浙江七年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)競(jìng)賽沖刺卷二

2021-2022學(xué)年浙江七年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)競(jìng)賽沖刺卷02一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）設(shè)m為一個(gè)有理數(shù)，則|m|﹣m一定是（）A．負(fù)數(shù) B．正數(shù) C．非負(fù)數(shù) D．非正數(shù)【分析】m為有理數(shù)，則|m|≥0，由于m的值不確定，所以應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論．【解答】解：∵m為有理數(shù)，∴|m|≥0，當(dāng)m＞0，|m|﹣m＝m﹣m＝0；當(dāng)m＜0，|m|﹣m＝﹣m﹣m＝﹣2m＞0；當(dāng)m＝0，|m|﹣m＝0﹣0＝0．綜上所述，當(dāng)m為有理數(shù)時(shí)，|m|﹣m一定是非負(fù)數(shù)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題通過求代數(shù)式的值考查了絕對(duì)值的代數(shù)意義，正數(shù)的絕對(duì)值等于其本身，0的絕對(duì)值是0，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于其相反數(shù)．2．（5分）若a，b為有理數(shù)，且2a2﹣2ab+b2+4a+4＝0，則a2b+ab2＝（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16【分析】由2a2﹣2ab+b2+4a+4＝0，可化為兩個(gè)完全平方的形式，根據(jù)非負(fù)數(shù)相加等于0，所以各個(gè)非負(fù)數(shù)都為0進(jìn)行解答．【解答】解；∵2a2﹣2ab+b2+4a+4＝0，即a2﹣2ab+b2+a2+4a+4＝0，∴（a﹣b）2+（a+2）2＝0，故a﹣b＝0，a+2＝0，解得：a＝﹣2，b＝﹣2．故a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣16．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)相加等于0，各個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．3．（5分）已知：4+和4﹣的小數(shù)部分分別是a和b，則ab﹣3a+4b﹣7等于（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6【分析】先求出的范圍，根據(jù)不等式的性質(zhì)得出4+和4﹣的范圍，進(jìn)而得到a、b的值，再代入ab﹣3a+4b﹣7求出即可．【解答】解：∵3＜＜4，∴﹣3＞﹣＞﹣4，4+3＜4+＜4+4，∴4﹣3＞4﹣＞4﹣4，即7＜4+＜8，0＜4﹣＜1，∴a＝4+﹣7＝﹣3，b＝4﹣﹣0＝4﹣，∴ab﹣3a+4b﹣7＝（﹣3）×（4﹣）﹣3×（﹣3）+4×（4﹣）﹣7＝4﹣11﹣12+3﹣3+9+16﹣4﹣7＝﹣5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無理數(shù)的大小和實(shí)數(shù)的運(yùn)算，關(guān)鍵是確定a和b的值，題目比較好，難度適中．4．（5分）如圖，已知AB∥CD，∠BCD的三等分線是CP，CQ，又CR⊥CP，若∠B＝78°，則∠RCE＝（）A．66° B．65° C．58° D．56°【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠BCD的度數(shù)，再根據(jù)CP、CQ是∠BCD的三等分線即可求出∠BCP的度數(shù)，然后∠據(jù)CR⊥CP求出∠BCR，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠BCE的度數(shù)，兩角相減即可求出∠RCE的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝78°，∴∠BCD＝180°﹣78°＝102°，∵∠BCD的三等分線是CP，CQ，∴∠BCP＝×∠BCD＝×102°＝68°，∵CR⊥CP，∴∠BCR＝90°﹣∠BCP＝90°﹣68°＝22°，∵AB∥CD，∠B＝78°，∴∠BCE＝∠B＝78°，∴∠RCE＝∠BCE﹣∠BCR＝78°﹣22°＝56°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)以及角的計(jì)算，準(zhǔn)確識(shí)圖，并仔細(xì)分析從而求出∠BCR的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．（5分）有鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆三種學(xué)習(xí)用品，若購(gòu)鉛筆3支，練習(xí)本7本，圓珠筆1支共需3.15元；若購(gòu)鉛筆4支，練習(xí)本8本，圓珠筆2支共需4.2元，那么，購(gòu)鉛筆、練習(xí)本、圓珠筆各1件共需（）A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元【分析】設(shè)購(gòu)一支鉛筆，一本練習(xí)本，一支圓珠筆分別需要x，y，z元，建立三元一次方程組，兩個(gè)方程相減，即可求得x+y+z的值．【解答】解：設(shè)購(gòu)一支鉛筆，一本練習(xí)本，一支圓珠筆分別需要x，y，z元，根據(jù)題意得，②﹣①得x+y+z＝1.05（元）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組，同時(shí)還要有整體思想．6．（5分）已知a是任意有理數(shù)，在下面各題中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）①方程ax＝0的解是x＝1；②方程ax＝a的解是x＝1；③方程ax＝1的解是x＝；④方程|a|x＝a的解是x＝±1．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】解一元一次方程的步驟有5步：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1，系數(shù)化為1時(shí)的字母系數(shù)一定不能為0，①②④都忽略了系數(shù)為0的情況．【解答】解：①當(dāng)a≠0時(shí)，x＝0，錯(cuò)誤；②當(dāng)a≠0時(shí)，兩邊同時(shí)除以a，得：x＝1，錯(cuò)誤；③ax＝1，當(dāng)a≠0時(shí)，兩邊同時(shí)除以a，得：x＝，錯(cuò)誤；④當(dāng)a＝0時(shí)，x取全體實(shí)數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，x＝1，當(dāng)a＜0時(shí)，x＝﹣1，錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的解法，注意：當(dāng)是含字母的系數(shù)時(shí)，一定要保證字母的系數(shù)不為0，才能同時(shí)除以這個(gè)字母的系數(shù)．7．（5分）方程|x|+|x﹣2002|＝|x﹣1001|+|x﹣3003|的整數(shù)解共有（）A．1002個(gè) B．1001個(gè) C．1000個(gè) D．2002個(gè)【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，就是表示一點(diǎn)到另一點(diǎn)的距離，可以對(duì)x的范圍進(jìn)行討論，即可作出判斷．【解答】解：|x|+|x﹣2002|是數(shù)軸上點(diǎn)x到0和2002的距離的之和，記為d．顯然，當(dāng)0≤x≤2002時(shí)，d＝2002；當(dāng)x＜0或x＞2002時(shí)，d＞2002．同理，|x﹣1001|+|x﹣3003|是數(shù)軸上的點(diǎn)x到兩點(diǎn)1001和3003的距離之和，記為d′，顯然當(dāng)1001≤x≤3003時(shí)，d′＝2002；當(dāng)x＜1001或x＞3003時(shí)，d′＞2002．因此，如果，1001≤x≤2002，則d＝d′＝2002；如果2002＜x≤3003，則d＞2002＝d′；如果0≤x＜1001，則d′＞2002＝d；如果x＞3003，則d＝x+（x﹣2002）＞（x﹣1001）+（x﹣3003）＝d′；如果x＜0，則d＝﹣x+（2002﹣x）＜（1001﹣x）+（3003﹣x）＝d′．所以題設(shè)方程是符合1001≤x≤2002的所有整數(shù)，共有1002個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了絕對(duì)值的意義，利用討論正確去掉絕對(duì)值符號(hào)是解決本題的關(guān)鍵．8．（5分）今有長(zhǎng)度分別為1，2，…，9的線段各一條，現(xiàn)從中選出若干條線段組成“線段組”，由這一組線段恰好可以拼接成一個(gè)正方形，則這樣的“線段組”的組數(shù)有（）A．5組 B．7組 C．9組 D．11組【分析】易得線段的總長(zhǎng)為45，可得正方形的最大邊長(zhǎng)；根據(jù)組成正方形的線段的條數(shù)可得最小的邊長(zhǎng)，再看共有幾種取法即可．【解答】解：顯然用這些線段去拼接成正方形，至少要7條．當(dāng)用7條線段去拼接成正方形時(shí)，有3條邊每邊都用2條線段連接，而另一條邊只用1條線段，其長(zhǎng)度恰好等于其它3條邊中每?jī)蓷l線段的長(zhǎng)度之和．當(dāng)用8條線段去拼接成正方形時(shí)，則每邊用兩條線段相接，其長(zhǎng)度和相等．又因?yàn)?+2+…+9＝45，所以正方形的邊長(zhǎng)不大于．由于7＝1+6＝2+5＝3+4；8＝1+7＝2+6＝3+5；9＝1+8＝2+7＝3+6＝4+5；1+9＝2+8＝3+7＝4+6；2+9＝3+8＝4+7＝5+6．所以組成邊長(zhǎng)為7、8、10、11的正方形，各有一種方法；組成邊長(zhǎng)為9的正方形，有5種方法，故這樣的“線段組”的組數(shù)有9組．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查了計(jì)數(shù)方法，推理與論證，得到所組合正方形的最大邊長(zhǎng)與最小邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分30分，每小題5分）9．（5分）一個(gè)自然數(shù)n減去59之后是一個(gè)完全平方數(shù)，加上30之后仍是一個(gè)完全平方數(shù)，則n＝1995．【分析】設(shè)n﹣59＝a2，n+30＝b2，則存在a2﹣b2＝﹣89＝﹣1×29，根據(jù)奇偶性相同即可求得a、b的值，即可求得n的值．【解答】解：設(shè)n﹣59＝a2，n+30＝b2，則a2﹣b2＝﹣89＝﹣1×89，即（a+b）（a﹣b）＝﹣1×89．但a+b與a﹣b的奇偶性相同，故a+b＝89，a﹣b＝﹣1，于是a＝44，b＝45，從而n＝1995．故答案為：1995．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方數(shù)的應(yīng)用，考查了因式分解法求值的應(yīng)用，考查了奇偶性的判定．10．（5分）248﹣1能夠被60～70之間的兩個(gè)數(shù)整除，則這兩個(gè)數(shù)是65、63．【分析】先利用平方差公式分解因式，再找出范圍內(nèi)的解即可．【解答】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1），＝（224+1）（212+1）（212﹣1），＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）；∵26＝64，∴26﹣1＝63，26+1＝65，故答案為65、63．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范圍內(nèi)的解是本題解題的思路．11．（5分）如果（2x﹣1）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，那么a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝1，a0+a2+a4+a6＝365．【分析】已知等式是關(guān)于x的恒等式，即x取任意數(shù)時(shí)，等式成立，（1）所求式子為恒等式右邊系數(shù)的和，令x＝1即可；（2）所求式子為恒等式右邊系數(shù)的和，令x＝﹣1即可，與（1）式相加，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)抵消，可得出偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和．【解答】解：（1）令x＝1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝（2×1﹣1）6＝1；（2）令x＝﹣l，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[2×（﹣1）﹣1]6＝729；與（1）式相加，得2a0+2a2+2a4+2a6＝730，解得a0+a2+a4+a6＝365，故答案為：1，365．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了代數(shù)式的求值問題，關(guān)鍵是充分運(yùn)用恒等式的意義，給x取不同的值，得出所求式子的值．12．（5分）如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝4．【分析】根據(jù)立方和公式變形，再將已知條件整體代入即可．【解答】解：∵x+y＝1，∴（x+y）2＝1，即x2+2xy+y2＝1，3+2xy＝1，解得xy＝﹣1，∴x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝1×（3+1）＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)求值．關(guān)鍵是關(guān)鍵是利用立方和公式，完全平方公式將代數(shù)式變形，整體代入求值．13．（5分）若x+y+z＝30，3x+y﹣z＝50，x，y，z都為非負(fù)實(shí)數(shù)，則M＝5x+4y+2z的取值范圍是120≤M≤130．【分析】首先根據(jù)題意列出方程組，且x≥0，y≥0，z≥0．進(jìn)一步確定z的取值范圍．再將5x+4y+2z通過拆分項(xiàng)轉(zhuǎn)化為（2x+2y+2z）+（3x+y﹣z）+（y+z），將x+y+z、3x+y﹣z、y代入求得M關(guān)于z的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)z的取值范圍確定M的取值范圍．【解答】解：由題意得，且x≥0，y≥0，z≥0由②﹣①得x﹣z＝10，即x＝10+z由①×3﹣②得2y+4z＝40，即y＝20﹣2z，又∵x≥0，y≥0，z≥0，∴0≤z≤10，∵M(jìn)＝5x+4y+2z＝（2x+2y+2z）+（3x+y﹣z）+（y+z）＝130﹣z，∴120≤M≤130．故答案為：120≤M≤130．【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意確定z的取值范圍．14．（5分）對(duì)自然數(shù)a．b．c，定義運(yùn)算*，設(shè)其滿足（a*b）*c＝a*（bc），（a*b）（a*c）＝a*（b+c），則4*3的值為64．【分析】逆用（a*b）（a*c）＝a*（b+c），可求得4*3＝（4*1）3，又由（a*b）*c＝a*（bc），即可得（4*1）*1＝4*（1×1）＝4*1，則可求得4*1＝4，繼而求得答案．【解答】解：∵（a*b）（a*c）＝a*（b+c），∴4*3＝4*（2+1）＝（4*2）（4*1）＝[4*（1+1）]（4*1）＝（4*1）（4*1）（4*1）＝（4*1）3，又∵（a*b）*c＝a*（bc），∴（4*1）*1＝4*（1×1）＝4*1，∴4*1＝4，∴4*3＝43＝64．故答案為：64．【點(diǎn)評(píng)】此題考查有理數(shù)與無理數(shù)的概念與運(yùn)算的知識(shí)．屬于了新定義題型，此題難度較大，注意根據(jù)題意求得4*3＝（4*1）3與4*1＝4是解此題的關(guān)鍵．三．解答題（共4小題，滿分50分）15．（12分）已知，，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca的值．【分析】根據(jù)已知條件，，求得a﹣c＝；然后由（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca），求ab+bc+ca的值．【解答】解：，①，②由①+②，得a﹣c＝，③∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝++＝，∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝，∵a2+b2+c2＝1，∴2﹣2（ab+bc+ca）＝，∴ab+bc+ca＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，巧妙地用到了完全平方公式，把已知條件轉(zhuǎn)化為三個(gè)完全平方式，然后將a2+b2+c2＝1整體代入求值即可．16．（12分）某大型超市元旦假期舉行促銷活動(dòng)，規(guī)定一次購(gòu)物不超過100元的不給優(yōu)惠；超過100元而不超過300時(shí)，按該次購(gòu)物全額9折優(yōu)惠；超過300元的其中300元仍按9折優(yōu)惠，超過部分按8折優(yōu)惠．小美兩次購(gòu)物分別用了94.5元和282.8元，現(xiàn)小麗決定一次購(gòu)買小美分兩次購(gòu)買的同樣的物品，則小麗應(yīng)該付款多少元？【分析】由100×0.9＝90＜94.5＜100，300×0.9＝270＜282.8，設(shè)小美第二次購(gòu)物的原價(jià)為x元，根據(jù)購(gòu)物付282.8元可得方程，求得解．解大于300元時(shí)要分兩種情況情況考慮小麗應(yīng)該付的錢數(shù)：①小美第一次購(gòu)物沒有優(yōu)惠，第二次購(gòu)物原價(jià)超過300元；②小美第一次購(gòu)物原價(jià)超過100元，第二次購(gòu)物原價(jià)超過300元．分別列出代數(shù)式求解．【解答】解：因?yàn)?00×0.9＝90＜94.5＜100，300×0.9＝270＜282.8，設(shè)小美第二次購(gòu)物的原價(jià)為x元，則（x﹣300）×0.8+300×0.9＝282.8解得，x＝316所以有兩種情況：情況1：小美第一次購(gòu)物沒有優(yōu)惠，第二次購(gòu)物原價(jià)超過300元?jiǎng)t小麗應(yīng)付（316+94.5﹣300）×0.8+300×0.9＝358.4（元）情況2：小美第一次購(gòu)物原價(jià)超過100元，第二次購(gòu)物原價(jià)超過300元；則第一次購(gòu)物原價(jià)為：94.5÷0.9＝105（元）所以小麗應(yīng)付（316+105﹣300）×0.8+300×0.9＝366.8（元）．答：小麗應(yīng)該付款358.4元或366.8元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，注意分情況討論．17．（12分）如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝120°．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC．問：此時(shí)直線ON是否平分∠AOC？請(qǐng)說明理由．（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時(shí)，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為10或40（直接寫出結(jié)果）．（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，求∠AOM﹣∠NOC的度數(shù)．【分析】（1）由角的平分線的定義和等角的余角相等求解；（2）由∠BOC＝120°可得∠AOC＝60°，則∠RON＝30°，即旋轉(zhuǎn)60°或240°時(shí)ON平分∠AOC，據(jù)此求解；（3）因?yàn)椤螹ON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，然后作差即可．【解答】解：（1）直線ON平分∠AOC．理由：設(shè)ON的反向延長(zhǎng)線為OD，∵OM平分∠BOC，