一次函數(shù)與二元一次方程組

一次函數(shù)與二元一次方程(組)國際奧林匹克運(yùn)動會早期，男子撐桿跳高的紀(jì)錄近似地由下表給出年份190019041908高度（m）3.333.533.73探究觀察這個表中第二行的數(shù)據(jù)，可以為奧運(yùn)會的撐桿跳高記錄與時間的關(guān)系建立函數(shù)模型嗎？上表中每一屆比上一屆的紀(jì)錄提高了0.2m,可以試著建立一次函數(shù)的模型用t表示從1900年起增加的年份，則在奧運(yùn)會早期，男子撐桿跳高的紀(jì)錄y（m）與t的函數(shù)關(guān)系式為Y=kt+b由于t=0(即1900年)時，撐桿跳高的紀(jì)錄為3.33m，t=4(即1904)時，紀(jì)錄為3.53m，因此b=3.33①4k+b=3.53②｛解得k=0.05于是y=0.05t+3.33(c)公式（c）就是奧運(yùn)會早期男子撐桿跳高紀(jì)錄y與時間t的函數(shù)關(guān)系式能利用上面得出的公式（c）預(yù)測1912年奧運(yùn)會的男子撐桿跳高紀(jì)錄嗎？3.93（m）7.73(m)預(yù)測1988年奧運(yùn)會男子撐桿跳高紀(jì)錄嗎？事實(shí)上，1912年奧運(yùn)會男子撐桿跳高紀(jì)錄的確約為3.93m,1988年奧運(yùn)會的撐桿跳高紀(jì)錄是6.06m,比較上面的計算結(jié)果，大家有什么看法呢？這表明用所建立的函數(shù)模型，在已知數(shù)據(jù)鄰近作預(yù)測，是與事實(shí)比較吻合的，而遠(yuǎn)離已知數(shù)據(jù)做預(yù)測是不可靠的事實(shí)上，1912年奧運(yùn)會男子撐桿跳高紀(jì)錄的確約為3.93m,1988年奧運(yùn)會的撐桿跳高紀(jì)錄是6.06m,比較上面的計算結(jié)果，大家有什么看法呢？議一議探究

某一天，小明和小亮同時從家里出發(fā)去縣城，速度分別為2.5千米/時，4千米/時.小亮家離縣城25千米，小明家在小亮家去縣城的路上，離小亮家5千米.（1）你能分別寫出次小明、小亮離小亮家的距離y(千米)與行走時間t（小時）的函數(shù)關(guān)系嗎？小明離小亮家的距離y=2.5t+5小亮離自己家的距離y=4t（2）在同一直角坐標(biāo)系中分別劃出上述兩個函數(shù)的圖象，如下圖表示.t(小時)y(千米)5102025303512345670y=4ty=2.5t+5（2）你能從圖中看出，在出發(fā)后幾個小時小亮追上小明嗎？t(小時)y(千米)5102025303512345670y=4ty=2.5t+5p

兩條射線的交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)約為3.3，因此在出發(fā)后約3.3小時，小亮追上了小明.t(小時)y(千米)5102025303512345670Mly=4ty=2.5t+5（2）你能從圖中看出，誰先到達(dá)縣城嗎？

如圖所示，過M(0，25)作射線l與x軸平行，它先與射線y=4t相交，這表明小亮先到達(dá)縣城.

上述例子的第(3)個問題中，小亮追上小明的時間是所繪直角坐標(biāo)系中兩條射線y=2.5t+5與

y=4t

的交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，而交點(diǎn)P的坐標(biāo)是下述二元一次方程組的解：

上述例子就是通過在同一個直角坐標(biāo)系中，分別畫出y=2.5t+5與y=4t的圖象，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出二元一次方程組的近似值.

這種解二元一次方程組的方法叫做圖像法.

歸納：一般地，每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個__________，于是也對應(yīng)兩條______．從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這個函數(shù)值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線______的坐標(biāo)．

2．活用方程組，解決函數(shù)問題 二元一次方程組和一次函數(shù)的關(guān)系相當(dāng)密切，靈活應(yīng)用它們“數(shù)”和“形”的親密合作關(guān)系，有助于我們解題．一次函數(shù)直線交點(diǎn)

1．一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系

探究：如圖1，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出一次函數(shù)y1、y2的圖象l1、l2，設(shè)y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，則兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為_________．方程組圖1－23(－2,3)

活用方程組，解決函數(shù)問題 例2：小東從

A地出發(fā)以某一速度向

B地走去，同時小明從B地出發(fā)以另一速度向A地而行，如圖3，圖中的線段y1、y2分別表示小東、小明離B地的距離y(千米)與所圖3用時間x(小時)的關(guān)系．

(1)試用文字說明：交點(diǎn)P所表示的實(shí)際意義；

(2)試求出A、B兩地之間的距離．

思路導(dǎo)引：結(jié)合圖象，尋找等量關(guān)系．

2．小亮用作圖象的方法解二元一次方程組時，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出了相應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖象l1、l2如圖4，他解的這個方程組是()D圖4

點(diǎn)撥：由圖象知，l1、l2

的x的系數(shù)都應(yīng)為負(fù)數(shù)，排除A、C.又l1、l2的交點(diǎn)為(2，－2)，代入驗(yàn)證可知只有D符合．

一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系(重點(diǎn))例1：如圖2，已知函數(shù)

y＝ax＋b和y＝kx的圖象交于點(diǎn)P，則根據(jù)圖象可得，關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是________．

圖21．已知二元一次方程x＋y＝3與3x－y＝5有一組公共解x=2y=1，那么一次函數(shù)y＝3－x與y＝3x－5的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為()BA．(1,2)C．(－1,2)B．(2,1)D．(－2,1)

3．某單位準(zhǔn)備和一個個體車主或一國有出租車公司其中的一家簽訂月租車合同．設(shè)汽車每月行駛x千米，應(yīng)付給個體車主的月費(fèi)用是y1元，應(yīng)付給國有出租車公司的月費(fèi)用是y2元，y1、y2分別與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象(兩條射線)如圖5，觀察圖象回答下列問題：圖5

(1)每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時，租國有公司的車合算？

(2)每月行駛的路程等于多少時，租兩家車的費(fèi)用相同？

解：(1)每月行駛的路程少于

1500km時，租國有公司的車合算．

(2)每月行駛1500km時，租兩家車的費(fèi)用相同．

由于持續(xù)高溫和連日無雨，某水庫的蓄水量隨著時間的增加而減少.干旱持續(xù)時間t(天)與蓄水量V(萬米3)的關(guān)系如圖所示,回答下列問題：(1)干旱持續(xù)10天，蓄水量為多少？連續(xù)干旱23天呢？At/天V/萬米320040060080010001200102030405060700B動腦筋(2)蓄水量小于400萬米3時，將發(fā)出嚴(yán)重干旱警報，干旱多少天后發(fā)出嚴(yán)重警報？At/天V/萬