四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與判定

四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、判定及應(yīng)用（一）柳州市龍城中學(xué)譚兵一、四點(diǎn)共圓的概念：如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱為“四點(diǎn)共圓”。DABC二DABCD（1）共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等；D（2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；（3）圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。三、四點(diǎn)共圓的判定方法：判定方法1：四點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等四點(diǎn)共圓．判定方法2：從被證的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，若另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上四點(diǎn)共圓．判定方法3：若凸四邊形的對(duì)角互補(bǔ)四個(gè)頂點(diǎn)共圓判定方法4：若凸四邊形的一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角四個(gè)頂點(diǎn)共圓EDABCEDABCDABCABCDDCBADABCEEDCBA判定方法5：共斜邊的兩個(gè)直角三角形四個(gè)頂點(diǎn)共圓，且斜邊為直徑判定方法6：共底邊的兩個(gè)三角形頂角相等，且在底邊的同側(cè)四個(gè)頂點(diǎn)共圓．判定方法7：（相交弦定理的逆定理）凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于P，若PDBPPCAP四個(gè)頂點(diǎn)共圓．ABCD判定方法8：（割線定理ABCDPDPCPBPA四個(gè)頂點(diǎn)共圓二、托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和．

若四邊形ABCD內(nèi)接于圓BDAC=BCAD+CDAB．托勒密定理的逆定理：如果凸四邊形兩組對(duì)邊的積的和，等于兩對(duì)角線的積此四邊形必內(nèi)接于圓。若BDAC=BCAD+CDAB四邊形ABCD內(nèi)接于圓．――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――3．已知：如圖所示，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，CE∥BD交AB的延長(zhǎng)線于E．ABCDE求證：AD·BE＝BCABCDE6．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠B，△ABD的外接圓和BC交于E．求證：AD＝EC．性質(zhì)1．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求證：B、E、F、C四點(diǎn)共圓．判定*5．正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm2．P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝5∶14．求判定．AABCD7．已知：梯形ABCD中，AD＝BC，AB∥CD．求證：BD2＝BC2＋AB·CD．托勒密定理9．在△ABC中，∠A的內(nèi)角平分線AD交外接圓于D．連結(jié)BD,CD．求證：AD·BC＝BD·(AB+AC)．ABABCD*8．如圖，以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側(cè)作正方形BCEF，設(shè)正方形的中心為O，連結(jié)AO，如果AB＝4，AO＝，求AC的長(zhǎng).**10．如圖，AD、BC為過(guò)圓的直徑AB兩端點(diǎn)的弦，且BD與AC相交于E。求證：AC·AE+BD·BE＝AB211．如圖，△ABC內(nèi)接于圓，P為上一點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。求證：D、E、F三點(diǎn)共線。12．已知：△AOB中，AB＝OB＝2，△COD中，CD＝OC＝3，∠ABO＝∠DCO．連接AD、BC，點(diǎn)M、N、P分別為OA、OD、BC的中點(diǎn)．(1)如圖1，若A、O、C三點(diǎn)在同一直線上，且∠ABO＝60°，則△PMN的形狀是______，此時(shí)=______；(2)如圖2，若A、O、C三點(diǎn)在同一直線上，且∠ABO＝2α，證明△PMN∽△BAO，并計(jì)算的值（用含α的式子表示）；(3)在圖2中，固定△AOB，將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，直接寫出PM的最大值．例1、銳角的三條高、、交于，在、、、、、、七個(gè)點(diǎn)中．能組成四點(diǎn)共圓的組數(shù)是（）A、組B、組C、組D、組例2、如圖，、、、四點(diǎn)在同一圓上，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且。

（1）證明：；

（2）延長(zhǎng)到，延長(zhǎng)到，使得，證明：、、、四點(diǎn)共圓.例3、如圖，在梯形中，，點(diǎn)，分別在邊，上，設(shè)與相交于點(diǎn)，若，，，四點(diǎn)共圓，求證：．例4、在圓內(nèi)接等腰三角形的底邊上任取二點(diǎn)、，延長(zhǎng)、分別交圓于、，求證：.例5、如圖，，分別是，邊上的點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，已知，，，為方程的兩根.（1）證明：，，，四點(diǎn)共圓；

（2）若，，，求，，，四點(diǎn)所在圓的半徑．例6、如圖，為圓的直徑，為垂直于的一條弦，垂足為，弦與交于點(diǎn)．

（1）證明：、、、四點(diǎn)共圓；（2）證明：．例7、如圖，在平行四邊形中，為鈍角，且，．

（1）求證：、、、四點(diǎn)共圓；

（2）設(shè)線段與（1）中的圓交于、．求證：．例8、如圖所示，為的內(nèi)心，求證：的外心與、、四點(diǎn)共圓.例9、、、三點(diǎn)共線，點(diǎn)在直線外，，，分別為，，的外心．求證：，，，四點(diǎn)共圓.例10、如圖，在中，，分別是，的角平分線，是與的交點(diǎn)，若，，，四點(diǎn)共圓，，則的內(nèi)切圓半徑為多少？例11、如圖，點(diǎn)是外接圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)、在邊上，使得，。證明：、、、四點(diǎn)共圓.例12、如圖，，，，．

（1）求證：、、、四點(diǎn)共圓；

（2）若，求線段的長(zhǎng)．例13、在的邊，，上分別取，，．使得，，又點(diǎn)是的外心．（1）證明：，，，四點(diǎn)共圓；（2）證明：在的平分線上．例14、如圖，為外接圓的切線，的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)，、分別為弦與弦上的點(diǎn)，且，、、、四點(diǎn)共圓．

（1）證明：是外接圓的直徑；

（2）若，求過(guò)、、、的圓的面積與外接圓面積的比值．例15、如圖，銳角的內(nèi)心為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，點(diǎn)為內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)．（1）求證：，，，四點(diǎn)共圓；（2）若，求的度數(shù)．例16、如圖，在正中，點(diǎn)，分別在邊、上，且，，，相交于點(diǎn)，求證：（1），，，四點(diǎn)共圓；（2）．【強(qiáng)化訓(xùn)練】如圖，是⊙的直徑，弦，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：（1）；（2），，，四點(diǎn)共圓．2、如圖，已知是⊙的切線，為切點(diǎn)，是⊙的割線，與⊙交于，兩點(diǎn)，圓心在的內(nèi)部，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）證明，，，四點(diǎn)共圓；（2）求的大?。?、如圖，已知為半圓的直徑，、分別為半圓的切線，切點(diǎn)分別為、，的延長(zhǎng)線交于，的延長(zhǎng)線交于．，為垂足．（1）求證：、、、四點(diǎn)共圓；（2）求證：．4、如圖，已知中的兩條角平分線和相交于，，在上，

且．（1）證明：，，，四點(diǎn)共圓；（2）證明：平分．5、如圖，已知是⊙的直徑，是⊙的切線，割線、分別交⊙于、，連接、．求證：．6、如圖，⊙與⊙相交于、兩點(diǎn)，圓心在⊙上，⊙的弦切⊙于點(diǎn)，及其延長(zhǎng)線交⊙于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：、、、四點(diǎn)共圓；（2）若，，求出由四點(diǎn)、、、所確定圓的直徑．7、如圖所示，已知切圓于，割線交圓于、，于，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接．

（1）求證：，，，四點(diǎn)共圓；（2）當(dāng)，時(shí)，求圓的半徑．8、如圖，是直角三角形，．以為直徑的圓交于點(diǎn)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連交圓于點(diǎn)（1）求證：，，，四點(diǎn)共圓；（2）求證：.9、如圖所示，在中，，點(diǎn)為三角形外的一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與邊相切，切點(diǎn)為，圓與邊相交于點(diǎn)，直徑與邊交于點(diǎn)，連接．求證：10、如圖，在中，是直角，是線段上一點(diǎn)，以為直徑的半圓交于，連接交半圓于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于．

（1）求證、、、四點(diǎn)共圓；（2）若，求的值．11、如圖所示，是⊙的直徑，為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，是⊙的割線，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)作⊙的切線，切點(diǎn)為．求證：（1），，，四點(diǎn)共圓；（2）．12、如圖，已知與⊙相切于點(diǎn)，為⊙的割線，弦，與相交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且。

（1）求證：、、、四點(diǎn)共圓。（2）若，，求的長(zhǎng)．13、如圖，由⊙外一點(diǎn)引⊙的切線、，過(guò)引割線交⊙于、。與交于。求證：.14、如圖，、、是的三條高，是垂心，求證：.【典例精講】例1、在的、、邊上各任取一點(diǎn)、、，過(guò)、、作圓與過(guò)、、作圓相交于另一點(diǎn)，求證：、、、四點(diǎn)共圓。例2、在平行四邊形的對(duì)角線上任取一點(diǎn)，過(guò)作、的公垂線，作、的公垂線，、、、分別為垂足，求證：。例3、如圖所示，在中，，任意延長(zhǎng)到，再延長(zhǎng)到，使，

求證：的外心與點(diǎn)、、四點(diǎn)共圓。例4、給出銳角，以為直徑的圓與邊的高及其延長(zhǎng)線交于，．以為直徑的圓與邊的高及其延長(zhǎng)線將于，．求證：，，，四點(diǎn)共圓。（第19屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克）例5、如圖，從圓外一點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為，，與交于點(diǎn)，設(shè)為過(guò)點(diǎn)且不過(guò)圓心的一條弦，求證：，，，四點(diǎn)共圓。例6、內(nèi)接于圓，引直徑，過(guò)點(diǎn)引切線交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)交、于、，求證：?！緩?qiáng)化訓(xùn)練】1、在中，，平分交于，如圖，垂直，垂足為，垂直，為垂足．是中點(diǎn)，是中點(diǎn)．若的外接圓與的另一個(gè)交點(diǎn)為，求證：、、、四點(diǎn)共圓．2、如圖，⊙是的內(nèi)切圓，與⊙切于點(diǎn)，與⊙切于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（1）求證：、、、四點(diǎn)共圓；（2）若，求證：是等邊三角形．3、線段和圓交于、兩點(diǎn)，且，由、分別在的兩側(cè)引圓的切線、，、為切點(diǎn)，求證：平分4、過(guò)的垂心與兩頂點(diǎn)、的圓與、分別交于、，求證：。5、為的三條高的垂足三角形，為的外心，求證：。6、在平行四邊形內(nèi)取一點(diǎn)，若，求證：?！镜淅v】例1、三角形的內(nèi)切圓，切、于、兩點(diǎn)，延長(zhǎng)和交于，求證：。例2、設(shè)為圓的弦的中點(diǎn)，過(guò)作弦、，連結(jié)、交于點(diǎn)、，求證：。例3、如圖，四邊形內(nèi)接于一圓，的內(nèi)心是，的內(nèi)心是，的內(nèi)心是．求證：（1）、、、四點(diǎn)共圓；（2）。例4、如圖，為兩個(gè)同心圓的圓心，自圓外一點(diǎn)引大圓的切線，其切點(diǎn)為，又自引小圓的切線、，求證：平分。例5、設(shè)內(nèi)接于圓，弦分別交、邊于點(diǎn)、，且，求證：、、、四點(diǎn)共圓。例6、如圖，在圓的直徑的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，由引割線，并引的垂線，與、延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別為、，求證：、、、四點(diǎn)共圓。例7、設(shè)是等腰直角三角形底邊的中點(diǎn)，過(guò)、兩點(diǎn)（但不過(guò)點(diǎn)）任作一圓交直線于點(diǎn)，連結(jié)交此圓于點(diǎn)，求證：垂直。例8、（1）如圖1，中，，點(diǎn)，分別在線段，上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），而且，是的外心，試證明，，，四點(diǎn)共圓．（2）如果將圖1中的點(diǎn)“分離”成兩個(gè)點(diǎn)，那么就有：如圖2所示，在凸四邊形中，，點(diǎn)，分別在線段，上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），而且，直線，相交于點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)，分別在線段，上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合）時(shí)，探究的外接圓是否經(jīng)過(guò)除點(diǎn)外的另一個(gè)定點(diǎn)？如果是，請(qǐng)給出證明，并指出是哪個(gè)定點(diǎn)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．例9、⊙、⊙、⊙兩兩外切，是⊙與⊙的切點(diǎn)，、分別是⊙、⊙與⊙的切點(diǎn)，連心線交⊙于點(diǎn)，交⊙于點(diǎn)。求證：、、、四點(diǎn)共圓。【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、在梯形中，，，，分別是腰、上的點(diǎn)，，求證：。2、如圖，的內(nèi)切圓分別切、于點(diǎn)、，是的中點(diǎn)，、的平分線分別與直線交于點(diǎn)、，證明：。3、已知是平行四邊形，于，中垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，中點(diǎn)為。求證：。4、由圓周上任一點(diǎn)引弦的垂線，垂足為，再由點(diǎn)引過(guò)、兩點(diǎn)的切線的垂線，，垂足分別為、，求證：。5、從圓心作圓外任意直線的垂線，垂足為，從引割線交圓于、兩點(diǎn)，過(guò)、的兩切線與分別交于、兩點(diǎn)，求證：。6、如圖，在等腰三角形中，為底邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩腰的平行線分別與、相交于、兩點(diǎn)，又點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，求證：點(diǎn)在三角形的外接圓上。7、如圖，，它們之間的距離等于；，它們之間的距離等于；，它們之間的距離等于，求證：、、、、、六點(diǎn)共圓。8、已知是圓內(nèi)接四邊形，，過(guò)點(diǎn)作、的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，求證：平分。9、如圖，在的兩邊，上分別取點(diǎn)，，使得.求證：.10、如圖所示，在梯形中，，，，，且，求的長(zhǎng)11、在銳角三角形中，不等于，是高，是上一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，已知、、、四點(diǎn)共圓，問(wèn)：是否一定是三角形的垂心？證明你的結(jié)論。12、的重心關(guān)于邊的對(duì)稱點(diǎn)是，證明：、、、四點(diǎn)