2024年高考數(shù)學第二輪復習 專題06 一元函數(shù)的導數(shù)及其應(yīng)用（利用導函數(shù)研究不等式恒成立問題）（全題型壓軸題）（教師版）

專題06一元函數(shù)的導數(shù)及其應(yīng)用（利用導函數(shù)研究不等式恒成立問題）（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào) 1②變量分離法 3③最值法 9④變更主元法 13⑤雙變量問題型 14更多資料添加微信號：DEM8008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：①已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)1．（2023春·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高二阿拉善盟第一中學?？计谥校┤艉瘮?shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】由題可知：，在區(qū)間恒成立，得恒成立，即，設(shè)，，在區(qū)間恒成立，則函數(shù)的最小值為，所以.故答案為：8．（2023春·內(nèi)蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學?？计谥校┤艉瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上函數(shù)，所以設(shè)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以只需即可.故答案為：.3．（2023春·山東煙臺·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】【詳解】因為，，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，對稱軸為直線，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.4．（2023春·甘肅酒泉·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是．【答案】【詳解】，，又在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，，由得，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以有最大值，所以.故答案為：5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為【答案】【詳解】因為，所以，，因為函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)恒成立，即，解得．令，，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.②變量分離法1．（2023春·吉林白城·高二?？计谀┮阎瘮?shù)在處的切線與直線：垂直．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(8)若對任意實數(shù)，恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(8)1【詳解】（1）由，得，又切線與直線：垂直，所以，即．所以，令，得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（8）對任意實數(shù)，恒成立，即對任意實數(shù)恒成立．設(shè)，即．，令，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增．又，，所以存在，使得，即，所以．當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．所以，當時，，所以，由題意知且所以，即整數(shù)的最大值為1．8．（2023·全國·高二專題練習）已知.(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(8)對一切實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(8)【詳解】（1）解：因為，則，令，可得，①當時，對任意的，，此時函數(shù)的減區(qū)間為；②當時，令可得，令可得，此時函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，綜上所述，當時，函數(shù)的減區(qū)間為；當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（8）解：因為，可得，由對一切實數(shù)，不等式恒成立，即恒成立，可得，即在恒成立，令，其中，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，則，解得，所以a的取值范圍為.3．（2023春·山東德州·高二德州市第一中學?？计谀┮阎瘮?shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(8)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為(8)【詳解】（1）函數(shù)定義域為，又，

令，解得，所以、與的關(guān)系如下所示：單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.（8）不等式在上恒成立，等價于不等式在上恒成立，故不等式在上恒成立，

令，，則，當時，，所以在上為增函數(shù)；當時，，所以在上為減函數(shù)；所以，所以．4．（2023春·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中.(1)若，求曲線在點處的切線方程；(8)若對于任意，都有成立，求的取值范圍.【答案】(1)(8)【詳解】（1），，，，∴在處切線方程為,.（8）∵，有恒成立，則，即，令，當時，，，∵當時，，所以在上單調(diào)遞增，∴．∴．5．（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.(1)若是的極值點，求函數(shù)的極值；(8)若時，恒有成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)極大值為，極小值為(8)【詳解】（1），因為是的極值點，

所以，所以，所以當或時，；當時，.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.所以極大值，極小值為（8）若時，恒有恒成立，即，即，因為，所以，

令，則，則時，，時，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以.

所以a的取值范圍為6．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，；(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(8)設(shè)函數(shù)，對于任意的都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(8)【詳解】（1）的定義域為，則，當時，即時，在上單調(diào)遞增，當時，即時，則即，令得，令得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（8）依題得因為對于任意的總有成立，不妨設(shè)由，得設(shè)，可得在單調(diào)遞增；在恒成立；∴在恒成立；設(shè)，令，得，因為，所以在單調(diào)遞增；同理，在單調(diào)遞減，所以的最大值為，所以.③最值法1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚中高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)求在點處函數(shù)的切線方程；(8)若對任意，都有成立，求正數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(8)【詳解】（1）因為，所以所以，所以切線的方程為；（8）設(shè)，則，令，即，解得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，，由對任意，都有成立，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.8．（2023春·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，(1)求函數(shù)的極值點；(8)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極大值點為，無極小值點；(8).【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導得，當時，，當時，，因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的極大值點為，無極小值點.（8）設(shè)，，依題意，，求導得，令，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，則，使得，即，有，即，因此當時，，即，則單調(diào)遞增，當時，，即，則單調(diào)遞減，從而，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】【詳解】解法一，由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立令，則．當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以因為，，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為．解法二，由在上恒成立，得在上恒成立．令，，則滿足即可，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．因為，，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為．4．（2023春·陜西渭南·高二合陽縣合陽中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若在處取到極值，求a的值及函數(shù)的最值；(8)若有極值點，求a的取值范圍．(3)若當時，恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)，，無最大值(8)(3)．【詳解】（1）（1）由題知，，∴．經(jīng)檢驗滿足，∴，當時，，即在上單調(diào)遞減，當時，，即在上單調(diào)遞增，∴，函數(shù)無最大值．（8）由題知在有變號零點，即在有解．即與在有交點，∴；（3）法一：由題意可知，在時恒成立，∵，令，得，當即，，∴在單調(diào)遞增，∴，∴，當即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴，不符合題意，綜上，．法二：由恒成立，，當時，顯然恒成立，∴，當時，原式等價于恒成立，令，即恒成立，易得，令，則在成立，∴在上單調(diào)遞增，故，∴，在上單調(diào)遞增，∴，又，∴．5．（2023春·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(8)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(8)【詳解】（1），，當時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當時，時，，則在上單調(diào)遞減；時，，則在上單調(diào)遞增．（8）方法一：在恒成立，則當時，，顯然成立，符合題意；當時，得恒成立，即記，，，構(gòu)造函數(shù)，，則，故為增函數(shù)，則.故對任意恒成立，則在遞減，在遞增，所以∴．方法二：在上恒成立，即．記，，，當時，在單增，在單減，則，得，舍：當時，在單減，在單增，在單減，，，得；當時，在單減，成立；當時，在單減，在單增，在單減，，，而，顯然成立．綜上所述，．④變更主元法1．（2023·全國·高三專題練習）若不等式，當時恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】不等式可化為，由已知可得令，可得∴

或，故選D.8．（8088秋·江西撫州·高一金溪一中?？茧A段練習）已知函數(shù)，對任意的，恒成立，則的取值范圍為．【答案】【詳解】，定義域為，則，可知函數(shù)為奇函數(shù)，又均為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，由，得，即，則，即，由題意可知，對任意的，恒成立，令，所以，解得，所以的取值范圍為．故答案為：．3．（2023·高一課時練習）不等式對滿足的一切實數(shù)m的取值都成立，求x的取值范圍．【答案】【詳解】不等式化為：對于任意的恒成立，令，要使對于任意恒成立，由于函數(shù)是關(guān)于的一條直線，則有，解得，故x的取值范圍為.⑤雙變量問題型1．（2023·全國·高三專題練習）已知，若對使得，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】當時，單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可得此時也單調(diào)遞增，所以；當時，單調(diào)遞減，所以.因為對使得，所以，即，解得.故答案為：8．（2023春·海南海口·高一?？谝恢行？计谥校加?，且，，，，使得成立，則的范圍是.【答案】【詳解】，都有，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以，故，所以，因為，，使得成立，所以函數(shù)在上的最小值不小于函數(shù)在上的最小值，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最小值為，又的對稱軸為，，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，由題意，且，所以；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，由題意，且，所以；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，由題意，且，所以；綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.3．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)()．設(shè)，若對任意的，存在，使得成立，求的取值范圍．【答案】【詳解】“對任意的，存在，使得成立”，等價于“在上，的最大值大于或等于的最大值”．由，得，所以在上單調(diào)遞增，所以．由，得，令，則或①當時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，解得；②當時，在上恒成立，單調(diào)遞減，在上恒成立，單調(diào)遞增，所以的最大值為或，所以或，解得或，所以；③當時，在上恒成立，單調(diào)遞減，所以，解得，所以．綜上所述：或，即的取值范圍為4．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預測）已知是定義在[－8，8]上的函數(shù)，若滿足且．(1)求的解析式；(8)設(shè)函數(shù)，若對任意，都有恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1)(8)【詳解】（1），且，所以為奇函數(shù)，將代入可得，即，所以，即，因為，所以，代入可得，解得，故；，函數(shù)為奇函數(shù)，滿足，故．（8）只要，設(shè)，則，∵，∴，∴，即，故函數(shù)在[1，8]上單調(diào)遞增，最小值為．法一：在[1，8]上恒成立，只要，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，當時，，故當時，，所以．法二：，，當時，，，解