2023屆新高考復(fù)習(xí)系列模擬試卷（二）（新高考I卷）數(shù)學(xué)試題

《2023屆新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)系列模擬試卷》（新高考工卷）

數(shù)學(xué)試卷

第I卷選擇題部分（共60分）

一'選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.（2022.海南.高三階段練習(xí)）已知集合4={-1,0,1,2},8={x|0<2-x<3},則AB=（）

A.{0,1}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

【答案】A

【分析】將集合B化簡，再結(jié)合集合的交集運(yùn)算即可得到結(jié)果.

【詳解】將集合8化簡可得8={x|-l<x<2},

則A3={0,1}

故選:A

2.（2023?江西景德鎮(zhèn)?模擬預(yù)測（理））已知復(fù)數(shù)z滿足z（l-2i）+i=l（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算解題即可.

”i)(l+2i)=3+i=3

【詳解】由題2=匚三

(l-2i)(l+2i)555

所以z的虛部為:

故選：B

3.（2022?江蘇?沐陽縣建陵高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓錐的高為1,側(cè)面展開圖為半圓，則圓錐的體積

為（）

71

D.

9

【答案】D

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖可求得母線長與底面半徑的關(guān)系，結(jié)合圓錐的高求得半徑，即可根據(jù)圓錐的

體積公式求得答案.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為/,

則由圓錐側(cè)面展開圖為半圓，可得兀/=2nr,.-.l=2r,

因?yàn)閳A錐的高為1,故產(chǎn)+1=/2=4/,；,=3,

3

則圓錐的體積為兀x（與X]=￥

339

故選：D

4.（2022?河南?濮陽南樂一高高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)/（x）=2sin（|x+^）,則/）在上的單調(diào)

遞增區(qū)間為（）

111「「…1「兀兀

A.B.[-引C.[-1,1]D,[一“I

【答案】B

【分析】利用整體代入法求得.“X）的單調(diào)遞增區(qū)間，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】由2/-￥4巴尤+242也+￥,

2232

解得4A-g4xV4A+g,

所以“X）的單調(diào)遞增區(qū)間是以一2+；入Z,

令％=0,得“X）的單調(diào)遞增區(qū)間是，

所以“X）在區(qū)間卜1』上的單調(diào)遞增區(qū)間為T$.

故選：B

5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）過橢圓左焦點(diǎn)凡傾斜角為60。的直線交橢圓于A、8兩點(diǎn)，若解|=2尸B|,

則橢圓的離心率為（）

A.eB.|C.|D.也

3322

【答案】B

【分析】根據(jù)余弦定理，推得|A尸忸尸|長度，根據(jù)其比值關(guān)系，即可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為耳，連接耳，如下所示:

設(shè)|4F|=x,則|A￡|=2a_x,

在AA"；中，由余弦定理可得8560。=1=立竺二色二直，整理可得：”=-r,即14刊=—1

24cxa-^ca--

DIBAF\。+不。l+^e2

在△口中'同理可得：網(wǎng)|F一_工，故篇=2=』=』,解得

故選：B.

0

Q2+tan~~

6.(2022.寧夏?銀川一中高三階段練習(xí)(文))若sin?=。。是第二象限的角，則------()

52-tan^

2

A.—B.—C.2D.-5

55

【答案】D

0

【分析】先通過三角恒等變換構(gòu)造齊次式求出tan],再估算。的范圍，進(jìn)而求得結(jié)論.

2sin，"c0

2tan—々

22_

【詳解】解:sin/9=2-sin-cos-=___2_=2

22220tan2—+15

sin-+cos>一

222

^SW3tan2--10tan-+3=0,

22

解得lan2=3或tan—=-,

223

???。是第二象限的角，

/.2A兀+—<0<2kli+兀#￡Z,

2

:.—+kit<—<—+kit.keZ,

422

d?

/.tan—>1,

2

tan-=3,

2

./2+3.

-?原1H式=^^=-5

故選：D.

7.(2023?山東濰坊?高三期中)函數(shù)y=%(x-l)與y=lnx的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的取值范

圍為()

A.k=]B.k>e

C.&=1或ZWOD.氏40或氏=1或后Ne

【答案】C

【分析】直線y=%(x-i)過定點(diǎn)(1,0),利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率并結(jié)合圖象分析判斷.

【詳解】?；y=&(x—D過定點(diǎn)(1,0),且(1,0)在y=mx上，

又；y=lnx,則3/=，，

X

y=Inx在x=1處的切線斜率為k=y'\x=l=1,

結(jié)合圖象可得：

當(dāng)ZVO時(shí)，y=A(x-D與y=lnx的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則左V0符合題意；

當(dāng)0<發(fā)<1時(shí)，y=Wx-D與y=lnx的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則0<%<1不符合題意;

當(dāng)A=1時(shí)，y=z(x-l)與y=lnx的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則％=1符合題意；

當(dāng)々>1時(shí)，y=%(x—l)與y=lnx的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則%>1不符合題意；

綜上所述：實(shí)數(shù)人的取值范圍為4=1或kWO.

故選：C.

8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）足球運(yùn)動(dòng)被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動(dòng)深受青少年的喜愛.為推廣足球運(yùn)動(dòng)，某

學(xué)校成立了足球社團(tuán)，社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始隨機(jī)地球傳給其他兩人中

的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能

被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，第〃次觸球者是甲的概率為P?,即＜=1.則下列說法正確的個(gè)

數(shù)是（）

⑴8=0；（2）6=；；⑶E,=-；偌+；；⑷

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】（1）與（2）能直接進(jìn)行求解：（3）分析出要想第〃次觸球者是甲，則第（〃-1）次觸球的不能是甲，

且第（〃-1）次觸球的人，有g(shù)的概率將球傳給甲，從而求出遞推公式；（4）再第（3）問的基礎(chǔ)上求出通項(xiàng)

公式，計(jì)算出與，比較出力-4=-三6+彳=-從而判斷出結(jié)論.

【詳解】甲傳球給乙或丙，故6=0,（1）正確；

乙或丙傳球給其他兩個(gè)人，故鳥=3,（2）正確；

由題意得：要想第"次觸球者是甲，則第（〃-1）次觸球的不能是甲，

且第（?-1）次觸球的人，有3的概率將球傳給甲，

故勺=3（1-41）=一；月1+1，C正確：

因?yàn)樵O(shè)匕+2=-；（Ei+/l）,

解得：2=

所以心-D

1?

因?yàn)镻-=~<

t33

所以卜-g］是以|為首項(xiàng)，公比是的等比數(shù)列,

71

所以Pn=-x--,

33

nn3nl34311

10929221282256

故6>耳。，（4）錯(cuò)誤.

說法正確的個(gè)數(shù)是3個(gè).

故選：C

【點(diǎn)睛】概率與數(shù)列結(jié)合的題目，要能分析出遞推關(guān)系，通過遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式，這是解題的關(guān)鍵.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（2023?山東濰坊.高三期中）某市新冠肺炎疫情工作取得階段性成效，為加快推進(jìn)各行各業(yè)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，對(duì)

當(dāng)?shù)剡M(jìn)行連續(xù)11天調(diào)研，得到復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖（如圖所示），下列說法車肯用的是（）

B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的極差大于復(fù)工指數(shù)的極差

C.第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%

D.第9天至第11天復(fù)工指數(shù)的增量大于復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量

【答案】ABD

【分析】特例法否定選項(xiàng)A；比較兩指數(shù)極差判斷選項(xiàng)B；讀圖判斷選項(xiàng)CD.

(詳解】選項(xiàng)A：第8天比第7天的復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均低.判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：這11天期間，兩指數(shù)的最大值相近，但復(fù)工指數(shù)比復(fù)產(chǎn)指數(shù)的最小值低得多，

所以復(fù)工指數(shù)的極差大于復(fù)產(chǎn)指數(shù)的極差.判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%.判斷正確：

選項(xiàng)D：第9天至第II天復(fù)工指數(shù)的增量小于復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量.判斷錯(cuò)誤.

故選：ABD

10.(2022?江蘇連云港?高三期中)已知a和夕都是銳角，向量a=(cosa,sina),/?=(sin/?,cos^),c=(l,0),

則()

A.存在a和尸，使得B.存在a和夕，使得

C.對(duì)于任意的a和夕，都有卜-0＜3D.對(duì)于任意的a和夕，都有amvaP+b.c

【答案】BC

【分析】對(duì)于A,由力得a2=0化簡計(jì)算，對(duì)于B,由共線向量定理判斷，對(duì)于C,求解歸一4判斷，

對(duì)于D,求解a./,和GC+從c進(jìn)行判斷.

【詳解】對(duì)于A,若a_L〃，則a-6=cosasin夕+sinacos〃=sin(a+〃)=0,因?yàn)閍和夕都是銳角，所以

sin(a+/?)=0不成立，所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,若a〃8,則存在唯一實(shí)數(shù)X,使得￡=",則于osa,sina)=—sin存cos/?),

所以[5]嗎，所以2二智，當(dāng)a"=?匕式成立，所以B正確，

[sina=Acos/?cosasin[}4

對(duì)于C,因?yàn)閍=(cosa,sina),/?=(sin/7,cos￡),所以〃-h=(cosa-sin/,sina-cos0,

所以,一”|=-y/(cosa-sin/?)2+(sina-cos/?)2

=Jcos2a—2cosasin尸+sin2，+sin2a—2sinacos，+cos2f3

=,2-2sin(a+4)，

因?yàn)閍和尸都是銳角，所以。＜a+4＜兀，所以O(shè)vsin(a+〃)K1,

所以042-2sin(a+P)<2,所以j2-2sin(i+/?)<0,所以C正確,

對(duì)于D,ah=coscrsin/?+sinacos/?=sin(cir+/?),ac+bc=cos?+sin/??

■jr7T

心a=不、0=工,JJJlJah=a-c+h-c>所以D錯(cuò)誤，

故選：BC

11.(2022?江蘇揚(yáng)州?高三階段練習(xí))過點(diǎn)尸(TQ)的直線/與圓C:f+y2—4),_i2=0交于A,8兩點(diǎn)，線段

MN是圓C的一條動(dòng)弦，且|MV|=2近，則()

A.|4回的最小值為2而B.AA8C面積的最大值為8

IUULTUlinI

C."BC面積的最大值為屈D.卜時(shí)+9|的最小值為6-2新

【答案】ACD

【分析】設(shè)圓心C到直線AB的距離為d,求出|明，即可判斷A；再由SABC=^\AB\-d,求出JLBC面

積的最大值即可判斷B,C；取MN的中點(diǎn)E,求+的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值即可判斷D.

【詳解】：/+丫2-4)，-12=0即/+(y-2)2=16,二圓心C(0,2),半徑r=4

p(-i,o)在圓c內(nèi)，1Pq=有，

設(shè)圓心C到直線A8的距離為d,由題意得0444石，

V|AB|=2yli6-『,A\AB\n,n=2,16-5=2而，故A正確；

2242

SAABC=J俱d=gx2yjl6-d-d=V16J-J=^-(J-8)'+64

；04屋45，；.當(dāng)屋=5時(shí)，(SAABC)max=A，故B錯(cuò)誤，C正確.

取MN的中點(diǎn)E,則CE_L”N,乂|MN|=2j7,則仁用=J16—7=3,

.?.點(diǎn)E的軌跡是以C(0,2)為圓心，半徑為3的圓.

因?yàn)橄?尸必=2閥,且陛L=3-|PC|=3-石,

所以IPM+PNI的最小值為6-2石，故D正確.

故選：ACD.

12.(2022?廣東廣州?高三階段練習(xí))如圖，在長方體ABCD-A4CQ,43=6,4)=44,=1，點(diǎn)P為線段AC

上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)AC=3AP時(shí)，0f〃平面B￡>G

B.當(dāng)AC=3AP時(shí)，AP，C三點(diǎn)共線

C.當(dāng)AC=5AP時(shí)，AC1.平面RAP

D.當(dāng)AC=5AP時(shí)，NRP4取得最大值

【答案】ACD

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，由向量與平面法向量數(shù)量積可判斷A,

根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示判斷B,通過向量的數(shù)量積判斷垂直關(guān)系可判斷C,通過坐標(biāo)運(yùn)算求向量夾角的余

弦，再求余弦的最小值可判斷D.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)4。=幾4尸，(221),由===1,

則A(l,0,0),B(l,e,0)，A(l,0,l),P,(0,0,1),C(0,73,0),q(0,x/3,1),B,(1,N/3,1),

/4,C=(-1,^-1),4P=；AC=(-J,f,-；),qA=(l,0,T),DC,=(0,^,l),

A>7l/IX

防=(l,五0)，

n-DC.=>/3y+z=0

設(shè)平面BOG的法向量〃=(x,y,z),由｛L,

n-DB=x+J3y=0

令y=i,則x=z=-G，故”=(-6,1,-若)，X￡)^=(1--,—,--),

A.A,4

若2P〃平面BOG，則RP?及=0,即—6+逑=o,解得丸=3,故A正確；

A

節(jié)AC=34|尸時(shí)，4尸=；4C=(一AP=4P—AA=(-1正2

3'T'3

AG=(-1,百,1).

:.AP^tAC,即A,P，G三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤;

1/o1

A.C,D.P=(-1,-^3?—1)*(1----,—,—)=0

若AC，平面RAP,則，1122Z，解得2=5,即AC=54P時(shí)，故C正

?4tCDlA=(-l,x/3,-l).(l,0,-l)=0

確;

P4=AA_AP=(O,O,7)_~2-37-,_1T1_B_r

AXAa'九’1+2r

_1+1_昱llf1百

JLi"?,------,-1n----5_2

ZAJ不"一義.

52152?

卜叫網(wǎng)r——+1r——4-1

222A22

52114

令/=,一W，由0<力41可得——<r<3,-<r+l<4,

55

則cosZD,PA=」一=1-------G12'即當(dāng)冷即人5時(shí)，8S卬卓有最小值V，由y=8SX在

/4-1，+14,4

xw［O,兀］上單調(diào)遞減可知，此時(shí)NRPA取得最大值，故D正確.

故選：ACD

第II卷非選擇題部分（共90分）

三'填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2022?廣東廣州?高三階段練習(xí)）已知函數(shù)./■。）={1+式?］是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)m的值是

【答案】-2

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義計(jì)算即可

【詳解】/（x）的定義域?yàn)椋?8,0）（0,+=o）

因?yàn)?（x）=?l+57=r"是偶函數(shù),所以

口門1—e'+tn1—el-er+mev-1+mer

即x--------：—=-x-------

I-e，e-Xl-ex

所以1一以+m=e“-l+me”

(e'-l)w=2-2e',即用=與子=-2

故答案為：一2

14.(2023?全國?高三專題練習(xí))過拋物線：/=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于4,B兩點(diǎn),若以

AB為直徑的圓與直線x=-l相切，則拋物線的方程為

【答案】y?=4x

【分析】利用拋物線的定義證明以A8為直件的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，結(jié)合條件求P,由此可求拋物線的

方程.

【詳解】取A8的中點(diǎn)M,分別過A、B、M作準(zhǔn)線的垂線AP、BQ、MN,垂足分別為P、。、N,如圖所示：

由拋物線的定義可知，|AP|=Hf],=

在直角梯形APQB中，|MN|=g(kP|+|BQ|)=|(|AF|+|BF|)=^\AB\,

故圓心M到準(zhǔn)線的距離等于半徑，

以A8為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切

由已知得準(zhǔn)線方程為x=-l,

；《=1,；.p=2,

故所求的拋物線方程為V=4x.

15.(2021?山東省青島第十九中學(xué)高三期中)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-or,g(x)=產(chǎn)-火，其中“為實(shí)數(shù).

在(1,+oo)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1,內(nèi))上有最小值，則a的取值范圍是.

【答案】(e,+8)

【分析】由/(X)40在―)上恒成立求得。的范圍，由g'(x)=。在。,3)上有解求得。的范圍，并驗(yàn)證

此時(shí)g(x)取得的是最小值，然后兩者取交集可得.

【詳解】f'(x)^--a,/(x)在(1,*?)上是單調(diào)減函數(shù)，貝I]/'(x)=」-a40在。,小?)上恒成立，

XX

a>~,WO<-<1,所以a>\,

XX

g'(x)=ex-a,g(x)在0，y)I：有最小值，首先g'(x)=。在I：有解,

g'(x)=e'-a=0,a=exe(e,+oo),此時(shí)x=lna,

l<x<lna時(shí)，g'(x)<0,g(x)遞減，x>lna時(shí)，g'(x)>0,g(x)遞增，所以x=ln”時(shí)，g(x)取得極小

值也是最小值，滿足題意.

綜上，ae(e,+oo).

故答案為：(e,+oo).

16.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和4個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)從甲

袋中任取2個(gè)球，記取出的紅球個(gè)數(shù)為X,則E(X)=,將取出的球放入乙袋，再從乙袋中任取2

個(gè)球，則從乙袋中取出的是2個(gè)紅球的概率為.

【答案】1.—

7'147,

【分析】分析可知，從甲袋中任取2個(gè)球，記取出的紅球個(gè)數(shù)為X,則隨機(jī)變量X服從超幾何分布，

由超幾何分布的數(shù)學(xué)期望得E(X)；從甲袋任取兩個(gè)球分三類情況，再計(jì)算乙袋中取出的是2個(gè)紅球的概率

即可.

【詳解】解：甲袋中有3個(gè)白球和4個(gè)紅球，從甲袋中任取2個(gè)球，記取出的紅球個(gè)數(shù)為X,則隨機(jī)變量X

服從超幾何分布，

48

所以由超幾何分布的數(shù)學(xué)期望得：E(X)=np=2x^=-:

甲袋任取兩個(gè)球的可能性有三種：

甲袋取出的為2個(gè)白球時(shí)，則從乙袋中取出的是2個(gè)紅球的概率為：gx|=Ax2=A=±

「Ipl「2],￡72Q

甲袋取出的為1個(gè)白球、1個(gè)紅球時(shí),則從乙袋中取出的是2個(gè)紅球的概率為：***=葛、4=今=京

甲袋取出的為2個(gè)紅球時(shí)，則從乙袋中取出的是2個(gè)紅球的概率為:

C|xC|=Ax10=_60=20

C；C；2121441147

1Q9047

從乙袋中取出的是2個(gè)紅球的概率為：京+京+含=含?

847

故答案為：-；—.

四'解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(2022?云南云南?模擬預(yù)測)給定三個(gè)條件：①生，4,6成等比數(shù)列，②$4=5%，③(〃+1)4=〃4+1，從

上述三個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.

問題：設(shè)公差不為零的等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且邑=6,.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)；

(2)若=2'-',求數(shù)列｛an-b?｝的前n項(xiàng)和T?.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】⑴a?=n

⑵7；=l+(〃-l)x2"

【分析】(1)若選條件①，根據(jù)%,%，6成等比數(shù)列，得為2=%/，然后利用基本量思想求出4和d,最

后利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行求解；若選條件②或③，直接利用基本量思想求出力和d，然后利用等差數(shù)

列通項(xiàng)公式進(jìn)行求解；

(2)根據(jù)(1)4的通項(xiàng)公式，代入〃也中，得。也=〃x2”l然后利用錯(cuò)位相減法求解前〃項(xiàng)和7；.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為4(〃*0).

選條件①：S3=6,%,%,6成等比數(shù)列，

S3=3aA+3d=6

(q+3d)~=(q+d)(q+7d)'

解得｛:=1,故數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)M=〃.

S3=34+3d=6

選條件②：；邑=6,.2+64=5(4+")'

解得｛,I；，故數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)4=”.

選條件③：S3=6,(〃+l)a?=nan+l,

邑=3q+3d=6

+l)d]="q'

解得《‘I：'故數(shù)列S，，｝的通項(xiàng)4=〃.

（2）由（1）得〃也=」X2"T

所以7；=1X20+2X2'+3X22++〃x2”'，

可得27；=1x2,+2x2?+—+（“-1）X2"T+〃X2”,

兩式相減得-（=20+2、2?++2n-'-nx2"

lx（l-2"）

=—:］，-〃x2"=-l+（l-”）x2”，

所以7；=1+（“-1）x2".

18.（2021?全國?高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競賽，有A,8兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在

兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一

類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束4類問題中的每個(gè)問題回答正確

得20分，否則得0分；8類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問

題的概率為，能正確回答8類問題的概率為，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）B類.

【分析】（1）通過題意分析出小明累計(jì)得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）與（1）類

似，找出先回答8類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可.

【詳解】（1）由題可知，X的所有可能取值為0,20,100.

p（X=0）=l-0.8=0.2；

P（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列為

X020100

P0.20.320.48

(2)由(1)知，￡(X)=Ox0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答B(yǎng)問題，記y為小明的累計(jì)得分，則y的所有可能取值為0,80,100.

p(y=0)=l-0.6=0.4；

p(y=80)=0,6(l-0.8)=0.12;

=100)=0.8x0.6=0.48.

所以E(r)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因?yàn)?4.4<57.6,所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.

19.(2021?湖南?長沙一中高三階段練習(xí))如圖，在平面四邊形ABC。中，2C，C￡>,AC=6,AD=\,ZCAZ)=30°.

⑴求NACO；

(2)若AABC為銳角三角形，求BC的取值范圍.

【答案】(1)30°

(2傳2可

【分析】(1)在A8中，由余弦定理求得。C=l,根據(jù)A￡>=1，得到NACD=NC4D,即可求解；

(2)在一中，由正弦定理求得+根據(jù)，為銳角三角形，求得

sinB\2tan827

30。<3<90。，得至hanB>E,進(jìn)而求得BC的取值范圍.

3

(1)

解：在「.AC。中，由余弦定理得：DC1=AC2+AD2-2AC-AD-cosZCAD

=(73)2+l2-2^x—=1,所以￡>C=1,

2

又因?yàn)?3=1，所以NAC￡)=NC4￡>=30。.

⑵

解：由BCJ_C￡),且448=30。，可得NACB=60°,

BCAC

在ABC中，由正弦定理得

sinZBACsinB

所以8c=生3￡=叵業(yè)竺*=q且+J

sinBsinB(2tan32,

因?yàn)?3c為銳角三角形，0°<ABAC=120°-B<90°,0。<3<90。，

所以30。<8<90。，可得tanB>立，

3

則所以1<工_+_1<2,所以@<8C<2石，

tan322tanB22

所以8C的取值范圍為（當(dāng),26.

20.（2022?河北保定?高三階段練習(xí)）如圖，正三棱柱ABC-AMG中，AB=2,A4,=4,。是AB的中點(diǎn),

E是CG上一動(dòng)點(diǎn).

⑴若CE=1,求A到平面BAE的距離;

（2）若CD//平面ABE,求平面ABE與平面8CG用夾角的余弦值.

【答案】（1）26

⑵巫

5

【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABE的一個(gè)法向量后可求點(diǎn)面距.也可利用等積法

求點(diǎn)面距.

（2）求出平面ABE與平面BCC.B,的法向量后可求面面角的余弦值.

【詳解】（1）方法一:

如圖所示,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由題意易知A（0,0,0）,B（73,1,O）,E（0,2,l）,A（0,0,4）,

C（0,2,0）

所以A4,=(0,0,4),=AE=(0,2,1)

設(shè)平面ABE1的一個(gè)法向量為〃?=(x,y,z),

\m-AB=0[>/3x+y=0.

則｛，所以<，令z=l

m-AE=0[2y+z=0

設(shè)A到平面ABE的距離為d,則

阿4+3+12

方法二：

在正三棱柱ABC-A4G中,。為AB的中點(diǎn),

所以面48片A,因?yàn)锳B=2,所以C￡>=G

因?yàn)镃E〃面AB&A，所以E到面的距離為6

所以砒=gxgx2x4xG=#l

易知DE=2,設(shè)A到平面ABE的距離為d,

11t

貝IJ匕=-x-x2x2xrf=—

4-AABfEl￡323

因?yàn)樨?“研=A8E，所以"=26

（2）在正三棱柱ABC-A4G中，。為AB的中點(diǎn),

所以CO_L面AB8M，因?yàn)锳fi=2,所以CZ）=J5

因?yàn)镃EH面ABAA，所以E到面AB耳A,的距離為行

所以匕淞眸小=gxgx2x4x6=竽

易知DE=2，設(shè)4到平面ABE的距離為d,

[[O?/

則匕w=-x-x2x2xd=—

中芯323

因?yàn)?-4BA=At-ABE，所以d=2>/5

所以A到平面48E的距離為

（2）方法一：

由（1）知A（0,0,0）,8（G1,0）,A（0,0,4）,C（0,2,0）,D冬g,0

a一3。〕

設(shè)E（0,2,〃），所以。=48=(6,1,-4),4E=(0,2,/?-4)

k227

設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,

n-A,B=0\/3x+y-4z=0母+4)64-b

則，所以2y+(I)z=0左z=l，付〃,1,

62

n-^E=0z

因?yàn)镃D〃面ABE,所以CD.〃=O,解得b=2,所以E為CG中點(diǎn)，〃=（右,1,1）

取BC得中點(diǎn)H,易知AH_L平面BCCQi，H^y,1,0

所以平面BCQBi的一個(gè)法向量為AH=[4（,o],

k227

所以平面ABE與平面BCG4的夾角。的余弦值為

V3x+1x+1x0

\ivAH\223_>/15

WM

所以，平面ABE與平面BCR用的夾角的余弦值姮.

5

方法二：

取44中點(diǎn)居連接CF、DF,

記。尸A8=G,則G是力f中點(diǎn)，連接GE,則面CDFG1面=GE,

y

因?yàn)??！ㄆ矫鍭BE,COu平面C￡＞尸G，所以CD//GE,

因?yàn)镚是。尸中點(diǎn)，所以E是CC,中點(diǎn).

所以胡=(0,0,4),A8=(G,l,-4),叱=(0,2,-2)

設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),

則F*=°,所以產(chǎn)+y=°,即卜=任，

=z

n-AtE=0[2y—2z=0[y

令z=l,得w=

3、

取8c得中點(diǎn)從易知AH,平面BCCg,H^y,-,o,

\/

所以平面BCC出的一個(gè)法向量為AH=j4，|,o1,

所以平面ABE與平面BCC^的夾角6的余弦值為:

^3x^+lx-+lx0

nAH223_V15

.所以，平面4田后與平面

BCC、B1的夾角的余弦值正.

5

（建系方法不唯一參照給分）

21.（2022?浙江紹興?一模）已知雙曲線E：=l（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)尸為（-2,0）,點(diǎn)M（3,匈

是雙曲線￡上的一點(diǎn).

（1）求E的方程；

（2）已知過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為％（4>0）的直線/交E于A,B兩點(diǎn)，連接E4交E于另一點(diǎn)C,連接R3

交E于另一點(diǎn)。，若直線經(jīng)過點(diǎn)N（0,—l）,求直線/的斜率h

【答案】⑴三—丁=1

3

12

【分析】（I）由題意，根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合。2=/+從，可得答案；

（2）根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，設(shè)出點(diǎn)AB的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程，寫出韋達(dá)定理，表示出點(diǎn)C,￡）

的坐標(biāo)，根據(jù)所過已知點(diǎn)N,建立方程，可得答案.

【詳解】（1）易知c=2,2a=^（3+2）2+（V2-O）2-^（3-2）2+（>/2-0）"=2百，

故〃=百，b=\.

故雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程Y-y=1

3

（2）方法-：令A(yù)為（4乂），則B為（一%,一b）,直線E4為欠=切-2,m=甘2,直線所為

n(/-3)y2—4my+1=0,

11

設(shè)。（左，先），。&，%），得加一3（%+2、

<y>

即"=片+4%：4-3），；’

X/+2_2_127.甘

7+4%y7+4x)

-y.-12+7x.

同理可得,夕工

直線CO經(jīng)過點(diǎn)N(O,-1),則c,D,N三點(diǎn)共線，

即CN〃DN,則有而(先+1)=左(％+1)

7-4與(7+4司)7+4%(7-4%)

化簡得，(一12+7辦)(y+7+4%)=(—12—7%)(-^,+7-4^),

即12%",故"=

/

方法二：令A(yù)為（X1,yj,貝lj8為（-x”-x）,直線網(wǎng)為x=my-2,機(jī)=上，直線EB為

(f+2、

x=ny-2,n=―!-

I一X1

x=my-2

由卜22尸

(m2-3)y2-4/ny+l=0,

-----V-=1

3

1