2016屆四川省高考數(shù)學(xué)（理）沖刺卷07（解析版）

第Ⅰ卷（共50分）一、選擇題（本大題共10個小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．已知集合，，則()A. B. C. D.【命題意圖】本題考查一元二次不等式的解法，交集的概念及其運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.【答案】C【解析】由題意，知，所以，故選C.2．設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是（）A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及運(yùn)算求解能力．【答案】D3．已知向量，，若，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【命題意圖】本題考查向量夾角，數(shù)量積的概念與性質(zhì)，考查基本運(yùn)算能力.【答案】B【解析】由得，，所以，，所以.4．已知某幾何體的三視圖如下圖所示（圖中數(shù)據(jù)單位：cm），則這個幾何體的外接球的表面積為（） B． C． D．【命題意圖】本題考查三視圖與原幾何體的相互關(guān)系，考查基本運(yùn)算求解能力和空間想象能力.【答案】A【解析】由三視圖知該幾何為四棱錐，其形如下圖所示，其中兩兩垂直，設(shè)該幾何體的外接球的半徑為，則由幾何圖形得，解得，所以外接球的表面積為，選A.5．若直線：（）與圓：相交于A，B兩點(diǎn)，則的最大值為（）A． B． C． D．【命題意圖】處理與向量數(shù)量積有關(guān)問題，坐標(biāo)法是萬能的！但充分利用數(shù)量積的幾何意義有時解題會更簡潔方便.【答案】C6．小王準(zhǔn)備利用假期到峨眉山、樂山、青城山、都江堰、西嶺雪山和四姑娘山這6個景點(diǎn)旅游，由于峨眉山與樂山相鄰，青城山與都江堰相鄰，因此在旅游路線設(shè)計(jì)中，也將峨眉山與樂山兩處相鄰，青城山和都江堰兩處相鄰，則小王的不同旅游路線有（）A．72種 B．96種 C．108種 D．144種【命題意圖】本題考查排列與組合的基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生邏輯推理能力和基本運(yùn)算能力．【答案】B【解析】將峨眉山與樂山“打包”，青城山與都江堰也“打包”，則可得不同的旅游路線有種.7.某流程圖如圖所示，現(xiàn)輸入如下四個函數(shù)，則可以輸出的是（）A． B． C． D．【命題意圖】本題以流程圖為載體，考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力．【答案】C8．已知正數(shù)a，b，c滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．【命題意圖】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，一般的含多個變量的不等式組問題要注意先減元再利用解決線性規(guī)劃問題的方法求解．【答案】B【解析】由題意得，設(shè)x＝eq\F(b,c)，y＝eq\F(a,c)，則有eq\b\lc\{(\a\al(2x＋y≤5，,eq\F(4,x)＋eq\F(3,y)≤5，))即eq\b\lc\{(\a\al(y≤5－2x，,y≥eq\F(3x,5x－4)，,eq\F(4,5)＜x＜eq\F(5,2)．))作出平面區(qū)域如圖所示（陰影部分），設(shè)eq\F(a＋3b,c)＝t，即t＝3x＋y，當(dāng)直線y＝－3x＋t與曲線y＝eq\F(3x,5x－4)相切時，t最小．將直線y＝－3x＋t與曲線y＝eq\F(3x,5x－4)聯(lián)立方程組，消去y整理得15x2－(5t＋9)x＋4t＝0，令△＝(5t＋9)2－240t＝0，得t＝eq\F(27,5)或t＝eq\F(3,5)(舍)，于是t最小為eq\F(27,5)．9．如圖，正三棱柱的側(cè)面積為8，為邊上的高.記過且與平行的平面與底面成，則該三棱柱被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．【命題意圖】本題考查直線與平面平行的判定及性質(zhì)，考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力．【答案】C10.已知點(diǎn)，是拋物線上相異兩點(diǎn)，且.若的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則△的面積的最大值是（）A．B． C．D．8【命題意圖】本題考查直線與拋物線間的位置關(guān)系，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想和計(jì)算能力．【答案】D令時，得，∴，于是S△MAB．令，則，∴當(dāng)時，(S△MAB)max=8，此時．第Ⅱ卷（共100分）二、填空題（每題5分，滿分25分，將答案填在答題紙上）11．的展開式中，的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）【命題意圖】本題主要考查二項(xiàng)式定理的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的計(jì)算能力．【答案】【解析】的展開式的通項(xiàng)為，令，則的通項(xiàng)為，令，則，所以的展開式中，的系數(shù)為.12．在區(qū)間上隨機(jī)地取一個數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為【命題意圖】本題考查幾何概型及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，本題屬于小綜合題，較好地考查了幾何概型、對數(shù)函數(shù)等基礎(chǔ)知識.【答案】13．已知數(shù)列{an}為正項(xiàng)等差數(shù)列，滿足eq\f(1,a1)＋eq\f(4,a2k－1)≤1(其中k∈N*且k≥2)，則ak的最小值為_________．【命題意圖】本題將等差數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)(等差中項(xiàng))與基本不等式進(jìn)行綜合，考查學(xué)生的計(jì)算能力．【答案】eq\f(9,2)【解析】因?yàn)閧an}為正項(xiàng)等差數(shù)列，則ak＝eq\f(a1＋a2k－1,2)≥eq\f(a1＋a2k－1,2)·(eq\f(1,a1)＋eq\f(4,a2k－1))＝eq\f(1,2)eq·(5＋eq\f(a2k－1,a1)＋eq\f(4a1,a2k－1))≥eq\f(1,2)·(5＋2eq\r(,eq\f(a2k－1,a1)·eq\f(4a1,a2k－1)))＝eq\f(9,2)(當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,a1)＋eq\f(4,a2k－1)＝1，且eq\f(a2k－1,a1)＝eq\f(4a1,a2k－1)，即a1＝3，a2k－1＝6時取“＝”號)．14．一個雪球，在融化時其半徑的減小量與時間成正比.已知從受熱開始，經(jīng)過2小時，融化了其體積的，則剩余部分還需小時融化完.（精確到1小時，參考數(shù)據(jù)：）【命題意圖】本題屬函數(shù)的簡單應(yīng)用題，其本質(zhì)是考查函數(shù)的變化率，函數(shù)方程思想的應(yīng)用.【答案】20【解析】設(shè)雪球的半徑為，.由于雪球在融化時其半徑的減小量與時間成正比，所以設(shè)比例常數(shù)為，時間為.于是有，且.由于兩小時內(nèi)融化了其體積的，所以，即，整理，得.若雪球全部融化完，也就是，即（小時）.這表明，雪球全部融化需要22小時，那么開始融化兩小時之后再需20小時才能融化完.15．設(shè)為平面內(nèi)的個點(diǎn)，在平面內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的一個“中位點(diǎn)”．例如，線段上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)的中位點(diǎn)．則有下列命題：①若三個點(diǎn)共線，在線段上，則是的中位點(diǎn)；②直角三角形斜邊的點(diǎn)是該直角三角形三個頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；③若四個點(diǎn)共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；④梯形對角線的交點(diǎn)是該梯形四個頂點(diǎn)的唯位點(diǎn)．其中的真命題是____________．（寫出所有真命題的序號）【命題意圖】本題以即時定義的新概念為載體，考查多距離幾何最值問題，考查對新信息的分析理解、對問題的探究和富有數(shù)學(xué)特點(diǎn)的思考，考查創(chuàng)新能力.【答案】①④三、解答題（本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）16．（本小題滿分12分）三角形ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，面積為S．（1）若eq\o(AB,\d\fo1()\s\up7(→))·eq\o(AC,\d\fo1()\s\up7(→))≤2eq\r(3)S，求A的取值范圍；（2）若tanA∶tanB∶tanC＝1∶2∶3，且c＝1，求b．【命題意圖】本題主要考查正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，正弦的和角與差角公式等基礎(chǔ)知識，考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運(yùn)算能力．【解析】（1）由題意知，eq\o(AB,\d\fo1()\s\up7(→))·eq\o(AC,\d\fo1()\s\up7(→))＝bccosA，S＝eq\F(1,2)bcsinA，所以bccosA≤eq\r(3)bcsinA，即cosA≤eq\r(3)sinA， （3分）（或也可根據(jù)cosA的正負(fù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanA的不等式）．即eq\r(3)sinA－cosA≥0，2sin(A－eq\F(π,6))≥0．因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，則A－eq\F(π,6)∈(－eq\F(π,6)，eq\F(5π,6))，所以0≤A－eq\F(π,6)＜eq\F(5π,6)，從而A∈[eq\F(π,6)，π)． （6分）（2）設(shè)tanA＝m，tanB＝2m，tanC＝3m，由題意知，m因?yàn)閠anC＝－tan(A＋B)＝－eq\F(tanA＋tanB,1－tanA·tanB)，則3m＝－eq\F(3m,1－2m2)，解得m＝1.（9分）所以tanB＝2，tanC＝3.從而sinB＝eq\F(2eq\r(5),5)，sinC＝eq\F(3eq\r(10),10)，所以eq\F(AC,AB)＝eq\F(sinB,sinC)＝eq\F(2eq\r(2),3)，則AC＝eq\F(2eq\r(2),3)． （12分）17．（本小題滿分12分）已知2件次品和a件正品放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出a件正品時檢測結(jié)束，已知前兩次檢測都沒有檢測出次品的概率為eq\f(3,10)．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費(fèi)用（單位：元），求X的分布列和均值．【命題意圖】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識.本題要注意“檢測后不放回”與“檢測后放回”之間的區(qū)別，正確求出相應(yīng)的排列數(shù)組合數(shù)是學(xué)好分布列的基礎(chǔ)和前提．（2）X的可能取值為200，300，400． （5分）P(X＝200)＝eq\f(Aeq\o(\s\up5(2),2),Aeq\o(\s\up5(2),5))＝eq\f(1,10)，P(X＝300)＝eq\f(Aeq\o(\s\up5(3),3)＋Ceq\o(\s\up5(1),2)Ceq\o(\s\up5(1),3)Aeq\o(\s\up5(2),2),Aeq\o(\s\up5(3),5))＝eq\f(3,10)，P(X＝400)＝eq\f(6Aeq\o(\s\up5(2),3),Aeq\o(\s\up5(3),5))=eq\f(3,5)． （8分）所以X的分布列為：X200300400Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)E(X)＝200×eq\f(1,10)＋300×eq\f(3,10)＋400×eq\f(3,5)＝350． （12分）18．（本小題滿分12分）公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，且對成立．（1）求常數(shù)k的值以及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列中的部分項(xiàng)，，，…，…，恰好成等比數(shù)列，其中，，求a1k1＋a2k2＋…＋ankn的值．【命題意圖】本小題考查等差、等比數(shù)列的相關(guān)知識，錯位相減求和的方法，考查運(yùn)算求解能力．（2）設(shè)cn＝aeq\s\do4(kn)，則數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，且c1＝aeq\s\do4(k1)＝a2＝3，c3＝aeq\s\do4(k3)＝a14＝27．故等比數(shù)列{cn}的公比q滿足q2＝eq\f(c3,c1)＝9．又cn＞0，所以q＝3．所以cn＝c1qn－1＝33n－1＝3n．又cn＝aeq\s\do4(kn)＝2kn－1，所以2kn－1＝3n．由此可得kn＝eq\f(1,2)3n＋eq\f(1,2)．所以ankn＝eq\f(2n－1,2)3n＋eq\f(2n－1,2)． （9分）19．（本小題滿分12分）邊長為的正方形所在的平面與所在的平面交于，且平面，．(1)求證:平面平面；(2)設(shè)點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，若二面角的余弦值為，試確定點(diǎn)在上的位置．【命題意圖】本小題主要考查直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.(2)由（1）知，CD⊥平面ADE，又DE平面ADE，所以，所以如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，.∴，∴．設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為，則，∴取，又平面的法向量為，∴，∴.故當(dāng)點(diǎn)滿足時，二面角的余弦值為．（12分）20．（本小題滿分13分）已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上頂點(diǎn)A(0，2)，右焦點(diǎn)F(1，0)，橢圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)F的距離與到定直線l：x＝m的距離之比為常數(shù)k．（1）求常數(shù)m，k的值；（2）過點(diǎn)F的直線交橢圓于點(diǎn)S，T兩點(diǎn)，P為直線l上一動點(diǎn)．①若PF⊥ST，求證：直線OP平分線段ST；②設(shè)直線PS，PF，PT的斜率分別為k1，k2，k3，求證：k1，k2，k3成等差數(shù)列．【命題意圖】本小題主要考查直線、橢圓、曲線與方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合等數(shù)學(xué)思想，并考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．（2）①當(dāng)ST斜率不存在時，由PF⊥ST，得P為直線l與x軸的交點(diǎn)，此時線段ST被直線OP平分；當(dāng)ST斜率為0時，不合題意； （5分）當(dāng)ST斜率存在時，設(shè)直線ST方程為y＝k(x—1)，聯(lián)立直線與橢圓方程eq\b\lc\{(\a\al(y＝k(x—1),eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1))，消去y，得(4＋5k2)x2—10k2x＋5k2—20＝0．設(shè)S(x1，y1)，T(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(10k2,4＋5k2)，x1x2＝eq\f(5k2－20,4＋5k2)，且△＞0．設(shè)線段ST中點(diǎn)為(x0，y0)，則x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(5k2,4＋5k2)，y0＝k(x0—1)＝eq\f(－4k,4＋5k2)，所以ST中點(diǎn)為(eq\f(5k2,4＋5k2)，eq\f(－4k,4＋5k2))． （7分）因?yàn)镻F⊥ST，所以直線PF方程為y＝－eq\f(1,k)(x—1)，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(5，—eq\f(4,k))，則直線OP方程為y＝－eq\f(4,5k)x，而y0＝－eq\f(4,5k)x0，即(x0，y0)在直線OP上，即直線OP平分線段ST．綜上，直線OP平分線段ST． （9分）21．（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax(a∈R)，g(x)＝lnx．（1）求證：g(x)＜eq\F(x,2)；（