適用于新高考新教材2024版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)下篇能力培養(yǎng)思維進(jìn)階5數(shù)學(xué)運算課件

能力五數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的核心素養(yǎng).主要包括:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,選擇運算方法,設(shè)計運算程序,求解運算結(jié)果等.數(shù)學(xué)運算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段.數(shù)學(xué)運算是演繹推理,是計算機(jī)解決問題的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)運算主要表現(xiàn)為:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,求解運算結(jié)果.通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力;有效借助運算方法解決實際問題;通過運算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展,形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì),養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神.在高考數(shù)學(xué)中對數(shù)學(xué)運算這一核心素養(yǎng)進(jìn)行考查,其關(guān)鍵點在于:學(xué)生能夠根據(jù)題目的情境正確理解運算對象,然后運用相關(guān)運算法則,探究出該情境下的運算思路,通過正確的運算方法最后求得運算結(jié)果.數(shù)學(xué)運算的流程數(shù)學(xué)運算的流程

(1)理解運算對象理解運算對象就是要明確地知道對誰進(jìn)行運算,進(jìn)行什么運算,運算對象的本質(zhì)是什么.理解運算對象是正確進(jìn)行數(shù)學(xué)運算的前提和根本,只有做到心中有數(shù),才能利用運算對象的概念、性質(zhì)等選擇適當(dāng)?shù)倪\算方法進(jìn)行后續(xù)的運算,才能更好地解決數(shù)學(xué)問題.本題的運算對象是直線與橢圓,運算對象的性質(zhì)是直線與橢圓的位置關(guān)系.(2)掌握運算法則掌握運算法則是正確解決數(shù)學(xué)運算問題的關(guān)鍵,不同的運算對象有不同的運算法則,只有正確理解了運算對象,熟練靈活地選擇相應(yīng)的運算法則,才能正確解答運算題.數(shù)學(xué)運算法則的使用不是生搬硬套,而是在熟記和理解的基礎(chǔ)上靈活運用,做到正用、逆用、變形用,從而達(dá)到綜合應(yīng)用,這樣才能提高解題的速度.如上例中的運算法則是直線方程的設(shè)法、點到直線的距離公式、三角形面積公式、根與系數(shù)的關(guān)系等.(3)探究運算思路運算思路是進(jìn)行數(shù)學(xué)運算的路線圖,具有很強的邏輯性,蘊含著豐富的演繹推理過程.近年來,高考試題更注重數(shù)學(xué)思維和思想方法的考查,其目的就是為了“反套路”和杜絕“機(jī)械刷題”現(xiàn)象,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),而運算思路是體現(xiàn)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的精華,是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵,通過探究運算思路,能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展.因而,只有實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思維和思想方法的有機(jī)整合,培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法解題的意識和能力,才能優(yōu)化運算方法和思路,更好地理解數(shù)學(xué),體會數(shù)學(xué)的美.(4)求得運算結(jié)果求得運算結(jié)果需要正確理解運算對象,掌握并靈活運用運算法則和方法,探究合理運算思路.在高中階段,求得運算結(jié)果的能力分為應(yīng)用運算能力和過程運算能力.應(yīng)用運算能力主要考查根據(jù)已知量算出未知量的運算技能.而高考題重點不在應(yīng)用運算,而在于過程運算,過程運算能力基于應(yīng)用運算能力,是理解運算對象、掌握運算方法、探究運算思路、求得運算結(jié)果的綜合體現(xiàn).因此,在數(shù)學(xué)運算的學(xué)習(xí)與實踐中,不但要知道運算是一種重要的工具和方法,更重要的是一種思維模式,即“理性思維”,通過數(shù)學(xué)運算的訓(xùn)練還有助于提高人的推理能力、抽象能力、分析能力和批判性能力等.上例中在學(xué)生正確理解運算對象,掌握并靈活運用運算法則和方法,探究合理運算思路的基礎(chǔ)上便可成功獲得如下正確運算結(jié)果.數(shù)學(xué)運算與高考關(guān)鍵能力2023年2022年2021年新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)運算運算與數(shù)據(jù)處理能力

第10題

運算路徑選擇能力第21題

第21題

估值與近似計算能力

思維進(jìn)階訓(xùn)練A2.(運算路徑選擇能力)(多選題)(2023山東濰坊一模)已知1<m<n,過點(m,log2m)和(n,log2n)的直線為l1.過點(m,log8m)和(n,log8n)的直線為l2,l1與l2在y軸上的截距相等,設(shè)函數(shù)f(x)=mnx+n-mx,則(

)A.f(x)在R上單調(diào)遞增B.若m=2,則f(1)=32C.若f(2)=6,則f(4)=34D.m,n均不為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))CD因為函數(shù)y=log2x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以mn=nm,所以f(x)=mnx+n-mx=mnx+m-nx.對于A,令t=mn,t>1,則f(x)=tx+t-x,f'(x)=txln

t-t-xln

t.令u(t)=txln

t-t-xln

t,則u'(t)=tx(ln

t)2+t-x(ln

t)2>0在R上恒成立,所以u(t)=txln

t-t-xln

t在R上單調(diào)遞增,即f'(x)在R上單調(diào)遞增.又f'(0)=ln

t-ln

t=0,所以當(dāng)x>0時,f'(x)>0,所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)x<0時,f'(x)<0,所以f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,故A錯誤.對于B,設(shè)g(x)=2x-x2(x>2),則g'(x)=2xln

2-2x.令h(x)=2xln

2-2x(x>2),則h'(x)=2x(ln

2)2-2,顯然h'(x)在區(qū)間(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且h'(2)=4·(ln

2)2-2<0,h'(3)=8·(ln

2)2-2>0,根據(jù)零點存在定理,可得?x0∈(2,3),有h'(x0)=0,且當(dāng)2<x<x0時,有h'(x)<0,即h(x)在區(qū)間(2,x0)內(nèi)單調(diào)遞減,所以g'(x)在區(qū)間(2,x0)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)x>x0時,有h'(x)>0,即h(x)在區(qū)間(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以g'(x)在區(qū)間(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.因為g'(2)=4ln

2-4<0,g'(3)=8ln

2-6<0,g'(4)=16ln

2-8>0,所以根據(jù)零點存在定理,可得?x1∈(3,4),有g(shù)'(x1)=0,且當(dāng)2<x<x1時,有g(shù)'(x)<0,即g(x)在區(qū)間(2,x1)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)x>x1時,有g(shù)'(x)>0,即g(x)在區(qū)間(x1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.因為g(2)=22-22=0,g(3)=23-32=-1,g(4)=24-42=0,g(5)=25-52=7,所以由g(x)=2x-x2=0,可得x=2或x=4.因為m=2,所以由mn=nm可得,2n=n2,所以n=4或n=2(舍去).所以f(x)=24x+2-4x=16x+16-x,所以f(1)=16+16-1≠32,故B錯誤.對于C,因為f(x)=mnx+m-nx,則由f(2)=6可知,m2n+m-2n=6.所以(m2n+m-2n)2=m4n+m-4n+2m2n·m-2n=f(4)+2=36,所以f(4)=34,故C正確.3.(估值與近似計算能力)(2023江蘇南通模擬)劉徽編撰的《重差》是中國測量學(xué)著作,為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測量一個球體建筑物的高度,已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點(切點),地面上B,C兩點與點A在同一條直線上,且在點A的同側(cè).