二輪復(fù)習(xí)梳理糾錯(cuò)預(yù)測(cè)學(xué)案專題五三角函數(shù)與解三角形（文）

專題專題5××三角函數(shù)與解三角形命題趨勢(shì)命題趨勢(shì)1．三角函數(shù)（1）以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域、最值、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性．（2）考查三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)的圖象的性質(zhì)以及平移和伸縮變換．2．解三角形（1）利用正余弦定理進(jìn)行三角形邊和角的計(jì)算，三角形形狀的判斷、面積的計(jì)算，以及有關(guān)的參數(shù)的范圍．（2）考查運(yùn)用正余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．考點(diǎn)清單考點(diǎn)清單一、三角函數(shù)1．公式（1）誘導(dǎo)公式：正弦余弦正切α+ksincostanα+--tan-α-cos-πsin--cos-cossin-sin--（2）同角三角函數(shù)關(guān)系式：，（3）兩角和與差的三角函數(shù)：（4）二倍角公式：（5）降冪公式：，2．三角函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)最值在時(shí)，ymax；在時(shí)，ymin在x=2kπ(k∈在x=2kπ+對(duì)稱中心(k對(duì)稱軸x=kπ(k正切函數(shù)的性質(zhì)圖象特點(diǎn)定義域?yàn)閳D象與直線沒(méi)有交點(diǎn)值域?yàn)镽圖象向上、向下無(wú)限延伸最小正周期為π在區(qū)間上圖象完全一樣在內(nèi)是增函數(shù)圖象在內(nèi)是上升的對(duì)稱中心為圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱3．函數(shù)y=Asin（1）φ對(duì)函數(shù)y=sin（2）ω(ω>0)對(duì)y=sin（3）A(A>0)對(duì)y=Asin4．函數(shù)y=Asin（1）函數(shù)y=Asin（2）函數(shù)y=Asin二、解三角形1．正余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(為外接圓半徑)；；變形形式，，；，，；；；；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1）已知兩角一邊，用正弦定理，只有一解．（2）已知兩邊及一邊的對(duì)角，用正弦定理，有解的情況可分為幾種情況．在中，已知，和角時(shí)，解得情況如下：為銳角為鈍角或直角直角圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解上表中為銳角時(shí)，，無(wú)解．為鈍角或直角時(shí)，，均無(wú)解．（3）已知三邊，用余弦定理，有解時(shí)，只有一解．（4）已知兩邊及夾角，用余弦定理，必有一解．3．三角形中常用的面積公式（1）(表示邊上的高）；（2）；（3）（為三角形的內(nèi)切圓半徑）．4．解三角形應(yīng)用題的一般步驟

精題集訓(xùn)精題集訓(xùn)（70分鐘）經(jīng)典訓(xùn)練題經(jīng)典訓(xùn)練題一、選擇題．1．若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．2．函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．3【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，令，則，則，令f'θ=0，得或當(dāng)時(shí)，f'θ<0；時(shí)，f所以當(dāng)時(shí)，fθ取得最大值，此時(shí)，所以，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而求出函數(shù)的最值．3．已知銳角滿足．若要得到函數(shù)的圖象，則可以將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】由，知，即，∴銳角，故，又，∴，故f(x)是將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故選A．【點(diǎn)評(píng)】由輔助角公式化簡(jiǎn)已知條件求銳角，根據(jù)f(x)的函數(shù)式，應(yīng)用二倍角、誘導(dǎo)公式將f(x)化為正弦型函數(shù)，即可判斷圖象的平移方式．4．已知函數(shù)fx=2sinωx+φ，的部分圖象如圖所示，fx的圖象過(guò)，兩點(diǎn)，將fx的圖象向左平移個(gè)單位得到gx的圖象，則函數(shù)gA．-2 B．2 C．-3 D【答案】A【解析】由圖象知，，∴T=2π，則，∴fx將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，，即，又，∴，則，將fx的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)，∴gx在上的最小值為，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)圖象，需要利用三角函數(shù)的周期性以及對(duì)稱性進(jìn)行處理，再結(jié)合圖象的平移，三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解題，本題屬于中檔題．5．已知函數(shù)fx=sinωx-3cosωx（，）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，把函數(shù)fx的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2A．函數(shù)gx是奇函數(shù) B．gx的圖象關(guān)于直線C．gx在上是增函數(shù) D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)gx的值域是[0，2]【答案】B【解析】，由題意知函數(shù)周期為π，則，，從而，把函數(shù)fx的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到函數(shù)，gx不是奇函數(shù)，Agx在是單調(diào)遞增，C錯(cuò)；時(shí)，函數(shù)gx的值域是[1，2]，D錯(cuò)；gx的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B對(duì)，只有選項(xiàng)B正確，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)，圖象的變換，以及圖象的性質(zhì)，屬于中檔題．6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若，b=4，△ABC的面積為33，則sinBA． B． C． D．【答案】A【解析】，所以c=3，由余弦定理可得，得a=13，又由正弦定理可得，所以，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了三角形的面積公式以及余弦定理公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題型．7．已知a、b、c分別是△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，若，則ΔABC的形狀為（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形【答案】A【解析】因?yàn)樵谌切沃?，變形為，由?nèi)角和定理可得，化簡(jiǎn)可得，，所以，所以三角形為鈍角三角形，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三角形，主要是公式的變形是解題的關(guān)鍵，屬于較為基礎(chǔ)題．二、填空題．8．已知，且有1-2sin2α=cos2【答案】【解析】，因?yàn)?，所以，因此由，而，把代?1)得：，而，因此，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變換與三角函數(shù)求值問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．9．已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P3，4，則【答案】【解析】由三角函數(shù)的定義可得，，因此，，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查任意角的三角函數(shù)的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．三、解答題．10．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，（2）若方程f(ωx)=3(ω>0)在區(qū)間0，【答案】（1）；（2）．【解析】（1），令，，，由y=sinU的圖象知，，即，，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?），∵f(ωx)=3，，即，∵x∈0，π且或，由于方程f(ωx)=3(ω>0)在區(qū)間所以，解得，所以ω的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】考查三角函數(shù)的值域時(shí)，常用的方法：（1）將函數(shù)化簡(jiǎn)整理為f(x)=Asin（2）利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值．11．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)fx在上的單調(diào)區(qū)間；（2）若，，求的值．【答案】（1）遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；（2）．【解析】（1）由題意得，因?yàn)?，所以，令，解得；令，解得；令，得．所以函?shù)fx在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）知．因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以．【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值的規(guī)律總結(jié)：1．給角求值：一般給出的角是非特殊角，要觀察所給角與特殊角的關(guān)系，利用三角變換轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題；2．給值求值：即給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使相關(guān)角相同或具有某種關(guān)系；3．給值求角：實(shí)質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為“給值求值”即通過(guò)求角的某個(gè)三角函數(shù)值來(lái)求角（注意角的范圍）．12．在四邊形ABCD中，AB//CD，（1）若，求BC；（2）若AB=2BC，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在△ABD中，由余弦定理可得，∵CD//AB，在△BCD中，由余弦定理可得，．（2）設(shè)BC=x，則AB=2x，在△ABD中，，在△BCD中，，由（1）可知，∠BDC=∠ABD，所以，cos∠BDC=cos整理可得x2因?yàn)閤>0，解得x=3因此，．【點(diǎn)評(píng)】在解三角形的問(wèn)題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有a、b、c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理．13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足2b-ccos（1）求角A；（2）若a=13，b+c=5，求△ABC【答案】（1）；（2）3．【解析】（1）在三角形ABC中，∵2b-c由正弦定理得，化為：，三角形中，解得，A∈0，∴．（2）由余弦定理得，∵a=13，b+c=5∴13=b+c2-3cb=所以三角形ABC的面積．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦定理和三角形面積公式的綜合運(yùn)用，涉及三角函數(shù)恒等變換，屬基礎(chǔ)題．熟練掌握利用正弦定理邊化角，并結(jié)合三角函數(shù)兩角和差公式化簡(jiǎn)，注意余弦定理與三角形面積公式的綜合運(yùn)用．14．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且asin（1）求角C的大??；（2）若2a+b=8，且△ABC的面積為23，求△【答案】（1）；（2）6+23．【解析】（1）∵asin(，，，，．（2）由題意可得，∴ab=8，∵2a+b=8聯(lián)立可得，a=2，由余弦定理可得c2=12，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角及誘導(dǎo)公式在三角形化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，還考查了三角形的面積公式及余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知2csinB=3a（1）求證：△ABC（2）若△ABC面積為22，D為AB中點(diǎn)，求線段CD【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）由2csin根據(jù)正弦定理可得2cb=3ac，所以2b=3a，則，又，根據(jù)余弦定理可得，則，所以，因此△ABC（2）因?yàn)榻荂是三角形內(nèi)角，所以sinC>0，則因?yàn)椤鰽BC面積為22所以，解得a=2，所以b=c=3，又D為AB中點(diǎn)，所以，則，整理得，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正余弦定理、三角形的面積公式的綜合運(yùn)用，利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換等，屬于中檔題型．16．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．（1）求A；（2）已知b=1，c=3，且邊BC上有一點(diǎn)D滿足，求AD．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)閟inC≠0，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，所以．?）設(shè)△ABD的AB邊上的高為h1，△ADC的AC邊上的高為h因?yàn)?，c=3，b=1，所以，所以h1=h2，AD是△ABC角因?yàn)镾△ABD=3S所以，所以．【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了正弦定理的邊角互化、三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是確定AD是△ABC角A的內(nèi)角平分線，考查了運(yùn)算能力．高頻易錯(cuò)題高頻易錯(cuò)題一、選擇題．1．已知函數(shù)，現(xiàn)將的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=gx的圖象，則gx的解析式為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】將的圖象向左平移個(gè)單位得，再所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到，故選C．【點(diǎn)評(píng)】在三角函數(shù)平移變換中，y=sinωx向左平移個(gè)單位得到的函數(shù)解析式為y=sin二、填空題．2．設(shè)銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若a=2，B=2A，則b的取值范圍為_(kāi)__________．【答案】(2【解析】由，得b=4cosA，由，，故，所以，所以b=4cosA【點(diǎn)評(píng)】該題考查的是有關(guān)解三角形的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正弦定理，以及銳角三角形的條件，屬于簡(jiǎn)單題目．精準(zhǔn)預(yù)測(cè)題精準(zhǔn)預(yù)測(cè)題一、選擇題．1．如圖，角α，β的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓O分別交于A，B兩點(diǎn)，則A．cos(α-β) B．cos(α+β) C．【答案】A【解析】由圖可知，，所以，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查運(yùn)用向量進(jìn)行余弦定理的證明，屬于基礎(chǔ)題型．2．已知，則（）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，利用誘導(dǎo)公式可得，即，所以，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查誘導(dǎo)公式，正切的兩角和差公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、解答題．3．已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）若函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在得的值域．【答案】（1）；（2）-1，2【解析】（1），因?yàn)?，所以，即，所?33sinα=（2）f(x)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到函數(shù)g(x)的圖象，所以g(x)的解析式為，因?yàn)?，所以，則，所以-1≤g(x)≤2，故g(x)在上的值域?yàn)?1，2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換，同角三角