專題13 乘法公式重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（11大題型）（解析版）

專題13乘法公式重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（11大題型）【題型目錄】題型一運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算題型二平方差公式與幾何圖形題型三運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算題型四通過(guò)完全平方公式變形求值題型五求完全平方公式中的字母系數(shù)題型六完全平方式在幾何圖形中的應(yīng)用題型七整式的混合運(yùn)算題型八乘法公式中的多結(jié)論問(wèn)題題型九乘法公式的相關(guān)計(jì)算題型十乘法公式中的“知二求三”題型十一乘法公式與幾何圖形的綜合應(yīng)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、平方差公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. 特別說(shuō)明：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見(jiàn)的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號(hào)變化：如（5）增項(xiàng)變化：如（6）增因式變化：如知識(shí)點(diǎn)二、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.特別說(shuō)明：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見(jiàn)的變形：知識(shí)點(diǎn)三、添括號(hào)法則添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).特別說(shuō)明：添括號(hào)與去括號(hào)是互逆的，符號(hào)的變化也是一致的，可以用去括號(hào)法則檢查添括號(hào)是否正確.知識(shí)點(diǎn)四、補(bǔ)充公式；；；.【經(jīng)典例題一運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算】1．（2023上·上?！て吣昙?jí)?？计谥校┫铝卸囗?xiàng)式乘法計(jì)算中，不能用平方差公式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平方差公式．根據(jù)平方差公式逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、，能用平方差公式，則此項(xiàng)不符合題意；B、，不能用平方差公式，則此項(xiàng)符合題意；C、，能用平方差公式，則此項(xiàng)不符合題意；D、，能用平方差公式，則此項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．（2023上·福建泉州·八年級(jí)福建省泉州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用乘法公式計(jì)算的結(jié)果（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先乘以，再依次根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算的能力，注意：，難度適中．3．（2023上·北京東城·八年級(jí)匯文中學(xué)?？计谥校┫铝惺阶又校孩伲虎?；③；④，能用平方差公式運(yùn)算的是.【答案】①③④【分析】本題考查平方差公式，根據(jù)平方差公式，觀察各個(gè)選項(xiàng)中式子的結(jié)構(gòu)特征即可得到答案．【詳解】解：①原式；③原式；④；不能用平方差公式運(yùn)算，故答案為：①③④．4．（2022下·廣東佛山·七年級(jí)?？紝ｎ}練習(xí)）若則的值為．【答案】4【分析】根據(jù)得到，化簡(jiǎn)被求代數(shù)式，整體代入計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了整體思想計(jì)算代數(shù)式的值，熟練掌握思想是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·河南駐馬店·八年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）你能求出的值嗎？遇到這樣的問(wèn)題，我們可以先從簡(jiǎn)單的情況入手，分別計(jì)算下列各式的值．______；______；______；…由此我們可以得到：______．（2）利用（1）的結(jié)論，完成下面的計(jì)算：．（3）求的值的個(gè)位數(shù)字，是______．（只寫(xiě)出答案）【答案】（1），，，；（2）；（3）【分析】（1）先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則算乘法，再合并同類項(xiàng)即可；（2）根據(jù)得出的規(guī)律求出即可；（3）根據(jù)得出的規(guī)律求出即可；【詳解】（1）；；；（2）（3），個(gè)位數(shù)字以循環(huán)，故的個(gè)位數(shù)為2，故個(gè)位數(shù)字是：1．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法，平方差公式、數(shù)字的規(guī)律問(wèn)題，能根據(jù)算式得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二平方差公式與幾何圖形】1．（2023下·甘肅蘭州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下面給出的三幅圖都是將陰影部分通過(guò)割，拼，形成新的圖形，其中不能驗(yàn)證平方差公式的是（

）

A．① B．②③ C．①③ D．③【答案】D【分析】根據(jù)各個(gè)圖形中陰影部分面積的“算兩次”，進(jìn)而判斷是否驗(yàn)證平方差公式即可．【詳解】解：圖①中，將陰影部分沿著虛線裁剪，可以拼成右側(cè)的平行四邊形，陰影部分面積可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即，所拼成的是底為，高為的平行四邊形，因此面積為，所以有，所以圖①可以驗(yàn)證平方差公式，不符合題意；圖②中陰影部分面積可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即，所拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，款為，因此面積為，所以有，因此圖②可以驗(yàn)證平方差公式，不符合題意；圖③中陰影部分可以看作是邊長(zhǎng)為的正方形，因此面積為，所拼成的圖形中陰影部分的面積可以看作四個(gè)小正方形的面積和，，因此不能驗(yàn)證平方差公式，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提，用代數(shù)式表示圖形中陰影部分的面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023下·浙江麗水·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，把一塊面積為的大長(zhǎng)方形木板分割成個(gè)正方形①、②、③和個(gè)大小相同的長(zhǎng)方形④、⑤且每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積均為，則標(biāo)號(hào)為②的正方形的面積為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】設(shè)標(biāo)號(hào)為①的正方形的邊長(zhǎng)為，標(biāo)號(hào)為②的正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)圖形及已知條件可將④⑤長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬表示出來(lái)，再根據(jù)每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積均為及大長(zhǎng)方形的面積為，得出與的數(shù)量關(guān)系，然后解得即可．【詳解】解：設(shè)標(biāo)號(hào)為①的正方形的邊長(zhǎng)為，標(biāo)號(hào)為②的正方形的邊長(zhǎng)為，則標(biāo)號(hào)為④⑤的長(zhǎng)方形長(zhǎng)為，寬為，∵每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積均為，∴，∴，∴．∵大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于標(biāo)號(hào)為⑤的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與標(biāo)號(hào)為①的正方形的邊長(zhǎng)的和，寬等于標(biāo)號(hào)為⑤的小長(zhǎng)方形的寬與標(biāo)號(hào)為③的正方形的邊長(zhǎng)的和，∴大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：寬為：，∵大長(zhǎng)方形的面積為，∴，∴，∴，∴，即標(biāo)號(hào)為②的正方形的面積為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式在幾何圖形面積計(jì)算中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并理清題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·陜西渭南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形的面積比正方形的面積小6，則陰影部分的面積是．

【答案】3【分析】設(shè)正方形與正方形的邊長(zhǎng)分別為和，根據(jù)兩者面積差為6，可得．利用含、的代數(shù)式表示出陰影部分的面積，將整體代入即可求解．【詳解】解：設(shè)正方形與正方形的邊長(zhǎng)分別為和，由題意得：．由圖形可得：．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式在幾何圖形中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含、的代數(shù)式表示出陰影部分的面積．4．（2023下·陜西榆林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）將一個(gè)長(zhǎng)方形按如圖①所示進(jìn)行分割，得到兩個(gè)完全相同的梯形，再將它們拼成如圖②所示的圖形，根據(jù)兩個(gè)圖形中面積間的關(guān)系，可以驗(yàn)證的乘法公式為．

【答案】【分析】分別用代數(shù)式表示兩個(gè)圖中的面積即可．【詳解】由拼圖可知，圖①為長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，因此它的面積為，圖②的面積可以看作邊長(zhǎng)為a，邊長(zhǎng)為b的兩個(gè)正方形的面積差，即，因此它的面積為，因此有，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的幾何背景，用代數(shù)式表示各個(gè)部分的面積是正確解答的關(guān)鍵．5．（2023上·山西臨汾·八年級(jí)校考期中）如圖，邊長(zhǎng)為a的大正方形有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是：______（請(qǐng)選擇正確的選項(xiàng)）：A．

B．C．

D．(2)請(qǐng)利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①根據(jù)以上等式簡(jiǎn)便計(jì)算：．②已知，，計(jì)算的值；③計(jì)算：．【答案】(1)D(2)①800；②9；③【分析】（1）圖1陰影部分的面積可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即，圖2陰影部分是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，可表示其面積，由兩種方法所求的面積相等可得答案；（2）①根據(jù)平方差公式將計(jì)算即可；②根據(jù)平方差公式得到，由得到，即可計(jì)算的值；③利用平方差公式將原式化為，進(jìn)而得出即可．【詳解】（1）解：圖1陰影部分的面積可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即，圖2陰影部分是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，因此面積為，由圖1、圖2的面積相等得，，故選：D；（2）解：①；②∵，，∴，即，∴；③原式．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．【經(jīng)典例題三運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算】1．（2023上·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，，，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，由題意得，把溱成兩個(gè)數(shù)的差的平方形式即可求解；靈活運(yùn)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，則，故選：D．2．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，則的結(jié)果是（

）A．23 B．8 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式得出，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式．3．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若，，則．【答案】【分析】首先把等式的等號(hào)兩邊分別平方，即得，然后根據(jù)題意即可得解．【詳解】∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式的變形應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方的變形公式．4．（2022下·廣東清遠(yuǎn)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）例：若，求和的值．解：因?yàn)椋运?，所以，，所以，，已知，滿足，求的值為．【答案】【分析】仿照例題的思路，湊成兩個(gè)完全平方式，再利用偶次方的非負(fù)性，先求出，的值，然后代入進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式及偶次方的非負(fù)性，熟練掌握完全平方式是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·福建泉州·八年級(jí)校考期中）在學(xué)習(xí)乘法公式的運(yùn)用時(shí)，我們常利用配方法求最大值或最小值．例如：求代數(shù)式的最小值？總結(jié)出如下解答方法：解：∵，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是，∴，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是1，∴的最小值是1．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問(wèn)題：(1)填空：；．(2)若，當(dāng)__________時(shí)，有最__________值（填“大”或“小”），這個(gè)值__________；(3)已知，，是的三邊長(zhǎng)，，滿足，且的值為代數(shù)式的最大值，請(qǐng)判斷的形狀，并求出該三角形的周長(zhǎng)．【答案】(1)；；(2)；?。?3)為等腰三角形，周長(zhǎng)為【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形的分類，（1）利用完全平方公式即可求解；（2）仿照示例配方后即可確定最小值；（3）利用配方法求出，，的值，即可判斷的形狀，并求出該三角形的周長(zhǎng)；熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：；，故答案為：；；；（2），∵，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是，∴，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是，∴的最小值是，答案為：；??；；（3）為等腰三角形，理由如下：∵，∴，∴，∴，∴，，解得：，，又，∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值是，即當(dāng)時(shí)，有最大值，這個(gè)值是，∴，∴，∴為等腰三角形，周長(zhǎng)為，∴為等腰三角形，該三角形的周長(zhǎng)為．【經(jīng)典例題四通過(guò)完全平方公式變形求值】1．（2023上·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則的值是（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【詳解】先把原式轉(zhuǎn)化為，可得當(dāng)，時(shí)，等式成立，即可求得，，再代入求值即可．【分析】解：，∴，∵，，∴，，即，，∴，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、代數(shù)式求值，解一元一次方程，變形得出是解題的關(guān)鍵．2．（2022上·廣東河源·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，則的值為()A．12 B．24 C．28 D．44【答案】D【分析】由，可得，，整理得，，，根據(jù)，代值求解即可．【詳解】解：∵，∴，，整理得，，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，完全平方公式的變形，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于對(duì)絕對(duì)值的非負(fù)性，完全平方公式的變形的熟練掌握與正確運(yùn)算．3．（2022上·山東淄博·八年級(jí)淄博市張店區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則的值是．【答案】/【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出、的值，再代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，即：∴，∴，，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．利用完全平方公式進(jìn)行配方是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校考期末）若n滿足關(guān)系式，則代數(shù)式的值是．【答案】【分析】設(shè)，則可得，，根據(jù)完全平方公式即可求出的值，即的值．【詳解】設(shè)，，則，．，，，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式，并且靈活運(yùn)用換元法是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·內(nèi)蒙古通遼·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料：若，求m、n的值．解：，．．．．根據(jù)上述材料，解答下面的問(wèn)題：(1)已知，求的值；(2)已知，，求的值．【答案】(1)3(2)2【分析】（1）根據(jù)題目所給的方法，利用完全平方公式，求出x和y的值，即看求解；（2）根據(jù)，得出，將代入，得，利用題目所給方法和完全平方公式，求出b和c的值，再得出a的值，即可求解．【詳解】（1）解：，，，，，；（2）解：∵，∴，將代入，得，，，，解得，則，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，平方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式，以及幾個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別為0．【經(jīng)典例題五求完全平方公式中的字母系數(shù)】1．（2023上·上海浦東新·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若是一個(gè)關(guān)于的完全平方式，那么k值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可得到k的值．【詳解】解：，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去他們乘積的倍，就構(gòu)成一個(gè)完全平方式，熟練掌握完全平方公式的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．2．（2023下·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)?？计谥校┮?guī)定三角“

”表示，方框“

”表示．例如：

÷

．若代數(shù)式

為完全平方式，則的值是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先依據(jù)題目的給出的運(yùn)算規(guī)律將其簡(jiǎn)化為，再根據(jù)是完全平方式，將其配方為，展開(kāi)后通過(guò)比較同類項(xiàng)系數(shù)即可求出k值．【詳解】解：依據(jù)題意，有：原式=；∵代數(shù)式為完全平方式，∴原式=，∴將展開(kāi)，比較等號(hào)兩邊同類項(xiàng)系數(shù)可得，解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式的知識(shí)，依據(jù)題目給出的運(yùn)算法則將所求代數(shù)式準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的代數(shù)式形式是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023上·上海奉賢·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x的式子是某個(gè)多項(xiàng)式的完全平方，那么A是．【答案】、和【分析】本題考查了完全平方式，利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出A，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：①∵，∴，②若是多項(xiàng)式的平方，則；故答案為：、和．4．（2023上·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的二次三項(xiàng)式是完全平方式，則的值為．【答案】或【分析】先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)即可確定的值．【詳解】解：∵二次三項(xiàng)式是完全平方式，，∴，∴或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方式，掌握完全平方式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）課本原題：當(dāng)k取何值時(shí)，是一個(gè)完全平方式？解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式：的結(jié)構(gòu)特征。因?yàn)?，是一個(gè)完全平方式，故將寫(xiě)成，根據(jù)多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，得到．(1)請(qǐng)嘗試用語(yǔ)言敘述完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征：；(2)若是完全平方式，則m的值為；若(n為常數(shù))是完全平方式，則n的值為；(3)已知，請(qǐng)求出b的值．【答案】(1)左邊是兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方，右邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，其中首末兩項(xiàng)分別是兩數(shù)的平方，都為正，中間一項(xiàng)是兩數(shù)積的兩倍，其符號(hào)與等式左邊的運(yùn)算符號(hào)相同（答案不唯一，能描述清楚即可）(2)10或；16(3)【分析】本題考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式：的結(jié)構(gòu)特征是解題關(guān)鍵；（1）根據(jù)完全平方公式結(jié)構(gòu)特征用語(yǔ)言表述即可；（2）根據(jù)完全平方公式結(jié)構(gòu)特征：求字母常數(shù)的值即可；（3）根據(jù)完全平方公式結(jié)構(gòu)特征：求字母常數(shù)的值即可．【詳解】（1）解：完全平方公式：，完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征：左邊是兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方，右邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，其中首末兩項(xiàng)分別是兩數(shù)的平方，都為正，中間一項(xiàng)是兩數(shù)積的兩倍，其符號(hào)與等式左邊的運(yùn)算符號(hào)相同，故答案為：左邊是兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方，右邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，其中首末兩項(xiàng)分別是兩數(shù)的平方，都為正，中間一項(xiàng)是兩數(shù)積的兩倍，其符號(hào)與等式左邊的運(yùn)算符號(hào)相同；（答案不唯一，能描述清楚即可）（2）解：是完全平方式，，，解得：或；是完全平方式，，，故答案為：10或；16；（3）解：，，，，．【經(jīng)典例題六完全平方式在幾何圖形中的應(yīng)用】1．（2021下·廣東佛山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）用四個(gè)全等的矩形和一個(gè)小正方形拼成如圖所示的大正方形，已知大正方形的面積是169，小正方形的面積是9，若用x，y表示矩形的長(zhǎng)和寬（），則下列關(guān)系式中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖形和題目中的數(shù)據(jù)可以分別判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：由題意可得，169?9＝4xy，得xy＝40，故選項(xiàng)C正確，（x＋y）2＝169，得x＋y＝13，故選項(xiàng)A正確，（x?y）2＝9，得x?y＝3，故選項(xiàng)B正確，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是明確題意，巧妙變形，利用數(shù)形結(jié)合的思想判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確．2．（2021下·浙江·七年級(jí)期中）如圖，為了美化校園，某校要在面積為120平方米的長(zhǎng)方形空地ABCD中劃出長(zhǎng)方形EBKR和長(zhǎng)方形QFSD，若兩者的重合部分GFHR恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為3米的正方形，現(xiàn)將圖中陰影部分區(qū)域作為花圃，若長(zhǎng)方形空地ABCD的長(zhǎng)和寬分別為m和n，，花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長(zhǎng)為32米，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長(zhǎng)為32米，重合部分GFHR恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為3米的正方形，可得m+n=22，再根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式可得mn=120，再根據(jù)完全平方公式即可求解．【詳解】解：∵花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長(zhǎng)為32米，重合部分GFHR恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為3米的正方形，∴2（m-3）+2（n-3）=32，∴m+n=22，∵mn=120，∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484，∴m2+n2=244，∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4，∵m＞n，∴m-n=2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用完全平方公式．3．（2022上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，有A類卡片3張、B類卡片4張和C類卡片5張，從其中取出若干張，每種卡片至少取一張，把取出的這些卡片拼成一個(gè)正方形（所拼的圖中既不能有縫隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的邊為．【答案】或【分析】根據(jù)三種卡片的張數(shù)可知有和兩種情況，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵有A類卡片3張，B類卡片4張，C類卡片5張，∴由可知用1張A，2張B，1張C可拼成邊長(zhǎng)是的正方形；由可知用1張A，4張B，4張C可拼成邊長(zhǎng)是的正方形；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握．4．（2023下·河北邢臺(tái)·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為a的大正方形卡片和三張邊長(zhǎng)為b的小正方形卡片，如圖1，取出兩張小正方形卡片放入大正方形卡片內(nèi)拼成圖2；則圖2中陰影部分的邊長(zhǎng)為（用含有a，b的代數(shù)式表示）；再重新用三張小正方形卡片放入大正方形卡片內(nèi)拼成圖3．則圖3中陰影部分的面積為．（用含有a，b的代數(shù)式表示）；已知圖3中的陰影部分的面積比圖2中的陰影部分的面積大，則小正方形卡片的面積是．【答案】5【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出圖2和圖3中陰影部分的面積，進(jìn)而列出等量關(guān)系并化簡(jiǎn)整理，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，圖3中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分為正方形，邊長(zhǎng)為，故圖2中陰影部分面積為，∵圖3中的陰影部分的面積比圖2中的陰影部分的面積大，∴，，解得：，即小正方形卡片的面積是5，故答案為：，，5．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，列代數(shù)式，整式的混合運(yùn)算，完全平方公式，正方形的面積公式，正確得出陰影部分的面積是解答的關(guān)鍵．5．（2022·河北邢臺(tái)·?？既＃┮阎腥舾蓮埲鐖D所示的正方形卡片和長(zhǎng)方形卡片，其中型卡片是邊長(zhǎng)為的正方形，型卡片是邊長(zhǎng)為的正方形，型卡片是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，

(1)若嘉嘉要用這三種卡片緊密拼接成一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，求嘉嘉需要，，各多少?gòu)垼?2)若嘉瑞要用這三種卡片緊密拼接成一個(gè)正方形，先取型卡片張，再取型卡片張，還需取型卡片多少?gòu)垼?3)若嘉嘉用這三種卡片緊密拼接成一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，則滿足條件的的整數(shù)值個(gè)．【答案】(1)需要卡片張，卡片張，卡片張(2)要用這三種卡片緊瑞拼接成一個(gè)正方形，還需取型卡片張(3)【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)完全平方公式變形，即可求解；（3）根據(jù)題意，，可得，將因式分解，即可求解．【詳解】（1）∵長(zhǎng)方形的面積為：．∴嘉嘉需要A卡片6張，B卡片1張，C卡片5張；（2）∵A型卡片4張，再取B型卡片1張的面積之和為，且是一個(gè)完全平方公式，∴要用這三種卡片緊瑞拼接成一個(gè)正方形，還需取C型卡片4張；（3）依題意，設(shè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為，則依題意，∵，∴或或．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘法與圖形，完全平方公式與圖形，熟練掌握多項(xiàng)式乘方法則是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七整式的混合運(yùn)算】1．（2023上·福建福州·七年級(jí)福建省福州延安中學(xué)校考期中）如圖1是寬為，長(zhǎng)為的小長(zhǎng)方形紙片，將8張如圖1的紙片按圖2的方式不重疊地放在長(zhǎng)方形內(nèi)，已知的長(zhǎng)度固定不變，的長(zhǎng)度可以變化，圖中陰影部分（即兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積）分別表示為，若，且為定值，則滿足的數(shù)量關(guān)系（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出兩塊陰影部分的長(zhǎng)和寬，再根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式得出S的表達(dá)式，根據(jù)S為定值，得出S的值與x無(wú)關(guān)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，由圖可知，上面陰影部分長(zhǎng)為，寬為，下面陰影部分長(zhǎng)為，寬為，∴，∵S為定值，∴S的值與x無(wú)關(guān)，∴，則，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形正確列出代數(shù)式，熟練掌握整式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．2．（2023下·浙江寧波·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，有三張正方形紙片，，，它們的邊長(zhǎng)分別為，，，將三張紙片按圖，圖兩種不同方式放置于同一長(zhǎng)方形中，記圖中陰影部分周長(zhǎng)為，面積為，圖中陰影部分周長(zhǎng)為，面積為，若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，設(shè)大長(zhǎng)方形的寬短邊長(zhǎng)為，表示出，，，，再代入，即可求解．【詳解】解：設(shè)大長(zhǎng)方形的寬為，由圖知，，，，，，，，，，，，的值為．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，明確整式的混合運(yùn)算的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河北保定·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則=【答案】15【分析】原式利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、完全平方公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并后得到最簡(jiǎn)結(jié)果，根據(jù)可得，然后整體代入化簡(jiǎn)后的式子中計(jì)算，即可得到原式的值．【詳解】解：，∵，∴∴∴原式.故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，將化簡(jiǎn)結(jié)果適當(dāng)變形，利用整體代入的方法解答是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·安徽池州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果，那么代數(shù)式的值為．【答案】4【分析】先將條件變形為，再把變形為，然后整體代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴=====4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算及求值，熟練掌握乘法公式是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023上·天津河西·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料：“整體換元思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的一種方法，如把某個(gè)多項(xiàng)式看成一個(gè)整體，可以使得問(wèn)題簡(jiǎn)化，它在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用廣泛例如：把看作一個(gè)整體，計(jì)算解：設(shè)，則原式可參考以上想法解答下面問(wèn)題：(1)計(jì)算：(2)計(jì)算：利用分配律，試計(jì)算的結(jié)果；(3)求值：已知，，，求的值【答案】(1)(2)(3)6【分析】（1）把看作一個(gè)整體，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可；（3）由已知求得，，再代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)，原式；（2）解：原式；（3）解：，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是整體代入思想的運(yùn)用，注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化．【經(jīng)典例題八乘法公式中的多結(jié)論問(wèn)題】1．（2023上·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）有個(gè)依次排列的整式：第一項(xiàng)是，第二項(xiàng)是，用第二項(xiàng)減去第一項(xiàng)，所得之差記為，記；將第二項(xiàng)與相加作為第三項(xiàng)，記，將第三項(xiàng)與相加記為第四項(xiàng)，以此類推，某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)此展開(kāi)研究，將得到四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，第3項(xiàng)值為25；③若第5項(xiàng)與第4項(xiàng)之差為15，則；④第2022項(xiàng)為；⑤當(dāng)時(shí)，；以上正確的結(jié)論有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意可以得出規(guī)律，第n項(xiàng)為，，根據(jù)規(guī)律逐項(xiàng)求解判斷即可．【詳解】解：由題意可知，第一項(xiàng)為，第二項(xiàng)為，∴，∴，∴，∴，....．∴，故①正確；∵將第二項(xiàng)與相加作為第三項(xiàng)，∴第三項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，故②錯(cuò)誤；∵將第3項(xiàng)與相加作為第四項(xiàng)，∴第4項(xiàng)為，以此類推，第n項(xiàng)為，∴第4項(xiàng)為，∵第5項(xiàng)與第4項(xiàng)之差為15，∴，解得，故③正確；∵第n項(xiàng)為，∴第項(xiàng)為，故④錯(cuò)誤；∵，∴，故⑤正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的規(guī)律類問(wèn)題，準(zhǔn)確找出題目中的兩組數(shù)據(jù)的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵，難度較大．2．（2023上·四川眉山·八年級(jí)校考期中）已知整式，，則下列說(shuō)法中正確的有（）①不存在這樣的實(shí)數(shù)，使得；②無(wú)論為何值，和的值都不可能同時(shí)為正；③若，則；④若，則．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)所給的說(shuō)法，列出相應(yīng)的式子進(jìn)行運(yùn)算作出判斷即可得到答案．【詳解】解：①若，則，整理得：，不存在這樣的實(shí)數(shù)，使得，故①說(shuō)法正確，符合題意；②當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，和的值同時(shí)為正，故②說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；③若，則，故③說(shuō)法正確，符合題意；④由題意得：，，，故④說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；綜上所述，正確的有①③，共2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減、利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算、利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算、解不等式組，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．3．（2023下·浙江·七年級(jí)期末）下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是．①若，，則可表示為；②若的運(yùn)算結(jié)果中不含項(xiàng)，則；③若，，則；④若，則x只能是2．【答案】①②/②①【分析】①利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則可知，此選項(xiàng)是正確的；②利用整式乘法法則展開(kāi)后可知，此選項(xiàng)是正確的；③根據(jù)已知，利用完全平方公式可知，此選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；④冪結(jié)果是1，則有兩種情況，要么底數(shù)是1，要么指數(shù)為0，此選項(xiàng)錯(cuò)誤．【詳解】解：①若，，則，故此選項(xiàng)正確；②∵不含有項(xiàng)，∴，∴，故此選項(xiàng)是正確的；③∵，∴，故此選項(xiàng)是錯(cuò)誤的④，當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，，成立，故此選項(xiàng)是錯(cuò)誤的．故答案為：①、②．【點(diǎn)睛】本題考查冪的運(yùn)算法則，多項(xiàng)式乘法，完全平方公式，乘方運(yùn)算；掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·安徽合肥·七年級(jí)合肥市第四十二中學(xué)?？计谥校┮阎齻€(gè)實(shí)數(shù)，，滿足，且，那么則下列結(jié)論一定正確的是．（只需要填序號(hào)）①；②；③；④【答案】②③/③②【分析】由得，代入整理得，然后判斷各個(gè)選項(xiàng)正確與否．【詳解】∵，∴，∵，∴，整理得，∴∴，∴，∴一定正確的是②③；故答案為：②③．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，等式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等式的基本性質(zhì)和完全平方公式等知識(shí)點(diǎn)．【經(jīng)典例題九乘法公式的相關(guān)計(jì)算】1．（2023上·北京西城·八年級(jí)北京市第十三中學(xué)分校?？计谥校┯?jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了整式混合運(yùn)算，重點(diǎn)是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則以及完全平方公式的運(yùn)用；（1）先算乘法，再合并同類項(xiàng)；（2）先用完全平方公式去括號(hào)，再算加減；【詳解】（1）原式；（2）原式．2．（2023上·江蘇南京·七年級(jí)南京市人民中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：【答案】【分析】先根據(jù)完全平方公式和平方差公式將式子展開(kāi)，再合并即可．【詳解】．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式、平方差公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查的是整式的混合運(yùn)算．（1）利用完全平方公式計(jì)算即可求解；（2）先利用平方差公式計(jì)算，再利用完全平方公式計(jì)算即可求解；（3）利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算即可求解；（4）先乘方，再計(jì)算乘法．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．4．（2023上·江西南昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（）化簡(jiǎn)：（）先化簡(jiǎn)，后求值：，其中．【答案】（）；（），．【分析】（）去括號(hào)，合并同類項(xiàng)即可得到結(jié)果；（）去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，再代入求值，即可得到結(jié)果．【詳解】（）解：原式，，；（）解：原式，，，∵，∴，∴原式．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的化簡(jiǎn)及化簡(jiǎn)求值運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則及整體代入思想是解題的關(guān)鍵．5．（2023下·陜西西安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）求值：(1)(2)．【答案】(1)1(2)4000000【分析】（1）利用平方差公式計(jì)算即可；（2）利用完全平方公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式和平方差公式，熟記公式，會(huì)利用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算是解答的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十乘法公式中的“知二求三”】1．（2023上·上海浦東新·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把，代入即可得到答案；（2）把，代入即可得到答案；（3）把，代入即可得到答案．【詳解】（1）解：，即，（2），即；（3），即，【點(diǎn)睛】此題考查了利用完全平方公式及其變形求值、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式變形求值，準(zhǔn)確變形和整體代入是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中（2）已知：．求：①的值；

②的值；【答案】（1）

；（2）①

②【分析】（1）先化簡(jiǎn)原式，再將代入求解即可；（2）①由即可求解，②由即可求解；【詳解】解：（1）解：原式∵，∴（2）①∵，∴，∵，∴，∴．②∵，，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式和平方差公式的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2022上·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第112頁(yè)的第7題：已知，，求的值．老師講解了這道題的兩種方法：方法一方法二，，．，．，．，，．請(qǐng)你參照上面兩種解法中的一種，解答以下問(wèn)題．(1)已知，，求的值；(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)12【分析】（1）把兩邊平方，利用完全平方公式化簡(jiǎn)后將代入計(jì)算即可求出的值；（2）把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，所求式子化簡(jiǎn)后代入計(jì)算即可求出值；【詳解】（1）把兩邊平方，得，化簡(jiǎn)，得將代入得，解得（2）把兩邊平方，得化簡(jiǎn)，得，即，則【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則及完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．4．（2023上·福建廈門·八年級(jí)廈門市第十中學(xué)?？计谥校┮阎?，求下列代數(shù)式的值．(1)(2)【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了完全平方公式變形求值，整式的化簡(jiǎn)求值，（）根據(jù)完全平方公式變形求值即可求解；（）先根據(jù)完全平方公式變形求得，再根據(jù)整體代入進(jìn)行計(jì)算即可求解，掌握整體代入是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵，∴，∴，∵，∴；（2），，，．5．（2023上·廣西南寧·八年級(jí)廣西大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校╅喿x下列材料并解答下面的問(wèn)題：利用完全平方公式，通過(guò)配方可對(duì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如：或，從而使某些?wèn)題得到解決．例：已知，求的值．解：．通過(guò)對(duì)例題的理解解決下列問(wèn)題：(1)已知，求的值；(2)若，求的值；(3)若n滿足，求式子的值．【答案】(1)10(2)34(3)0【分析】（1）原式利用完全平方公式變形，將已知等式代入計(jì)算即可求出值；（2）把已知等式左右兩邊平方，計(jì)算即可求出所求；（3）原式利用完全平方公式計(jì)算即可求出值．【詳解】（1）解：∵，∴原式；（2）解：把兩邊平方得：，則；（3）解：∵，∴則【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十一乘法公式與幾何圖形的綜合應(yīng)用】1．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中）在課后服務(wù)課上，老師準(zhǔn)備了若干張如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長(zhǎng)為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為b，寬為a的長(zhǎng)方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．【發(fā)現(xiàn)】（1）根據(jù)圖2，寫(xiě)出一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)公式；【應(yīng)用】（2）根據(jù)（1）中的數(shù)學(xué)公式，解決如下問(wèn)題：①已知：，，求的值；②如果一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為和，且，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積．【答案】（1）；（2）①；②這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為．【分析】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行變形計(jì)算．（1）由圖形得出完全平方公式即可；（2）①根據(jù)完全平方公式計(jì)算出的值即可；②令，，則，，根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）由圖2可知，大正方形的邊長(zhǎng)為，即大正方形的面積為，因大正方形由1個(gè)邊長(zhǎng)為和1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形及2個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形構(gòu)成，由此可得：．故答案為：；（2）①由可得：，將，代入得：，解得：；②令，，則，，整體代入可得：，∴，故這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為．2．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．例如，由1，可得等式：．(1)如圖2，將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，試用不同的形式表示這個(gè)大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)用等式表示出來(lái)．（直接寫(xiě)出等式）(2)利用（1）中所得到的結(jié)論，填空：已知，，則；(3)如圖3，將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為和的正方形拼在一起，，，三點(diǎn)在同一直線上，連接和．①用含，的式子表示陰影部分的面積；②若，，則陰影部分的面積．【答案】(1)用不同的形式表示這個(gè)大正方形的面積為，，(2)45(3)①，②20【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，數(shù)形結(jié)合，利用面積法正確寫(xiě)出相關(guān)圖形的面積．（1）圖2大正方形邊長(zhǎng)為，其面積為，分部分看，是由8個(gè)長(zhǎng)方形，一個(gè)小正方形構(gòu)成，其面積和為，二者面積相等，從而可得要求得等式；（2）將，代入（1）中等式，變形可得答案；（3）①利用等于直角三角形的面積加上正方形的面積，再減去三角形的面積，化簡(jiǎn)即可得答案；②將①中結(jié)論配方，然后將，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：圖2大正方形邊長(zhǎng)為，其面積為，分部分看，是由8個(gè)長(zhǎng)方形，一個(gè)小正方形構(gòu)成，其面積和為二者面積相等由此得等式：．（2）解：，故答案為：45．（3）解：①故答案為：．②由①知陰影部分面積為，故答案為：20．3．（2023上·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將幾個(gè)小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形．(1)若用不同的方法計(jì)算這個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形面積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式為_(kāi)_______；(2)若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用公式進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)圖形得出等式即可；（2）先根據(jù)冪的運(yùn)算求出，再結(jié)合，即可得出；【詳解】（1）（2）∵，即，∴，∴．又∵，且，∴，∴．4．（2023上·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）問(wèn)題呈現(xiàn)：小明用如圖1的正方形和長(zhǎng)方形若干個(gè)，拼成一個(gè)正方形，如圖2和圖3．小明計(jì)算：圖2中，當(dāng)，時(shí)，正方形的面積既可以用，也可以用1個(gè)較大正方形和一個(gè)小正方形及兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積和表示為，也就是說(shuō)，這個(gè)正方形的面積為可以用等式表示為：．請(qǐng)用小明計(jì)算的方法，直接寫(xiě)出圖3中，若，時(shí)，表示的等式為_(kāi)_____．?dāng)?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)：圖2中有等式______；圖3中有等式______．?dāng)?shù)學(xué)思考：邊長(zhǎng)為a的正方形和邊長(zhǎng)為的正方形拼在一起，B，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，設(shè)圖中陰影部分面積為S．（1）如圖4，S的值與a的大小有關(guān)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖5，若，．直接寫(xiě)出S的值．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用：如圖，分別以a，b，m，n為邊長(zhǎng)作正方形，已知且滿足①與②．若圖4中陰影部分的面積為3，圖5中梯形的面積為5，則圖5陰影部分的面積是______．（直接寫(xiě)出結(jié)果）．【答案】問(wèn)題呈現(xiàn)：或；數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)：圖2：，圖3：或；數(shù)學(xué)思考：（1）無(wú)關(guān)，理由見(jiàn)解析；（2），數(shù)學(xué)運(yùn)用：【分析】問(wèn)題呈現(xiàn)：根據(jù)陰影部分面積的不同表示方法得到等式即可；數(shù)學(xué)思考：用割補(bǔ)法表示陰影部分面積即可；數(shù)學(xué)運(yùn)用：根據(jù)，得：進(jìn)而求出，整體代入求得結(jié)論．【詳解】問(wèn)題呈現(xiàn)：或；數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)：圖2：，圖3：，或；數(shù)學(xué)思考：（1），∴S的值與a的大小無(wú)關(guān)．（2），理由如下：，，，，數(shù)學(xué)運(yùn)用：由題意得：，①與②，得：，即，，，圖5陰影部分的面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景、公式變形及割補(bǔ)法表示面積，理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征及割補(bǔ)法求面積是解答的關(guān)鍵．5．（2023上·廣東珠?！ぐ四昙?jí)珠海市文園中學(xué)?？计谥校┙Y(jié)合圖形我們可以通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算面積，從而可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．

(1)如圖1，用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是______；(2)我們可以利用（1）中的關(guān)系進(jìn)行求值，例如，若x滿足，可設(shè)，，則，．則______．(3)若x滿足，則的值為_(kāi)_____；(4)小玲想利用圖2中x張A紙片，y張B紙片，z張C紙片拼出一個(gè)面積為的大長(zhǎng)方形，則______；(5)如圖3，已知正方形的邊長(zhǎng)為x，E，F(xiàn)分別是、上的點(diǎn)，且，，長(zhǎng)方形的面積是24，分別以、為邊作正方形，求陰影部分的面積．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）方法一是直接將兩個(gè)正方形的面積相加，方法二是用大的正方形面積減去兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，即可得到等式；（2）根據(jù)（1）中得到的關(guān)系式直接代入即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)（2）中的方法可得到結(jié)果；（4）根據(jù)得到的大長(zhǎng)方形的面積展開(kāi)，可以得到一個(gè)關(guān)系式，由關(guān)系式中可知道用的紙張分別是多少，計(jì)算其和即可；（5）先根據(jù)陰影部分構(gòu)造出來(lái)等式，然后根據(jù)兩次完全平方公式得到結(jié)果．【詳解】（1）解：方法一：陰影部分是兩個(gè)正方形的面積和，即；方法二：陰影部分也可以看作邊長(zhǎng)為的面積減去兩個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形面積，即，兩種方法可得出：；（2）解：由（1）可得，∵，，∴；（3）解：設(shè)，，∵x滿足，∴，∵，∴，∴的值為；（4）解：，A紙片的面積為，B紙片面積為，C紙片面積為，根據(jù)可知要拼出一個(gè)面積為的大長(zhǎng)方形，需要3張A紙片，1張B紙片，4張C紙片，則；（5）解：由圖知，，∴，∵長(zhǎng)方形的面積是24，∴，設(shè)，，則，，由，得，∴，∴，即，∴陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、完全平方公式的變形適用，熟練掌握完全平方公式以及能夠用換元法解題是解題的關(guān)鍵．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023上·上?！て吣昙?jí)校考期中）下列多項(xiàng)式乘法計(jì)算中，不能用平方差公式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平方差公式．根據(jù)平方差公式逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、，能用平方差公式，則此項(xiàng)不符合題意；B、，不能用平方差公式，則此項(xiàng)符合題意；C、，能用平方差公式，則此項(xiàng)不符合題意；D、，能用平方差公式，則此項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．（2023上·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則的值是（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【詳解】先把原式轉(zhuǎn)化為，可得當(dāng)，時(shí)，等式成立，即可求得，，再代入求值即可．【分析】解：，∴，∵，，∴，，即，，∴，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、代數(shù)式求值，解一元一次方程，變形得出是解題的關(guān)鍵．3．（2022上·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為，若，則陰影部分的面積為（

）

A．52 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)，列式得，將所列式子變形成含有和的形式，再將已知條件整體代入，即可求出陰影部分的面積．【詳解】故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式和整體代入法，能熟練的對(duì)完全平方公式變形是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）有兩個(gè)正方形A、，將A，并列放置后構(gòu)造新的圖形，分別得到長(zhǎng)方形圖甲與正方形圖乙若圖甲、圖乙中陰影的面積分別為與，則正方形的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，用代數(shù)式表示圖、圖中陰影部分的面積，整體代入即可得出，即正方形的面積．【詳解】解：設(shè)正方形A的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，由題意得，，，即，，，即正方形的面積為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．5．（2023上·福建福州·七年級(jí)福建省福州延安中學(xué)?？计谥校┤鐖D1是寬為，長(zhǎng)為的小長(zhǎng)方形紙片，將8張如圖1的紙片按圖2的方式不重疊地放在長(zhǎng)方形內(nèi)，已知的長(zhǎng)度固定不變，的長(zhǎng)度可以變化，圖中陰影部分（即兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積）分別表示為，若，且為定值，則滿足的數(shù)量關(guān)系（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出兩塊陰影部分的長(zhǎng)和寬，再根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式得出S的表達(dá)式，根據(jù)S為定值，得出S的值與x無(wú)關(guān)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，由圖可知，上面陰影部分長(zhǎng)為，寬為，下面陰影部分長(zhǎng)為，寬為，∴，∵S為定值，∴S的值與x無(wú)關(guān)，∴，則，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形正確列出代數(shù)式，熟練掌握整式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．6．（2023上·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，，，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，由題意得，把溱成兩個(gè)數(shù)的差的平方形式即可求解；靈活運(yùn)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，則，故選：D．7．（2023上·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）有個(gè)依次排列的整式：第一項(xiàng)是，第二項(xiàng)是，用第二項(xiàng)減去第一項(xiàng)，所得之差記為，記；將第二項(xiàng)與相加作為第三項(xiàng)，記，將第三項(xiàng)與相加記為第四項(xiàng)，以此類推，某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)此展開(kāi)研究，將得到四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，第3項(xiàng)值為25；③若第5項(xiàng)與第4項(xiàng)之差為15，則；④第2022項(xiàng)為；⑤當(dāng)時(shí)，；以上正確的結(jié)論有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意可以得出規(guī)律，第n項(xiàng)為，，根據(jù)規(guī)律逐項(xiàng)求解判斷即可．【詳解】解：由題意可知，第一項(xiàng)為，第二項(xiàng)為，∴，∴，∴，∴，....．∴，故①正確；∵將第二項(xiàng)與相加作為第三項(xiàng)，∴第三項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，故②錯(cuò)誤；∵將第3項(xiàng)與相加作為第四項(xiàng)，∴第4項(xiàng)為，以此類推，第n項(xiàng)為，∴第4項(xiàng)為，∵第5項(xiàng)與第4項(xiàng)之差為15，∴，解得，故③正確；∵第n項(xiàng)為，∴第項(xiàng)為，故④錯(cuò)誤；∵，∴，故⑤正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的規(guī)律類問(wèn)題，準(zhǔn)確找出題目中的兩組數(shù)據(jù)的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵，難度較大．8．（2023上·上海奉賢·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x的式子是某個(gè)多項(xiàng)式的完全平方，那么A是．【答案】、和【分析】本題考查了完全平方式，利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出A，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：①∵，∴，②若是多項(xiàng)式的平方，則；故答案為：、和．9．（2023上·北京西城·八年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）已知，則代數(shù)式.【答案】8【分析】先把代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)得，再把代入求解即可．【詳解】解：，∵，即，把代入得，原式，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，整式的化簡(jiǎn)求值，利用整體代入的思想是解題的關(guān)鍵．10．（2023上·北京東城·八年級(jí)匯文中學(xué)?？计谥校┫铝惺阶又校孩?；②；③；④，能用平方差公式運(yùn)算的是.【答案】①③④【分析】本題考查平方差公式，根據(jù)平方差公式，觀察各個(gè)選項(xiàng)中式子的結(jié)構(gòu)特征即可得到答案．【詳解】解：①原式；③原式；④；不能用平方差公式運(yùn)算，故答案為：①③④．11．（2023上·北京西城·八年級(jí)北京市第十三中學(xué)分校?？计谥校┤鐖D是一個(gè)可折疊式的餐桌，其桌面由一個(gè)大正方形和四個(gè)全等的小正方形構(gòu)成．當(dāng)桌角全部打開(kāi)時(shí)（如圖①，桌面的最大長(zhǎng)度為；當(dāng)桌角全部收起時(shí)（如圖②，桌面未被桌角覆蓋部分的長(zhǎng)度為．那么，當(dāng)桌角全部收起時(shí)（圖②中），桌面未被桌角覆蓋的陰影部分面積是（用含、的代數(shù)式表示）．

【答案】【分析】本題考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)圖形求出小正方形的邊長(zhǎng)，再計(jì)算出大正方形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)陰影部分面積等于大正方形的面積減去4個(gè)小正方形的面積列式計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得，小正方形的邊長(zhǎng)為，∴大正方形的邊長(zhǎng)為，∴桌面未被桌角覆蓋的陰影部分面積是，故答案為：．12．（2023上·北京海淀·八年級(jí)北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長(zhǎng)為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．

（1）觀察圖2的面積關(guān)系，寫(xiě)出正確的等式：；（2）兩個(gè)正方形，如圖3擺放，邊長(zhǎng)分別為x，y．若，，則圖中陰影部分面積和為．【答案】8【分析】（1）用兩種方法表示出大正方形的面積，即可求解；（2）根據(jù)圖形得到，，利用完全平方公式分別求得和即可求解．【詳解】解：（1）由圖2知，大正方形的面積為，又可以為，∴，故答案為：；（2）由題知：，，則，則，∴，∴（負(fù)值舍去），圖中陰影部分面積為：，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積、完全平方公式的幾何背景及其應(yīng)用，理解題意，看懂圖形，會(huì)利用不同方法表示面積，并靈活運(yùn)用所得結(jié)論是解答的關(guān)鍵．13．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查的是整式的混合運(yùn)算．（1）利用完全平方公式計(jì)算即可求解；（2）先利用平方差公式計(jì)算，再利用完全平方公式計(jì)算即可求解；（3）利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算即可求解；（4）先乘方，再計(jì)算乘法．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．14．（2023上·河南駐馬店·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，某市修建了一個(gè)大正方形休閑場(chǎng)所，在大正方形內(nèi)規(guī)劃了一個(gè)正方形活動(dòng)區(qū)，連接綠地到大正方形四邊的筆直小路如圖所示．已知大正方形休閑場(chǎng)所的邊長(zhǎng)為米，四條小路的長(zhǎng)與寬都為b米和米．陰影區(qū)域鋪設(shè)草坪，草坪的造價(jià)為每平米5元．

(1)用含a、b的代數(shù)式表示草坪（陰影）面積并化簡(jiǎn)．(2)若，計(jì)算草坪的造價(jià)．【答案】(1)平方米(2)3240元【分析】（1）根據(jù)圖形可知，用大正方形的面積減去4個(gè)長(zhǎng)方形的面積再減去中間小正方形的面積即可．（2）把及草坪的造價(jià)為每平米5元代入代數(shù)式計(jì)算即可．【詳解】（1）由圖可得，陰影部分的面積為：大正方形的面積減去4個(gè)長(zhǎng)方形的面積再減去中間小正方形的面積，∴草坪(陰影)面積為：平方米；（2）元．即草坪的造價(jià)為3240元．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．15．（2023上·河南駐馬店·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）你能求出的值嗎？遇到這樣的問(wèn)題，我們可以先從簡(jiǎn)單的情況入手，分別計(jì)算下列各式的值．______；______；______；…由此我們可以得到：______．（2）利用（1）的結(jié)論，完成下面的計(jì)算：．（3）求的值的個(gè)位數(shù)字，是______．（只寫(xiě)出答案）【答案】（1），，，；（2）；（3）【分析】（1）先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則算乘法，再合并同類項(xiàng)即可；（2）根據(jù)得出的規(guī)律求出即可；（3）根據(jù)得出的規(guī)律求出即可；【詳解】（1）；；；（2）（3），個(gè)位數(shù)字以循環(huán)，故的個(gè)位數(shù)為2，故個(gè)位數(shù)字是：1．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法，平方差公式、數(shù)字的規(guī)律問(wèn)題，能根據(jù)算式得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．16．（2023上·廣東廣州·八年級(jí)廣州市南武中學(xué)校聯(lián)考期中）（1）圖1中，通過(guò)計(jì)算圖中陰影部分的面積，可得到關(guān)于的等量關(guān)系是______________；

（2）嘗試解決：①已知：，則______________；②已知：，求的值；（3）填數(shù)游戲：如圖2，把數(shù)字填入構(gòu)成三角形狀的9個(gè)圓圈中，使得