2023-2024學年北京理工大附中數(shù)學高一上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

2023-2024學年北京理工大附中數(shù)學高一上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．已知函數(shù)，若存在R，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.2．非零向量，，若點關于所在直線的對稱點為，則向量為A. B.C. D.3．冪函數(shù)的圖象過點，則（）A. B.C. D.4．已知扇形的圓心角為，面積為8，則該扇形的周長為（）A.12 B.10C. D.5．已知向量，，若與共線，則等于（）A. B.C. D.6．為了預防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現(xiàn)在加密密鑰為，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，則解密后得到的明文是（）A. B.C.2 D.7．命題“，”的否定是（）A， B.，C.， D.，8．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E、F，且，則下列結論中錯誤的是A.B.C.三棱錐體積為定值D.9．已知直線經(jīng)過點，，則該直線的斜率是A. B.C. D.10．是邊AB上的中點，記，，則向量A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．如圖，某化學實驗室的一個模型是一個正八面體（由兩個相同的正四棱錐組成，且各棱長都相等）若該正八面體的表面積為，則該正八面體外接球的體積為___________；若在該正八面體內放一個球，則該球半徑的最大值為___________.12．經(jīng)過點，且在軸上的截距等于在軸上的截距的2倍的直線的方程是__________13．設A為圓上一動點，則A到直線的最大距離為________14．已知一個扇形的面積為，半徑為，則它的圓心角為______弧度15．已知函數(shù)若，則的值為______三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．（1）求函數(shù)的解析式；（2）試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性，并用函數(shù)單調性定義證明；（3）當時，函數(shù)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍17．求解下列問題：（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值.18．設函數(shù)（）在處取最大值（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分別是角的對邊．已知，，，求的值19．已知集合，集合（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍20．證明：函數(shù)是奇函數(shù).21．2020年12月26日，我國首座跨海公鐵兩用橋、世界最長跨海峽公鐵兩用大橋——平潭海峽公鐵兩用大橋全面通車.這是中國第一座真正意義上的公鐵兩用跨海大橋，是連接福州城區(qū)和平潭綜合實驗區(qū)的快速通道，遠期規(guī)劃可延長到，對促進兩岸經(jīng)貿合作和文化交流等具有重要意義.在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù).當橋上的車流密度達到輛/千米時，將造成堵塞，此時車流速度為；當車流密度不超過輛/千米時，車流速度為千米/時，研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的表達式；（2）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時）可以達到最大？并求出最大值.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、D【解析】利用函數(shù)的奇偶性與單調性把函數(shù)不等式變形，然后由分離參數(shù)法轉化為求函數(shù)的最值【詳解】是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，因此不等式可化為，所以，，由得的最小值是2，所以故選：D2、A【解析】如圖由題意點B關于所在直線的對稱點為B1，所以∠BOA=∠B1OA，所以又由平行四邊形法則知:,且向量的方向與向量的方向相同，由數(shù)量積的概念向量在向量方向上的投影是OM=，設與向量方向相同的單位向量為：，所以向量=2=2=，所以=.故選A.點睛：本題利用平行四邊形法則表示和向量，因為對稱，所以借助數(shù)量積定義中的投影及單位向量即可表示出和向量,解題時要善于借助圖像特征體現(xiàn)向量的工具作用.3、C【解析】將點代入中，求解的值可得，再求即可.【詳解】因為冪函數(shù)的圖象過點，所以有：，即.所以，故，故選：C.4、A【解析】利用已知條件求出扇形的半徑，即可得解周長【詳解】解：設扇形的半徑r，扇形OAB的圓心角為4弧度，弧長為：4r，其面積為8，可得4r×r＝8，解得r＝2扇形的周長：2+2+8＝12故選：A5、A【解析】先求出，，再根據(jù)向量共線求解即可.【詳解】由題得，因為與共線，.故選：A.【點睛】本題主要考查平面向量的坐標運算和向量共線的坐標表示，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.6、A【解析】根據(jù)題意中給出的解密密鑰為，利用其加密、解密原理，求出的值，解方程即可求解.【詳解】由題可知加密密鑰為，由已知可得，當時，，所以，解得，故，顯然令，即，解得，即故選：A.7、D【解析】利用全稱量詞命題的否定變換形式即可求解.【詳解】的否定是，的否定是，故“，”的否定是“，”，故選：D8、D【解析】可證，故A正確；由∥平面ABCD，可知，B也正確；連結BD交AC于O，則AO為三棱錐的高，，三棱錐的體積為為定值，C正確；D錯誤．選D9、D【解析】根據(jù)斜率公式，，選D.10、C【解析】由題意得，∴．選C二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11、①.②.【解析】由已知求得正八面體的棱長為，進而求得，即知外接球的半徑，進而求得體積；若球O在正八面體內，則球O半徑的最大值為O到平面的距離，證得平面，再利用相似可知，即可求得半徑.【詳解】如圖，記該八面體為，O為正方形的中心，則平面設，則，解得.在正方形中，，則在直角中，知，即正八面體外接球的半徑為故該正八面體外接球的體積為.若球O在正八面體內，則球O半徑的最大值為O到平面的距離.取的中點E，連接，，則，又，，平面過O作于H，又，，所以平面，又，，則，則該球半徑的最大值為.故答案為：，12、或【解析】設所求直線方程為，將點代入上式可得或.考點：直線的方程13、【解析】求出圓心到直線的距離，進而可得結果.【詳解】依題意可知圓心為，半徑為1.則圓心到直線距離，則點直線的最大距離為.故答案：.14、##【解析】利用扇形的面積公式列方程即可求解.【詳解】設扇形的圓心角為，扇形的面積即，解得，所以扇形的圓心角為弧度，故答案為：.15、4【解析】根據(jù)自變量所屬的區(qū)間，代入相應段的解析式求值即可.【詳解】由題意可知，，解得，故答案為：4三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）；（2）單調遞減；（3）【解析】（1）函數(shù)為奇函數(shù)，則，再用待定系數(shù)法即可求出；（2）作差法：任意的兩個實數(shù)，證明出；（3）要使則試題解析：（1）所以（2）由（1）問可得在區(qū)間上是單調遞減的證明：設任意的兩個實數(shù)又,，在區(qū)間上是單調遞減的;（3）由（2）知在區(qū)間上的最小值是要使則考點：1、待定系數(shù)法；2、函數(shù)的單調性；3、不等式恒成立問題.17、（1），（2）【解析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關系求解即可；（2）由商數(shù)關系化簡求解即可.【小問1詳解】，，【小問2詳解】18、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由題意得，根據(jù)在處取最大值得，即，故．（Ⅱ）由(Ⅰ)可得，故，所以，由正弦定理得，所以，故可得試題解析：（Ⅰ），因為在時取最大值，所以，故又，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知因為，所以，又為的內角，所以由正弦定理得，由題意得為銳角，所以.所以19、（1）（2）【解析】（1）利用對數(shù)函數(shù)單調性求出，即，利用指數(shù)函數(shù)單調性解不等式，求出，從而求出并集；（2）根據(jù)集合的包含關系得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因為，所以，，由，得，所以，當時，∴【小問2詳解】由可得：，解得：所以實數(shù)的取值范圍是20、證明見解析【解析】由奇偶性的定義證明即可得出結果.【詳解】中，，即，的定義域為，