電磁場(chǎng)與電磁波課件

矢量分析1.1場(chǎng)的概念1.1.1矢性函數(shù)

在二維空間或三維空間內(nèi)的任一點(diǎn)P，它是一個(gè)既存在大小(或稱為模)又有方向特性的量，故稱為實(shí)數(shù)矢量，用黑體A表示，而白體A表示A的大小(即A的模)。若用幾何圖形表示，它是從該點(diǎn)出發(fā)畫(huà)一條帶有箭頭的直線段，直線段的長(zhǎng)度表示矢量A的模，箭頭的指向表示該矢量A的方向。矢量一旦被賦予物理單位，便成為具有物理意義的矢量，如電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁場(chǎng)強(qiáng)度H、速度v等等。

若某一矢量的模和方向都保持不變，此矢量稱為常矢，如某物體所受到的重力。而在實(shí)際問(wèn)題中遇到的更多的是模和方向或兩者之一會(huì)發(fā)生變化的矢量，這種矢量我們稱為變矢，如沿著某一曲線物體運(yùn)動(dòng)的速度v等。設(shè)t是一數(shù)性變量，A為變矢，對(duì)于某一區(qū)間G［a,b］內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值t,A都有一個(gè)確定的矢量A(t)與之對(duì)應(yīng)，則稱A為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)。記為

而G為A的定義域。矢性函數(shù)A(t)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量都是變量t的函數(shù)，分別為Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，則矢性函數(shù)A(t)也可用其坐標(biāo)表示為其中ex、ey、ez為x軸、y軸、z軸正向單位矢量。1.1.2標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)

如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。換句話說(shuō)，在某一空間區(qū)域中，物理量的無(wú)窮集合表示一種場(chǎng)。如在教室中溫度的分布確定了一個(gè)溫度場(chǎng)，在空間電位的分布確定了一個(gè)電位場(chǎng)。場(chǎng)的一個(gè)重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)，除有限個(gè)點(diǎn)和表面外，其物理量應(yīng)是處處連續(xù)的。若該物理量與時(shí)間無(wú)關(guān)，則該場(chǎng)稱為靜態(tài)場(chǎng)；若該物理量與時(shí)間有關(guān)，則該場(chǎng)稱為動(dòng)態(tài)場(chǎng)或稱為時(shí)變場(chǎng)。

在研究物理系統(tǒng)中溫度、壓力、密度等在一定空間的分布狀態(tài)時(shí)，數(shù)學(xué)上只需用一個(gè)代數(shù)變量來(lái)描述，這些代數(shù)變量(即標(biāo)量函數(shù))所確定的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)，如溫度場(chǎng)T(x,y,z)、電位場(chǎng)φ(x,y,z)等。然而在許多物理系統(tǒng)中，其狀態(tài)不僅需要確定其大小，同時(shí)還需確定它們的方向，這就需要用一個(gè)矢量來(lái)描述，因此稱為矢量場(chǎng)，例如電場(chǎng)、磁場(chǎng)、流速場(chǎng)等等。標(biāo)量場(chǎng)φ(x,y,z)的等值面方程為圖1-1矢量場(chǎng)的矢量線

例1-1

求數(shù)量場(chǎng)φ=(x+y)2-z通過(guò)點(diǎn)M(1,0,1)的等值面方程。

解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是x0=1,y0=0,z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為或例1-2

求矢量場(chǎng)A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量線方程。解：矢量線應(yīng)滿足的微分方程為從而有解之即得矢量方程c1和c2是積分常數(shù)。1.2標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度1.2.1標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)圖1-2方向?qū)?shù)的定義

設(shè)M0是標(biāo)量場(chǎng)φ=φ(M)中的一個(gè)已知點(diǎn)，從M0出發(fā)沿某一方向引一條射線l,在l上M0的鄰近取一點(diǎn)M，MM0=ρ，如圖1-2所示。若當(dāng)M趨于M0時(shí)(即ρ趨于零時(shí))，的極限存在，則稱此極限為函數(shù)φ(M)在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)，記為

若函數(shù)φ=φ(x,y,z)在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處可微，cosα、cosβ、cosγ為l方向的方向余弦，則函數(shù)φ在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)必定存在，且為

證明：M點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)，由于函數(shù)φ在M0處可微，故兩邊除以ρ，可得當(dāng)ρ趨于零時(shí)對(duì)上式取極限，可得

例1-3

求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)M(1,1,2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。解：l方向的方向余弦為而數(shù)量場(chǎng)在l方向的方向?qū)?shù)為在點(diǎn)M處沿l方向的方向?qū)?shù)1.2.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)φ(x,y,z)在l方向上的方向?qū)?shù)為在直角坐標(biāo)系中，令

矢量l°是l方向的單位矢量，矢量G是在給定點(diǎn)處的一常矢量。由上式顯然可見(jiàn)，當(dāng)l與G的方向一致時(shí)，即cos(G,l°)=1時(shí)，標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)M處的方向?qū)?shù)最大，也就是說(shuō)沿矢量G方向的方向?qū)?shù)最大，此最大值為

在標(biāo)量場(chǎng)φ(M)中的一點(diǎn)M處，其方向?yàn)楹瘮?shù)φ(M)在M點(diǎn)處變化率最大的方向，其模又恰好等于最大變化率的矢量G，稱為標(biāo)量場(chǎng)φ(M)在M點(diǎn)處的梯度，用gradφ(M)表示。在直角坐標(biāo)系中，梯度的表達(dá)式為梯度用哈密頓微分算子的表達(dá)式為

設(shè)c為一常數(shù)，u(M)和v(M)為數(shù)量場(chǎng)，很容易證明下面梯度運(yùn)算法則的成立。

例1-4

設(shè)標(biāo)量函數(shù)r是動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez的模，即，證明：證：因?yàn)樗岳?-5

求r在M(1，0，1)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。解：由例1-2知r的梯度為點(diǎn)M處的坐標(biāo)為x=1,y=0,z=1,

所以r在M點(diǎn)處的梯度為r在M點(diǎn)沿l方向的方向?qū)?shù)為而所以

例1-6

已知位于原點(diǎn)處的點(diǎn)電荷q在點(diǎn)M(x,y,z)處產(chǎn)生的電位為，其中矢徑r為r=xex+yey+zey，且已知電場(chǎng)強(qiáng)度與電位的關(guān)系是E=-▽?duì)?，求電?chǎng)強(qiáng)度E。解：根據(jù)▽f(u)=f′(u)·u的運(yùn)算法則，1.3矢量場(chǎng)的通量和散度1.3.1矢量場(chǎng)的通量將曲面的一個(gè)面元用矢量dS來(lái)表示，其方向取為面元的法線方向，其大小為dS，即n是面元法線方向的單位矢量。n的指向有兩種情況：對(duì)開(kāi)曲面上的面元，設(shè)這個(gè)開(kāi)曲面是由封閉曲線l所圍成的，則選定繞行l(wèi)的方向后，沿繞行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向，如圖1-3(a)所示；圖1-3法線方向的取法

將曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量場(chǎng)A穿過(guò)整個(gè)曲面S的通量，也稱為矢量A在曲面S上的面積分：如果曲面是一個(gè)封閉曲面，則1.3.2矢量場(chǎng)的散度稱此極限為矢量場(chǎng)A在某點(diǎn)的散度，記為divA，即散度的定義式為

矢量場(chǎng)A的散度可表示為哈密頓微分算子▽與矢量A的標(biāo)量積，即1.3.3散度定理

例1-7

已知矢量場(chǎng)r=xex+yey+zez，求由內(nèi)向外穿過(guò)圓錐面x2+y2=z2與平面z=H所圍封閉曲面的通量。解：

例1-8

在坐標(biāo)原點(diǎn)處點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)，在此電場(chǎng)中任一點(diǎn)處的電位移矢量為求穿過(guò)原點(diǎn)為球心、R為半徑的球面的電通量(見(jiàn)圖1-4)。圖1-4例1-8圖解：由于球面的法線方向與D的方向一致，所以

例1-9

原點(diǎn)處點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電位移矢量，試求電位移矢量D的散度。解：

例1-10

球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為r=xex+yey+zez，求解：根據(jù)散度定理知而r的散度為所以1.4矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度

在力場(chǎng)中，某一質(zhì)點(diǎn)沿著指定的曲線c運(yùn)動(dòng)時(shí)，力場(chǎng)所做的功可表示為力場(chǎng)F沿曲線c的線積分，即圖1-5矢量場(chǎng)的環(huán)量1.4.2矢量場(chǎng)的旋度1.4.3斯托克斯定理

因?yàn)樾却韱挝幻娣e的環(huán)量，因此矢量場(chǎng)在閉合曲線c上的環(huán)量等于閉合曲線c所包圍曲面S上旋度的總和，即

此式稱為斯托克斯定理或斯托克斯公式。它將矢量旋度的面積分變換成該矢量的線積分，或?qū)⑹噶緼的線積分轉(zhuǎn)換為該矢量旋度的面積分。式中dS的方向與dl的方向成右手螺旋關(guān)系。

例1-11

求矢量A=-yex+xey+cez(c是常數(shù))沿曲線(x-2)2+y2=R2,z=0的環(huán)量(見(jiàn)圖1-6)。圖1-6例1-11圖解：由于在曲線l上z=0，所以dz=0。

例1-12

求矢量場(chǎng)A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在點(diǎn)M(1，0，1)處的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的環(huán)量面密度。解：矢量場(chǎng)A的旋度在點(diǎn)M(1，0，1)處的旋度n方向的單位矢量在點(diǎn)M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度

例1-13

在坐標(biāo)原點(diǎn)處放置一點(diǎn)電荷q，在自由空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為求自由空間任意點(diǎn)(r≠0)電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度▽×E。解：1.5圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系1.5.1圓柱坐標(biāo)系圖1-7圓柱坐標(biāo)系哈密頓微分算子▽的表示式為拉普拉斯微分算子▽2的表示式為1.5.2球面坐標(biāo)系圖1-8球面坐標(biāo)系故拉梅系數(shù)分別為哈密頓微分算子▽的表示式為拉普拉斯微分算子▽2的表示式為

例1-14

在一對(duì)相距為l的點(diǎn)電荷+q和-q的靜電場(chǎng)中，當(dāng)距離r>>l時(shí)，其空間電位的表達(dá)式為求其電場(chǎng)強(qiáng)度E(r,θ,φ)。解：在球面坐標(biāo)系中，哈密頓微分算子▽的表達(dá)式為因?yàn)?.6亥姆霍茲定理

亥姆霍茲定理的簡(jiǎn)單表達(dá)是：若矢量場(chǎng)F在無(wú)限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，而源分布在有限空間區(qū)域中，則矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一確定，并且可以表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和，即

假設(shè)在無(wú)限空間中有兩個(gè)矢量函數(shù)F和G，它們具有相同的散度和旋度。但這兩個(gè)矢量函數(shù)不等，可令

由于矢量F和矢量G具有相同的散度和旋度，根據(jù)矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一確定，那么矢量g應(yīng)該為零矢量，也就是矢量F與矢量G是同一個(gè)矢量。因?yàn)楱尅=▽·G，所以同樣由于▽×G=▽×F，所以由矢量恒等式▽×▽?duì)?0,可令

在無(wú)限空間中一個(gè)既有散度又有旋度的矢量場(chǎng)，可表示為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)Fd(有散度)和一個(gè)無(wú)散場(chǎng)Fc(有旋度)之和：

對(duì)于無(wú)旋場(chǎng)Fd來(lái)說(shuō)，▽×Fd=0，但這個(gè)場(chǎng)的散度不會(huì)處處為零。因?yàn)?，任何一個(gè)物理場(chǎng)必然有源來(lái)激發(fā)它，若這個(gè)場(chǎng)的旋渦源和通量源都為零，那么這個(gè)場(chǎng)就不存在了。因此無(wú)旋場(chǎng)必然對(duì)應(yīng)于有散場(chǎng)，根據(jù)矢量恒等式▽×▽?duì)?0，可令(負(fù)號(hào)是人為加的)

對(duì)于無(wú)散場(chǎng)Fc,▽·Fc=0，但這個(gè)場(chǎng)的旋度不會(huì)處處為零，根據(jù)矢量恒等式▽·(▽×A)=0，可令靜電場(chǎng)的基本方程是

對(duì)于各向同性的媒質(zhì)，電通量密度和電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系為D=εE，因而式(1-52)可改寫(xiě)為(1-52)

靜電場(chǎng)2.1庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度2.1.1庫(kù)侖定律圖2–1庫(kù)侖定律用圖式中：R=r-r′表示從r′到r的矢量；R是r′到r的距離；R°是R的單位矢量；ε0是表征真空電性質(zhì)的物理量，稱為真空的介電常數(shù)，其值為

庫(kù)侖定律表明，真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力的大小與兩點(diǎn)電荷電量之積成正比，與距離平方成反比，力的方向沿著它們的連線，同號(hào)電荷之間是斥力，異號(hào)電荷之間是引力。點(diǎn)電荷q′受到q的作用力為F′，且F′=-F，可見(jiàn)兩點(diǎn)電荷之間的作用力符合牛頓第三定律。

庫(kù)侖定律只能直接用于點(diǎn)電荷。所謂點(diǎn)電荷，是指當(dāng)帶電體的尺度遠(yuǎn)小于它們之間的距離時(shí)，將其電荷集中于一點(diǎn)的理想化模型。對(duì)于實(shí)際的帶電體，一般應(yīng)該看成是分布在一定的區(qū)域內(nèi)，稱其為分布電荷。用電荷密度來(lái)定量描述電荷的空間分布情況。電荷體密度的含義是，在電荷分布區(qū)域內(nèi)，取體積元ΔV，若其中的電量為Δq，則電荷體密度為其單位是庫(kù)/米3(C/m3)。這里的ΔV趨于零，是指相對(duì)于宏觀尺度而言很小的體積，以便能精確地描述電荷的空間變化情況；但是相對(duì)于微觀尺度，該體積元又是足夠大，它包含了大量的帶電粒子，這樣才可以將電荷分布看作空間的連續(xù)函數(shù)。

如果電荷分布在宏觀尺度h很小的薄層內(nèi)，則可認(rèn)為電荷分布在一個(gè)幾何曲面上，用面密度描述其分布。若面積元ΔS內(nèi)的電量為Δq，則面密度為

對(duì)于分布在一條細(xì)線上的電荷用線密度描述其分布情況。若線元Δl內(nèi)的電量為Δq，則線密度為2.1.2電場(chǎng)強(qiáng)度

電荷q′對(duì)電荷q的作用力，是由于q′在空間產(chǎn)生電場(chǎng)，電荷q在電場(chǎng)中受力。用電場(chǎng)強(qiáng)度來(lái)描述電場(chǎng)，空間一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度定義為該點(diǎn)的單位正試驗(yàn)電荷所受到的力。在點(diǎn)r處，試驗(yàn)電荷q受到的電場(chǎng)力為

對(duì)于體分布的電荷，可將其視為一系列點(diǎn)電荷的疊加，從而得出r點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為同理，面電荷和線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為例2-1

一個(gè)半徑為a的均勻帶電圓環(huán)，求軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：取坐標(biāo)系如圖2-2，圓環(huán)位于xoy平面，圓環(huán)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，設(shè)電荷線密度為ρl

。圖2-2

例2-1用圖所以2.2高斯定理圖2–3立體角若S是封閉曲面，則

高斯定理描述通過(guò)一個(gè)閉合面電場(chǎng)強(qiáng)度的通量與閉合面內(nèi)電荷間的關(guān)系。先考慮點(diǎn)電荷的電場(chǎng)穿過(guò)任意閉曲面S的通量：

若q位于S內(nèi)部，上式中的立體角為4π；若q位于S外部，上式中的立體角為零。對(duì)點(diǎn)電荷系或分布電荷，由疊加原理得出高斯定理為(2-15)

要分析一個(gè)點(diǎn)的情形，要用微分形式。如果閉合面內(nèi)的電荷是密度為ρ的體分布電荷，則式(2-15)可以寫(xiě)為由于體積V是任意的，所以有

例2-2

假設(shè)在半徑為a的球體內(nèi)均勻分布著密度為ρ0的電荷，試求任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：當(dāng)r>a時(shí)，故當(dāng)r<a時(shí)，所以例2-3

已知半徑為a的球內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度為求電荷分布。解：由高斯定理的微分形式，得電荷密度為用球坐標(biāo)中的散度公式可得(r>a)(r<a)2.3靜電場(chǎng)的旋度與靜電場(chǎng)的電位由于

電場(chǎng)強(qiáng)度可表示為一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)的負(fù)梯度，所以有

可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度表示電場(chǎng)強(qiáng)度。這個(gè)標(biāo)量函數(shù)就是靜電場(chǎng)的位函數(shù)，簡(jiǎn)稱為電位。電位φ的定義由下式確定電位的單位是伏(V)，因此電場(chǎng)強(qiáng)度的單位是伏/米(V/m)。體分布的電荷在場(chǎng)點(diǎn)r處的電位為線電荷和面電荷的電位表示式與上式相似，只需將電荷密度和積分區(qū)域作相應(yīng)的改變。對(duì)于位于源點(diǎn)r′處的點(diǎn)電荷q，其在r處產(chǎn)生的電位為因?yàn)殪o電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)，其在任意閉合回路的環(huán)量為零，即或通常，稱φ(P)-φ(P0)為P與P0兩點(diǎn)間的電位差(或電壓)。一般選取一個(gè)固定點(diǎn)，規(guī)定其電位為零，稱這一固定點(diǎn)為參考點(diǎn)。當(dāng)取P0點(diǎn)為參考點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)處的電位為

當(dāng)電荷分布在有限的區(qū)域時(shí)，選取無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)較為方便。此時(shí)，

將E=-▽?duì)沾敫咚苟ɡ淼奈⒎中问?，得到若討論的區(qū)域ρ=0，則電位微分方程變?yōu)?/p>

上述方程為二階偏微分方程，稱為拉普拉斯方程。其中▽2在直角坐標(biāo)系中為

例2-4

位于xoy平面上的半徑為a、圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的帶電圓盤(pán)，面電荷密度為ρS，如圖2-4所示，求z軸上的電位。解：由面電荷產(chǎn)生的電位公式：以上結(jié)果是z>0的結(jié)論。對(duì)任意軸上的任意點(diǎn)，電位為圖2-4均勻帶電圓盤(pán)例2-5

求均勻帶電球體產(chǎn)生的電位。解：(r>a)(r<a)由此可求出電位。當(dāng)r>a時(shí)，當(dāng)r<a時(shí)，

例2-6

若半徑為a的導(dǎo)體球面的電位為U0,球外無(wú)電荷，求空間的電位。解：

即再對(duì)其積分一次，得

在導(dǎo)體球面上，電位為U0，無(wú)窮遠(yuǎn)處電位為零。分別將r=a、r=∞代入上式，得這樣解出兩個(gè)常數(shù)為所以總之，真空中靜電場(chǎng)的基本解可歸納為2.4電偶極子圖2-5電偶極子

用電偶極矩表示電偶極子的大小和空間取向，它定義為電荷q乘以有向距離l，即電偶極子在空間任意點(diǎn)P的電位為其中，r1和r2分別表示場(chǎng)點(diǎn)P與q和-q的距離，r表示坐標(biāo)原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離。當(dāng)1<<r時(shí)，從而有其電場(chǎng)強(qiáng)度在球坐標(biāo)中的表示式為圖2-6電偶極子的電場(chǎng)分布2.5電介質(zhì)中的場(chǎng)方程2.5.1介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度的單位是C/m2。2.5.2極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位圖2-7極化介質(zhì)的電位

設(shè)極化介質(zhì)的體積為V，表面積是S，極化強(qiáng)度是P，現(xiàn)在計(jì)算介質(zhì)外部任一點(diǎn)的電位。在介質(zhì)中r′處取一個(gè)體積元ΔV′，因|r-r′|遠(yuǎn)大于ΔV′的線度，故可將ΔV′中介質(zhì)當(dāng)成一偶極子，其偶極矩為p=PΔV′，它在r處產(chǎn)生的電位是整個(gè)極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位是上式的積分：對(duì)上式進(jìn)行變換，利用變換為再利用矢量恒等式：令

例2-7

一個(gè)半徑為a的均勻極化介質(zhì)球，極化強(qiáng)度是P0ez，求極化電荷分布及介質(zhì)球的電偶極矩。解：取球坐標(biāo)系，讓球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)。極化電荷體密度為極化電荷面密度為分布電荷對(duì)于原點(diǎn)的偶極矩由下式計(jì)算：積分區(qū)域D是電荷分布的區(qū)域。因此得2.5.3介質(zhì)中的場(chǎng)方程在真空中高斯定理的微分形式為▽·E=ρ/ε0，其中的電荷是指自由電荷。在電介質(zhì)中，高斯定理的微分形式便可寫(xiě)為將ρP

=-▽·P代入，得這表明，矢量ε0E+P的散度為自由電荷密度。

稱此矢量為電位移矢量(或電感應(yīng)強(qiáng)度矢量)，并記為D，即于是，介質(zhì)中高斯定理的微分形式變?yōu)閷⒔橘|(zhì)中靜電場(chǎng)的方程歸納如下：與其相應(yīng)的積分形式為2.5.4介電常數(shù)式中χe為極化率，是一個(gè)無(wú)量綱常數(shù)。從而有稱εr為介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)，稱ε為介質(zhì)的介電常數(shù)。對(duì)于均勻介質(zhì)(ε為常數(shù))，電位滿足如下的泊松方程：

例2-8

一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球，帶電量為Q，在導(dǎo)體球外套有外半徑為b的同心介質(zhì)球殼，殼外是空氣，如圖2-8所示。求空間任一點(diǎn)的D、E、P以及束縛電荷密度。圖2-8例2-8用圖

解：(r≥a)介質(zhì)內(nèi)(a<r<b)：介質(zhì)外(b<r)：介質(zhì)內(nèi)表面(r=a)的束縛電荷面密度：介質(zhì)外表面(r=b)的束縛電荷面密度：2.6靜電場(chǎng)的邊界條件圖2-9法向邊界條件或如果界面上無(wú)自由電荷分布，即在ρS=0時(shí)，邊界條件變?yōu)榛驁D2-10切向邊界條件因?yàn)棣2=l°Δl，Δl1=-l°Δl,l°是單位矢量，上式變?yōu)樽⒁獾絥⊥l°，故有場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)，意味著電位是連續(xù)的，即由于法向分量的邊界條件用電位表示為在ρS=0時(shí)，設(shè)區(qū)域1和區(qū)域2內(nèi)電力線與法向的夾角分別為θ1、θ2，

導(dǎo)體內(nèi)的靜電場(chǎng)在靜電平衡時(shí)為零。設(shè)導(dǎo)體外部的場(chǎng)為E、D，導(dǎo)體的外法向?yàn)閚，則導(dǎo)體表面的邊界條件簡(jiǎn)化為

例2-9

同心球電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充兩種介質(zhì)，上半部分的介電常數(shù)為ε1，下半部分的介電常數(shù)為ε2，如圖2-11所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體帶電分別為q和-q，求各部分的電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度。圖2-11例2-9用圖解：在半徑為r的球面上作電位移矢量的面積分，有2.7導(dǎo)體系統(tǒng)的電容2.7.1電位系數(shù)(i=1,2,…,n)

導(dǎo)體i的總電位應(yīng)該是整個(gè)系統(tǒng)內(nèi)所有導(dǎo)體對(duì)它的貢獻(xiàn)的疊加，即導(dǎo)體i的電位為或?qū)懗删仃囆问?/p>

由電位系數(shù)的定義可知，導(dǎo)體j帶正電，電力線自導(dǎo)體j出發(fā)，終止于導(dǎo)體i上或終止于地面上。又由于導(dǎo)體i不帶電，有多少電力線終止于它，就有多少電力線自它發(fā)出，所發(fā)出的電力線不是終止于其它導(dǎo)體上，就是終止于地面。電位沿電力線下降，其它導(dǎo)體的電位一定介于導(dǎo)體j的電位和地面的電位之間，所以(i≠j,j=1,2,…,n)電位系數(shù)具有互易性質(zhì)，即2.7.2電容系數(shù)和部分電容(i≠j)…令(i≠j)則上式變成…圖2-12部分電容

例2-10

導(dǎo)體球及與其同心的導(dǎo)體球殼構(gòu)成一個(gè)雙導(dǎo)體系統(tǒng)。若導(dǎo)體球的半徑為a，球殼的內(nèi)半徑為b，殼的厚度很薄可以不計(jì)(如圖2-13所示)，求電位系數(shù)、電容系數(shù)和部分電容。圖2-13例2-10用圖解：再設(shè)導(dǎo)體球的總電荷為零，球殼帶電荷為q2，可得因此電容系數(shù)矩陣等于電位系數(shù)矩陣的逆矩陣，故有部分電容為

例2-1

假設(shè)真空中兩個(gè)導(dǎo)體球的半徑都為a，兩球心之間的距離為d，且d>>a，求兩個(gè)導(dǎo)體球之間的電容。解：

例2-12

一同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b,內(nèi)、外導(dǎo)體之間填充兩種絕緣材料，a<r<r0的介電常數(shù)為ε1，r0<r<b的介電常數(shù)為ε2，如圖2-14所示，求單位長(zhǎng)度的電容。圖2-14例2-12用圖

解：設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電分別為ρl、-ρl，內(nèi)、外導(dǎo)體間的場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性。由高斯定理可求出內(nèi)、外導(dǎo)體間的電位移為各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度為內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為因此，單位長(zhǎng)度的電容為2.8電場(chǎng)能量與能量密度2.8.1電場(chǎng)能量

設(shè)每個(gè)帶電體的最終電位為φ1、φ2、…、φn，最終電荷為q1、q2、…、qn。帶電系統(tǒng)的能量與建立系統(tǒng)的過(guò)程無(wú)關(guān)，僅僅與系統(tǒng)的最終狀態(tài)有關(guān)。假設(shè)在建立系統(tǒng)過(guò)程中的任一時(shí)刻，各個(gè)帶電體的電量均是各自終值的α倍(α<1)，即帶電量為αqi，電位為αφi，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，帶電體i的電量增量為d(αqi)，外源對(duì)它所作的功為αφid

(αqi)。外源對(duì)n個(gè)帶電體作功為因而，電場(chǎng)能量的增量為在整個(gè)過(guò)程中，電場(chǎng)的儲(chǔ)能為2.8.2能量密度圖2-15能量密度將▽·D=ρ和D·n=ρS代入上式，有利用矢量恒等式則并且注意在導(dǎo)體表面S上n=-n′，得式中V已經(jīng)擴(kuò)展到無(wú)窮大，故S′在無(wú)窮遠(yuǎn)處。對(duì)于分布在有限區(qū)域的電荷，φ∝1/R，D∝1/R2,S′∝R2,因此當(dāng)R→∞時(shí)，上式中的面積分為零，于是對(duì)于各向同性介質(zhì)：

例2-13

若真空中電荷q均勻分布在半徑為a的球體內(nèi)，計(jì)算電場(chǎng)能量。解：用高斯定理可以得到電場(chǎng)為(r<a)(r<a)所以

例2-14

若一同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，之間填充介電常數(shù)為ε的介質(zhì)，當(dāng)內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為U(外導(dǎo)體的單位為零)時(shí)，求單位長(zhǎng)度的電場(chǎng)能量。

解：設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體間電壓為U時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量為ρl，則導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度為兩導(dǎo)體間的電壓為即單位長(zhǎng)度的電場(chǎng)能量為2.9電場(chǎng)力

虛位移法求帶電導(dǎo)體所受電場(chǎng)力的思路是：假設(shè)在電場(chǎng)力F的作用下，受力導(dǎo)體有一個(gè)位移dr，從而電場(chǎng)力作功F·dr；因這個(gè)位移會(huì)引起電場(chǎng)強(qiáng)度的改變，這樣電場(chǎng)能量就要產(chǎn)生一個(gè)增量dWe；再根據(jù)能量守恒定律，電場(chǎng)力作功及場(chǎng)能增量之和應(yīng)該等于外源供給帶電系統(tǒng)的能量dWb，即1.電荷不變?nèi)绻撐灰七^(guò)程中，各個(gè)導(dǎo)體的電荷量不變，就意味著各導(dǎo)體都不連接外源，此時(shí)外源對(duì)系統(tǒng)作功dWb為零，即因此，在位移的方向上，電場(chǎng)力為2.電位不變?nèi)绻谔撐灰频倪^(guò)程中，各個(gè)導(dǎo)體的電位不變，就意味著每個(gè)導(dǎo)體都和恒壓電源相連接。此時(shí)，當(dāng)導(dǎo)體的相對(duì)位置改變時(shí)，每個(gè)電源因要向?qū)w輸送電荷而作功。設(shè)各導(dǎo)體的電位分別為φ1、φ2、…、φn，各導(dǎo)體的電荷增量分別為dq1、dq2、…、dqn，則電源作功為系統(tǒng)的電場(chǎng)能量為系統(tǒng)能量的增量為

例2-15

若平板電容器極板面積為A，間距為x，電極之間的電壓為U，求極板間的作用力。解：設(shè)一個(gè)極板在yoz平面，第二個(gè)極板的坐標(biāo)為x，此時(shí)，電容器儲(chǔ)能為當(dāng)電位不變時(shí)，第二個(gè)極板受力為當(dāng)電荷不變時(shí)，考慮到將能量表達(dá)式改寫(xiě)為

虛位移法還能分析導(dǎo)體受到的力矩。若假設(shè)某一導(dǎo)體繞z軸有一個(gè)角位移dθ，則其所受力矩的z分量Tz作功為T(mén)zdθ，這時(shí)，力矩計(jì)算式為

恒定磁場(chǎng)

真空中的恒定磁場(chǎng)介質(zhì)內(nèi)的恒定磁場(chǎng)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題*§3.1

真空中恒定磁場(chǎng)的基本方程一、安培定律與畢奧－薩伐爾定律*電流元體電流元線電流元面電流元*作用力的大小與兩電流元之間距離的平方成反比作用力的方向是三個(gè)矢量的二重矢積電流元之間的作用力同樣遵守疊加定律*兩電流元之間的作用力不滿足牛頓第三定律*兩閉合體電流元或線電流之間的作用力滿足牛頓第三定律********二、恒定磁場(chǎng)的基本方程1、磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度**磁感應(yīng)強(qiáng)度是一個(gè)無(wú)散度的矢量場(chǎng)磁力線是閉合曲線*2、磁感應(yīng)強(qiáng)度的旋度磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任意閉合曲線的積分為：*****3、基本方程積分形式微分形式邊界條件*可利用此方程求解磁場(chǎng)****§3.2

矢量磁位一、矢量磁位*二、矢量磁位所滿足的方程*此三方程為標(biāo)量方程，與電位的泊松方程的類似，因而其解也應(yīng)相似。*矢量磁位的每個(gè)分量為：則矢量磁位的解為：*由矢量磁位的表達(dá)式可以求得磁感應(yīng)強(qiáng)度：*§3.3

磁偶極子*其中將1/R展開(kāi)則有：將其帶入dA的表達(dá)式并積分：**對(duì)于P點(diǎn)來(lái)說(shuō)，此時(shí)有因此則磁感應(yīng)強(qiáng)度**§3.4

磁介質(zhì)中的恒定磁場(chǎng)一、磁化強(qiáng)度一般情況下，介質(zhì)內(nèi)部束縛電荷的運(yùn)動(dòng)同樣會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)(具有磁偶極矩m)。宏觀上，磁偶極矩的取向隨機(jī)，宏觀平均結(jié)果磁場(chǎng)為零。外磁場(chǎng)作用下，分子磁偶極矩取向趨于一致，從而宏觀上產(chǎn)生磁場(chǎng)，稱為介質(zhì)磁化。磁化強(qiáng)度(A/m)*介質(zhì)單位體積內(nèi)磁化強(qiáng)度的矢量磁位為：介質(zhì)磁化后總的矢量磁位為：*束縛體電流密度束縛面電流密度**在介質(zhì)磁化的情況下二、本構(gòu)方程實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，大部分介質(zhì)是線性磁介質(zhì)*極化與磁化對(duì)比***三、基本方程邊界條件*§3.5

恒定磁場(chǎng)的邊界條件一、磁感應(yīng)強(qiáng)度的邊界條件*二、磁場(chǎng)強(qiáng)度的邊界條件*三、矢量磁位的邊界條件由磁感應(yīng)強(qiáng)度的邊界條件可得矢量磁位的一個(gè)邊界條件：由磁感應(yīng)強(qiáng)度的邊界條件可得矢量磁位的另一個(gè)邊界條件：*§3.6

電感一、互感*同理*磁鏈與回路電流的比值稱為互感二、自感外自感內(nèi)自感*內(nèi)自感計(jì)算其磁鏈總磁鏈自感*§3.6

磁場(chǎng)能量一、電流體系的磁場(chǎng)能量1、單個(gè)載流線圈的磁場(chǎng)能量*2、多個(gè)載流線圈的磁場(chǎng)能量**因此，對(duì)于多個(gè)線圈的情況，總磁場(chǎng)能量為：二、磁場(chǎng)的能量密度由磁場(chǎng)的能量表達(dá)式出發(fā)：*如同電場(chǎng)一樣，定義磁場(chǎng)能量密度為：

恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng)3.1恒定電流的電場(chǎng)3.1.1電流密度圖3-1電流密度設(shè)通過(guò)ΔS的電流為ΔI，則該點(diǎn)處的電流密度

J為

電流密度的單位是安培/米3(A/m3)。導(dǎo)體內(nèi)每一點(diǎn)都有一個(gè)電流密度，因而構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)。我們稱這一矢量場(chǎng)為電流場(chǎng)。電流場(chǎng)的矢量線叫做電流線?？梢詮碾娏髅芏菾求出流過(guò)任意面積S的電流強(qiáng)度。一般情況下，電流密度J和面積元dS的方向并不相同。此時(shí)，通過(guò)面積S的電流就等于電流密度J在S上的通量，即圖3-2面電流密度3.1.2電荷守恒定律要使這個(gè)積分對(duì)任意的體積V均成立，必須使被積函數(shù)為零，即3.1.3歐姆定律的微分形式材料電導(dǎo)率σ/(S/m)鐵(99.98

%

)107

黃銅1.46×107

鋁3.54×107

金3.10×107

鉛4.55×107

銅5.80×107

銀6.20×10硅1.56×10-3

表3-1常用材料的電導(dǎo)率圖3-3電動(dòng)勢(shì)3.1.4焦耳定律

當(dāng)導(dǎo)體兩端的電壓為U，流過(guò)的電流為I時(shí)，則在單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力對(duì)電荷所作的功，即功率是

在導(dǎo)體中，沿電流線方向取一長(zhǎng)度為Δl、截面為ΔS的體積元，該體積元內(nèi)消耗的功率為

當(dāng)ΔV→0，取ΔP/ΔV的極限，就得出導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的熱功率密度，表示為或此式就是焦耳定律的微分形式。應(yīng)該指出，焦耳定律不適應(yīng)于運(yùn)流電流。因?yàn)閷?duì)于運(yùn)流電流而言，電場(chǎng)力對(duì)電荷所作的功轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾傻膭?dòng)能，而不是轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾膳c晶格碰撞的熱能。3.1.5恒定電流場(chǎng)的基本方程我們將電源外部導(dǎo)體中恒定電場(chǎng)的基本方程歸納如下：與其相應(yīng)的積分形式為電流密度J與電場(chǎng)強(qiáng)度E之間滿足歐姆定律J=σE。

以上的電場(chǎng)是指庫(kù)侖場(chǎng)，因?yàn)樵陔娫赐獾膶?dǎo)體中，非庫(kù)侖場(chǎng)為零。由于恒定電場(chǎng)的旋度為零，因而可以引入電位φ,E=-▽?duì)铡Ｔ诰鶆驅(qū)w內(nèi)部(電導(dǎo)率σ為常數(shù))，有3.1.6恒定電流場(chǎng)的邊界條件圖3-4邊界條件或恒定電流場(chǎng)的邊界條件為在恒定電場(chǎng)中，用電位φ表示的邊界條件為式中，Jn=J1n=J2n,當(dāng)時(shí)，分界面上的面電荷密度為零。應(yīng)用邊界條件，可得

可以看出，當(dāng)σ1>>σ2，即第一種媒質(zhì)為良導(dǎo)體時(shí)，第二種媒質(zhì)為不良導(dǎo)體時(shí)，只要θ1≠π/2,θ2≈0，即在不良導(dǎo)體中，電力線近似地與界面垂直。這樣，可以將良導(dǎo)體的表面看作等位面。

例3-1

設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為σ的導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖3-5所示，求同軸線單位長(zhǎng)度的漏電電導(dǎo)。圖3-5同軸線橫截面

解：媒質(zhì)內(nèi)的漏電電流沿徑向從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，設(shè)流過(guò)半徑為r的任一同心球面的漏電電流為I，則媒質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電流密度和電場(chǎng)為內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為漏電電導(dǎo)為

也可以通過(guò)計(jì)算媒質(zhì)內(nèi)的焦耳損耗功率，并由P=I2R求出漏電電阻R：3.1.7恒定電流場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬表3-2恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比較圖3-6兩極板間的電場(chǎng)

例3-3

計(jì)算深埋地下半徑為a的導(dǎo)體球的接地電阻(如圖3-7所示)。設(shè)土壤的電導(dǎo)率為σ0。圖3-7例3-3用圖

解：導(dǎo)體球的電導(dǎo)率一般總是遠(yuǎn)大于土壤的電導(dǎo)率，可將導(dǎo)體球看作等位體。用靜電比擬法，位于電介質(zhì)中的半徑為a的導(dǎo)體球的電容為所以導(dǎo)體球的接地電導(dǎo)為接地電阻為3.2磁感應(yīng)強(qiáng)度圖3-8安培定律

安培定律指出：在真空中載有電流I1的回路C1上任一線元dl1對(duì)另一載有電流I2的回路C2上任一線元dl2的作用力表示為令若電流不是線電流，而是具有體分布的電流J，則式(3-29)改為(3-29)

可以用上式計(jì)算各種形狀的載流回路在外磁場(chǎng)中受到的力和力矩。對(duì)以速度v運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷q，其在外磁場(chǎng)B中受的力是

如果空間還存在外電場(chǎng)E，電荷q受到的力還要加上電場(chǎng)力。這樣，就得到帶電q以速度v運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷在外電磁場(chǎng)(E，B)中受到的電磁力為上式稱為洛侖茲力公式。

例3-4

求載流I的有限長(zhǎng)直導(dǎo)線(參見(jiàn)圖3-9)外任一點(diǎn)的磁場(chǎng)。

圖3-9例3-4用圖

解：取直導(dǎo)線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，導(dǎo)線和z軸重合，在圓柱坐標(biāo)中計(jì)算。從對(duì)稱關(guān)系能夠看出磁場(chǎng)與坐標(biāo)φ無(wú)關(guān)。不失一般性，將場(chǎng)點(diǎn)取在φ=0，即場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)為(r,0,z)，源點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0，z′)。所以式中：對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(l→∞)，α1=π/2,α2=-π/2，其產(chǎn)生的磁場(chǎng)為3.3恒定磁場(chǎng)的基本方程3.3.1磁通連續(xù)性原理

磁感應(yīng)強(qiáng)度在有向曲面上的通量簡(jiǎn)稱為磁通量(或磁通)，單位是Wb(韋伯)，用Φ表示：如S是一個(gè)閉曲面，則上式中，，故可將其改寫(xiě)為由矢量恒定式則有而梯度場(chǎng)是無(wú)旋的，所以使用散度定理，得到由于上式中積分區(qū)域V是任意的，所以對(duì)空間的各點(diǎn)，有

上式是磁通連續(xù)性原理的微分形式，它表明磁感應(yīng)強(qiáng)度B是一個(gè)無(wú)源(指散度源)場(chǎng)。3.2.2安培環(huán)路定律圖3-10環(huán)路定律假設(shè)回路C′對(duì)P點(diǎn)的立體角為Ω，同時(shí)P點(diǎn)位移dl引起的立體角增量為dΩ，那么P點(diǎn)固定而回路C′位移dl所引起的立體角增量也為dΩ′。-dl×dl′是dl′位移-dl所形成的有向面積。注意到R=r-r′，這個(gè)立體角為。把其對(duì)回路C′積分，就得到P點(diǎn)對(duì)回路C′移動(dòng)dl時(shí)所掃過(guò)的面積張的立體角，記其為dΩ，則以上的磁場(chǎng)環(huán)量可以表示為可以證明，當(dāng)載流回路C′和積分回路C相交鏈時(shí)，有當(dāng)載流回路C′和積分回路C不交鏈時(shí)，有這樣當(dāng)積分回路C和電流I相交鏈時(shí)，可得(3-36)

當(dāng)穿過(guò)積分回路C的電流是幾個(gè)電流時(shí)，可以將式(3-36)改寫(xiě)為一般形式：

根據(jù)斯托克斯定理，可以導(dǎo)出安培回路定律的微分形式：由于因積分區(qū)域S是任意的，因而有

上式是安培環(huán)路定律的微分形式，它說(shuō)明磁場(chǎng)的渦旋源是電流。我們可用此式從磁場(chǎng)求電流分布。對(duì)于對(duì)稱分布的電流，我們可以用安培環(huán)路定律的積分形式，從電流求出磁場(chǎng)。

例3-5

半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，載有電流I，計(jì)算導(dǎo)體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解:在導(dǎo)線內(nèi)電流均勻分布，導(dǎo)線外電流為零，r≤ar>a

當(dāng)r>a時(shí)，積分回路包圍的電流為I；當(dāng)r≤a時(shí)，包圍電流為Ir2/a2。所以當(dāng)r≤a時(shí)，當(dāng)r>a時(shí)，寫(xiě)成矢量形式為r≤ar>a

3.4矢量磁位可以令

稱式中的A為矢量磁位(簡(jiǎn)稱磁矢位)，其單位是T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韋伯/米)。矢量磁位是一個(gè)輔助量。式(3-40)僅僅規(guī)定了磁矢位A的旋度，而A的散度可以任意假定。因?yàn)槿鬊=▽×A，另一矢量A′=A+▽?duì)罚渲笑肥且粋€(gè)任意標(biāo)量函數(shù)，則使用矢量恒等式上式是磁矢位滿足的微分方程，稱為磁矢位的泊松方程。對(duì)無(wú)源區(qū)(J=0)，磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程，即將其寫(xiě)成矢量形式為若磁場(chǎng)由面電流JS產(chǎn)生，容易寫(xiě)出其磁矢位為同理，線電流產(chǎn)生的磁矢位為磁通的計(jì)算也可以通過(guò)磁矢位表示：

例3-6

求長(zhǎng)度為l的載流直導(dǎo)線的磁矢位。圖3-11直導(dǎo)線磁矢位解:當(dāng)l>>z時(shí)，有上式中，若再取l>>r,則有

當(dāng)電流分布在無(wú)限區(qū)域時(shí)，一般指定一個(gè)磁矢位的參考點(diǎn)，就可以使磁矢位不為無(wú)窮大。當(dāng)指定r=r0處為磁矢位的零點(diǎn)時(shí)，可以得出從上式，用圓柱坐標(biāo)的旋度公式，可求出例3–7

用磁矢位重新計(jì)算載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)。解：

r≤ar>a

從電流分布可以知道磁矢位僅僅有z分量，而且它只是坐標(biāo)r的函數(shù)，即設(shè)在導(dǎo)線內(nèi)磁位是A1,導(dǎo)線外磁位是A2，r<a時(shí)，r>a時(shí)，可以求出導(dǎo)線內(nèi)、外的磁場(chǎng)分別為導(dǎo)體外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度為3.5磁偶極子圖3-12磁偶極子式中：如果r>>a，則

從圖3-12可見(jiàn)，所以式中，m=Iπa2，是圓形回路磁矩的模值。一個(gè)載流回路的磁矩是一個(gè)矢量，其方向與環(huán)路的法線方向一致，大小等于電流乘以回路面積，即其定義為位于點(diǎn)r的磁矩為m的磁偶極子，在點(diǎn)r′處產(chǎn)生的磁矢位為

位于外磁場(chǎng)B中的磁偶極子m，會(huì)受到外磁場(chǎng)的作用力及其力矩。這里僅僅給出作用力及力矩的公式。作用力為力矩為3.6磁介質(zhì)中的場(chǎng)方程3.6.1磁化強(qiáng)度式中m是分子磁矩，求和對(duì)體積元ΔV內(nèi)的所有分子進(jìn)行。磁化強(qiáng)度M的單位是A/m(安培/米)。如在磁化介質(zhì)中的體積元ΔV內(nèi)，每一個(gè)分子磁矩的大小和方向全相同(都為m)，單位體積內(nèi)分子數(shù)是N，則磁化強(qiáng)度為3.6.2磁化電流圖3-13磁化介質(zhì)的場(chǎng)全部磁介質(zhì)在r處產(chǎn)生的磁矢位為可以將上式改寫(xiě)為再用恒等式可將磁矢位的表示式變形為圖3-14磁化電流示意圖

例3-7

半徑為a、高為L(zhǎng)的磁化介質(zhì)柱(如圖3-15所示)，磁化強(qiáng)度為M0(M0為常矢量，且與圓柱的軸線平行)，求磁化電流Jm和磁化面電流JmS。圖3–15例3-7用圖

解：取圓柱坐標(biāo)系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合，磁介質(zhì)的下底面位于z=0處，上底面位于z=L處。此時(shí)，M=M0ez，由式(3-52)得磁化電流為在界面z=0上，n=-ez,在界面z=L上，n=ez，在界面r=a上，n=er,3.6.3磁場(chǎng)強(qiáng)度

在外磁場(chǎng)的作用下，磁介質(zhì)內(nèi)部有磁化電流Jm。磁化電流Jm和外加的電流J都產(chǎn)生磁場(chǎng)，這時(shí)應(yīng)將真空中的安培環(huán)路定律修正為下面的形式：令其中H稱為磁場(chǎng)強(qiáng)度，單位是A/m(安培/米)。于是有與上式相應(yīng)的微分形式是3.6.4磁導(dǎo)率M與H間的關(guān)系為式中χm是一個(gè)無(wú)量綱常數(shù)，稱為磁化率。非線性磁介質(zhì)的磁化率與磁場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān)，非均勻介質(zhì)的磁化率是空間位置的函數(shù)，各向異性介質(zhì)的M和H的方向不在同一方向上。順磁介質(zhì)的χm為正，抗磁介質(zhì)的χm為負(fù)。這兩類介質(zhì)的χm約為10-5量級(jí)。式中，μr=1+χm，是介質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率，是一個(gè)無(wú)量綱數(shù)；μ=μ0μr，是介質(zhì)的磁導(dǎo)率，單位和真空磁導(dǎo)率相同，為H/m(亨/米)。鐵磁材料的B和H的關(guān)系是非線性的，并且B不是H的單值函數(shù)，會(huì)出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象，其磁化率χm的變化范圍很大，可以達(dá)到106量級(jí)。3.6.5磁介質(zhì)中恒定磁場(chǎng)基本方程

例3–8

同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外半徑為c，如圖3-16所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體分別流過(guò)反向的電流I，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ，求各區(qū)域的H、B、M。圖3-16同軸線示意圖

解：以后如無(wú)特別聲明，對(duì)良導(dǎo)體(不包括鐵等磁性物質(zhì))一般取其磁導(dǎo)率為μ0。因同軸線為無(wú)限長(zhǎng)，則其磁場(chǎng)沿軸線無(wú)變化，該磁場(chǎng)只有φ分量，且其大小只是r的函數(shù)。分別在各區(qū)域使用介質(zhì)中的安培環(huán)路定律∮CH·dl=∫SJ·dS，求出各區(qū)的磁場(chǎng)強(qiáng)度H，然后由H求出B和M。當(dāng)r≤a時(shí)，電流I在導(dǎo)體內(nèi)均勻分布，且流向+z方向。由安培環(huán)路定律得考慮這一區(qū)域的磁導(dǎo)率為μ0，可得(r≤a)(r≤a)

當(dāng)a<r≤b時(shí)，與積分回路交鏈的電流為I，該區(qū)磁導(dǎo)率為μ，可得(a<r≤b)

當(dāng)b<r≤c時(shí)，考慮到外導(dǎo)體電流均勻分布，可得出與積分回路交鏈的電流為則當(dāng)r>c時(shí)，這一區(qū)域的B、H、M為零。3.7恒定磁場(chǎng)的邊界條件圖3-17Bn的邊界條件

設(shè)底面和頂面的面積均等于ΔS。將積分形式的磁通連續(xù)性原理(即∮SB·dS=0)應(yīng)用到此閉合面上，假設(shè)圓柱體的高度h趨于零，得寫(xiě)成矢量形式為圖3-18Ht的邊界條件將介質(zhì)中積分形式的安培環(huán)路定律應(yīng)用在這一回路，得若界面上的電流可以看成面電流，則于是有考慮到l°=b×n,得使用矢量恒等式如果無(wú)面電流(JS=0)，這一邊界條件變成為用下標(biāo)t表示切向分量，上式可以寫(xiě)成標(biāo)量形式：

假設(shè)磁場(chǎng)B2與法向n的夾角為θ2,B1與n的夾角為θ1(如圖3-17所示)，則式(3-70)和式(3-66)可寫(xiě)成上式兩式相除，并注意B2=μ2H2,B1=μ1H1,得這表明，磁力線在分界面上通常要改變方向。若介質(zhì)1為鐵磁材料，介質(zhì)2為空氣，此時(shí)μ2?μ1,因而θ2?

θ1，由式(3-66)得B2?B1。假如μ1=1000μ0,μ2=μ0，在這種情況下，當(dāng)θ=87°時(shí)，θ2=1.09°，B2/B1=0.052。由此可見(jiàn)，鐵磁材料內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度遠(yuǎn)大于外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度，同時(shí)外部的磁力線幾乎與鐵磁材料表面垂直。3.8標(biāo)量磁位

根據(jù)磁介質(zhì)中恒定磁場(chǎng)的基本方程式(3-60)可知，在無(wú)自由電流(J=0)的區(qū)域里，磁場(chǎng)強(qiáng)度H是無(wú)旋的。此時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度可以表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度，即

稱為磁場(chǎng)的標(biāo)量位函數(shù)(簡(jiǎn)稱為標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位)，單位為A

(安培)。上式中的負(fù)號(hào)是為了與靜電位對(duì)應(yīng)而人為加入的。在均勻介質(zhì)中，由式(3-60)和(3-61)可得將式(3-72)代入到上式中，可得磁標(biāo)位滿足拉普拉斯方程，即

所以用微分方程求磁標(biāo)位時(shí)，也同靜電位一樣，是求拉普拉斯方程的解。磁場(chǎng)的邊界條件用磁標(biāo)位表示時(shí)，為

磁標(biāo)位在求解永磁體的磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)比較方便(因其內(nèi)無(wú)自由電流)。永磁體的磁導(dǎo)率遠(yuǎn)大于空氣的磁導(dǎo)率，因而永磁體表面是一個(gè)等位(磁標(biāo)位)面，這時(shí)可以用靜電比擬法來(lái)計(jì)算永磁體的磁場(chǎng)。

對(duì)非均勻介質(zhì)，在無(wú)源區(qū)(J=0)，引入磁荷的概念后，磁標(biāo)位滿足泊松方程，即式中：3.9互感和自感

在線性磁介質(zhì)中，任一回路在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路電流成正比，因而穿過(guò)任意的固定回路的磁通量Φ也是與電流成正比。如果回路由細(xì)導(dǎo)線繞成N匝，則總磁通量是各匝的磁通之和。稱總磁通為磁鏈，用Ψ表示。對(duì)于密繞線圈，可以近似認(rèn)為各匝的磁通相等，從而有Ψ=NΦ。

一個(gè)回路的自感定義為回路的磁鏈和回路電流之比，用L表示，即自感的單位是H(亨利)。自感的大小決定于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率。圖3-19互感互感的單位與自感相同。同樣，我們可以用載流回路C2的磁場(chǎng)在回路C1上產(chǎn)生的磁鏈Ψ21與電流I2的比來(lái)定義互感M21，即互感的大小也取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率和回路的匝數(shù)。圖3-20內(nèi)自感

當(dāng)導(dǎo)線的直徑遠(yuǎn)小于回路的尺寸而且也遠(yuǎn)小于兩個(gè)回路之間的最近距離時(shí)，兩回路都可以用軸線的幾何回路代替。設(shè)兩個(gè)回路都只有一匝。當(dāng)回路C1載有電流I1時(shí)，C2上的磁鏈為式中，A12為電流I1在C2上的磁矢位，即例3-9

求無(wú)限長(zhǎng)平行雙導(dǎo)線(如圖3-21所示)單位長(zhǎng)外自感。圖3-21平行雙導(dǎo)線

解：設(shè)導(dǎo)線中電流為I，由無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)線的磁場(chǎng)公式，可得兩導(dǎo)線之間軸線所在的平面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為磁場(chǎng)的方向與導(dǎo)線回路平面垂直。單位長(zhǎng)度上的外磁鏈為所以單位長(zhǎng)外自感為3.10磁場(chǎng)能量

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，先計(jì)算兩個(gè)分別載流I1和I2的電流回路系統(tǒng)所儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量。假定回路的形狀、相對(duì)位置不變，同時(shí)忽略焦耳熱損耗。在建立磁場(chǎng)的過(guò)程中，兩回路的電流分別為i1(t)和i2(t)，最初，i1=0，i2=0，最終，i1=I1,i2=I2。在這一過(guò)程中，電源作的功轉(zhuǎn)變成磁場(chǎng)能量。我們知道，系統(tǒng)的總能量只與系統(tǒng)最終的狀態(tài)有關(guān)，與建立狀態(tài)的方式無(wú)關(guān)。為計(jì)算這個(gè)能量，先假定回路2的電流為零，求出回路1中的電流i1從零增加到I1時(shí)，電源作的功W1；其次，回路1中的電流I1不變，求出回路2中的電流從零增加到I2時(shí)，電源作的功W2。從而得出這一過(guò)程中，電源對(duì)整個(gè)回路系統(tǒng)作的總功Wm=W1+W2。

當(dāng)保持回路2的電流i2=0時(shí)，回路1中的電流i1在dt時(shí)間內(nèi)有一個(gè)增量di1,周圍空間的磁場(chǎng)將發(fā)生改變，回路1和2的磁通分別有增量dΨ11和dΨ12，相應(yīng)地在兩個(gè)回路中要產(chǎn)生感應(yīng)電勢(shì)E1=-dΨ11/dt和E2=-dΨ12/dt。感應(yīng)電勢(shì)的方向總是阻止電流增加。因而，為使回路1中的電流得到增量di1,必須在回路1中外加電壓U1=-E1；為使回路2電流為零，也必須在回路2加上電壓U2=-E2。所以在dt時(shí)間里，電源作功為在回路的電流從零到I1的過(guò)程中，電源作功為

計(jì)算當(dāng)回路1的電流I1保持不變時(shí)，使回路2的電流從零增到I2，電源作的功W2。若在dt時(shí)間內(nèi)，電流i2有增量di2，這時(shí)回路1中感應(yīng)電勢(shì)為E1=-dΨ21/dt，回路2中的感應(yīng)電勢(shì)為E2=-dΨ22/dt。為克服感應(yīng)電勢(shì)，必須在兩個(gè)回路上加上與感應(yīng)電勢(shì)反向的電壓。在dt時(shí)間內(nèi)，電源作功為dW2=M21I1di2+L2i2di2積分得回路1電流保持不變時(shí)，電源作功總量為電源對(duì)整個(gè)電流回路系統(tǒng)所作的總功為推廣到N個(gè)電流回路系統(tǒng)，其磁能為式中：代入后得：對(duì)于分布電流，用Iidli=JdV代入上式，得

類似于靜電場(chǎng)的能量可以用電場(chǎng)矢量D和E表示，磁場(chǎng)能量也可用磁場(chǎng)矢量B和H表示，并由此得出磁通密度的概念。將▽×H=J代入上式，得注意，上式中當(dāng)積分區(qū)域V趨于無(wú)窮時(shí)，面積分項(xiàng)為零(理由同靜電場(chǎng)能量里的類似)。于是得到磁場(chǎng)能量密度為

例3-10

求無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感。

解：設(shè)導(dǎo)體半徑為a，通過(guò)的電流為I，則距離軸心r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為單位長(zhǎng)度的磁場(chǎng)能量為單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感為3.11磁場(chǎng)力1.磁鏈不變當(dāng)磁鏈不變時(shí)，各個(gè)回路中的感應(yīng)電勢(shì)為零，所以電源不作功。磁場(chǎng)力作的功必來(lái)自磁場(chǎng)能量的減少。如將回路C1受到的磁場(chǎng)力記為F，它作的功為F·Δr，所以寫(xiě)成矢量形式，有2.電流不變當(dāng)各個(gè)回路的電流不變時(shí)，各回路的磁鏈要發(fā)生變化，在各回路中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電勢(shì)，電源要作功。在回路Δr產(chǎn)生位移時(shí)，電源作功為磁場(chǎng)能量的變化為

例3-11

設(shè)兩導(dǎo)體平面的長(zhǎng)為l，寬為b,間隔為d，上、下面分別有方向相反的面電流JS0(如圖3-22所示)。設(shè)b>>z,l>>z，求上面一片導(dǎo)體板面電流所受的力。圖3-22平行面電流磁力解：

考慮到間隔遠(yuǎn)小于其尺寸，故可以看成無(wú)限大面電流。由安培回路定律可以求出兩導(dǎo)體板之間磁場(chǎng)為B=exμ0JS0，導(dǎo)體外磁場(chǎng)為零。當(dāng)用虛位移法計(jì)算上面的導(dǎo)體板受力時(shí)，假設(shè)兩板間隔為一變量z。磁場(chǎng)能為假定上導(dǎo)體板位移時(shí)，電流不變，這個(gè)力為斥力。

恒定電場(chǎng)

恒定電場(chǎng)的基本理論和特性恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬*§4.1

恒定電場(chǎng)的基本方程一、恒定電場(chǎng)的基本特征場(chǎng)矢量不隨時(shí)間變化電流密度J的不為0則由電流連續(xù)性方程可得：電流密度J的散度為零??！*二、恒定電場(chǎng)基本方程*所以顯然，這是一個(gè)不完整的物理體系！不完整的原因在于介質(zhì)的本構(gòu)方程不完整。考慮這個(gè)原因，介質(zhì)的本構(gòu)方程為：*因此，對(duì)于這個(gè)完整的物理體系的基本方程為：在外部電場(chǎng)為零的導(dǎo)電介質(zhì)中，場(chǎng)方程可以得到簡(jiǎn)化：*分區(qū)均勻的導(dǎo)電介質(zhì)中，界面上會(huì)出現(xiàn)面電荷分布：利用J的邊界條件上式可進(jìn)一步寫(xiě)成：*三、電勢(shì)表示恒定電場(chǎng)**所以電流為介質(zhì)中的電位移強(qiáng)度為上、下極板表面的自由電荷密度分別為介質(zhì)交界面的自由電荷密度為**§4.2

恒定電場(chǎng)的基本特性一、歐姆定律歐姆定律*二、導(dǎo)電媒質(zhì)中的能量損耗*三、基爾霍夫電壓定律***§4.3

恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬基本場(chǎng)方程邊界條件及基本量***

靜態(tài)場(chǎng)的解4.1邊值問(wèn)題的分類

第一類邊值問(wèn)題：給定整個(gè)邊界上的位函數(shù)值；第二類邊值問(wèn)題：給定邊界上每一點(diǎn)位函數(shù)的法向?qū)?shù)；第三類邊值問(wèn)題：給定一部分邊界上每一點(diǎn)的電位，同時(shí)給定另一部分邊界上每一點(diǎn)的電位法向?qū)?shù)。給定導(dǎo)體上的總電量亦屬于第二類邊值問(wèn)題。4.2唯一性定理4.2.1格林公式在上式中，令F=φΨ,則即這就是格林第一恒等式。n是面元的正法向，即閉合面的外法向。該式稱為格林第二恒等式。4.2.2唯一性定理設(shè)在區(qū)域V內(nèi)，φ1和φ2滿足泊松方程，即在V的邊界S上，φ1和φ2滿足同樣的邊界條件，即令φ=φ1-φ2，則在V內(nèi)，▽2φ=0，在邊界面S上，φ|S=0。在格林第一恒等式中，令Ψ=φ，則由于▽2φ=0，所以有在S上φ=0，因而上式右邊為零，因而有4.3鏡像法4.3.1平面鏡像法

例4-1

求置于無(wú)限大接地平面導(dǎo)體上方，距導(dǎo)體面為h處的點(diǎn)電荷q的電位。圖4-1無(wú)限大導(dǎo)體平面上點(diǎn)電荷的鏡像當(dāng)z>0時(shí)，▽2φS=0；當(dāng)z=0時(shí)，φ=0；當(dāng)z→∞、|x|→∞、|y|→∞時(shí)，φ→0。解：由Dn=ρS可得導(dǎo)體表面的面電荷密度：導(dǎo)體表面總的感應(yīng)電荷：圖4-2相互正交的兩個(gè)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像4.3.2球面鏡像法

例4-2

如圖4-3(a)所示，一個(gè)半徑為a的接地導(dǎo)體球，一點(diǎn)電荷q位于距球心d處，求球外任一點(diǎn)的電位。圖4-3球面鏡像(a)球面鏡像原問(wèn)題；(b)等效問(wèn)題

解：我們先試探用一個(gè)鏡像電荷q′等效球面上的感應(yīng)面電荷在球外產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)。從對(duì)稱性考慮，鏡像電荷q′應(yīng)置于球心與電荷q的連線上，設(shè)q′離球心距離為b(b<a)，這樣球外任一點(diǎn)的電位是由電荷q與鏡像電荷q′產(chǎn)生電位的疊加，即當(dāng)計(jì)算球面上一點(diǎn)的電位時(shí)，有式中r10、r20分別是從q、q′到球面上點(diǎn)P0的距離。在上式中q′和b是待求量。取球面上的點(diǎn)分別位于A、B兩點(diǎn)，可以得到確定q′、b的兩個(gè)方程：解之得

可以算出球面上總的感應(yīng)電荷qin=-qa/d=q′。如果導(dǎo)體球不接地且不帶電，可用鏡像法和疊加原理求球外的電位。此時(shí)球面必須是等位面，且導(dǎo)體球上的總感應(yīng)電荷為零。應(yīng)使用兩個(gè)等效電荷：一個(gè)是q′，其位置和大小由式(4-9)確定；另一個(gè)是q″,q″=-q′,q″位于球心。如果導(dǎo)體球不接地，且?guī)щ姾蒕，即q′位置和大小同上，q″的位置也在原點(diǎn)，但q″=Q-q′,即q″=Q+qa/d。

例4-3

空氣中有兩個(gè)半徑相同(均等于a)的導(dǎo)體球相切，試用球面鏡像法求該孤立導(dǎo)體系統(tǒng)的電容。圖4-4例4-3用圖解：

設(shè)其位于A1處，則右側(cè)的q在左面的導(dǎo)體球面也有一個(gè)鏡像電荷，大小也是q1，位于A1’處。由問(wèn)題本身的對(duì)稱性可知，左面的電荷總是與右側(cè)分布對(duì)稱。以下僅分析右面的。左面的q1在右導(dǎo)體球上也要成像，這個(gè)鏡像電荷記為q2,位于A2處。依此類推，有因而，導(dǎo)體系統(tǒng)的總電荷為導(dǎo)體面的電位為所以，這個(gè)孤立導(dǎo)體系統(tǒng)的電容為4.3.3圓柱面鏡像法圖4-5例4-3用圖(a)導(dǎo)體平面與線電荷；(b)等位線

例4-4

線密度為ρl

的無(wú)限長(zhǎng)線電荷平行置于接地?zé)o限大導(dǎo)體平面前，二者相距d,如圖4-5(a)所示，求電位及等位面方程。解：同理得鏡像電荷-ρl的電位：任一點(diǎn)(x,y)的總電位：用直角坐標(biāo)表示為等位線方程為這個(gè)方程表示一簇圓，圓心在(x0,y0)，半徑是R0。其中：每一個(gè)給定的m(m>0)值，對(duì)應(yīng)一個(gè)等位圓，此圓的電位為

例4-5

兩平行圓柱形導(dǎo)體的半徑都為a，導(dǎo)體軸線之間的距離是2d，如圖4-6，求導(dǎo)體單位長(zhǎng)的電容。圖4-6平行雙導(dǎo)體

解：設(shè)兩個(gè)導(dǎo)體圓柱單位長(zhǎng)帶電分別為ρl和-ρl，利用柱面鏡像法，將導(dǎo)體柱面上的電荷用線電荷ρl和-ρl代替，線電荷相距原點(diǎn)均為d，兩個(gè)導(dǎo)體面的電位分別為φ1和φ2。解之得當(dāng)b>>a時(shí)，4.3.4平面介質(zhì)鏡像法

例4-6

設(shè)兩種介電常數(shù)分別為ε1、ε2的介質(zhì)充填于x<0及x>0的半空間，在介質(zhì)2中點(diǎn)(d,0,0)處有一點(diǎn)電荷q,如圖4-7(a)所示，求空間各點(diǎn)的電位。圖4-7例4-6用圖(a)介質(zhì)鏡像問(wèn)題；(b)區(qū)域2等效；(c)區(qū)域1等效解：

右半空間任一點(diǎn)的電位為左半空間任一點(diǎn)的電位為其中q′和q″待定。4.4分離變量法4.4.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程為設(shè)φ可以表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，即然后用XYZ除上式，得當(dāng)α2=0時(shí)，則

當(dāng)α2<0時(shí)，令α=jkx(kx為正實(shí)數(shù))，則或當(dāng)α2>0時(shí)，令α=kx，則或

例4-7

橫截面如圖4-8所示的導(dǎo)體長(zhǎng)槽，上方有一塊與槽相互絕緣的導(dǎo)體蓋板，截面尺寸為a×b，槽體的電位為零，蓋板的電位為U0，求此區(qū)域內(nèi)的電位。圖4-8矩形截面導(dǎo)體槽

解：本題的電位與z無(wú)關(guān)，只是x、y的函數(shù)，即φ=φ(x,y)。在區(qū)域0<y<a、0<y<b內(nèi)，

▽2φ=0

邊界條件為①x=0,φ(0,y)=0

②x=a,φ(a,y)=0

③y=0,φ(x,0)=0

④y=b,φ(x,b)=U0

即kxa=nπ或kx=nπ/a(n=1,2,3,…)，這樣得到X(x)=a1sin(nπx/a)。由于α2+β2=0，所以得到Y(jié)(y)的形式為指數(shù)函數(shù)或雙曲函數(shù)，即有c2=0,Y(y)=c1sh(nπy/a)，這樣我們就得到基本乘積解X(x)Y(y)，記作

取不同的n值對(duì)應(yīng)的φn并疊加，即由邊界條件④，有φ(x,b)=U0，即其中：左右兩邊同乘以sin(mπx/a)，并在區(qū)間(0，a)積分，有因而，n=2,4,6,…n=1,3,5,…所以，當(dāng)n=1,3,5,…時(shí)，當(dāng)n=2,4,6,…時(shí)，