解直角三角形的應(yīng)用方向角問題九年級數(shù)學上冊尖子生培優(yōu)題典2

2021-2022學年九年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【華師大版】專題解直角三角形的應(yīng)用：方向角問題〔重難點培優(yōu)〕姓名：__________________班級：______________得分：_________________考前須知：本試卷總分值100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題〔本大題共10小題，每題3分，共30分〕在每題所給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．〔2021?深圳模擬〕如圖，在A處測得點P在北偏東60°方向上，在B處測得點P在北偏東30°方向上，假設(shè)AP＝63千米，那么A，B兩點的距離為〔〕千米．A．4B．43C．2D．6【分析】證明AB＝PB，在Rt△PAC中，求出PC＝33千米，在Rt△PBC中，解直角三角形可求出PB的長，那么可得出答案．【解析】由題意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°，∴∠PAB＝∠APB，∴AB＝PB，在Rt△PAC中，∵AP＝63千米，∴PC=12PA＝3在Rt△PBC中，∵sin∠PBC=PC∴PB=PCsin應(yīng)選：D．2．〔2021?香坊區(qū)模擬〕如圖，一漁船以32海里/時的速度向正北航行，在A處看到燈塔S在漁船的北偏東30°，半小時后航行到B處看到燈塔S在船的北偏東60°，假設(shè)漁船繼續(xù)向正北航行到C處時，此時漁船在燈塔S的正西方向，此時燈塔S與漁船的距離〔〕A．16海里B．18海里C．8海里D．83海里【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠ASB＝∠A，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到BS＝AB＝16海里，根據(jù)正弦的定義計算，得到答案．【解析】由題意得，AB＝32×12=16〔海里〕，∠ACS∵∠A＝30°，∠CBS＝60°，∴∠ASB＝∠CBS﹣∠A＝30°，∴∠ASB＝∠A，∴BS＝AB＝16〔海里〕，在Rt△CBS中，sin∠CBS=CS∴CS＝BS?sin∠CBS＝16×32=應(yīng)選：D．3．〔2021?皇姑區(qū)一模〕如圖，一條東西向的大道上，A，B兩景點相距20km，C景點位于A景點北偏東60°方向上，位于B景點北偏西30°方向上，那么A，C兩景點相距〔〕A．10kmB．103kmC．102kmD．203【分析】根據(jù)題意可得，∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，所以∠ACB＝90°，根據(jù)AB＝20km，和銳角三角函數(shù)即可求出A，C兩景點距離．【解析】根據(jù)題意可知：∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝60°+30°＝90°，AB＝20km，∴AC＝AB×cos30°＝20×32=103∴A，C兩景點相距103km．應(yīng)選：B．4．〔2021秋?松江區(qū)期末〕如圖，一艘船從A處向北偏東30°的方向行駛10千米到B處，再從B處向正西方向行駛20千米到C處，這時這艘船與A的距離〔〕A．15千米B．10千米C．103千米D．53千米【分析】根據(jù)直角三角形的三角函數(shù)得出AE，BE，進而得出CE，利用勾股定理得出AC即可．【解析】如圖，∵BC⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝10千米，∴BE＝5米，AE＝53千米，∴CE＝BC﹣BE＝20﹣5＝15〔千米〕，∴AC=C應(yīng)選：C．5．〔2021?九臺區(qū)一模〕在數(shù)學活動課上，九年級〔1〕班數(shù)學興趣小組的同學們要測量某公園人工湖亭子A與它正東方向的亭子B之間的距離．現(xiàn)測得亭子A位于點P北偏西30°方向，亭子B位于點P北偏東α方向，測得點P與亭子A之間的距離為200米．那么亭子A與亭子B之間的距離為〔〕A．100+1003?sinα米B．100+1003?tanα米C．100+1003sinα米D．【分析】直接利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出PC，BC的長，進而得出答案．【解析】過點P作PC⊥AB于點C，由題意可得：∠APC＝30°，PA＝200m，∠CPB＝α，那么AC=12AP＝100m，PC＝PAcos30°＝100故tanα=BC那么BC＝1003?tanα米，故AB＝AC+BC＝〔100+1003?tanα〕米．應(yīng)選：B．6．〔2021?淮南模擬〕如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東37°方向，距離燈塔40海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的正東方向上的B處．這時，B處與燈塔P的距離BP的長可以表示為〔〕A．40海里B．40tan37°海里C．40cos37°海里D．40sin37°海里【分析】根據(jù)條件得出∠BAP＝37°，再根據(jù)AP＝40海里和正弦定理即可求出BP的長．【解析】∵一艘海輪位于燈塔P的南偏東37°方向，∴∠BAP＝37°，∵AP＝40海里，∴BP＝AP?sin37°＝40sin37°海里；應(yīng)選：D．7．〔2021秋?徐匯區(qū)期末〕海面上一艘貨輪A在燈塔B的北偏東30°方向，海監(jiān)船C在燈塔B的正東方向5海里處，此時海監(jiān)船C發(fā)現(xiàn)貨輪A在它的正北方向，那么海監(jiān)船C與貨輪A的距離是〔〕A．10海里B．53海里C．5海里D．53【分析】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解析】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，∴AC＝BC?tan60°＝53〔海里〕，即海監(jiān)船C與貨輪A的距離是53海里，應(yīng)選：B．8．〔2021秋?石家莊期中〕如圖，嘉淇一家駕車從A地出發(fā)，沿著北偏東60°的方向行駛，到達B地后沿著南偏東50°的方向行駛來到C地，且C地恰好位于A地正東方向上，那么以下說法正確的選項是〔〕A．B地在C地的北偏西40°方向上B．A地在B地的南偏西30°方向上C．∠ACB＝50°D．sin∠BAC=【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及方向角的概念分別解答即可．【解析】如下圖：由題意可知，∠BAD＝60°，∠CBP＝50°，∴∠BCE＝∠CBP＝50°，即B在C處的北偏西50°，故A錯誤；∵∠ABP＝60°，∴A地在B地的南偏西60°方向上，故B錯誤；∵∠ACB＝90°﹣∠BCE＝40°，即公路AC和BC的夾角是40°，故C錯誤．∵∠BAD＝60°，∴∠BAC＝30°，∴sin∠BAC=12，故應(yīng)選：D．9．〔2021?吳江區(qū)二?！骋凰逸喆贏處測得燈塔S在船的南偏東60°方向，輪船繼續(xù)向正東航行30海里后到達B處，這時測得燈塔S在船的南偏西75°方向，那么燈塔S離觀測點A、B的距離分別是〔〕A．〔153-15〕海里、15B．〔153-152〕海里、5C．〔153-152〕海里、152D．〔153-15〕海里、152【分析】過S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AS＝DS，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠CDS＝∠CAS＝30°，求得SD＝BD，設(shè)CS＝x，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解析】過S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，∴AS＝DS，∴∠CDS＝∠CAS＝30°，∵∠ABS＝15°，∴∠DSB＝15°，∴SD＝BD，設(shè)CS＝x，在Rt△ASC中，∵∠CAS＝30°，∴AC=3x，AS＝DS＝BD＝2x∵AB＝30海里，∴3x+3x+2x＝30解得：x=15(∴AS＝〔153-15∴BS=CS2∴燈塔S離觀測點A、B的距離分別是〔153-15〕海里、152應(yīng)選：D．10．〔2021?唐山二?！骋粷O船在海島A南偏東20°方向的B處遇險，測得海島A與B的距離為103海里，漁船將險情報告給位于A處的救援船后，沿北偏西80°方向向海島C靠近，同時，從A處出發(fā)的救援船沿南偏西10°方向勻速航行，30分鐘后，救援船在海島CA．103海里/小時B．15海里/C．53里/小時D．30海里/【分析】易得△ABC是直角三角形，利用三角函數(shù)的知識即可求得答案．【解析】∵∠CAB＝10°+20°＝30°，∠CBA＝80°﹣20°＝60°，∴∠C＝90°，∵AB＝103海里，∴AC＝AB?cos30°＝15〔海里〕，∴救援船航行的速度為：15÷3060=30應(yīng)選：D．二、填空題〔本大題共8小題，每題3分，共24分〕請把答案直接填寫在橫線上11．〔2021?南通〕如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東45°方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為256海里〔結(jié)果保存根號〕．【分析】過點P作PC⊥AB，在Rt△APC中由銳角三角函數(shù)定義求出PC的長，再在Rt△BPC中由銳角三角函數(shù)定義求出PB的長即可．【解析】過P作PC⊥AB于C，如下圖：由題意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，在Rt△APC中，cos∠APC=PC∴PC＝PA?cos∠APC＝50×32=在Rt△PCB中，cos∠BPC=PC∴PB=PCcos∠故答案為：256．12．〔2021?鄒城市一?！橙鐖D，一天，我國一漁政船航行到A處時，發(fā)現(xiàn)正東方向的我領(lǐng)海區(qū)域B處有一可疑漁船，正在以12海里/時的速度向西北方向航行，我漁政船立即沿北偏東60°方向航行，小時后，在我航海區(qū)域的C處截獲可疑漁船，問我漁政船的航行路程是182海里〔結(jié)果保存根號〕．【分析】作CD⊥AB于點D，垂足為D，首先在Rt△BCD中求得CD的長，然后在Rt△ACD中求得AC的長即可．【解析】作CD⊥AB于點D，垂足為D，在Rt△BCD中，∵BC＝12×＝18〔海里〕，∠CBD＝45°，∴CD＝BC?sin45°＝18×22=那么在Rt△ACD中，AC=CDsin30°=92×故我漁政船航行了182海里．故答案為：182．13．〔2021?任城區(qū)一?！橙鐖D，某輪船以每小時30海里的速度向正東方向航行，上午8：00，測得小島C在輪船A的北偏東45°方向上；上午10：00，測得小島C在輪船B的北偏西30°方向上，那么輪船在航行中離小島最近的距離約為38海里〔精確到1海里，參考數(shù)據(jù)2≈，3【分析】根據(jù)題意可得，AB＝60海里，∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，如圖，作CD⊥AB于點D，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出CD的長，即為輪船在航行中離小島最近的距離．【解析】根據(jù)題意可知：AB＝30×〔10﹣8〕＝60〔海里〕，∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，如圖，作CD⊥AB于點D，在Rt△ACD中，CD＝AD，在Rt△CBD中，BD＝AB﹣AD＝60﹣CD，∴tan30°=BD即33解得CD≈38〔海里〕．答：輪船在航行中離小島最近的距離約為38海里．故答案為：38．14．〔2021?武漢〕如圖，海中有一個小島A．一艘輪船由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上；航行12nmile到達C點，這時測得小島A在北偏東30°方向上．小島A到航線BC的距離是nmile〔3≈【分析】過點A作AE⊥BC交BC的延長線于點E，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠BAC＝∠ABC，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AC＝BC，根據(jù)正弦的定義求出AE即可．【解析】過點A作AE⊥BC交BC的延長線于點E，由題意得，∠BAE＝60°，∠CAE＝30°，∴∠ABC＝30°，∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝12nmile，在Rt△ACE中，sin∠ACE=AE∴AE＝AC?sin∠ACE＝63≈〔nmile故小島A到航線BC的距離是nmile，故答案為．15．〔2021?興城市一?！橙鐖D，甲，乙兩艘船同時從港口A出發(fā)，甲船沿北偏東45°的方向前進，乙船沿北偏東75°方向以每小時30海里的速度前進，兩船航行兩小時分別到達B，C處，此時測得甲船在乙船的正西方向，那么甲船每小時行駛15〔3-1〕【分析】設(shè)甲船每小時行駛x海里，那么AB＝2x海里，如圖，作BD⊥AC于點D，在AC上取點E，使BE＝CE，根據(jù)題意可得，∠BAD＝30°，∠C＝15°，可得AD＝DE=3x，CE＝BE＝AB＝2x，根據(jù)AD+DE+CE＝60，列出方程即可求出x【解析】設(shè)甲船每小時行駛x海里，那么AB＝2x海里，如圖，作BD⊥AC于點D，在AC上取點E，使BE＝CE，根據(jù)題意可知：∠BAD＝30°，∠C＝15°，∴∠BED＝30°，∴AD＝DE=3xCE＝BE＝AB＝2x，∴AD+DE+CE＝60，即3x+3x+2x＝60解得x＝15〔3-1答：甲船每小時行駛15〔3-1故答案為：15〔3-116．〔2021?蘇州模擬〕如圖，一海輪位于燈塔P的西南方向，距離燈塔402海里的A處，它沿正東方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東60°方向上的B處，航程AB的值為40+403〔結(jié)果保存根號〕．【分析】過點P作PC⊥AB于C，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AC、PC，根據(jù)正切的定義求出BC，結(jié)合圖形計算，得到答案．【解析】過點P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，∠APC＝45°，AP＝422海里，∴AC＝PC=22AP=22在Rt△BPC中，∠BPC＝60°，tan∠BPC=BC∴BC＝PC?tan∠BPC＝403，∴AB＝AC+BC＝〔40+403〕海里，∴航程AB的值為40+403，故答案為：40+403．17．〔2021?寧夏〕如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA＝4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，那么該船航行的距離〔即AB的長〕為22km．【分析】過點A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=12OA＝2km，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD＝AD＝2km，那么AB=2AD＝2【解析】如圖，過點A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝4km，∴AD=12OA＝2在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝∠CAB﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°，∴BD＝AD＝2km，∴AB=2AD＝22km即該船航行的距離〔即AB的長〕為22km．故答案為22km．18．〔2021秋?臨沭縣期末〕如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，AB＝4km，從A測得船C在北偏東45°的方向，從B測得船C在北偏東°的方向，那么船C離海岸線l的距離〔即CD的長〕為〔4+22〕km．【分析】通過作垂線構(gòu)造直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出答案．【解析】由題意可得，∠CAB＝∠ACD＝45°∴AD＝CD，過點B作BE⊥AC，垂足為E，那么△ABE是等腰直角三角形，在Rt△ABE中，AE＝BE＝AB?sin45°＝22〔km〕，由題意可得∠BCA＝∠BCD＝°，BD⊥CD，BE⊥AC，∴BD＝BE＝AE＝22〔km〕，∴AD＝CD＝AB+BD＝〔4+22〕km，故答案為：〔4+22〕．三、解答題〔本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕19．〔2021?瀘州模擬〕如圖，我國南海巡邏艇在A處執(zhí)行任務(wù)時，發(fā)現(xiàn)在A處的北偏東30°方向有一島嶼C，在A處的北偏東75°方向、相距60海里的B處有一不明船只正以15海里/時的速度向B處西北方向的C島航行，于是巡邏艇馬上以20海里/時的速度開向C島去攔截，問巡邏艇與不明船只誰先到達C島？〔參考數(shù)據(jù)：2≈，3【分析】過C作CH⊥AB于H，設(shè)BH＝x，那么CH＝AH=3x，BC＝2x，依據(jù)AB＝60，可得3x+x＝60，進而得出Rt△ACH中，AC=2AH=2×30〔3-3〕＝302〔【解析】如圖，過C作CH⊥AB于H，由題可得，∠DAB＝75°，∠DAC＝30°，∠CBF＝45°，∴∠BAC＝45°，∠BAE＝∠ABF＝15°，∴∠ABC＝60°，設(shè)BH＝x，那么CH＝AH=3x，BC＝2x∵AB＝60，∴3x+x＝60，解得x＝30〔3-1∴AH＝30〔3-3∴Rt△ACH中，AC=2AH=2×30〔3-3〕＝302Rt△BCH中，BC＝2BH＝60〔3-1∴巡邏艇到達C島的時間為302〔3-3〕÷20不明船只到達C島的時間為60〔3-1〕÷15∴巡邏艇先到達C島．20．〔2021秋?上虞區(qū)期末〕如圖，三個景點A，B，C之間各建有筆直的健身小道．經(jīng)測量，景點B在景點A的正東方向，景點C在景點A北偏東60°的方向上，同時也在景點B北偏東45°的方向上，BC＝42km．“運動達人〞小敏從景點C出發(fā)，沿著C﹣B﹣A﹣C的路徑健步走到景點B，景點A，再回到景點C．求：〔1〕景點A，B間的距離；〔2〕小敏健步走的總路程．【分析】〔1〕延長AB，過點C作CH⊥AB延長線于點H，先證CH＝BH＝4，再由銳角三角函數(shù)定義求出AH的長，即可求解；〔2〕由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AC＝2CH＝8，求出BC+AB+AC即可．【解析】〔1〕延長AB，過點C作CH⊥AB延長線于點H，如下圖：由題意知：∠CAH＝90°﹣60°＝30°，∠CBH＝90°﹣45°＝45°，∵cos∠∴BH=4∵∠CBH＝∠HCB＝45°，∴CH＝BH＝4，在Rt△CAH中，CH＝4，∠CAH＝30°，∵tan∠∴AH=∴AB=即景點A，B間的距離為(43〔2〕在Rt△CAH中，∠CAH＝30°，∴AC＝2CH＝2×4＝8，∴BC+AB+AC＝42+43-4+8＝42+4即小敏健步走的總路程為〔42+43+4〕21．〔2021?成都模擬〕如圖，一艘輪船以每小時40海里的速度在海面上航行，當該輪船行駛到B處時，發(fā)現(xiàn)燈塔C在它的東北方向，輪船繼續(xù)向北航行，30分鐘后到達A處，此時發(fā)現(xiàn)燈塔C在它的北偏東75°方向上，求此時輪船與燈塔C的距離．〔結(jié)果保存根號〕【分析】作AD⊥BC于D，根據(jù)題意求出AB的長，根據(jù)正弦的定義求出AD，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠C的度數(shù)，根據(jù)正弦的定義計算即可．【解析】過點A作AD⊥BC于點D．由題意，AB=3060×40∵∠PAC＝∠B+∠C，∴∠C＝∠PAC﹣∠B＝75°﹣45°＝30°，在Rt△ABD中，sinB=AD∴AD＝AB?sinB＝20×22=在Rt△ACD中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AD＝202〔海里〕，答：此時輪船與燈塔C的距離為202海里．22．〔2021秋?成都期中〕如圖，在點B正北方1502cm的A處有一信號接收器，點C在點B的北偏東45°的方向，一電子狗P從點B向點C的方向以5cm/s的速度運動并持續(xù)向四周發(fā)射信號，信號接收器接收信號的有效范圍為170cm．〔1〕求出點A到線段BC的最小距離；〔2〕請判斷點A處是否能接收到信號，并說明理由．假設(shè)能接收信號，求出可接收信號的時間．【分析】〔1〕作AH⊥BC于H．求出AH即可解決問題；〔2〕當AP＝170cm時，PH=1702-1502=80cm，當AP′＝170cm時，HP′＝【解析】〔1〕作AH⊥BC于H．在Rt△ABH中，∵AB＝1502cm，∠B＝45°，∴AH＝AB?sin45°＝150cm，答：點A到線段BC的最小距離為150cm．〔2〕∵AH＝150cm＜170cm，∴點A處能接收到信號．當AP＝170cm時，PH=1702當AP′＝170cm時，HP′＝80cm，∴PP′＝160cm，∴可接收信號的時間=1605=答：可接收信號的時間32s．23．〔2021?青島〕如圖，在東西方向的海岸上有兩個相距6海里的碼頭B，D，某海島上的觀測塔A距離海岸5海里，在A處測得B位于南偏西22°方向．一艘漁船從D出發(fā)，沿正北方向航行至C處，此時在A處測得C位于南偏東67°方向．求此時觀測塔A與漁船C之間的距離〔結(jié)果精確到海里〕．〔參考數(shù)據(jù)：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25，sin67°≈1213，【分析】過點A作AE⊥BD于點E，過點C作CF⊥AE于點F，得矩形CDEF，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出觀測塔A與漁船C之間的距離．【解析】如圖，過點A作AE⊥BD于點E，過點C作CF⊥AE于點F，得矩形CDEF，∴CF＝DE，根據(jù)題意可知：AE＝5海里，∠BAE＝22°，∴