人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))培優(yōu)講義+題型檢測(cè)專題2.4 基本不等式-重難點(diǎn)題型檢測(cè)（含解析）

專題2.4基本不等式-重難點(diǎn)題型檢測(cè)參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022春?韓城市期末）函數(shù)f(x)=5x+20A．10 B．15 C．20 D．25【解題思路】利用基本不等式化簡(jiǎn)即可求解．【解答過(guò)程】解：由題意f（x）＝5x+20x當(dāng)且僅當(dāng)5x=20x，即x＝2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值為故選：C．2．（3分）（2022春?郫都區(qū)校級(jí)期末）若實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2＝1+xy，則下列結(jié)論中，正確的是（）A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤2【解題思路】由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（x+y2）2，x2+y2﹣1＝xy≤x2+y22，分別求出x+y【解答過(guò)程】解：對(duì)于A，B，由x2+y2＝1+xy可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（x+y2）2，即14∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A錯(cuò)，B錯(cuò)，對(duì)于C，D，由x2+y2＝1+xy可得，x2+y2﹣1＝xy≤x∴x2+y2≤2，故C錯(cuò)，D對(duì)，故選：D．3．（3分）（2022春?黃陵縣校級(jí)期末）下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A．y=x+1x B．y＝x2﹣2xC．y=x2+1【解題思路】選項(xiàng)A，利用排除法，當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0；選項(xiàng)B，由配方法，可得y≥3；選項(xiàng)C，利用基本不等式，可得解；選項(xiàng)D，采用換元法，令t=x2+2≥2，則【解答過(guò)程】解：選項(xiàng)A，當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0，即A不符合題意；選項(xiàng)B，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3≥3，即B不符合題意；選項(xiàng)C，y＝x2+1x2≥2x2?1x2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x選項(xiàng)D，令t=x2+2≥2，則y＝t+1t所以y≥2+12=3故選：C．4．（3分）（2022秋?哈爾濱月考）設(shè)a＞0，b＞0，若a+3b＝5，則(a+1)(3b+1)abA．93 B．2 C．62 D．43【解題思路】由已知結(jié)合基本不等式即可求解．【解答過(guò)程】解：a＞0，b＞0，a+3b＝5，則(a+1)(3b+1)ab=3ab+a+3b+1ab=當(dāng)且僅當(dāng)3ab=6ab且a+3b＝5，即a＝2，故選：C．5．（3分）（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)月考）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足4a+b+1b+1=1A．6 B．8 C．10 D．12【解題思路】根據(jù)a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1b+1【解答過(guò)程】解：∵正實(shí)數(shù)a，b滿足4a+b∴a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1b+1）﹣1＝5+4(b+1)a+b+a+bb+1?1≥5+24(b+1)a+b?a+b故選：B．6．（3分）（2021秋?澤普縣校級(jí)月考）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（）A．a(chǎn)+b2B．a(chǎn)2C．a(chǎn)+b2D．2ab【解題思路】利用數(shù)形結(jié)合計(jì)算出OF，OC，再在Rt△OCF中，利用勾股定理得CF，再由CF≥OF，可解．【解答過(guò)程】解：由圖形可知：OF=12AB=1在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF2又CF≥OF，∴12(a2+b2故選：C．7．（3分）（2022春?營(yíng)口期末）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b＝4，且1a+1bA．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜2【解題思路】利用“乘1法”，可得1a+【解答過(guò)程】解：1a+1b=14（a+b）（1a+1b）=14（2+ab因?yàn)閍≠b，所以1a+又1a+1b＞t故選：A．8．（3分）（2021秋?李滄區(qū)校級(jí)月考）若x＞0，y＞0，且2x+1y=1，x+2y＞m2A．﹣8＜m＜1 B．m＜﹣8或m＞1 C．m＜﹣1或m＞8 D．﹣1＜m＜8【解題思路】根據(jù)題意，分析可得x+2y＝（x+2y）（2x+1y）＝4++4yx+【解答過(guò)程】解：根據(jù)題意，x＞0，y＞0，且2x+則x+2y＝（x+2y）（2x+1y）＝4+當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝4時(shí)等號(hào)成立，即x+2y的最小值為8，若x+2y＞m2+7m恒成立，必有m2+7m＜8，解可得﹣8＜m＜1．即m的取值范圍為（﹣8，1）．故選：A．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2021秋?灤南縣校級(jí)月考）下列函數(shù)最小值為2的是（）A．y＝x+1x B．yC．y＝x2+1x2 D【解題思路】對(duì)于AD可以利用特殊值法判斷；對(duì)于BC利用基本不等式判斷即可．【解答過(guò)程】解：對(duì)于A，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣2，A錯(cuò)誤．對(duì)于B，y=x2+2x2+1=x2+1+1x2對(duì)于C，y＝x2+1x2≥2x2?1x2=2對(duì)于D，當(dāng)x＝0時(shí)，很顯然最小值不是2，D錯(cuò)誤．故選：BC．10．（4分）（2021秋?建華區(qū)校級(jí)期中）若正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則13a+2A．67 B．47 C．27 【解題思路】構(gòu)造17×（3a+2+3b+2）×（13a+2【解答過(guò)程】解：∵a+b＝1，∴3a+2+3b+2＝7，∴13a+2+13b+2=17×（3a+2+3b∵a，b都是正數(shù)，∴3b+23a+2＞0，3a+2由基本不等式可知3b+23a+2+3a+23b+2∴13a+2+13b+2≥27+27=47，當(dāng)且僅當(dāng)∴13a+2+1故選：AB．11．（4分）（2021秋?煙臺(tái)期末）已知x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，則錯(cuò)誤的是（）A．xy的取值范圍是[1，9] B．x+y的取值范圍是[2，+∞） C．x+4y的最小值是3 D．x+2y的最小值是4【解題思路】由已知結(jié)合基本不等式分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答過(guò)程】解：因?yàn)閤＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，所以x+y＝3﹣xy≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝解得，0＜xy≤1，即0＜xy≤所以xy的取值范圍為（0，1]，A錯(cuò)誤；又xy＝3﹣（x+y）≤(x+y2)2，且僅當(dāng)x解得，x+y≥2，故B正確，又x+y＝3﹣xy＜3；由x+y+xy﹣3＝0，得x=3?yy+1所以0＜y＜3，1＜y+1＜4，所以x+4y=3?yy+1+4y＝4（y+1）+4y+1?x+2y=3?yy+1+2y＝2y?y+1?4y+1=2（y+1）+4y+1?3≥2(2y+2)?4y+1?3＝42?3，當(dāng)且僅當(dāng)2y故選：AC．12．（4分）（2021秋?呼蘭區(qū)校級(jí)期中）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，若mm?1≤x+2yxy對(duì)任意的x＞0，y＞A．14 B．98 C．127 【解題思路】先結(jié)合基本不等式求出x+2yxy的最小值，然后由不等式恒成立轉(zhuǎn)化為mm?1≤（x+2yxy）【解答過(guò)程】解：因?yàn)閤＞0，y＞0，且2x+y＝2，所以x+2yxy=1y+2x=12（1y+2當(dāng)且僅當(dāng)2xy=2yx且2x+y＝2，即x若mm?1≤x+2yxy對(duì)任意的x＞0，則mm?1整理得7m?9m?1≥解得m≥97或m＜結(jié)合選項(xiàng)可知，ACD符合題意．故選：ACD．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2021秋?石鼓區(qū)校級(jí)月考）已知x＞2，x+ax?2（a＞0）最小值為3．則a＝1【解題思路】先變形得到x+ax?2=x﹣2【解答過(guò)程】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴x+ax?2=x﹣2+ax?2+當(dāng)且僅當(dāng)x﹣2=ax?2，即x＝2∴x+ax?2（a＞0）最小值為2a∵x+ax?2（a＞0）最小值為∴2a+2＝3，∴a=故答案為：1414．（4分）（2022秋?新羅區(qū)校級(jí)月考）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足ab+a+b＝3，則2a+b的最小值為42?3【解題思路】利用已知關(guān)系式求出a=3?bb+1，則2a+b＝2×3?bb+1+b=6?2bb+1【解答過(guò)程】解：因?yàn)閍b+a+b＝3，所以a=3?b則2a+b＝2×3?bb+1+=8b+1+b﹣2=8b+1當(dāng)且僅當(dāng)8b+1=b+1，即b＝22?1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最小值為4故答案為：42?315．（4分）（2022?衡南縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）直角三角形的斜邊長(zhǎng)為5時(shí)，其面積有最大（大或?。┲担瑸?54【解題思路】先設(shè)直角邊分別為x，y，則x2+y2＝25，然后結(jié)合基本不等式及三角形面積公式可求．【解答過(guò)程】解：設(shè)兩直角邊分別為x，y，則x2+y2＝25，因?yàn)閤2+y2≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)=5故xy≤25故三角形面積S=1故答案為：大；25416．（4分）（2022秋?余姚市校級(jí)月考）有下列4個(gè)關(guān)于不等式的結(jié)論：①若x＜0，則x+1x≤?2；②若x∈R，則x2+2x2+1≥2；③若x∈R，則|x+1x|≥2；④【解題思路】利用基本不等式逐個(gè)判斷4個(gè)結(jié)論即可，注意“一正，二定，三相等”3個(gè)條件缺一不可．【解答過(guò)程】解：對(duì)于①，若x＜0，則﹣x＞0，∴x+1x=?（﹣x+1?x）≤﹣2?x?1?x=?2，當(dāng)且僅當(dāng)﹣對(duì)于②，若x∈R，x2+2x2+1=(x2+1對(duì)于③，當(dāng)x＝0時(shí)，x+1x無(wú)意義，故對(duì)于④，若a＞0，則（1+a）（1+1a）＝1+1a+a+1≥2a?1a+2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)所以正確的序號(hào)是①②④，故答案為：①②④．四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022?望花區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知x∈（0，+∞）．（1）求y=x+1（2）求y=x2+2x+3x的最小值，以及【解題思路】（1）由題意利用基本不等式即可求解．（2）由已知可得y=x2+2x+3x=【解答過(guò)程】解：（1）因?yàn)閤∈（0，+∞），所以y=x+1取等號(hào)條件：x=1x，x2＝因?yàn)閤∈（0，+∞），所以x＝1，所以函數(shù)y=x+1x的值域?yàn)閇2，+（2）y=x2+2x+3x=因?yàn)閤∈（0，+∞），所以x+3x≥所以y＝2+（x+3x）≥2+23，取等號(hào)條件：x=3x，x因?yàn)閤∈（0，+∞），所以x=3，當(dāng)x=3時(shí)，該函數(shù)取最小值2+218．（6分）（2021秋?新泰市校級(jí)期末）已知實(shí)數(shù)a＞0，b＞0，a+2b＝2．（1）求1a（2）求a2+4b2+5ab的最大值．【解題思路】（1）利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出；（2）利用a＝2﹣2b將a2+4b2+5ab＝﹣2（b?12）2【解答過(guò)程】解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+2b＝2，∴1a當(dāng)且僅當(dāng)2ab=2ba，即∴1a+2（2）∵a＞0，b＞0，a+2b＝2，∴a＝2﹣2b＞0，可得0＜b＜1，a2+4b2+5ab＝（2﹣2b）2+4b2+5（2﹣2b）b＝﹣2b2+2b+4＝﹣2（b?12）2當(dāng)b=12時(shí)，a2+4b2+5ab有最大值為19．（8分）（2022春?福田區(qū)校級(jí)期末）若a＞0，b＞0，a+b＝1．求證：（1）4a（2）2a+1+【解題思路】（1）由已知利用乘1法，結(jié)合基本不等式即可證明；（2）利用基本不等式的結(jié)論(m+n【解答過(guò)程】證明：（1）因?yàn)閍＞0，b＞0，a+b＝1，所以4a+1b=（4a+1b當(dāng)且僅當(dāng)4ba=ab且a+b＝1，即b=故4a（2）因?yàn)椋?a+1+2b+12）2≤2a+1+2b+12=2，當(dāng)且僅當(dāng)2a+1=2b+1且a+b所以2a+1+20．（8分）（2021秋?洛陽(yáng)期中）如圖，某人計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度沒(méi)有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym．（1）若菜園面積為18m2，則x，y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最??？（2）若使用的籬笆總長(zhǎng)度為18m，求1x【解題思路】（1）由題意得，xy＝18，所用籬笆總長(zhǎng)x+2y≥2（2）由題意x+2y＝18，1x+2y=118【解答過(guò)程】解：（1）由題意得，xy＝18，則所用籬笆總長(zhǎng)x+2y≥22xy=12，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y且xy＝18，即y＝3，x此時(shí)所用籬笆總長(zhǎng)最??；（2）由題意x+2y＝18，所以1x+2y=（1x+2y）（x+2y）×118當(dāng)且僅當(dāng)2yx=2xy且x+2y＝18，即x＝y(tǒng)＝21．（8分）（2022春?河南期末）觀察下面的解答過(guò)程：已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b＝1，求1a解：∵a+b＝1，∴1a當(dāng)且僅當(dāng)ba=2ab，結(jié)合a+b＝1得∴1a+2請(qǐng)類(lèi)比以上方法，解決下面問(wèn)題：（1）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足1x+1y=1（2）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y＝1，求12x+1【解題思路】（1）類(lèi)比已知解題方法，將x+4y變?yōu)閤+4y=(x+4y)(1（2）將x+y＝1化為（2x+1）+（2y+2）＝5，將12x+1+2【解答過(guò)程】解：（1）由正實(shí)數(shù)x，y滿足1xx+4y=(x+4y)(1當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy，結(jié)合1x+1y=1得（2）正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y＝1，得（2x+1）+（2y+2）＝5，∴1=1+1當(dāng)且僅當(dāng)2y+22x+1=4(2x+1)2y+2，結(jié)合x(chóng)+y＝1得x=1322．（8分）（2022春?潤(rùn)州區(qū)校級(jí)月考）（1）已知x＞0，y＞0，且滿足8x+1y=1（2）當(dāng)0