高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第1知識(shí)塊第1講集合文新人教A版

【考綱下載】1.了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系，能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題，理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集，在具體情境中，了解全集與空集的含義．2.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集，理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集，能使用韋恩圖(Venn)表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算.第一知識(shí)塊集合與常用邏輯用語(yǔ)第1講集合1．集合元素的三個(gè)特征：

①確定性

②

③無(wú)序性互異性2．集合的表示法:

①

②

③圖示法列舉法

描述法提示：(1)注意集合表示的列舉法與描述法在形式上的區(qū)別，列舉法一般適合于有限集，而描述法一般適合于無(wú)限集．(2)注意集合中元素的互異性：集合{x|x2-2x+1=0}可寫為{1}，但不可寫為{1,1}．3．元素與集合的關(guān)系:

①屬于，用符號(hào)

表示②不屬于，用符號(hào)

表示4．集合與集合間的關(guān)系：

①包含關(guān)系，用符號(hào)

表示②不包含關(guān)系，用符號(hào)

表示

③

，用符號(hào)=表示

提示：子集與真子集的區(qū)別聯(lián)系：集合A的真子集一定是其子集，而集合

A的子集不一定是其真子集；若集合A有n個(gè)元素，則其子集個(gè)數(shù)為2n個(gè)，

真子集個(gè)數(shù)為2n-1個(gè)．相等關(guān)系∈5．集合的運(yùn)算:

①交集：A∩B={x|

}

②并集：AB={x|}

③補(bǔ)集：

?UA=

{x|}

【思考】

怎樣理解并集概念中的“或”？

答案：并集概念中“或”的意義：“x∈A，或x∈B”包括三種可能：

一是x∈A，但x?B；二是x?A，但x∈B；三是x∈A且x∈B，即可兼有．x∈A且x∈Bx∈A或x∈Bx∈U且x?A∩6．集合的性質(zhì)(1)A∪B=A?

，A∩B?A?

.(2)A∩A=A，A∩?=

.(3)A∪A=A，A∪?=

.(4)A∩?UA=

，A∪?UA=

，?U(?UA)=

.B?AA?B?A?

UA1．已知全集U=R，則正確表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}關(guān)系的

韋恩(Venn)圖是(

)

解析：N={x|x2+x=0}={-1,1}，則N

M，故選B.

答案：B2．(2009·寧夏、海南)已知集合A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，

則A∩B等于(

)A．{3,5}B．{3,6}C．{3,7}D．{3,9}

解析：A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素

3,9，∴A∩B={3,9}．

答案：D3．(2009·山東)集合A={0,2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0,1,2,4,16}，則a的值為(

)A．0 B．1C．2D．4

解析：∵A∪B={0,1,2，a，a2}，又A∪B={0,1,2,4,16}．∴{a，a2}={4,16}，∴a=4.

答案：D4．已知集合A={-1,3，m}，集合B={3,4}，若B?A，則實(shí)數(shù)m=________.

解析：∵B?A，∴4∈B?4∈A?m=4.

答案：4

解決集合概念相關(guān)問(wèn)題常用到集合元素的互異性，一可以作為解題的

依據(jù)和突破口解決問(wèn)題，二可以利用元素的互異性檢驗(yàn)所求

結(jié)果是否正確．

【例1】(2010·改編題)含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合，既可以表示為｛a，

，1｝，

也可以表示為{a2，a+b,0}，則a2010+b2010=________.

思維點(diǎn)撥：利用集合相等求a，b.

解析：由已知得

=0及a10，所以b=0，于是a2=1，即a=1或a=-1.又根

據(jù)集合中元素的互異性a=1應(yīng)舍去，因而a=-1，故a2010+b2010=(-1)2010=1.

答案：1

變式1：已知集合A={a-2,2a2+5a,12}，且－3∈A，求a.

解：∵－3∈A，∴－3=a-2或－3=2a2+5a. (1)若a-2=-3，則a=－1，此時(shí)a-2=2a2+5a=－3，

∴a=－1不符合題意． (2)若2a2+5a=－3，則a=－1或－，

當(dāng)a=－時(shí)，此時(shí)A=｛－

，－3，12｝.

綜上：a

=－.在解決兩個(gè)數(shù)集關(guān)系問(wèn)題時(shí)，避免出錯(cuò)的一個(gè)有效手段即是合理運(yùn)用數(shù)軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，分類時(shí)要遵循“不重不漏”的分類原則，然后對(duì)于每一類情況都要給出問(wèn)題的解答．

【例2】

已知集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}，若B?A，求m的值．解：由題意知，A={x|x2+x-6=0}={-3,2}，因?yàn)锽?A，所以若mx+1=0有解，則解為-3或2，當(dāng)x=－3時(shí)，m=；當(dāng)x=2時(shí)，m=－.若mx+1=0無(wú)解，則m=0.故m的值為

或－或0.變式2：已知集合A={x|0<ax+1≤5}，集合B=｛x|－<x≤2｝，

若A?B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，x∈R，此時(shí)AB(2)當(dāng)a>0時(shí)，A=，

要使A?B，則

，∴a≥2.(3)當(dāng)a<0時(shí)，A=，

要使A?B，則

，∴a<-8.

綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍為：(-∞，-8)∪[2，+∞).解決集合的運(yùn)算問(wèn)題，一般先化簡(jiǎn)集合以確定集合元素，然后借助韋恩圖、數(shù)軸等使問(wèn)題直觀化．

【例3】

已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤10}，A∩(?UB)={1,3,5,7}，

試求集合B.

思維點(diǎn)撥：借助韋恩圖．解：U=A∪B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，作出韋恩圖如右圖所示：因此B=?U[A∩(?UB)]={0,2,4,6,8,9,10}．變式3：已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={x|x2-3x+2=0}，

B={x|x=2a，a∈A}，求集合?U(A∪B)中元素的個(gè)數(shù)．

解：∵A={x|x2-3x+2=0}={1,2}，

∴B={x|x=2a，a∈A}={2,4}，

∴A∪B={1,2,4}，

∴?U(A∪B)={3,5}，共有兩個(gè)元素.新概念的引入不僅要求能深入理解新概念的信息，而且要能夠調(diào)出已學(xué)習(xí)過(guò)的“舊”概念，進(jìn)行相互對(duì)照．此類考題的關(guān)鍵在于一個(gè)“新”字，即背景新、概念新、題型新．解題時(shí)不要被“新”所迷惑，在理解與領(lǐng)會(huì)該概念后，掩藏在“新”的外衣下的往往是極為簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)．

【例4】定義集合運(yùn)算：A⊙B={z|z=xy(x+y)，x∈A，y∈B}，

設(shè)集合A={0,1}，B={2,3}，則集合A⊙B的所有元素之和為(

) A．0 B．6 C．12 D．18解析：由A⊙B={z|z=xy(x+y)，x∈A，y∈B}，A={0,1}，B={2,3}．當(dāng)x=0時(shí)，無(wú)論y為何值，都有z=0；當(dāng)x=1，y=2時(shí)，z=1×2×(1+2)=6；當(dāng)x=1，y=3時(shí)，z=1×3×(1+3)=12.∴A⊙B={0,6,12}，各元素之和為18.答案：D變式4：(2010·山東模擬精選)對(duì)任意兩個(gè)集合M、N，定義：

M-N={x|x∈M且x?N}，M*N=(M-N)∪(N-M)，設(shè)M={y|y=x2，

x∈R}，N={y|y=3sinx，x∈R}，則M*N=________.

解析：∵M(jìn)=[0，+∞)，N=[-3,3]，

∴M-N=(3，+∞)，N-M=[-3,0)，

∴M*N=[-3,0)∪(3，+∞)．

答案：[-3,0)∪(3，+∞)【方法規(guī)律】1．解題時(shí)要注意集合中元素的三個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用，特別是無(wú)序性和互異性，要進(jìn)行解題后的檢驗(yàn)，注意符號(hào)語(yǔ)言與文字語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化．2．空集?在解題時(shí)有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時(shí)刻關(guān)注對(duì)空集的討論，防止漏掉．3．解題時(shí)注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系，二是集合與集合的包含關(guān)系．4．注意滲透“數(shù)形結(jié)合”“轉(zhuǎn)化與化歸”的數(shù)學(xué)思想方法.【高考真題】(2009·安徽)若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0}，B={x∈N*|x

5}，則A∩B是

(

)A．{1,2,3} B．{1,2}C．{4,5} D．{1,2,3,4,5},

【規(guī)范解答】