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2023-2024學(xué)年石家莊市重點(diǎn)中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共12小題,共60分)1.下列哪組中的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)()A.與 B.與C.與 D.與2.在如圖的正方體中,M、N分別為棱BC和棱的中點(diǎn),則異面直線AC和MN所成的角為()A. B.C. D.3.設(shè)集合,,則()A B.C. D.4.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?,其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線.若,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為()A.1 B.2C.3 D.45.“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)自己對(duì)目前生活狀態(tài)的滿(mǎn)意程度的指標(biāo).常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來(lái)表示,該數(shù)越接近表示滿(mǎn)意度越高.甲、乙兩位同學(xué)分別隨機(jī)抽取位本地市民,調(diào)查他們的幸福感指數(shù),甲得到位市民的幸福感指數(shù)分別為,,,,,,,,,,乙得到位市民的幸福感指數(shù)的平均數(shù)為,方差為,則這位市民幸福感指數(shù)的方差為()A. B.C. D.6.已知函數(shù)在上存在零點(diǎn),則的取值范圍為()A. B.C. D.7.已知函數(shù),若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍為()A. B.C. D.8.如下圖所示,在正方體中,下列結(jié)論正確的是A.直線與直線所成的角是 B.直線與平面所成的角是C.二面角的大小是 D.直線與平面所成的角是9.已知集合,則中元素的個(gè)數(shù)為A.1 B.2C.3 D.410.已知全集,集合,圖中陰影部分所表示的集合為A. B.C. D.11.命題p:?x∈N,x3>x2的否定形式?p為()A.?x∈N,x3≤x2 B.?x∈N,x3>x2C.?x∈N,x3<x2 D.?x∈N,x3≤x212.已知函數(shù)為上偶函數(shù),且在上的單調(diào)遞增,若,則滿(mǎn)足的的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題(本大題共4小題,共20分)13.方程的解在內(nèi),則的取值范圍是___________.14.某掛鐘秒針的端點(diǎn)A到中心點(diǎn)的距離為,秒針均勻地繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),當(dāng)時(shí)間時(shí),點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)重合,A與兩點(diǎn)距離地面的高度差與存在函數(shù)關(guān)系式,則解析式___________,其中,一圈內(nèi)A與兩點(diǎn)距離地面的高度差不低于的時(shí)長(zhǎng)為_(kāi)__________.15.已知函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是______16.設(shè)向量不平行,向量與平行,則實(shí)數(shù)_________.三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(1)計(jì)算:(2)已知,求的值18.已知函數(shù),函數(shù)為R上的奇函數(shù),且.(1)求的解析式:(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,并用定義給予證明:(3)若的定義域?yàn)闀r(shí),求關(guān)于x的不等式的解集.19.在平面直角坐標(biāo)系中,已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中且.設(shè)()若,,,求方程在區(qū)間內(nèi)的解集()若函數(shù)滿(mǎn)足:圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),在處取得最小值,試確定、和應(yīng)滿(mǎn)足的與之等價(jià)的條件20.已知集合,集合.(1)當(dāng)時(shí),求;(2)命題,命題,若q是p的必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21.如圖,在正方體中,為棱、的三等分點(diǎn)(靠近A點(diǎn)).求證:(1)平面;(2)求證:平面平面.22.已知函數(shù),.(1)求方程的解集;(2)定義:.已知定義在上的函數(shù),求函數(shù)的解析式;(3)在(2)的條件下,在平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖,并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值.
參考答案一、選擇題(本大題共12小題,共60分)1、D【解析】根據(jù)同一函數(shù)的概念,逐項(xiàng)判斷,即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng),的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?,定義域不同,故A錯(cuò);B選項(xiàng),的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?,定義域不同,故B錯(cuò);C選項(xiàng),的定義域?yàn)?,的定義域?yàn)?,定義域不同,故C錯(cuò);D選項(xiàng),與的定義域都為,且,對(duì)應(yīng)關(guān)系一致,故D正確.故選:D.2、C【解析】根據(jù)異面直線所成角的定義,找到與直線平行并且和相交的直線,即可找到異面直線所成的角,解三角形可求得結(jié)果.【詳解】連接如下圖所示,分別是棱和棱的中點(diǎn),,正方體中可知,是異面直線所成的角,為等邊三角形,.故選:C.【點(diǎn)睛】此題是個(gè)基礎(chǔ)題,考查異面直線所成的角,以及解決異面直線所成的角的方法(平移法)的應(yīng)用,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合的思想.3、C【解析】利用集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榧希?,所以,故選:C4、C【解析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域?yàn)镽可得,由和奇函數(shù)的性質(zhì)可得、,利用零點(diǎn)的存在性定理即可得出結(jié)果.【詳解】奇函數(shù)的定義域?yàn)镽,其圖象為一條連續(xù)不斷的曲線,得,由得,所以,故函數(shù)在之間至少存在一個(gè)零點(diǎn),由奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在之間至少存在一個(gè)零點(diǎn),所以函數(shù)在之間至少存在3個(gè)零點(diǎn).故選:C5、C【解析】設(shè)乙得到位市民的幸福感指數(shù)為,甲得到位市民的幸福感指數(shù)為,求出,,由甲的方差可得的值,再求出的值,由方差公式即可求解.【詳解】設(shè)乙得到位市民的幸福感指數(shù)為,則,甲得到位市民的幸福感指數(shù)為,可得,,所以這位市民的幸福感指數(shù)之和為,平均數(shù)為,由方差的定義,乙所得數(shù)據(jù)的方差:,由于,解得:.因?yàn)榧椎玫轿皇忻竦男腋8兄笖?shù)為,,,,,,,,,,所以,所以這位市民的幸福感指數(shù)的方差為:,故選:C.6、A【解析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理及函數(shù)單調(diào)性可知,,解不等式組即可求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得,解得.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷,零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用,根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)的取值范圍,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】畫(huà)出函數(shù)圖像,分解因式得到,有一個(gè)解故有兩個(gè)解,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】畫(huà)出函數(shù)的圖像,如圖所示:當(dāng)時(shí),即,有一個(gè)解;則有兩個(gè)解,根據(jù)圖像知:故選:【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,畫(huà)出函數(shù)圖像,分解因式是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】選項(xiàng),連接,,因?yàn)椋灾本€與直線所成的角為,故錯(cuò);選項(xiàng),因?yàn)槠矫?故為直線與平面所成的角,根據(jù)題意;選項(xiàng),因?yàn)槠矫?所以,故二面角的平面角為,故錯(cuò);用排除法,選故選:D9、A【解析】利用交集定義先求出A∩B,由此能求出A∩B中元素的個(gè)數(shù)【詳解】∵集合∴A∩B={3},∴A∩B中元素的個(gè)數(shù)為1故選A【點(diǎn)睛】本題考查交集中元素個(gè)數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意交集定義的合理運(yùn)用10、A【解析】由題意可知,陰影部分所表示的元素屬于,不屬于,結(jié)合所給的集合求解即可確定陰影部分所表示的集合.【詳解】由已知中陰影部分在集合中,而不在集合中,故陰影部分所表示的元素屬于,不屬于(屬于的補(bǔ)集),即.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合表示方法,Venn圖及其應(yīng)用等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11、D【解析】根據(jù)含有一個(gè)量詞命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}p:?x∈N,x3>x2的是全稱(chēng)量詞命題,其否定是存在量詞命題,所以?p:?x∈N,x3≤x2故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查含有一個(gè)量詞命題的否定,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性解函數(shù)不等式【詳解】是偶函數(shù),.所以不等式化為,又在上遞增,所以,或,即或故選:B二、填空題(本大題共4小題,共20分)13、【解析】先令,按照單調(diào)性求出函數(shù)的值域,寫(xiě)出的取值范圍即可.【詳解】令,顯然該函數(shù)增函數(shù),,值域?yàn)?,?故答案為:.14、①.②.【解析】先求出經(jīng)過(guò),秒針轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角的為,進(jìn)而表達(dá)出函數(shù)解析式,利用求出的解析式建立不等式,解出解集,得到答案.【詳解】經(jīng)過(guò),秒針轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為,得.由,得,又,故,得,解得:,故一圈內(nèi)A與兩點(diǎn)距離地面的高度差不低于的時(shí)長(zhǎng)為.故答案為:,15、【解析】求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸,即可得的單增區(qū)間,即可求解.【詳解】函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是,開(kāi)口向上,若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增函數(shù),則,故答案為:.16、-2【解析】因?yàn)橄蛄颗c平行,所以存在,使,所以,解得答案:三、解答題(本大題共6小題,共70分)17、(1);(2)【解析】(1)根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可得解;(2)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn),再化弦為切即可得解.【詳解】解:(1)原式;(2)原式.18、(1);(2)單調(diào)遞增.證明見(jiàn)解析;(3)【解析】(1)列方程組解得參數(shù)a、b,即可求得的解析式;(2)以函數(shù)單調(diào)性定義去證明即可;(3)依據(jù)奇函數(shù)在上單調(diào)遞增,把不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式即可解決.【小問(wèn)1詳解】由題意可知,即,解之得,則,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.【小問(wèn)2詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增.設(shè)任意,且,則由,且,可得則,即故在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】不等式可化為等價(jià)于,解之得故不等式的解集為19、(1)解集為;(2)見(jiàn)解析.【解析】分析:()由平面向量數(shù)量積公式、結(jié)合輔助角公式可得,令,從而可得結(jié)果;()“圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且在處取得最小值”.因此,根據(jù)三角函數(shù)的圖象特征可以知道,,故有,∴,,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng);此時(shí),,對(duì)討論兩種情況可得使得函數(shù)滿(mǎn)足“圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且在處取得最小值的充要條件”是“,時(shí),,;或當(dāng)時(shí),,”.詳解:()根據(jù)題意,當(dāng),,時(shí),,,則有或,即或,又因?yàn)?,故在?nèi)解集為()解:因?yàn)?,設(shè)周期因?yàn)楹瘮?shù)須滿(mǎn)足“圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且在處取得最小值”因此,根據(jù)三角函數(shù)的圖象特征可以知道,,故有,∴,,又因?yàn)?,形如的函?shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心都是的零點(diǎn),故需滿(mǎn)足,而當(dāng),時(shí),因?yàn)?,;所以?dāng)且僅當(dāng),時(shí),的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng);此時(shí),,∴,(i)當(dāng),時(shí),,進(jìn)一步要使處取得最小值,則有,∴,故,又,則有,,因此,由可得,(ii)當(dāng)時(shí),,進(jìn)一步要使處取得最小值,則有;又,則有,因此,由,可得,綜上,使得函數(shù)滿(mǎn)足“圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且在處取得最小值的充要條件”是“,時(shí),,;或當(dāng)時(shí),,”點(diǎn)睛:本題主要考查公式三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及輔助角公式的應(yīng)用,屬于難題.利用該公式()可以求出:①的周期;②單調(diào)區(qū)間(利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可通過(guò)解不等式求得);③值域();④對(duì)稱(chēng)軸及對(duì)稱(chēng)中心(由可得對(duì)稱(chēng)軸方程,由可得對(duì)稱(chēng)中心橫坐標(biāo).20、(1);(2)【解析】(1)根據(jù)集合交集的定義,結(jié)合一元二次不等式解法進(jìn)行求解即可;(2)根據(jù)必要條件對(duì)應(yīng)的集合關(guān)系進(jìn)行求解即可;【詳解】解:由題意可知,;(1)當(dāng)時(shí),,所以(2)是的必要條件,,.21、(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.【解析】(1)欲證:平面,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知,只需證與平面內(nèi)一條直線平行,連接,可知,則,又平面,平面,滿(mǎn)足定理所需條件;(2)欲證:平面平面,根據(jù)面面垂直的判定定理可知,在平面內(nèi)一條直線與平面垂直,而平面,平面,則,,滿(mǎn)足線面垂直的判定定理則平面,而平面,滿(mǎn)足定理所需條件【詳解】(1)證明:連接,在正方體中,對(duì)角線,又因?yàn)?、為棱、的三等分點(diǎn),所以,則,又平面,平面,所以平面(2)因?yàn)樵谡襟w中,因?yàn)槠矫妫矫?,所以,又因?yàn)樵谡叫沃?,,而,平面,平面,所以平面,又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妗军c(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判
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