人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 24.18 切線性質(zhì)和判定定理（知識講解）

專題24.18切線性質(zhì)和判定定理（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握切線的判定和性質(zhì)；2.運(yùn)用切線的性質(zhì)定理和判定定理進(jìn)行證明或求值。.【要點(diǎn)梳理】圓的切線定義：圓的切線是指一直線若與一圓有交點(diǎn)，且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線就是圓的切線。要點(diǎn)一、切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的判定方法：（1）定義：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，這條直線就是圓的切線；（2）定理：和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（3）判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.（切線的判定定理中強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，二是直線與過交點(diǎn)的半徑垂直，缺一不可）.

要點(diǎn)二、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

特別說明：（1）切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）切線和圓心的距離等于圓的半徑；（3）切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；（4）經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；（5）經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心.【典型例題】類型一、切線的理解1．如圖，以點(diǎn)O為圓心作圓，所得的圓與直線a相切的是（

）A．以O(shè)A為半徑的圓 B．以O(shè)B為半徑的圓C．以O(shè)C為半徑的圓 D．以O(shè)D為半徑的圓【答案】D【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．解：于，以為圓心，為半徑的圓與直線相切，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系—相切，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式1】如圖，點(diǎn)B在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外，以下條件不能判定BC是⊙A切線的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；D、∵⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)，∴AB＝AC，但不能證出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切線；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的判定、勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．【變式2】下列說法正確的是（

）A．與圓有公共點(diǎn)的直線是圓的切線 B．到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線C．垂直于圓的半徑的直線是圓的切線 D．過圓的半徑外端的直線是圓的切線【答案】B【分析】根據(jù)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，可判定C、D錯(cuò)誤；由切線的定義：到圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線，可判定A錯(cuò)誤，B正確．注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．解：A、與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線是圓的切線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、到圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線，故本選項(xiàng)正確；C、經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了切線的判定．此題難度不大，注意掌握切線的判定定理與切線的定義是解此題的關(guān)鍵．類型二、構(gòu)成切線的條件2．在下圖中，是的直徑，要使得直線是的切線，需要添加的一個(gè)條件是________．（寫一個(gè)條件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根據(jù)切線的判定條件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加條件：∠ABT=∠ATB=45°即可．解：添加條件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圓O的直徑，∴AT是圓O的切線，故答案為：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟知圓切線的判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，AC是過A點(diǎn)的一條直線，如果∠AOB=120°，那么當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于________度時(shí)，AC才能成為⊙O的切線．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度數(shù)，因?yàn)镺A⊥AC，AC才能成為⊙O的切線，從而可求得∠CAB的度數(shù)．解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴，∵當(dāng)OA⊥AC即∠OAC=90°時(shí)，AC才能成為⊙O的切線，∴當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于60°，即OA⊥AC時(shí)，AC才能成為⊙O的切線．故答案為：60．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握切線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，已知，M為OB邊上任意一點(diǎn)，以M為圓心，2cm為半徑作，當(dāng)________cm時(shí)，與OA相切.【答案】4【分析】過M作MN⊥OA于點(diǎn)N，此時(shí)以MN為半徑的圓與OA相切，根據(jù)30°角所對直角邊為斜邊的一半可得OM的長.解：如圖，過M作MN⊥OA于點(diǎn)N，∵M(jìn)N=2cm，，∴OM=4cm，則當(dāng)OM=4cm時(shí)，與OA相切.故答案為4.【點(diǎn)撥】本題主要考查切線判定，直角三角形中30°角所對直角邊為斜邊的一半，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點(diǎn).類型三、證明直線為圓的切線3．如圖，在△ABC，AC＝BC，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC，垂足為E．求證：DE為⊙O的切線．【分析】連接OD，證得，可知DE⊥OD，即可證得DE為⊙O的切線．解：連接OD，如圖所示，∵AC＝BC，∴，∵，∴，∴，∴，又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE為⊙O的切線．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是切線的判定，準(zhǔn)確做出輔助線，證得平行是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖所示，⊙的半徑為1，直線CD經(jīng)過圓心，交⊙于C、D兩點(diǎn)，直徑，點(diǎn)M是直線CD上異于點(diǎn)C、O、D的一個(gè)動點(diǎn)，AM所在的直線交于⊙于點(diǎn)N，點(diǎn)P是直線CD上另一點(diǎn)，且．(1)當(dāng)點(diǎn)M在⊙內(nèi)部，如圖一，試判斷PN與⊙的關(guān)系，并寫出證明過程；(2)當(dāng)點(diǎn)M在⊙外部，如圖二，其它條件不交時(shí)，（1）的結(jié)論是否還成立？請說明理由．【答案】(1)相切，見分析(2)成立，見分析【分析】（1）連接，根據(jù)已知條件可知、，再通過即可判斷PN與⊙的關(guān)系；（2）連接，根據(jù)已知條件可知、，在中，即有，再由即可判斷PN與⊙的關(guān)系．(1)解：（1）與相切．證明如下：如下圖，連接，則，∵，∴．∵，∴，∴，∵是的半徑，∴與相切．(2)成立．理由如下：如下圖，連接，則，∵，∴．在中，∵，∴，∴．∵是的半徑，∴與相切．【點(diǎn)撥】本題考查了圓的切線的判定，解題關(guān)鍵是掌握圓與直線的位置關(guān)系的判定方法．【變式2】如圖，正方形的邊長為的直徑，E是上一點(diǎn)（不與A，B重合），將正方形的一個(gè)角沿折疊，使得點(diǎn)B恰好與圓上的點(diǎn)F重合．(1)判斷直線與的位置關(guān)系？并說明理由；(2)若的半徑為1，求的長？【答案】(1)見分析(2)【分析】（1）如圖所示，連接OF，OC，只需要證明△OCF≌△OCD得到∠OFC=∠ODC=90°，即可得到結(jié)論；（2）先證明O、E、F三點(diǎn)共線，設(shè)AE=x，則BE=AB-AE=2-x，OE=OF+EF=3-x，在Rt△AEO中，由勾股定理得到，則，據(jù)此求解即可．(1)解：直線CF與圓O相切，理由如下：如圖所示，連接OF，OC，由折疊的性質(zhì)可知，CF=BC，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=BC，∠ODC=90°，∴CF=CD=BC，∵AD是圓O的直徑，F(xiàn)在圓O上，∴OF=OD，又∵OC=OC，∴△OCF≌△OCD（SSS），∴∠OFC=∠ODC=90°，∴直線CF與圓O相切；(2)解：∵AD是圓O的直徑，圓O的半徑為1，四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=2，∠ABC=∠BAD=90°，由折疊的性質(zhì)可知∠EFC=∠EBC=90°，EB=EF，由（1）得∠OFC=90°，∴∠OFC+∠EFC=180°，∴O、E、F三點(diǎn)共線，設(shè)AE=x，則BE=AB-AE=2-x，∴OE=OF+EF=3-x，在Rt△AEO中，，∴，解得，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，圓切線的判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．類型四、切線的性質(zhì)4．如圖，AB是⊙O的直徑，=，AC與BD相交于點(diǎn)E．連接BC，∠BCF=∠BAC，CF與AB的延長線相交于點(diǎn)F．求證：CF是⊙O的切線；求證：∠ACD=∠F；若AB=10，BC=6，求AD的長．【答案】(1)見分析(2)見分析(3)AD=．【分析】（1）連接OC，由圓周角定理得∠ACO+∠OCB=90°，再由等腰三角形性質(zhì)及切線的判定定理可得結(jié)論；（2）根據(jù)同圓中等弧對等角、等角對等弧可得答案；（3）設(shè)OH為x，則CH為（5-x），根據(jù)勾股定理可得方程，求得OH的長，再根據(jù)三角形中位線定理可得答案．(1)證明：連接OC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∵∠BCF=∠BAC，∴∠BCF+∠OCB=90°，∴∠OCF=90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切線；(2)證明：∵=，∴∠CAD=∠BAC，∵∠BCF=∠BAC，∴∠CAD=∠BCF，∵=，，∴∠CAD=∠CBD，∴∠BCF=∠CBD，∴BD∥CF，∴∠ABD=∠F，∵=，∴∠ACD=∠ABD，∴∠ACD=∠F；(3)解：如圖：∵BD∥CF，OC⊥CF，∴OC⊥BD于點(diǎn)H，設(shè)OH為x，則CH為（5-x），根據(jù)勾股定理，62-（5-x）2=52-x2，解得：x=，∴OH=，∵OH是中位線，∴AD=2OH=．【點(diǎn)撥】此題考查的是圓周角定理、切線的判定和性質(zhì)、勾股定理和三角形中位線定理，正確作出輔助線是解決此題關(guān)鍵．【變式1】如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO的延長線交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．(1)若∠A＝36°，求∠C的度數(shù)；(2)若弦BC＝24，圓心O到弦BC的距離為6，求⊙O的半徑．（結(jié)果用根號表示）【答案】(1)；(2)(1)解：連接OB，∵AB為圓O的切線，∴AB⊥OB，∵∠BOC為△AOB的外角，∴∠BOC＝∠OBA+∠A＝126°，∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC==27°；(2)解：過O作OD⊥BC于D，如圖，∵OB=OC，OD⊥CD，∴D為BC中點(diǎn)，即BD＝CD=BC＝12，在Rt△COD中，OD＝6，CD＝12，則OC==,即⊙O的半徑為．【點(diǎn)撥】此題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于E，過B作⊙O的切線，交AC的延長線于D．求證：∠CBD∠CAB．【分析】連接AE，利用等腰三角形的性質(zhì)易證∠BAE=∠CAE=∠CAB，由切線的性質(zhì)定理可得∠CBD=∠BAE，所以∠CBD=∠CAB．證明：連接AE，∵AB是圓的直徑，∴AE⊥BC，即∠AEB=90°，∵AB=AC，∴AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=∠CAB，∵BD是⊙O的切線，∴∠CBD+∠ABC=90°，∵∠AEB=90°，∴∠BAE+∠ABC=90°，∴∠CBD=∠BAE，∴∠CBD=∠CAB．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的性質(zhì)定理、圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的添加輔助線，利用等腰三角形的性質(zhì)解題．類型五、切線的性質(zhì)與判定綜合5.如圖，以四邊形ABCD的對角線BD為直徑作圓，圓心為O，過點(diǎn)A作的延長線于點(diǎn)E，已知DA平分．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑和AD的長．【答案】(1)見分析(2)5，【分析】（1）連接OA，根據(jù)已知條件證明即可解決問題；（2）取CD中點(diǎn)F，連接OF，根據(jù)垂徑定理可得，所以四邊形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出結(jié)果．(1)證明：如下圖，連接OA，∵，∴．∵DA平分，∴．又∵，∴，∴，∴，∵OA是半徑，∴是切線；(2)解：如上圖，取CD中點(diǎn)F，連接OF，∴于點(diǎn)F，∴四邊形AEFO是矩形．∵，∴．在Rt△OFD中，，∴，在Rt△AED中，，，∴，∴的長是．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)．【變式1】如圖所示，AB為⊙O的直徑，在△ABC中，AB=BC，AC交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．(1)證明DE是⊙O的切線；(2)AD=8，P為⊙O上一點(diǎn)，P到弦AD的最大距離為8．①尺規(guī)作圖作出此時(shí)的P點(diǎn)，保留作圖痕跡；②求DE的長．【答案】(1)見分析(2)①見分析；②DE=4.8【分析】（1）連接OD、BD，求出BD⊥AC，可得AD=DC，根據(jù)三角形的中位線得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）①利用垂徑定理作出AD的垂直平分線即可；②根據(jù)垂徑定理以及勾股定理求得⊙O的半徑和FO，再根據(jù)中位線中位線定理求得BD，然后根據(jù)三角形面積公式即可求解．(1)證明：連接OD，BD，∵AB為⊙O的直徑，∴BD⊥AD，又∵AB=BC，△ABC是等腰三角形，∴BD又是AC邊上的中線，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，又DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；(2)解：①如圖，作AD的垂直平分線與☉O相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．②如圖，AD的垂直平分線與AD相交于點(diǎn)F，連接BD，∵PF⊥AD，∴AF=AD=4，設(shè)☉O的半徑為r，在Rt△AFO中，AF2+FO2=AO2，即42+(8?r)2=r2，解得r=5．∴FO=PF?PO=3，∵FO是△ABD的中位線，∴BD=2FO=6，∵AB為⊙O的直徑，∴BD⊥AC，又∵AB=BC，△ABC是等腰三角形，∴AD=DC=8，∴BC=AB=10，在Rt△BDC中，S△BDC=BD?CD=BC?DE，∴DE=4.8．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，三角形中位線等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．【變式2】如圖，PA和PB是的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在PB和PA上，且．(1)求證：(2)若，當(dāng)是多少度時(shí)，？請說明理由．(3)若，當(dāng)__________時(shí)，四邊形DEPF為菱形．【答案】(1)見分析(2)70°，理由見分析(3)60°【分析】（1）連接AO、BO、OP，根據(jù)切線的性質(zhì)及全等三角形的判定證明△APO≌△BPO，即可求解；（2）由（1）得到AP=