2)

取AC的中點(diǎn)O,連結(jié)。E,則OE//CB.

J.OEVAC,且OPJ_AC,/.OC,OE,OP兩兩互相垂直.

以。為原點(diǎn)，OC.OE<麗為X,y,Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)|OC|=a(a>0),則C(a,0,0),p[o,O,y/4-a2],71(-a,0,0),B

：.PC=(4,0,-44-,AB=[24,2,4-4,()

\PC-AB\_2

由異面直線PC與鈕所成角的余弦值為?得卜2a

|PC|-|AB|-2X44

解得a=l.所以/(-I,0,0),8(1,2石，0),(7(1,0,0),嚴(yán)(0,0,G),

所以重心G(0,|G，今，

假設(shè)在側(cè)面W內(nèi)存在一點(diǎn)M,

設(shè)麗=加+〃陽(yáng)220,〃20,4+〃41),得加(/1+〃,2&,-6/1-島),

由MGL平面加4得|絲上=°,所以;l=L〃=L

所以存在點(diǎn)M,此時(shí)點(diǎn)M到平面為C的距離為26/1=詈

11.(2021?廣東?廣州市第十六中學(xué)高二期中)如圖1,在AM8C中，BM=2BC=4,BM1BC,A,D

分別為棱BM,MC的中點(diǎn)，將AMM)沿AD折起到AMD的位置，如圖2,連結(jié)PB,PC.

(1)求證：平面上4￡>_1_平面

(2)若ZR4B=90。，若E為PC中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線BO的距離：

(3)若/84B=90。，線段PC上是否存在一點(diǎn)G,使面G4O與面R4O的夾角的余弦值為量可？若存在,

10

求出qI的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

【答案】

(1)證明見(jiàn)解析；

(2)點(diǎn)E到直線BD的距離為叵；

5

(3)線段PC上存在一點(diǎn)G,使二面角G-AD-P的余弦值為跡，且縱=!.

10PC4

(1)

證：因?yàn)锳,。分別為Affi,A/C中點(diǎn)，所以45/78C.

因?yàn)锽MJ.BC,所以8WJ_A￡>.所以以_LAQ.

又ADA.AB,PAC\AB=A,PA,ABu平面

AZ)平面％8，又ADu平面PAD,得

平面正仞L平面ABC。.

(2)

因?yàn)锳￡>_LAB，PAYAD,ZPAB=90°,所以4尸，AB,4Z)兩兩互相垂直.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4，

依題意有A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),￡>(0,1,0),尸(0,0,2),￡(1,1,1).

則詼=(1,0,1),麗BD=(-2,1,0).

BE=(l,0,l)(-l,1,1)=-1+0+1=0,

二DE工BE,

設(shè)點(diǎn)E到直線8。的距離為d,則EBxED=BDxd,

又EB=4i,DE=y[2,BD=A

?“一回

??u---------，

5

；.點(diǎn)E到直線BD的距離為回；

5

（3）

假設(shè)線段PC上存在一點(diǎn)G,使二面角G-4Q-P的余弦值為題.

10

設(shè)G（%,%,z0）,^|=A（O