2023-2024學(xué)年揭陽市重點(diǎn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年揭陽市重點(diǎn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．下列關(guān)于向量的敘述中正確的是（）A.單位向量都相等B.若，，則C.已知非零向量，，若，則D.若，且，則2．已知集合，若，則（）A.-1 B.0C.2 D.33．已知等邊的邊長為2，為內(nèi)（包括三條邊上）一點(diǎn)，則的最大值是A.2 B.C.0 D.4．已知函數(shù)，若正數(shù)，，滿足，則（）A.B.C.D.5．函數(shù)的值域是A. B.C. D.6．已知向量，若與垂直，則的值等于A. B.C.6 D.27．已知，，則的大小關(guān)系是A. B.C. D.8．冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上是增函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.和9．已知則的值為（）A. B.2C.7 D.510．一幾何體的直觀圖如右圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是（）A. B.C. D.11．若函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，且一個為正數(shù)，另一個為負(fù)數(shù)，則的取值范圍為A. B.C. D.12．已知函數(shù)，，如圖所示，則圖象對應(yīng)的解析式可能是（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知函數(shù)，則___________.14．的值為__________15．若“”是“”的必要條件，則的取值范圍是________16．制造一種零件，甲機(jī)床的正品率為，乙機(jī)床的正品率為．從它們制造的產(chǎn)品中各任抽1件，則兩件都是正品的概率是__________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．要建造一段5000m的高速公路，工程隊需要把600人分成兩組，一組完成一段2000m的軟土地帶公路的建造任務(wù)，同時另一組完成剩下的3000m的硬土地帶公路的建造任務(wù)．據(jù)測算，軟、硬土地每米公路的工程量分別是50人/天和30人/天，設(shè)在軟土地帶工作的人數(shù)x人，在軟土、硬土地帶筑路的時間分別記為，（1）求，；（2）求全隊的筑路工期；（3）如何安排兩組人數(shù)，才能使全隊筑路工期最短?18．某市郊區(qū)有一加油站，2018年初汽油的存儲量為50噸，計劃從年初起每周初均購進(jìn)汽油噸，以滿足城區(qū)內(nèi)和城外汽車用油需求，已知城外汽車用油每周5噸；城區(qū)內(nèi)汽車用油前個周需求量噸與的函數(shù)關(guān)系式為，為常數(shù)，且前4個周城區(qū)內(nèi)汽車的汽油需求量為100噸.（1）試寫出第個周結(jié)束時，汽油存儲量（噸）與的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使16個周內(nèi)每周按計劃購進(jìn)汽油之后，加油站總能滿足城區(qū)內(nèi)和城外的需求，且每周結(jié)束時加油站的汽油存儲量不超過150噸，試確定的取值范圍.19．已知甲乙兩人的投籃命中率分別為，如果這兩人每人投籃一次，求：（1）兩人都命中的概率；（2）兩人中恰有一人命中的概率.20．（1）從區(qū)間內(nèi)任意選取一個實數(shù)，求事件“”發(fā)生的概率；（2）從區(qū)間內(nèi)任意選取一個整數(shù)，求事件“”發(fā)生的概率.21．已知圓，直線（1）直線l一定經(jīng)過哪一點(diǎn)；（2）若直線l平分圓C，求k的值；（3）若直線l與圓C相交于A，B，求弦長的最小值及此時直線的方程22．已知集合，其中，集合若，求；若，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、C【解析】A選項：單位向量方向不一定相同，故A錯誤；B選項：當(dāng)時，與不一定共線，故B錯誤；C選項：兩邊平方可得，故C正確；D選項：舉特殊向量可知D錯誤.【詳解】A選項：因為單位向量既有大小又有方向，但是單位向量方向不一定相同，故A錯誤；B選項：當(dāng)時，，，但與不一定共線，故B錯誤；C選項：對兩邊平方得，，所以，故C正確；D選項：比如：，，，所以，，所以，但，故D錯誤.故選：C.2、C【解析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系列方程求解即可.【詳解】因為，所以或，而無實數(shù)解，所以.故選：C3、A【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則故令，則t表示內(nèi)（包括三條邊上）上的一點(diǎn)與點(diǎn)間的距離的平方．結(jié)合圖形可得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B或C重合時t可取得最大值，且最大值為，故的最大值為．選A點(diǎn)睛：通過建立坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算可使得本題的解答代數(shù)化，在得到向量數(shù)量積的表達(dá)式后，根據(jù)表達(dá)式的特征再利用數(shù)形結(jié)合的思路求解是解題的關(guān)鍵，借助圖形的直觀性可容易得到答案4、B【解析】首先判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增；然后根據(jù)，同時結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及放縮法即可證明選項B；通過舉例說明可判斷選項A，C，D.【詳解】因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；因為，，，均為正數(shù)，所以，又，所以，所以，所以，又因為，所以，選項B正確；當(dāng)時，滿足，但不滿足，故選項A錯誤；當(dāng)時，滿足，但此時，不滿足，故選項C錯誤；當(dāng)時，滿足，但此時，不滿足，故選項D錯誤.故選：B.5、C【解析】函數(shù)中，因為所以.有.故選C.6、B【解析】，所以，則，故選B7、D【解析】因為，故，同理，但，故，又，故即，綜上，選D點(diǎn)睛：對于對數(shù)，如果或，那么；如果或，那么8、D【解析】分別代入的值，由冪函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)增減性即可.【詳解】因為，，所以當(dāng)時，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，在上是減函數(shù)；所以當(dāng)時，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，在上是常函數(shù)；所以當(dāng)時，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于y軸對稱,在上是增函數(shù)；所以當(dāng)時，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于y軸對稱,在上是增函數(shù)；故選：D9、B【解析】先算，再求【詳解】，故選：B10、B【解析】通過幾何體結(jié)合三視圖的畫圖方法，判斷選項即可【詳解】解：幾何體的俯視圖，輪廓是矩形，幾何體的上部的棱都是可見線段，所以C、D不正確；幾何體的上部的棱與正視圖方向垂直，所以A不正確，故選B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的畫法，幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵11、C【解析】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖像，由圖像即可分析出由一個正零點(diǎn)，一個負(fù)零點(diǎn)a的范圍【詳解】如圖，若存在兩個零點(diǎn)，且一個為正數(shù)，另一個為負(fù)數(shù)，則，故選【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值函數(shù)及零點(diǎn)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12、C【解析】利用奇偶性和定義域，采取排除法可得答案.【詳解】顯然和為奇函數(shù)，則和為奇函數(shù)，排除A，B，又定義域為，排除D故選：C二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】利用函數(shù)的解析式由內(nèi)到外逐層計算可得的值.【詳解】因為，則，故.故答案為：.14、【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算可得；【詳解】解：故答案為：15、【解析】根據(jù)題意解得：，得出，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意解得：，由于“”是“”必要條件，則，.因此，實數(shù)的取值范圍是：.故答案為：.16、【解析】由獨(dú)立事件的乘法公式求解即可.【詳解】由獨(dú)立事件的乘法公式可知，兩件都是正品的概率是.故答案為：三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1），，，（2），且（3）安排316人到軟土地帶工作，284人到硬土地帶工作時，可以使全隊筑路工期最短【解析】（1）由題意分別計算在軟土、硬土地帶筑路的時間即可；（2）由得到零點(diǎn)，即可得到分段函數(shù)；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.【小問1詳解】在軟土地帶筑路時間為：，在硬土地帶筑路時間為，，【小問2詳解】全隊的筑路工期為由于，即，得從而，即，且.【小問3詳解】函數(shù)區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以是函數(shù)的最小值點(diǎn)但不是整數(shù)，于是計算和，其中較小者即為所求于是安排316人到軟土地帶工作，284人到硬土地帶工作時，可以使全隊筑路工期最短18、(1)(2)【解析】（1）根據(jù)題意前4個周城區(qū)內(nèi)汽車的汽油需求量為100噸，得，；（2）每周結(jié)束時加油站的汽油存儲量不超過150噸，故，恒成立,轉(zhuǎn)化為恒成立，通過換元分別求得函數(shù)的最值即可解析：（1）由已知條件得，解得.所以..（2）由題意，，所以，恒成立，即恒成立.設(shè)，則，所以（）恒成立，由（）恒成立，得（當(dāng)，即時取等號）；由（）恒成立，得（當(dāng)，即時取等號），所以的取值范圍是.點(diǎn)睛：這個題目考查了函數(shù)的實際應(yīng)用；對于這種題目，首先理解好題意，找到函數(shù)模型，列出數(shù)學(xué)表達(dá)式，注意函數(shù)的定義域要結(jié)合實際．在處理表達(dá)式時，通常會遇到求函數(shù)的最值和值域的問題，一般高次的會用到求導(dǎo)，研究單調(diào)性等．也可能通過換元將函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的二次，或單調(diào)函數(shù)．19、（1）0.56；（2）0.38.【解析】（1）利用相互獨(dú)立事件概率計算公式，求得兩人都命中的概率.（2）利用互斥事件概率公式和相互獨(dú)立事件概率計算公式，求得恰有一人命中的概率.【詳解】記事件A，B分別為“甲投籃命中"，“乙投籃命中”，則.（1）“兩人都命中”為事件AB，由于A，B相互獨(dú)立，所以，即兩人都命中的概率為0.56.（2）由于互斥且A，B相互獨(dú)立，所以恰有1人命中概率為.即恰有一人命中的概率為0.38.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本小題主要考查相互獨(dú)立事件概率計算，考查互斥事件概率公式，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地理解題意和運(yùn)用公式求解.20、（1）；（2）.【解析】（1）由，得，即，故由幾何概型概率公式，可得從區(qū)間內(nèi)任意選取一個實數(shù)，求事件“”發(fā)生的概率；（2）由，得，整數(shù)有個，在區(qū)間的整數(shù)有個，由古典概型概率公式可知得，從區(qū)間內(nèi)任意選取一個整數(shù)事件“”發(fā)生的概率.試題解析：（1）因為，所以，即，故由幾何概型可知，所求概率為.（2）因為，所以，則在區(qū)間內(nèi)滿足的整數(shù)為1，2，3，共3個，故由古典概型可知，所求概率為.21、（1）（2）（3）弦長的最小值為,此時直線的方程為【解析】（1）由可求出結(jié)果；（2）轉(zhuǎn)化為圓心在直線上可求出結(jié)果；（3）當(dāng)時，弦長最小，根據(jù)垂直關(guān)系求出直線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線的方程，利用勾股定理可求出最小弦長.【詳解】（1）由得得，所以直線l一定經(jīng)過點(diǎn).（2）因為直線l平分圓C，所以圓心在直線上，所以，解得.（3）依題意可知當(dāng)時，弦長最小，此時，所以，所以，即，圓心到直線的距離，所以.所以弦長的最小值為，此時直線的方程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（3）中，將弦長最小轉(zhuǎn)化為是解題關(guān)鍵.