2023屆高三年級下冊第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：

一、單選題

1.已知集合4=卜,2-北2},8={0,1,2,3},則31低A）=（）

A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}

2.設(shè)復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為若（1-i）z=i（zwC）,則［對應(yīng)的點位于復(fù)平面內(nèi)的（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在AABC中，點N滿足A7V=2NC，記BN=a，NC=b，那么R4=（）

A.a—2bB.a+2bC.a-bD.a+b

4.將正弦曲線向右平移：個單位長度，再將圖象上各點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫

4

坐標(biāo)不變），得到下列哪個函數(shù)的圖象（）

A.2sin（x+—）B.^=2sin（x--）

44

C.y=gsin（x+：）D.y=gsin（x_；）

5.已知正項等差數(shù)列{q}的前〃項和為若d-%-%=3,則九的值

為（）

A.3B.14C.28D.42

6.如圖，一個底面半徑為2”的圓錐，其內(nèi)部有一個底面半徑為a的內(nèi)接圓柱，且此內(nèi)

接圓柱的體積為百則該圓錐的體積為（）.

C.4百兀a，D.8百兀

7.已知函數(shù)F(x)滿足F(2x)=log2X,則*16)=()

A.-1B.1C.2D.4

8.記〃為點A,到平面a的距離，給定四面體A-&AA，則滿足乙=24^=2,3,4）的

平面a的個數(shù)為（）

A.1B.2C.5D.8

二、多選題

9.已知正四棱錐的側(cè)面積為4石，當(dāng)該棱錐的體積最大時，以下結(jié)論正確的是（）

A.棱錐的高與底面邊長的比為變

2

B.側(cè)棱與底面所成的角為60°

C.棱錐的每一個側(cè)面都是等邊三角形

D.棱錐的內(nèi)切球的表面積為（8-46卜

10.已知x,yeR,且0cxey,則（）

A.sinxvsiny

B.\/x<y［y

C.2x~y<1

xy

D.——<-^—

x+ly+1

11.已知橢圓C:*?+為=l（a>6>0）的離心率為g左，右焦點分別為K，p為

橢圓上一點（異于左，右頂點），且△產(chǎn)片鳥的周長為6,則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓C的焦距為1B.橢圓C的短軸長為2月

C.耳心面積的最大值為&D.橢圓C上存在點P,使得/耳尸馬=90

12.以下命題正確的是（）

A.設(shè)〃x）與g（x）是定義在R上的兩個函數(shù)，若|〃3）+/（動|比（5）+8（福恒成立，

且〃x）為奇函數(shù)，則g（x）也是奇函數(shù)

B.若對任意/，々eR,都有|/（與）-/（々）|>卜（與）-8（9）|成立，且函數(shù)“X）在R

上單調(diào)遞增，則〃x）+g（x）在R上也單調(diào)遞增

C.已知”>0,辦1,函數(shù)［若函數(shù)在［0,2］上的最大值比最小值

多|,則實數(shù)a的取值集合為

D.已知函數(shù)〃x)滿足〃f)+/(x)=2,函數(shù)g(x)=(，且〃x)與g(x)的圖象的

交點為(不，/)，(%丹)，…，(不，%)，則X|+X2+…+%+%+%+…+丫8的值為8

三、填空題

13.若卜+右了的展開式中/的系數(shù)為30,則”.

14.點夕為拋物線上的動點，過點尸作圓胭(x—3)?+/=1的一條切線，切點

為A,則PA,PM的最小值為.

15.若直線V=x+%與曲線丫=取2和y=lnx均相切，則“=

16.設(shè)點。是面積為4的一A3C內(nèi)部一點，且有04+308+40C=0，則.BOC的面積

為.

四、解答題

17.在凸四邊形ABCD中，ZBAD=90°,NBCD=120。,AD=3,AB=4.

(1)若，A8C=45。，求CO；

(2)若NBCD的角平分線交對角線3D于點E,求BC+CE+CD的最大值.

18.如圖，在直三棱柱ABC-AMG中，AAi=AB=2,^ABC=90.

B

(1)求證：平面ABC上平面ABAA；

⑵若4c與平面ABC所成的角為/，點￡為線段AC的中點，求平面/必與平面板

6

夾角的大小.

19.古人云：“腹有詩書氣自華.”現(xiàn)在校園讀書活動熱潮正在興起，某校為統(tǒng)計學(xué)生一

周課外讀書的時間，從全校學(xué)生中隨機抽取200名學(xué)生，獲得了他們一周課外讀書時間

(單位：h)的數(shù)據(jù)如表所示：

組號分組頻數(shù)頻率

1(0,2]40.02

2(2,4]60.03

3(4,6]100.05

4(6,8]a0.06

5(8,10]140.07

6(10,12]b0.12

7(12,14]500.25

8(14,16]460.23

9(16,18]340.17

合計2001

(1)求4/的值;如果按讀書時間(。，61,(6,12],(12,18]分組，用分層抽樣的方法從這200名學(xué)

生中抽取20人，再從這20人中隨機選取3人，求恰有2人一周課外讀書時間在(12,18]

內(nèi)的概率.

(2)若將樣本頻率視為概率，從該校學(xué)生中隨機選取3人，記X為一周課外讀書時間在

(12,18]內(nèi)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并估計該校一周人均課外讀書的時間.

20.已知數(shù)列｛4｝,｛4｝滿足2=。,用一%，其中，weN,.

⑴若q=2,%=2".

①求證：｛%｝為等比數(shù)列；

②試求數(shù)列｛〃?%｝的前〃項和.

⑵若"=q+2，數(shù)列｛4｝的前6291項之和為1926,前77項之和等于77,試求前2024

項之和是多少？

21.已知點力是拋物線丁=20(p>0)上的動點，過點材(一1,2)的直線4"與拋物

線交于另一點8.

(1)當(dāng)力的坐標(biāo)為(-2,1)時，求點8的坐標(biāo)；

⑵已知點?(0,2),若"為線段49的中點，求ARAfi面積的最大值.

22.記/'(x),g'(x)分別為函數(shù)〃x),g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在x”R,滿足〃％)=8(%),

且r(x())=g'(不)，則稱X。為函數(shù)“X)與g(x)的一個"S點”.已知〃x)=lnx+ox,

g(x)=bx2.

⑴若。=1,〃x),g(x)存在“S點”，求“的值；

⑵對任意a>0,是否存在實數(shù)〃>0,使得y(x)=lnx+ax,g(x)=bx?存在“S點”？

請說明理由.

參考答案:

1.B

【分析】求出A及其補集，通過交集運算求得結(jié)果.

【詳解】集合A4k2-犬22}={中4-1或X22},

「4A={x|-l<x<2},

又8={0,1,2,3},

所以BI(mA)={0,l}

故選：B.

2.C

【分析】利用復(fù)數(shù)除法運算求得z,從而求得［，進(jìn)而確定正確答案.

ii(l+i)-1+i11

【詳解】依題意z=L7J%十k=

1-1+222

所以'_;_三，對應(yīng)點為卜;,-;),在第三象限.

故選：C

3.A

【分析】根據(jù)向量的線性運算將BA分解為BA=BN+NA，再轉(zhuǎn)化為“，8表示即可.

【詳解】BA=BN+NA=BN-2NC=a-2b.

故選：A.

4.B

【解析】左右平移變換是橫坐標(biāo)x改變，原則簡記為“左加右減”；伸縮變換是相應(yīng)變

量乘以對應(yīng)倍數(shù)即可.

【詳解】y=sinx向右平移個單位長度得y=sin(x-》，再將圖象上各點的縱坐標(biāo)伸長

44

到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得y=2sin(x-》.

4

故選：B.

【點睛】本題考查圖象的平移和伸縮變化，要牢記每一種變換對解析式系數(shù)的影響，方

可解決此類題.

5.D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得%+為=26,則可由已知等式求出的值，從而利用求

和公式和等差數(shù)列性質(zhì)求幾得值.

【詳解】解：正項等差數(shù)列{〃,,},則%>。

試卷第6頁，共20頁

若a；-%-旬=3,則a：=%+〃9+3=2%+3,解得。8=3或出=一1(舍)

則&-?8==2/；15—48=14?8=42,

故選:D.

6.B

【分析】作出該幾何體的軸截面，求出內(nèi)接圓柱的高，利用三角形相似求出圓錐的高,

即可求的其體積.

【詳解】作出該幾何體的軸截面如圖示：加為圓錐的高,

設(shè)內(nèi)接圓柱的高為力，而8c=2卬3。=/?二。，

因為內(nèi)接圓柱的體積為6兀/,即似？h二乖)/,

貝(Jh=6a，

.__?,人_A一?.hDC

由于A3〃￡D,故△C4BSZ\CED,則弁=",

ADBC

即叵二世工，故AB=20,

AB2a

所以圓錐體積為V=；7tx(2a)2x2y/3a=^^-ncr

故選：B

7.C

【分析】根據(jù)16=21代入求解即可.

【詳解】,??函數(shù)『5)滿足H2x)=log2X,且洋(16)=F(24),

/.A16)=/-(2')=log24—2,

故選：C.

8.D

【分析】分類討論，當(dāng)平面。與平面4AAi平行時，分析可得2個，當(dāng)平面a經(jīng)過

的中位線時分析可得6個，從而得解.

【詳解】到點4，4和A的距離相等的平面a有兩種類型，與平面AzAA平行或者經(jīng)過

△&A4的某一條中位線.

當(dāng)平面a與平面4AAi平行時，如下圖I,

試卷第7頁，共20頁

圖1

設(shè)A4，AA，AA4的三等分點分別為82，鳥,凡（靠近A）,

對于平面B//4,利用三角形相似可知3=普=2,平面B2B3B」符合題意.

在線段AA的延長線上取G使得AA=4G（，=2,3,4）,

對于平面c2c3c4,利用三角形相似可知-f=方=2,平面c2c3cl符合題意,

d%4G

即平面a與平面444,平行時，滿足條件的平面有2個；

設(shè)44,44的中點分別為E,F,G,

當(dāng)平面a經(jīng)過△&A4的中位線EF時，

如下圖2：對于平面4口，生在線段A4上且瞿=2,

圖2

利用三角形相似可知2=普=2,

又EFgA”EFu平面&EF,人兒（2平面8*尸，可得&&〃平面反芯尸,

且E、F分別為44,44的中點，

則&、4、A*到平面8透尸的距離相等，

因此平面4E尸符合題意.

如下圖3：對于平面B/4FE,在線段AA上，在線段上，

試卷第8頁，共20頁

嫗=四二2利用三角形相似可知3=4粵=2,

A㈤44冬

圖3

又E/〃44,EFu平面B.84FE,440平面員87后，可得&A4〃平面B,84FE,

且E、F分別為人4，4兒的中點,

則&、A3、4到平面與生尸石的距離相等,

因此平面自84五￡符合題意.

對于中位線EG、GF,也有類似結(jié)論，即平面。經(jīng)過△&&A4的某條中位線時，滿足條

件的平面有6個，

綜上所述，符合題意的平面共有8個.

故選：D.

【點睛】難點點睛：本題判斷滿足條件的平面的個數(shù)時，難點在于要發(fā)揮空間想象能力，

明確滿足條件的平面的位置，作圖分析，說明平面所處的位置是怎樣的，加以說明，解

決問題.

9.ACD

【分析】設(shè)底面邊長為2a,側(cè)棱長為人,求出棱錐體積，通過構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)可知當(dāng)。=1,

及b=2時棱錐體積最大，然后再逐項判斷即可.

【詳解】設(shè)底面邊長為2a,側(cè)棱長為匕，貝IJS惻而=4xgx2ax病=7=4“配方=4百，

即ayjb2—a2=>/3，

而y=；x（2幻?耳―4飛-2a2,又a用耳=也，

故丫=容桂一片二觸/一/,

設(shè)f(a)=3a2-a6(0<a<.^),貝！]f(a)=6a-6a$=6a(l-a4)=66t(l+a2](l+a)(l-a),

易知函數(shù)/（a）在（0,1）單調(diào)遞增，在（1,內(nèi)）單調(diào)遞減，

試卷第9頁，共20頁

.?.當(dāng)”=1時，/（。）取得最大值，此時棱錐的體積最大，且6=2,

，底面邊長為2,側(cè)棱長為2,PE=也,。尸=夜，

,棱錐的高與底面邊長的比為變，選項力正確；

2

側(cè)棱與底面所成的角為NPBO,而sinNPBO="=也，貝IJNPBO=45°,選項6錯誤;

PB2

由于底面邊長與側(cè)棱長均為2,故側(cè)面為等邊三角形，選項C正確；

設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，由于/_9=殍，S表=4+4x；x2x2xg=4+4后,

3V4近0n-0

?/.—__—______—_____—_______

,?一5表―4+46-1+#-2

二S內(nèi)=4萬.("[0廣=(8-4兩%,選項〃正確.

故選：ACD.

10.BCD

【分析】取特殊值可說明A錯;根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及昂函數(shù)的單調(diào)性,可判斷B,C的對錯;

利用作差法可判斷D的對錯.

【詳解】對于A,取x=0,y=T滿足x,yeR,月0<x<y,但sinx=siny,故A錯;

對于B,y=f是定義域上的增函數(shù)，故x,yeR,且0<x<>時，有&<4成立，故B

正確;

對于C,x-y<0,故2*-><2°=1，故C正確;

對于D___?！?lt;o,故*■〈卡,故D正確,

x+1y+1(x+l)(y+l)

故選：BCD.

11.BC

【分析】根據(jù)e=g,%+2c=6解得可判斷AB；設(shè)。伉，幾），由&牛弓=g閨工||%|

知當(dāng)尸點為橢圓的上頂點或下頂點時面積最大，求出面積的最大值可判斷C；假設(shè)橢圓C

上存在點P,設(shè)「耳上卻尸用=〃，求出他+〃、機”，機,〃可看作方程fTx+GnO,

試卷第10頁，共20頁

求出判別式A可判斷D.

【詳解】由已知得《=￡=(,2a+2c=6,解得a=2,c=l,〃=/一02=3,

對于A,橢圓C的焦距為2c=2,故A錯誤；

對于B,橢圓C的短軸長為26=26,故B正確；

對于C,設(shè)尸(/,九)，S西&=g陽用=當(dāng)P點為橢圓的上頂點或下頂點時面

積的最大，此時尻卜6=石，所以△尸不鳥面積的最大值為石，故C正確；

對于D,假設(shè)橢圓C上存在點尸，使得N”P用=90,設(shè)歸浦=〃?,仍用="，

所以加+〃=勿=4,m2+n2=16-2mn=4c2-4>inn=6,

所以犯〃是方程x2-4x+6=0,其判別式△=16-24<0,所以方程無解，故假設(shè)不成立，

故D錯誤.

故選：BC.

12.ABD

【分析】A選項，利用賦值法及“X)的奇偶性推導(dǎo)出g(x)的奇偶性；B選項，利用定

義法和/(x)在R上單調(diào)遞增證明出結(jié)論；C選項，對“分類討論，由單調(diào)性求出最值,

列出方程，求出〃的值；D選項，由函數(shù)的對稱性求解.

【詳解】令工2=-“，則|/(xJ+/(-xj|2|g(X|)+g(-X|)|,因為/(X)為奇函數(shù)，所以

/a)-/(xj|N|g(xJ+g(F)|恒成立,即°N|g(xJ+g(f)1,所以gG)+g(—X1)=0,

即g(f)=-g(4)，所以則g(x)也是奇函數(shù)，A正確;

設(shè)為<%,因為f(x)在R上單調(diào)遞增，所以/(為)</(々)，因為

|〃王)一/(%)|>保(不)一8(占)卜恒成立,所以

/(4)-/(々)<8(4)-8(々)</(々)一/(4),從而

[/(玉)+8(%)]-[/(毛)+8(占)]<。

令〃(x)=/(x)+g(x),則=芭)+g(x,)—/(x2)-g(々卜0,所以

力(西)<人(%2),故/?(x)=/(x)+g(x)在R上也單調(diào)遞增，B正確;

當(dāng)時，=在[0,2]上的最大值為/⑴=%最小值為/(0)=1或

u—x,x>1,

試卷第11頁，共20頁

5735

/(2)=a-2,當(dāng)“7=1時，解得：a=],此時/(2)=彳>1,滿足題意；當(dāng)a_(a_2)=]

時，2=；,無解，舍去；

當(dāng)0<〃<1時，在xe[O,l]上，.f(x)=a*是減函數(shù)，xe(l,2]上，f(x)=-x+a是減函數(shù)，

因為〃O)=l>T+a,所以函數(shù)最大值為/(0)=1,而42)=—2+。<-1+。=/⑴，所

以函數(shù)的最小值為/(2)=-2+。，因止匕1一(一2+。)=|,解得：〃=；e(O,l)符合題意；

綜上：實數(shù)a的取值集合為｛g；｝,C錯誤；

由/(-x)+/(x)=2可得：“X)關(guān)于(0,1)中心對稱，g(x)=^也關(guān)于(0」)中心對稱,

從而/(x)與g(x)的圖象的交點關(guān)于(0,1)中心對稱，從而演+9+…+/=。，

%+%+…+M=2x4=8,D正確.

故選：ABD

【點睛】抽象函數(shù)的對稱性有以下結(jié)論：

若f(a—x)+/S+x)=c,貝lj/(x)關(guān)于K，])中心對稱；

若〃4一力=/9+力，則〃x)關(guān)于x=對稱.

13.2

【分析】利用二項展開式的通項公式，列式求4.

【詳解】二項展開式的通項公式J=C；?產(chǎn)

當(dāng)r=2時，/的系數(shù)是C>“=30,

解得：〃=2.

故答案為：2

14.1

4

【分析】求出PA，M=|P4|2=|PM|2-1,設(shè)點P(y\y),化簡表達(dá)式，利用二次函數(shù)的

性質(zhì)，求解最小值即可.

【詳解】解：由己知易得P4PM=|P4|2=|PM|2-],

77

22

+8+

設(shè)點P(y\y),則IPM12T=(y2-3)-+,2_]=y4y---

44.

57

當(dāng)力/PAPMJ取得最小值

試卷第12頁，共20頁

7

故答案為：-

4

【分析】先根據(jù)直線和y=lnx相切求出用，再利用直線和y=〃2相切求出

【詳解】設(shè)直線丫=》+帆與丫=111》相切于點(%,111%)，y'=：，

因為直線丁=》+機與y=lnx相切，所以‘=1,且111%=毛+機；

解得X。=1,，〃=T；

因為直線y=x-1與曲線y=^2相切,

聯(lián)立得ax2-x+l=0,且A=1-4a=0,即“=2.

4

故答案為：7.

16.y##0.5

【分析】根據(jù)04+308+400=0確定點。的位置，然后將面積比轉(zhuǎn)化為邊長比即可.

OA+3OB+4OC=0

134

——。4=二08+—0。；

777

設(shè)_：04=8；

34

則：+即〃三點共線;

試卷第13頁，共20頁

所以當(dāng)

IA。IABC8

?.SBOC=4X：=〈；

oZ

故答案為：3

17.⑴邁；

3

⑵咨

6

【分析】（1）運用差角公式求得sin/D3C,再運用正弦定理求得必即可.

（2）運用余弦定理及基本不等式求得3C+CD的范圍，由等面積法求得圓將問題轉(zhuǎn)

化為求關(guān)于8C+8的二次型函數(shù)在區(qū)間上的最值.

【詳解】（1）連接BD,如圖，

RtBAD中，AB=4,AD=3,ZBAD=90°,ZABC^45°,

34

所以B￡)=5,sinZAB￡)=g,cosZABD=-,

所以sin4DBC=sin(45°-ZABD)=1嗎一1)=*,

CDBD

△BCD中,

sinZDBCsinZDCB

BD.5y/2R

.CD=---------sinZ.DBC=x——=——

..sinZDCBx/3103?

~2

(2)△88中，BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cos120°,

：.25=(BC+CD)2-BCCD>(BC+CD)2-(gC+C￡>)=-(BC+CD)2,當(dāng)且僅當(dāng)BC=C￡>時

44

取等號,

(BC+C02v與，g[j.o<BC+CD<^y-,

?^A?CD=S4BCK+S.CDE

：.-BCCDsinl20o=-BCC￡sin60o+-CDC￡sin600,

222

:.BCCD=BCCE+CDCE,

試卷第14頁，共20頁

.?.CE=史0=（BC+CD）F5

BC+CDBC+CD

；33BC=^^+BC+8,

令t=BC+CD,

：.CE+CD+BC=^-^-+t=2t--,0<Y生叵,

tt3

:），=2一個在（0,增］上單調(diào)遞增,

2573

.?.當(dāng)『="時，y取得最大值為2X述一事

310V36

8C+CE+C。的最大值為

6

18.（1）證明見解析;

⑵*

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可得8cl平面ABB/，再由面面垂直的判定定

理得證；

（2）利用線面角求出邊長，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求夾角.

【詳解】（1）在直三棱柱ABC-ABG中，A.A1BC,

又ABJ.BC,4mAB=A,A8u平面48耳A,

所以8cl平面AB8M，又BCu平面ABC,

所以平面A/C_L平面488M.

（2）設(shè)4/Aq=M,連接CM,如圖，

則A0中點為也且AM，AB,

試卷第15頁，共20頁

???平面A8C，平面且交線為AB,,€2平面”8八，

二AW1平面ABC,

所以直線AC與平面ABC所成的角為NACM=?,

6

又AA=4B=2,則AM=V5,AC=20,8C=JAC'-AB?=2

以3為原點，BA5C,3B1分別為x,y,z軸正方向建立坐標(biāo)系，

則A(2,O,O),C(O,2,O),E(I,1,1),

設(shè)平面AEB的法向量為n=(x,y,z)

n-BA=2x=0

*,令y=l,則x=O,z=-l,故萬=(0,1,-1),

n-BE=x+y+z=0

設(shè)平面CEB的法向量為/n=(X],y1,zJ,

m-BC=2y,=0

,令X1=l,貝ijy=o,Z[=-l,故機=(i,o,-i)

in-BE=石+必+Z]=0

設(shè)平面AEB與平面CEB的夾角為凡

nm

cos0=又0<64^,.?.夕=?.

|〃|?|〃?|

19.(1)a=12,Z?=24；讀書時間在(12,18]內(nèi)的概率為京前；

19()

(2)分布列見解析，E(X)==39；該校一周人均課外讀書的時間為12.32h.

【分析】(1)由頻數(shù)+總數(shù)=頻率可得a,b的值；由分層抽樣可知20人中，在(0,6],(6,12]

中的有7人，在(12,18]中的有13人，據(jù)此可得答案；

(2)由題可得X的可能取值為0,1,2,3,且X~B(3,即｝由此可得分布列及期望；

結(jié)合表格數(shù)據(jù)可估計該校一周人均課外讀書的時間.

【詳解】(1)由頻數(shù)+總數(shù)=頻率可得a=200x0.06=12,6=200x0.12=24.

由題意知，從樣本中抽取20人，抽取比例為所以從(0,6],(6/2],(12,18]三組中抽

取的人數(shù)分別為2,5,13,從這20人中隨機抽取3人，恰有2人一周課外讀書時間在

rQ]

(12,網(wǎng)內(nèi)的概率尸=窗=器.

(2)由題意得，總?cè)藬?shù)為200,一周課外讀書時間在(12,18]內(nèi)的人數(shù)為130,因此從

試卷第16頁，共20頁

iQ

該校任取1人，一周課外讀書時間落在區(qū)間(12,18］內(nèi)的概率是去.

x的可能取值為0,1,2,3,且*~《礙｝所以P吠=&)=《(梟.怎「伏=0,1,2,3),

所以X的分布列為

X0123

34319935492197

P

8000800080008000

數(shù)學(xué)期望E(X)=3號=左

該校一周人均課外讀書時間的估計值為

1x0.02+3x0.03+5x0.05+7x0.06+9x0.07+11x0.12+13x0.25+15x0.23+17x0.17=12.32(h).

20.⑴①證明見解析；②S“=(f”+2

⑵加,=1849

【分析】(1)①，利用累加法求解即可；

②由①得q,=2",令％==〃-2”,｛q,｝的前〃項和為S?,利用錯位相減法求解數(shù)列的和

即可；

(2)推出數(shù)列｛叫是一個周期為6的周期數(shù)列,然后求解數(shù)列｛%｝的任意連續(xù)6項之和

為0,然后利用其周期和相關(guān)值求出生,4，則得到答案.

【詳解】⑴①證明：-4=2",當(dāng)〃22時累加得

an=(??-??-1)+(??-1-%)+?,+(/—4)+4

=2'-'+2"-2+.+2'+2

2(l-2n-')

=-i------^+2=2"

1-2

=--=2,(n>2),又.q=2,4=2,%=4,;.&=2

a?2"'7%

所以｛q｝為首項為2,公比為2的等比數(shù)列.

②由①得4=2",令C”=〃4=".2"，｛&｝的前“項和為5.，

試卷第17頁，共20頁

則Stl—q+c',+C3+…+c“_|+c“=1?2+2-2~+3?2，+…+(〃—1)?2"'+〃,2",A

2S?=1-22+2-23+3-24+...+(n-])-2"+n-2n+l,B

A-B^-S?=2+22+^+...+2n-n-2Ml

=2+—^-------^-n-2n+'=(l-n)-2"+l-2

1-2

.?.S“=(〃-l).2"M+2

(2)若"=a?+2=%-a?,貝Ijall+3=an,2-an+l=-a?na?+6=-an+3=a?,

所以數(shù)列｛4｝是周期為6的周期數(shù)列，設(shè)4=〃?，々=，，則與=t-m,a4=-m,a5=-t,

4/.q+生+%+%+%+%=0

設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為「，則凡=0.

所以&9I=1g8x6+3=n=2%=1926=%=963,

T-n=兀*6+5=豈=%=77,所以4=/-%=886

所以4024=篤37x6+2=4=4+/=886+963=1849.

21.(1)(6,9)

(2)2

【分析】(1)將A的坐標(biāo)代入拋物線方程可得拋物線的方程為：f=4y,再根據(jù)直線AM

的方程，聯(lián)立拋物線方程可得8的坐標(biāo)；

(2)設(shè)直線A3的方程：y-2=k｛x+\),聯(lián)立拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理與歷為線

段48的中點可得P%=-1,再代入的面積可得5=J一產(chǎn)+4月，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)

的最值求解即可

(1)

當(dāng)A的坐標(biāo)為(-2,1)時，則2?=2p/，所以2〃=4,

所以拋物線的方程為：x2=4y,

由題意可得直線AM的方程為：y-l=i=(x+2),即y=x+3,

代入拋物線的方程可得x2-4x-12=0解得x=-2(舍)或6,

試卷第18頁，共20頁

所以，8的坐標(biāo)為(6,9)

(2)

法一：設(shè)直線A3的方程：y-2=%(x+l),

即y=kx+k+2,

設(shè)直線AB與。軸的交點為Q,A(x，x),8(孫力)，

fy=kx+k+2

lX2=2py

可得V_2pfcf_2p%_4P=0,Xj+x2=2pk,XjX2=-2pk-4p,

因為M為線段/W的中點，所以當(dāng)上=p々=T

令x=0,y=k+2,即Q（0?+2）,所以尸Q="|

則..RIB的面積S=；P0.|X|_引=；臥ft=；小卜加

=；?卜卜（4p2k2+4（2pk+4p）,

把pk=-1代入上式，s=《一心+4k，

當(dāng)&=2時，Snux=2,所以的面積的最大值為2.

y=kx+k+2

(2)法二:

x2=2py

可得/_2pfcc_2p%_4P=0,x]+x2=2pk,玉/=-2pk-4p,

因為M為線段A8的中點，所以三產(chǎn)=/泳=-1,

設(shè)點P到直線AB的距離為d,則d=-^生,

22

AB=Jl+后、?\l（xt+x2）—4xtx2=yJ\+k-J4P2/i。+4（2pA+4p）

S=gA8.1=g?kl?14毆+4（2W+4p）

把pk=T代入上式，s=\l-k2+4k，

所以，當(dāng)人=2時，ABC的面積的最大值為2

22.(1)1

(2)存在，理由見解析

試卷第19頁，共20頁

Inx+ax=XQ

【分析】(l)設(shè)“S點”為X。,然后可得,10.Q,然后解出即可;

---Fa=2x0

(2)假設(shè)對任意a>0,存在實數(shù)。>0,使得y=/(x)與y=g(x)有“S點”,設(shè)為巧，

然后可得ln&+3=6x；,—+a=2bx},消去匕得1-21nX|=axx>0,然后可得0<玉<五,

玉

消去a得人=匕詈，然后證明對任意a>0,方程1-2111丹=叼在(0,人)有解即可.

【詳解】(1)設(shè)“S點”為%,g(x)=Y,r(x)=J+a,g\x)=2x,

Inx0+ax0=x；

所以1.，消去。得lnx°+x：=l,

—+a=2x0

記Mx)=lnx+f,顯然Mx)在(0,zo)上是增函數(shù)，而力(1)=1,

因此ln%+x：=1只有一個解％=1,所以a=2-l=l.

(2)假設(shè)對任意a>0,存在實數(shù)b>0,使得y=f(x)與y=g(x)有“S點”，

設(shè)為4，g'(x)=?x,

所以In%+aX|=灰；①，，+。=2如②，由②得1+叼=2如?③，

x\

①③消去b得1-2出玉=<ZT|>0,lnX1<g,0<%<及,

①③消去”得6，在0<玉<五時，b=，?*>0,

J王?*玉

下面證明對任意a>0,方程l-21nX|=%在(0,五)有解，

設(shè)〃(x)=l-21nx-ar(0<x<加),函數(shù)H(x)在定義域(0,直)上是減函數(shù)，

x->0時，//(%)->+oo,

，(&)=-“&<0,圖像連續(xù)不斷，所以存在0<%(五使得，(%)=0.

綜上，任意。>0,存在實數(shù)6=上空使得曠=/(%)與〉=8(可有“S點”

2023屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：

一、單選題

試卷第20頁，共20頁

1.已知集合A={x|-2Vx42},B={y|y=x+l,xeA},則AB=()

A.B.[-1,2]C.[-3,1]D.[-3,2]

2.已知（3+i）z=4+i,其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部是（)

13c13.

A.C.—iD.--i

io1010

已知雙曲線C：，?-￡=l（a>0/>0）的一條漸近線與直線/：

3.2x-y=2垂直，若

右焦點到漸近線的距離為2,則此雙曲線的方程為（）

2

RX)，2

A.------=1

164416

公丁-1D幺尸一1

C.

124412

已知a為銳角，且sin（a+?

4.=sina4，則tana=()

A.B.2+百C.x/6D.瓜+上

5.2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節(jié)氣的方

式開始倒計時創(chuàng)意新穎，驚破了全球觀眾，衡陽市某中學(xué)力了弘揚我國二十四節(jié)氣文化,

特制作出“立春”、“驚蟄”、“清明”、“立夏”、“芒種”、“小暑”六張知識展板分別放置

在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“驚蟄”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚

蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（）

A.192B.240C.120D.288

6.《九章算術(shù)》是中國古代人民智慧的結(jié)晶，其卷五“商功”中有如下描述：”今有圓

亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，譯文為“有一個圓臺形狀的建筑物，下底面周長

為三丈，上底面周長為二丈，高為一丈”，則該圓臺的側(cè)面積（單位：平方丈）為（）

5*+/D5J1+4125』1+乃2D541+4/

A.D.--------Ur?-------

4萬4不2424

7.已知〃=0.4,b=e0,4一1,c=In1.4,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>b>a

8.已知d,是單位向量，d*b=0.若向量C滿足II=1，則I的最大值為

)

A.V2-1B.>/2c.V2+1D.y/2+2

二、多選題

試卷第21頁，共20頁

9.設(shè)等差數(shù)列｛a〃｝的前刀項和為S〃.若6=0,2=8,則（）

A.Sn=2rf—&nB.Sn=rf—Zn

C.a門=4n—8D.an=2n

10.已知,月分別為隨機事件的對立事件，P（A）＞0,P（B）＞0,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.P（A）+P（Z）=1

B.P（A|B）+P（A|B）=l

C.若A,B互斥,則P（A3）=P（A）P（8）

D.若A8獨立，則尸（A［3）=P（A）

11.已知正方體ABC。-A耳CQ1的棱長為2,MN分別是A8,CG的中點，則（）

A.AC,//MN

B.B、DLMN

C.平面截此正方體所得截面的周長為拽士姮

2

D.三棱錐瓦-MN。的體積為3

12.己知函數(shù)/（x）=sin?x+s）,其中0＞（）.對于任意的3,函數(shù)/（X）在區(qū)

間（自上至少能取到兩次最大值，則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（x）的最小正周期小于芻

B.函數(shù)/（x）在（06）內(nèi)不一定取到最大值

C.\2＜（o^—

3

D.函數(shù)〃x）在（0,京內(nèi)一定會取到最小值

三、填空題

13.已知向量〃=（1,-3）,》=（〃?,2）,若則機=.

14.已知奇函數(shù)〃x）在［0,1］上單調(diào)遞增，在。,壯）上單調(diào)遞減，且〃x）有且僅有一個

零點，則/（x）的函數(shù)解析式可以是/（x）=.

試卷第22頁，共20頁

15.已知直線丁=》+加截圓C：/+V=25所得弦長大于8,則實數(shù)〃，的取值范圍是

四、雙空題

16.在處理多元不等式的最值時，我們常用構(gòu)造切線的方法來求解.例如：曲線y=f在

x=l處的切線方程為y=2x-1,g.x2>2x-l,若已知加+〃+f=3,則

m2+n2+r>2m—l